結(jié)構(gòu)力學(xué)內(nèi)容精品課件

1、結(jié)構(gòu)力學(xué)內(nèi)容第1頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三1、柔度法y1(t)y2(t)建立振動微分方程：（建立位移協(xié)調(diào)方程） m1、m2的位移y1(t)、 y2(t)應(yīng)等于體系在當(dāng)時(shí)慣性力作用下所產(chǎn)生的靜力位移。.（15-40）柔度法建立的振動微分方程1121P1=11222P2=1第2頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三頻率方程：為一關(guān)于的二次方程。解出的兩個(gè)根：振型方程：其中：=1/2Y1 ，Y2不能全為零。求得頻率：頻率方程和自振頻率：設(shè)各質(zhì)點(diǎn)按相同頻率和初相角作簡諧振動Y1 ，Y2是質(zhì)點(diǎn)位移幅值.（15-40）振動微分方程體系頻率的數(shù)目總等于其自

2、由度數(shù)目第3頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三主振型(normal mode shape)頻率方程：為一關(guān)于的二次方程。解出的兩個(gè)根：振型方程：其中：=1/2Y1 ，Y2不能全為零。不能有振型方程求出Y1 ，Y2的解，只能求出它們的比值。第一主振型 第二 主振型 頻率的數(shù)目總等于其自由度數(shù)目主振型是體系由此主振型慣性力幅值所引起的靜力位移。Y11Y21Y12Y22第4頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三例136 求簡支梁的自振 頻率和主振型。l/3l/3l/3解：1）求柔度系數(shù) P=1 P=1求得頻率：求得主振型：mm第5頁，共71頁，2022年，

3、5月20日，11點(diǎn)43分，星期三例136 求簡支梁的自振 頻率和主振型。l/3l/3l/3mml/3另解：如果結(jié)構(gòu)本身和質(zhì)量分布都是對稱的，則主振型不是對稱就是反對稱。故可取半邊結(jié)構(gòu)計(jì)算 ：1對稱情況：l/91反對稱情況：第6頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三例：求圖示體系對稱振動情況下的頻率。mmmEIEIEI3m3m3m3mm/2m 1210.5110.8750.25 1133第7頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三2111 Yij為正時(shí)表示質(zhì)量mi的運(yùn)動方向與計(jì)算柔度系數(shù)時(shí)置于其上的單位力方向相同，為負(fù)時(shí)，表示與單位力方向相反。本題結(jié)束驗(yàn)證正

4、交性第8頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三2、剛度法：（建立力的平衡方程）兩個(gè)自由度的體系y1(t)r2r1y2(t)y1(t)y2(t)r2r1r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2質(zhì)點(diǎn)動平衡方程:即:設(shè):特點(diǎn):1)兩質(zhì)點(diǎn)具有相同的頻率和相同的相位角. 2)兩質(zhì)點(diǎn)的位移在數(shù)值上隨時(shí)間變化,但兩者的比值始終保 持不變y1(t)/y2(t)=Y1/Y2=常數(shù). .結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動形式稱為主振型或振型.第9頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三y1(t)y2(t)r2r1乘 y1(t)k11k21乘 y2(t)k12k221

5、1r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2kij表示使j點(diǎn)產(chǎn)生單位位移(其它點(diǎn)位移=0)時(shí),在i點(diǎn)需施加的力(稱為剛度系數(shù)).第10頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三振型計(jì)算公式頻率計(jì)算公式頻率方程.振型方程為了得到Y(jié)1、Y2的非零解，應(yīng)使系數(shù)行列式=0展開是2的二次方程，解得2 兩個(gè)根為：可以證明這兩個(gè)根都是正根。與2相應(yīng)的第二振型：因?yàn)镈=0，兩個(gè)振型方程式線性相關(guān)的，不能求出振幅的值， 只能求出其比值 求與1相應(yīng)的第一振型： 第11頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三2 的兩個(gè)根均為實(shí)根；矩陣k為正定矩陣的充分必要條件是：它

