求函數(shù)極限的方法和技巧

1、求函數(shù)極限的方法和技巧在數(shù)學(xué)分析和微積分學(xué)中,極限的概念占有主要的地位并以各種形式出現(xiàn)而貫穿全部內(nèi)容,因此掌握好極限的求解方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析和微積分的關(guān)鍵一環(huán)。本文就關(guān)于求函數(shù)極限的方法和技巧作一個比較全面的概括、綜合,力圖在方法的正確靈活運用方面,對讀者有所助益。一、求函數(shù)極限的方法1、運用極限的定義：例:用極限定義證明：limx23例:用極限定義證明：limx23x+2,二1證:xf2x23x+21-1x2(x-2)2x2x-2|Vs0，取3=，則當(dāng)0 x28Vs由函數(shù)極限-8定義有：limx2_3x+2=1。xf2x-22、利用極限的四則運算性質(zhì)：若limf(x)=Alimg(x)=Bx

2、fx0 xfx0(I)limLf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB(II)藁Lf(x).g(x)xfx0=lim0(II)藁Lf(x).g(x)xfx0=lim0f(x)limg(x)=AB(III)若BW0則U：limxfx0 x0f(x)xfx0limf(x)xfx0g(x)limg(x)Bxfx0(IV)limc-f(x)=c-limf(x)=cA（c為常數(shù)）xfx0 xfx0上述性質(zhì)對于xf8,xfy,xf-時也同樣成立例：求limxf2解：limxf2x2+3x+5x+4x2+3x+522+3，2+553、約去零因式（此法適用于xfx0時，0型）例：求limxf-2解

3、：原式=limxf-2x3-x2-16x-20 x3+7x2+16x、12x3-3x2-10Q+(2x2-6x-20)x3+5x2+6x)+(2x2+10 x+12)(x+2)(x2一3x-10)=limx-2(x+2)(x2+5x+6)(x2-3x-10)(x-5)(x+2)x一5r=lim=lim=lim=-7x-2(x2+5x+6)x-2(x+2)(x+3)x-2x+34、通分法(適用于8-8型)例：求lim(x-24-(2+x)(2-x)1解：原式二lim=lim=limx-2(2+x)(2-x)x-2(2+x)(2-x)x-22+x5、利用無窮小量性質(zhì)法(特別是利用無窮小量和有界量之

4、乘積仍為無窮小量的性質(zhì))設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足：(I)則：limg(x)f(x)=0limf(x的性質(zhì))設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足：(I)則：limg(x)f(x)=0 x-x0例：求limx-sin1解:x-x0例：求limx-sin1解:由limx=0而x-0sin11x故原式=limx-sin1=0 x06、利用無窮小量和無窮大量的關(guān)系。1(I)若：limf(x)=8則Ulim-=0limL=8f(limL=8f(x)(II)若：limf(x)=0且f(x)W0則例：求下列極限11limx-1x一1limx-8x+5解：由lim(x+5)解：由lim(x+5)=8x-8limx-

5、8由lim(x一1)=0 x-1limx1-L=0 x+51=8x-17、等價無窮小代換法設(shè)a,a,P,P都是同一極限過程中的無窮小量，且有：aaaaalim-x-存在，則lim也存在，且有l(wèi)im=lim-5-PPPP例:求極限limx-例:求極限limx-01-cosx2x2sinx2(X2)2行.(X2)21.1一COSX2-2-1解：smx2x2,1-cosx2lim=2Xf0 x2sinx2x2x22注：在利用等價無窮小做代換時，一般只在以乘積形式出現(xiàn)時可以互換，若以和、差出現(xiàn)時，不要輕易代換，因為此時經(jīng)過代換后，往往改變了它的無窮小量之比的“階數(shù)”8、利用兩個重要的極限。sinx(A

6、)lim=1xfsinx(A)lim=1xf0X但我們經(jīng)常使用的是它們的變形：sin。(x)(A1)lim=1,(x)f0)。(x)1(B1)lim(1+沖x)但我們經(jīng)常使用的是它們的變形：sin。(x)(A1)lim=1,(x)f0)。(x)1(B1)lim(1+沖x)=e,(4(x)f。(x)例：求下列函數(shù)極限(1)、limxf0ax一1lncosax、limxf0lncosbx解：(1)令ax-1=u,則x=1n(1+U)lnaax一1ulna于是二x1n(1+u)又當(dāng)xf0時，uf0故有:limaX_1=limxf0 xuf0ulna1n(1+u)lna=limuf0ln(1+u)ln

7、a=lim=lnauf0ln(1+u)1(2)、原式=limxf0=limxf0ln(1+(cosax-1)ln1+(cosbx-1)ln(1+(cosax-1)cosax-1cosbx-1cosax-1=limxf0cosbx-1cosax-1-2sin2-2sin2x=lim2Xf02sin2x2=limxf02b2ln1+(cosbx-1)cosbx-1asin2x2aX(yX)2.cb/aa2sin2x(x)222(2X)29、利用函數(shù)的連續(xù)性(適用于求函數(shù)在連續(xù)點處的極限)若f(x)在x=x0處連續(xù)則limf(x)=f(x0)xfx(ii)若干(x)是復(fù)合函數(shù)，又lim(x)=a且x

