2021考研數(shù)學(xué)三真題及答案

1、 6/62021考研數(shù)學(xué)三真題及答案 一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上） （1）設(shè),0,0,0,1cos )(=?=x x x x x f 若若 其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則的取值范 圍是_. （2）已知曲線 b x a x y +-=2 33與x 軸相切，則2 b 可以通過a 表示為 =2b _. （3）設(shè)a0， ，x a x g x f 其他若,10,0,)()(? ?=而 D 表示全平面，則 ?-=D dxdy x y g x f I )()(=_. （4）設(shè)n 維向量0,),0,0,(+-+=b x bx x x ax AX X x x x f T

2、中二次型的矩 陣A 的特征值之和為1，特征值之積為-12. 求a,b 的值； 利用正交變換將二次型f 化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣. 十一、（本題滿分13分） 設(shè)隨機(jī)變量X 的概率密度為 ;,8,1,0,31 )(32 其他若? ?=x x x f F(x)是X 的分布函數(shù).求隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù). 十二、（本題滿分13分） 設(shè)隨機(jī)變量X 與Y 獨(dú)立，其中X 的概率分布為 ? ? ?7.03.021 X ， 而Y 的概率密度為f(y)，求隨機(jī)變量U=X+Y 的概率密度g(u). 答案 一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題 中橫線上） （1

3、）設(shè),0,0,0,1cos )(=?=x x x x x f 若若 其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則的取值范 圍是2. 點(diǎn)撥當(dāng)x 0可直接按公式求導(dǎo)，當(dāng)x=0時(shí)要求用定義求導(dǎo). 過程：當(dāng)1時(shí)，有 ） ,0, 0,0,1sin 1cos )(21 =?+=-x x x x x x x f 若若 顯然當(dāng)2時(shí)，有) 0(0)(lim 0f x f x =，即其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù). （2）已知曲線 b x a x y +-=2 33與x 軸相切，則2 b 可以通過a 表示為 =2b 64a . 點(diǎn)撥曲線在切點(diǎn)的斜率為0，即0=y ，由此可確定切點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件，再根據(jù)在切點(diǎn)處縱坐標(biāo)為零，即可找到2 b

4、 與a 的關(guān)系. 過程：由題設(shè)，在切點(diǎn)處有 03322=-=a x y ，有.22 a x = 又在此點(diǎn)y 坐標(biāo)為0，于是有 030023 0=+-=b x a x , * 故.44)3(6422 202202 a a a x a x b =?=-= 點(diǎn)睛：有關(guān)切線問題應(yīng)注意斜率所滿足的條件，同時(shí)切點(diǎn)還應(yīng)滿足曲線方程. （3）設(shè)a0， ， x a x g x f 其他若, 10,0,)()(? ?=而D 表示全平面，則 ?-=D dxdy x y g x f I )()(=2 a . 點(diǎn)撥本題積分區(qū)域?yàn)槿矫?，但只有?dāng)10,10- x y x 時(shí)，被積函 數(shù)才不為零，因此實(shí)際上只需在滿足此不等

5、式的區(qū)域內(nèi)積分即可. 過程：?-=D dxdy x y g x f I )()(=dxdy a x y x ?-1 0,102 = . )1(2 1 2 10 1 2a dx x x a dy dx a x x =-+=? + 點(diǎn)睛：若被積函數(shù)只在某區(qū)域內(nèi)不為零，則二重積分的計(jì)算只需在積分區(qū)域與被積函數(shù)不為零的區(qū)域的公共部分上積分即可. （4）設(shè)n 維向量0,),0,0,(+-+=b x bx x x ax AX X x x x f T ， 中二次型的矩陣A 的特征值之和為1，特征值之積為-12. 求a,b 的值； ( 利用正交變換將二次型f 化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣.

6、 點(diǎn)撥特征值之和為A 的主對(duì)角線上元素之和，特征值之積為A 的行列式，由此可求出a,b 的值；進(jìn)一步求出A 的特征值和特征向量，并將相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后將特征向量單位化并以此為列所構(gòu)造的矩陣即為所求的正交矩陣. 過程：（1）二次型f 的矩陣為 .200200? ? ?-=b b a A 設(shè)A 的特征值為).3,2,1(=i i 由題設(shè)，有 1)2(2321=-+=+a ， . 12242 002002321-=-=-=b a b b a 解得a=1,b=-2. (2)由矩陣A 的特征多項(xiàng)式 )3()2(2 02 020201 2+-=+= -A E ， 得A 的特征值.