6、的行列式的順序主子式全部大于零。故矩陣k為正定矩陣。k11k22-k12k2102 的兩個(gè)根均為正根；第12頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三與2相應(yīng)的第二振型：求與1相應(yīng)的第一振型：多自由度體系能夠按某個(gè)主振型自由振動的條件是：初始位移和初始速度應(yīng)當(dāng)與此主振型相對應(yīng)。幾點(diǎn)注意：（P26） 12必具有相反的符號。 多自由度體系自振頻率的個(gè)數(shù)= 其自由度數(shù)，自振頻率由特征方程求出。 每個(gè)自振頻率相應(yīng)一個(gè)主振型。主振型是多自由度體系能夠按單自由度體系振動時(shí)所具有的特定形式。 自振頻率和主振型是體系本身的固有特性。一般解： 在這種特定的初始條件下出現(xiàn)的振動，在數(shù)學(xué)上稱為微分方

7、程組的特解，其線性組合即一般解。第13頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三 0第14頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三例13-4：m2m1k2k1質(zhì)量集中在樓層上m1、m2 ，層間側(cè)移剛度為k1、k2k21k111解：求剛度系數(shù)：k11=k1+k2 , k21=k2 ,k22k121k22=k2 , k12=k21)當(dāng)m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w()()kmkmk02222=-ww 代入頻率方程：+第15頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三1)當(dāng)

8、m1=m2=m,k11=2k，k12=mkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w求振型：12k12111mkw-2111YY=1第一主振型：Y21=1.618Y11=1第一主振型12k12211mkw-2212YY=2第二主振型：Y22=0.618Y11=1第二主振型第16頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三 2)當(dāng)m1=nm2 , k1=nk2k11=（1+n）k2，k12=k2求頻率：求振型：如n=90時(shí)當(dāng)上部質(zhì)量和剛度很小時(shí)，頂部位移很大。（鞭梢效應(yīng)）第一振型：第二振型：特征方程：+第17頁，共71頁，2022年，5月20日，1

9、1點(diǎn)43分，星期三y1yiynri動平衡方程：riy1yiynri 應(yīng)滿足剛度方程kij是結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)，使點(diǎn)j產(chǎn)生單位位移（其它點(diǎn)位移為零）時(shí)在點(diǎn)i所需施加的力。.*13.5 一般多自由度的體系的自由振動第18頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三.或： 設(shè)解為： y=Ysin(t+)得振幅方程： ( K2 M )Y=0得頻率方程： K2 M0可求出個(gè)頻率與相應(yīng)的主振型向量由 ( K2 M )Y（）=0不過只能確定主振型的形狀，而不能唯一地確定它的振幅。標(biāo)準(zhǔn)化主振型：令Y1i=1，或最大元素=1等。.第19頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三例13-

10、5：質(zhì)量集中在樓層上，層間側(cè)移剛度如圖。k11=4k/3解：1）求剛度系數(shù)：m2mmkk21=-k/3k31=0k12=-k/3k22=8k/15k32=-k/51k13=0k23=-k/5k33=k/5 剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M：11第20頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三展開得：234222252250解得：1=1.293， 2=6.680， 3=13.0272）求頻率：代入頻率方程： K2 M03）求主振型：振型方程：（K2 M）Y0的后兩式： （令Y3i=1）（a）第21頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三10.5690.16311.2270

11、.92413.3422.76 Yij為正時(shí)表示質(zhì)量mi的運(yùn)動方向與單位位移方向相同，為負(fù)時(shí)，表示與單位位移方向相反。第22頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三利用剛度法的方程間接導(dǎo)出柔度法方程：由剛度法振幅方程： ( K2 M )Y=0前乘K1=后得： ( I 2 M )Y=0令=1/2 ( M I )Y=0得頻率方程： M I =0其展開式:是關(guān)于的n次代數(shù)方程,先求出i再求出頻率i將i代入 ( M i I )Y(i)=0可求出n個(gè)主振型. 可見剛度法、柔度法實(shí)質(zhì)上是相同的，可以互相導(dǎo)出。當(dāng)計(jì)算體系的柔度系數(shù)方便時(shí)用柔度法（如梁）；當(dāng)計(jì)算體系的剛度系數(shù)方便時(shí)用剛度法（如

12、橫梁剛度為無窮大的多層剛架）。第23頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三例13-5：質(zhì)量集中在樓層上，層間側(cè)移剛度如圖。=1/k11=解：1）求柔度系數(shù)：m2mmk 柔度矩陣和質(zhì)量矩陣M：P=12131P=132=422=4P=113=23=433=912=第24頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三展開得:解之: 1=11.601，2=2.246，3=1.151三個(gè)頻率為：3）求主振型： （令Y3i=1）將1代入振型方程： （ M 1I）Y0的前兩式： 2）求頻率：解得：同理可得第二、第三振型第25頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，