8、fxf(u)在u=a處連續(xù)，則limf3(x)=flim中(x)=f(a)TOC o 1-5 h zxfxxfx例：求下列函數(shù)的極限excosx+5一ln(1+x)(1)、lim(2)lim-xf01+xx+32一-1,1.lim()x+1=x+32一-1,1.lim()x+1=lim(1+)x+1=lim(1+t)t2xf2x+1xf2x+1tf0解：由于x=0屬于初等函麴(x)=exCOsx+5的定義域之內(nèi)。1+x2+ln(1x)故由函數(shù)的連續(xù)性定義有：limexcosx+5=f(0)=6xf01+x2+ln(1x)ln(1+x)1(2)、由=ln(1+x)xx令隼(x)=(1+x)x故有

9、:limIn+x)=limln(1+x)x=ln(lim(1+x)x)=lne=1xf0 xxf0 xf010、變量替換法(適用于分子、分母的根指數(shù)不相同的極限類型)特別地有：11mxf1l11mxf1lxk1mlnnkxm1m、n、k、l為正整數(shù)。例：求下列函數(shù)極限lim例：求下列函數(shù)極限lim1_憶(m、nxf11mx解：令t=mnx則當(dāng)xf12x+3、，lim(-)x+1xf82x+1tf1,于是TOC o 1-5 h z1tm(1t)(1+1+12+tm1)m原式=lim=lim-一展=-tf11tntf1(1t)(1+1+12+1n1)n2x+32由于lim()x+1=lim(1+)

10、x+1xe2x+1x/2x+12x+1111令：=-貝x+1=-+2tt2=lim(1+1)t-lim(1+1)2e1etf0tf=lim(1+1)t-lim(1+1)2e1etf0tf011、利用函數(shù)極限的存在性定理定理：設(shè)在x0的某空心鄰域內(nèi)恒有g(shù)(x)Wf(x)Wh(x),且有:limg(x)=limh(x)=A則極限limf(x)存在，且有l(wèi)imf(x)=A例:xH0 xnlimx+1,n0)解:xN1時，存在唯一的正整數(shù)k,使kWxWk+1于是當(dāng)n0時有:xn(k+1)n-及xnkn一kn1axak又丁當(dāng)xf+8時,kf+8有axak+1akalim-limkf+8akkf+8及l(fā)i

11、mkfak+1limkfak+ikn0,0akaaxn，lim=0 x-笆ax12、用左右極限和極限關(guān)系(適用于分段函數(shù)求分段點處的極限，以及用定義求極限等情形)。定理：函數(shù)極限limf(x)存在且等于A的充分必要條件是左極限limf(x)及xH0右極限limf(x)都存在且都等于A。即有:xfx+0limf(x)Aolimf(x)=limf(x)=Axfxxfx0例：設(shè)f(x)x-vx八1,0 x1解：,limf(x)lim(1-2e-x)-1xf0-xf0-limf(x)lim(x二%)lim(、x-1)-1TOC o 1-5 h zxf0+xf0+Vxxf0+由limf(x)limf(x

12、)-1/.limf(x)-1xf0-xf0+_xf0又lim/(x)limx?lim(x-1)0 xf1-xf1-xxxf1-lim/(x)=limx21由f(1-0)中f(1+0).limf(x)不存在xf1I兀-1+xf113、羅比塔法則(適用于未定式極限)定理：若(i)limf(x)=0,limg(x)=0Xfx0 x-x0(ii)f與g在x的某空心鄰域u0(x)內(nèi)可導(dǎo)，且g(x)中000(iii)lim42=A(A可為實數(shù)，也可為8或8),則xx0g(x)f(x)f(x)lim=lim=Axfx0g(x)x.x0g(x)0此定理是對0型而言，對于函數(shù)極限的其它類型，均有類似的法則。注：

13、運用羅比塔法則求極限應(yīng)注意以下幾點：081、要注意條件，也就是說，在沒有化為入，一時不可求導(dǎo)。08使用羅比塔法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個分式的導(dǎo)數(shù)。要及時化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用羅比塔法則，否則會引起錯誤。f(x)4、當(dāng)lim2_L2不存在時，本法則失效，但并不是說極限不存在，此時求極x-ag1(x)限須用另外方法。例：求下列函數(shù)的極限/ex-(1+2x)12lnx.limlim(a0,x0)x-0ln(1+x2)x-”xa解：令f(x)=ex-(1+2x)12,g(x)=ln(1+x2)2(1-x2)(1+x2)