7、3,2321-= 對(duì)于,221=解齊次線性方程組0)2(=-x A E ，得其基礎(chǔ)解系 T )1,0,2(1=，.)0,1,0(2T = 對(duì)于33-=，解齊次線性方程組0)3(=-x A E ，得基礎(chǔ)解系 .)2,0,1(3T -= 由于321,已是正交向量組，為了得到規(guī)范正交向量組，只需將 321,單位化，由此得 ? T )51, 0,52( 1=，T )0,1,0(2=， . )5 2,0,5 1( 3T - = 令矩陣 ? ? ? ?- =5205 1010510 5232 1Q ， 則Q 為正交矩陣.在正交變換X=QY 下，有 ? ? ?-=300020002AQ Q T ， 且二次型

8、的標(biāo)準(zhǔn)形為 .3222 32221y y y f -+= 點(diǎn)睛：本題求a,b ，也可先計(jì)算特征多項(xiàng)式，再利用根與系數(shù)的關(guān)系確定： 二次型f 的矩陣A 對(duì)應(yīng)特征多項(xiàng)式為 ). 2()2()2(2 2 00 22b a a b b a A E +=+= - 設(shè)A 的特征值為321,，則 ).2(,2,22 32321b a a +-=-=+=由題設(shè)得 1)2(2321=-+=+a ， .12)2(22321-=+-=b a 解得a=1,b=2. 十一、（本題滿分13分） 設(shè)隨機(jī)變量X 的概率密度為 ;,8,1,0,31 )(32 其他若? ?=x x x f F(x)是X 的分布函數(shù).求隨機(jī)變量Y

9、=F(X)的分布函數(shù). 點(diǎn)撥先求出分布函數(shù)F(x)的具體形式，從而可確定Y=F(X),然后按定義求Y 的分布函數(shù)即可.注意應(yīng)先確定Y=F(X)的值域范圍 )1)(0(X F ，再對(duì) y 分段討論. 過程：易見，當(dāng)x8時(shí)，F(xiàn)(x)=1. 對(duì)于8,1x ，有 . 131)(31 32 -=? x dt t x F x 設(shè)G(y)是隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù).顯然，當(dāng)0y 時(shí)，G(y)=0；當(dāng)1y 時(shí)，G(y)=1. 對(duì)于)1,0y ，有 )()(y X F P y Y P y G = =)1(1 33 +=-y X P y X P =.)1(3 y y F =+ 于是，Y=F(X)的分布函數(shù)為

10、 .1, 10,0,1,0)(? ? ?=y y y y y G 若若若 點(diǎn)睛：事實(shí)上，本題X 為任意連續(xù)型隨機(jī)變量均可，此時(shí)Y=F(X)仍服從均勻分布: 當(dāng)y0時(shí)，G(y)=0; 當(dāng)1y 時(shí)，G(y)=1; 當(dāng)01 y 時(shí)，)()(y X F P y Y P y G = = )(1 y F X P - = .)(1y y F F =- 十二、（本題滿分13分） 設(shè)隨機(jī)變量X 與Y 獨(dú)立，其中 X 的概率分布為 ? ? ?7.03.021 X ， 而Y 的概率密度為f(y)，求隨機(jī)變量U=X+Y 的概率密度g(u). 點(diǎn)撥求二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，一般用分布函數(shù)法轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的概率.注意X 只有兩個(gè)可能的取值，求概率時(shí)可用全概率公式進(jìn)行計(jì)算. 過程：設(shè)F(y)是Y 的分布函數(shù)，則由全概率公式，知U=X+Y 的分布函數(shù)為 )(u Y X P u G += =27.013.0=+=+X u Y X P X u Y X P =227.0113.0=-+=-X u Y P X u Y P . 由于X 和Y 獨(dú)立，可見 G(u)=27.013.0-+-u Y P u Y P =).2