13、星期三m1m2Y11Y21m1m2Y12Y22主振型的位移幅值恰好為相應(yīng)慣性力幅值產(chǎn)生的靜力位移。對這兩種靜力平衡狀態(tài)應(yīng)用功的互等定理：因?yàn)椋?2主振型之間的第一正交關(guān)系一般說來，設(shè)ij 相應(yīng)的振型分別為：y（i）， y（j）由振幅方程： ( K2 M )Y=0得： K Y=2 M Y K Y（i）=2 M Y（i）Y（j）TK Y（i）=2i Y（j）T M Y（i） （a）K Y（j）=2 M Y（j）Y（i）TK Y（j）=2j Y（i）T M Y（j） （b）主振型的正交性(orthogonality of normal modes)第26頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)4

14、3分，星期三 Y（j）TKTY（i）=2jY（j）TMTY（i）Y（j）TK Y（i）=2i Y（j）T M Y（i） （a）Y（i）TK Y（j）=2j Y（i）T M Y（j） （b）（c）=（b）轉(zhuǎn)置（a）（c） 第一正交關(guān)系：相對于質(zhì)量矩陣(mass matrix)M來說，不同頻率相應(yīng)的主振型彼此是正交的; 第二正交關(guān)系：相對于剛度矩陣(stiffness matrix)K來說，不同頻率相應(yīng)的主振型彼此是正交的;如同一主振型定義：Mj廣義質(zhì)量Kj廣義剛度所以：由廣義剛度和廣義質(zhì)量求頻率的公式。是單自由度體系頻率公式的推廣。第27頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三

15、注：主振型的正交性是體系本身的固有特性，與外荷載無關(guān)。 利用正交性來檢查主振型是否正確、來判斷主振型的形 狀特征。 用Y（j）TM前乘位移按主振型分解,可將n個(gè)耦聯(lián)運(yùn)動方程化成 n個(gè)獨(dú)立的一元方程求解主振型正交性的物理意義：體系按某一主振型振動時(shí)， 在振動過程中，其慣性力不會在其它振型上作功。因此 它的能量便不會轉(zhuǎn)移到別的振型上去，從而激起其它振 型的振動。即各主振型可以單獨(dú)出現(xiàn)。利用正交關(guān)系確定位移展開公式中的系數(shù)。第28頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三例：圖示體系的剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M為：解：（1）演算第一正交性。m2mmk三個(gè)主振型分別如下，演算正交性。第29

16、頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三（2）演算第二正交性。同理：同理：返回第30頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三1、柔度法（忽略阻尼） 因?yàn)樵诤喼C荷載作用下，荷載頻率在共振區(qū)之外，阻尼影響很??；在共振區(qū)之內(nèi)時(shí)，計(jì)不計(jì)阻尼，雖對振幅影響很大，但都能反映共振現(xiàn)象。tPqsintPqsiny1y2.P（2）動位移的解答及討論通解包含兩部分：齊次解對應(yīng)按自振頻率振動的自由振動，由于阻尼而很快消失；特解對應(yīng)按荷載頻率振動的簡諧振動是平穩(wěn)階段的純強(qiáng)迫振動。 13.6 兩個(gè)自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動（1）建立振動微分方程各簡諧荷載頻率相同相位相同，否則用

17、其他方法第31頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三n各自由度體系，存在n個(gè)可能的共振點(diǎn)設(shè)純強(qiáng)迫振動解答為：代入：第32頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三（3）動內(nèi)力幅值的計(jì)算. 荷載、位移、慣性力同頻、同相、同時(shí)達(dá)到最大。位移達(dá)到最大時(shí)，內(nèi)力也達(dá)到最大。求內(nèi)力時(shí)可將動荷載和慣性力的幅值作為靜荷載作用于結(jié)構(gòu)，用靜力法求出內(nèi)力，即為動內(nèi)力幅值。或用疊加公式求：由Y1 ，Y2值可求得位移和慣性力。慣性力的幅值為：代入位移幅值方程可得求慣性力幅值的方程（直接求慣性力幅值）第33頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三tPqsinl/4l/

18、4l/2mmP1=1P2=1例：圖示簡支梁EI=常數(shù),=0.751求動位移幅值和動彎矩幅值。解：1)求柔度系數(shù)P2)作MP圖，求1P 2P第34頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三P1=1P2=1P5)計(jì)算動內(nèi)力I1=0.6808PPI2=0.6051P1.4119P1.4119P0.2689P0.8740PQd 圖1.4119P1.6808P0.6051P0.8740P0.3530Pl0.2180PlMd 圖6)比較動力系數(shù) 因此，多自由度體系沒有統(tǒng)一的動力系數(shù)。第35頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三2、剛度法y1(t)y2(t)在平穩(wěn)階段,各