14、2Lx)=ex-(1+2x)2(1-x2)(1+x2)2f”(x)=ex+(1+2x)-32,g”(x)=由于f(0)=f(0)=0,g(0)=g(0)=0但f.(0)=2,g”(0)=2從而運用羅比塔法則兩次后得到ex-(1+2x)12ex-(1+2x)-12ex+(1+2x)-32lim=lim=limx-0ln(1+x2)x-02xx-02(1-x2)1+x2(1+x2)2由limlnx=8,lim由limlnx=8,limxax-+8x-+8故此例屬于-型，由羅比塔法則有:8lnx1lim=lim=lim=0(a0,xlnx1lim=lim=lim=0(a0,x0)X+XaX+aXa1

15、X+(aXa14、利用泰勒公式對于求某些不定式的極限來說，使用泰勒公式比使用羅比塔法則更為方便，下列為常用的展開式：1、X2Xnex=1+x+o(Xn)2!n!2、.X3X5,八sinx=x+(1)n13!5!(2n1)!3、1X2,X4cosX=1+(1)n2!4!(2n)!+o(X2n+1)4、ln(1+x)=x+(1)n1+o(xn)5、(1+x)a=1+ox+a(a1)a(a1)5、(1+x)a=1+ox+a(a1)a(a1)(an+1)X2+2!n!Xn+O(Xn)6、=1+X+X2+Xn+O(Xn)o(Xn)上述展開式中的符號o(xn)都有：lim=0X0Xna+2x7a+x/八、

16、例:求lim(a0)-x.、解:利用泰勒公式，當(dāng)X0有v1+X=1+-+O(X)a.aa+2xaa+x于是hm22x1xa(71+一J1+)=limX0=limX0=limX0.-1.1x2x1x/、va11+_()+o(x)_1_.o(x)I2a2a:lim2X015、利用拉格朗日中值定理定理:若函數(shù)f滿足如下條件：(I)f在閉區(qū)間上連續(xù)；(II)f在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)則在(a,b)內(nèi)至少存在一點使得于也)=f(b)f9)，此式變形可為：b一a于“)-f(a)=f(a+9(b-a)(091)b一aex一esinx例：求lim；x-0 x-SinX解:令f(x)=ex對它使用中值定理得ex-es

17、inx=f(x)-f(sinx)=(x-sinx)f(sinx+9(x-sinx)(091)exesinx即：；=f(sinx+9(x-sinx)(091)x-sinxf(x)=ex連續(xù)，limf(sinx+9(x一sinx)=f,(0)=1x-0ex一esinx從而有：lim；一二1x-0 x-sinx16、求代數(shù)函數(shù)的極限方法(1)有理式的情況，即若：TOC o 1-5 h zP(x)axm+axm-1+aR(x)=01m(a豐0,b豐0)Q(x)bxn+bxn-1+b0001n(I)當(dāng)x-8時，有、a0m=nbPP(x)axm+axm-1+a八0lim=lim01m=0mx-8Q(x)x

18、-8bxn+bxn-1+b01n8mn(II)當(dāng)x(II)當(dāng)x0時有:若Q(x)豐0則0若Q(x)=0而0rP(x)lim二x-0Q(x)P(x)豐00P(x)0Q(x)0P(x)則limx-0Q(x)若Q(x0)=0,P(x0)=0，則分別考慮若x0為P(x)=0的s重根,即:P(x)=(x一x)sP(x)也為Q(x)=0的r重根，即：01Q(x)=(x一x)rQ(x)可得結(jié)論如下：01P(x)(x-x)srP(x)lim=limo1x-xQ(x)x-xQ(x)001例：求下列函數(shù)的極限(2x-3)20(3x+2)30limx會(2x+1)50P(xP(x)=Q(x)108,srx33x+2

19、limxfix44x+3(2x-3)20(3x+2)30220330,3、lim=二(-)30TOC o 1-5 h zxT9(2x+1)502502P(x)=x3-3x+2,P(1)=0Q(x)=x4-4x+3,.Q(1)=0P(x),Q(x)必含有(x-1)之因子，即有1的重根故有:x3-3x+2(x-1)2(x+2)x+21lim=lim=lim=xT1x4-4x+3xT1(x-1)2(x2+2x+3)xT1x2+2x+32(2)無理式的情況。雖然無理式情況不同于有理式，但求極限方法完全類同，這里就不再一一詳述.在這里我主要舉例說明有理化的方法求極限。例：求11m(；x+與x+、.x-弋

20、x)xT+88=_解:lim(qx+%；x+、；-x)-x+vx+X：x-xxx+Jxlim=lim=xT+8弋x+：x+xx+xxxT+8xx+：x+xx+xx二、多種方法的綜合運用上述介紹了求解極限的基本方法，然而，每一道題目并非只有一種方法。因此我們在解題中要注意各種方法的綜合運用的技巧，使得計算大為簡化。1-cosx2例:求limxT0 x2sinx21-cosx2limr2xsinx2解法一:xT0 x2sinx2=lim-；xT02x-x2cosx2+2xsinx2sinx2sinx2二limx-0 x2cosx2+sinx2=limx-0 x2sinx2cosx2+x2注:此法采用羅比塔法則配合使用兩個重要極限法。x2sinx2sin=limx.0 x2x21sin121*=一sinx2x222,x221-cosx22sin2lim-2解法二:x.ox