19、質(zhì)點(diǎn)也作簡諧振動:Y1=D1/D0Y2=D2/D0求得位移幅值Y1、Y2 ,計(jì)算慣性力幅值I1=m12Y1 I2=m22Y2 。將慣性力幅值連同荷載幅值加在體系上，按靜力計(jì)算方法求得動內(nèi)力幅值。 .P1(t)P2(t)第36頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三求圖示剛架樓面處的側(cè)移幅值，慣性力幅值和柱底截面彎矩幅值。hPsintm EI=m EI=EIEIEIEIh1k11k211k12k22解：1）求剛度系數(shù)2)求位移幅值第37頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三3)求慣性力幅值0.10.075位移幅值P1.6P1.2P0.9P0.9PA第38頁，

20、共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三例13-9：m2m1k2k1質(zhì)量集中在樓層上m1、m2 ，層間側(cè)移剛度為k1、k2解：荷載幅值：P1=P，P2=0 ，求剛度系數(shù)：k11=k1+k2 , k21=k2 ,k22=k2 , k12=k2當(dāng)m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w第39頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.03.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移動力系數(shù)不同。當(dāng)

21、 趨于無窮大?？梢娫趦蓚€(gè)自由度體系中，在兩種情況下可能出現(xiàn)共振。也有例外情況。第40頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三l/3l/3l/3mmPsintPsint如圖示對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下。與2相應(yīng)的振型是12k2211mkw-2212YY=1當(dāng)=2 ，D0=0 ，也有：不會趨于無窮大，不發(fā)生共振，共振區(qū)只有一個(gè)。 對稱體系在對稱荷載作用下時(shí)， 只有當(dāng)荷載頻率與對稱主振型的自 振頻率相等時(shí)才發(fā)生共振；當(dāng)荷載 頻率與反對稱主振型的自振頻率相 等時(shí)不會發(fā)生共振。同理可知：對 稱體系在反對稱荷載作用下時(shí)，只 有當(dāng)荷載頻率與反對稱主振型的自 振頻率相等時(shí)才發(fā)生共振。 第41頁

22、，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三kkPyst1yst2=P/k荷載幅值產(chǎn)生的靜位移和靜內(nèi)力yst1= yst2=P/k層間剪力: Qst1= P 動荷載產(chǎn)生的位移幅值和內(nèi)力幅值2mY22mY1由此可見，在多自由度體系中，沒有一個(gè)統(tǒng)一的動力系數(shù)。層間動剪力:第42頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三例13-9：m2m1k2k1質(zhì)量集中在樓層上m1、m2 ，層間側(cè)移剛度為k1、k2k11=k1+k2 , k21=k2 ,k22=k2 , k12=k2m1k1m2k2這說明在圖a結(jié)構(gòu)上，適當(dāng)加以m2、k2系統(tǒng)可以消除m1的振動（動力吸振器原理）。 吸振器

23、不能盲目設(shè)置，必須在干擾力使體系產(chǎn)生較大振動時(shí)才有必要設(shè)置。第43頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三 例：如圖示梁中點(diǎn)放一點(diǎn)動機(jī)。重2500N，電動機(jī)使梁中點(diǎn)產(chǎn)生的靜位移為1cm，轉(zhuǎn)速為300r/min，產(chǎn)生的動荷載幅值P=1kN問：1）應(yīng)加動力吸振器嗎？2）設(shè)計(jì)吸振器。(許可位移為1cm)Psint解：1）頻率比在共振區(qū)之內(nèi)應(yīng)設(shè)置吸振器。2）k2m2第44頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三對于n個(gè)自由度體系強(qiáng)迫振動方程Pn(t)Pi(t)P1(t)y1yiyn如果荷載時(shí)簡諧荷載則在平穩(wěn)階段,各質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動.振幅方程:如系數(shù)矩陣的行列式可解得振

24、幅Y如系數(shù)矩陣的行列式D0=0(=i)解得振幅Y=無窮大對于具有n個(gè)自由度的體系,在n種情況下都可能出現(xiàn)共振.第45頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三例:質(zhì)量集中在樓層上，層間側(cè)移剛度如圖。F(t)=100sin20.96t解：1、求剛度系數(shù)： 剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M：m2=270tm1=315tm3=180tk1=245MN/mk2=196MN/mk2=98MN/mF(t)負(fù)號表示干擾力向右達(dá)到幅值時(shí)，位移向左達(dá)到幅值.2、各層柱的剪力幅值第46頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三1003、各層柱的剪力幅值各樓層的慣性力幅值：負(fù)號表示干擾力向右達(dá)

25、到幅值時(shí)，位移向左達(dá)到幅值.89.187 26.045 19.751 Q3=89.187kNQ2=89.187 26.045+100= 15.232kN Q1=89.187 26.045 19.751 +100= 34.983kN 另外,剪力也可又側(cè)移剛度來求:kN/mm 慣性力與位移同時(shí)達(dá)到幅值。荷載與位移無阻尼時(shí)同時(shí)達(dá)到幅值。由于結(jié)構(gòu)的彈性內(nèi)力與位移成正比，所以位移達(dá)到幅值，內(nèi)力也達(dá)到幅值。將位移達(dá)到幅值時(shí)刻的荷載值和慣性力值加在結(jié)構(gòu)上，按一般靜力學(xué)方法求解。第47頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三用Y（j）TM前乘正則坐標(biāo)i是將實(shí)際位移按主振型分解時(shí)的系數(shù)。（1）

26、正則坐標(biāo)任意一個(gè)位移向量y都可按主振型展開： 第一正交關(guān)系： 第二正交關(guān)系：如同一主振型定義：Mj廣義質(zhì)量Kj廣義剛度所以：由廣義剛度和廣義質(zhì)量求頻率的公式。是單自由度體系頻率公式的推廣。*13.7 多自由度體系在任意荷載作用下的受迫振動振型分解法第48頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三（2）主振型矩陣它的轉(zhuǎn)置主振型的正交性第49頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三廣義質(zhì)量矩陣是對角矩陣。同樣廣義剛度矩陣是對角矩陣。 主振型矩陣的性質(zhì)：當(dāng)M、K為非對角矩陣時(shí)，如果前乘以YT、后乘以Y，這可以使它們轉(zhuǎn)換為對角矩陣M*、K*。利用主振型的這一性質(zhì)，可將

27、多自由度體系的振動方程變?yōu)楹唵涡问?。?0頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三（3）振型分解法.進(jìn)行正則坐標(biāo)變換，使方程組解耦。.2第51頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三 任何彈性體系都屬于無限自由度體系。常簡化為有限自由度體系，得出近似結(jié)構(gòu)，以解決實(shí)際問題。 按無限自由度體系進(jìn)行分析可以了解近似算法的應(yīng)用范圍和精確程度。另外對某類結(jié)構(gòu)（如等截面直桿）也有其方便之處。 在無限自由度體系的動力計(jì)算中，各質(zhì)點(diǎn)的動力位移（內(nèi)力）將是截面位置坐標(biāo)x、時(shí)間t兩個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù)。其運(yùn)動方程是偏微分方程。撓曲線微分方程自由振動時(shí)梁上荷載只有慣性力：等截面梁彎曲

28、時(shí)的自由振動微分方程即為：設(shè)曲線形狀位移幅值隨時(shí)間的變換規(guī)律振動曲線的形狀不變，只是幅度在變?；颍?2.13-8 無限自由度體系的自由振動第52頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三.（a）式的通解:的解為：振福頻率為了求的頻率和振幅，研究（b）的解。由邊界條件寫出含C1C4 的四個(gè)奇次方程。為了求得非零解，要求方程的系數(shù)行列式為零。得到確定的特征方程，求出,再求頻率n（n=1，2，），對于每一個(gè)頻率，可求出C1C4的一組比值，得到相應(yīng)的主振型Yn（x），是微分方程（17-77）的一個(gè)特解。全解為各特解的線性組合：其中待定常數(shù)an和n應(yīng)由初始條件確定。=2.第53頁，共71

29、頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三(不振)例13-19試求等截面簡支梁的自振頻率和主振型。 lyx左端 x=0 彎矩=0，位移=0C1+C3=0C1C3=0C1=C3=0解：左端 x=l 彎矩=0，位移=0系數(shù)行列式等于零動態(tài)振性第54頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三1、能量法求第一頻率Rayleigh法 此外，根據(jù)簡諧振動的特點(diǎn)可知：在體系通過靜力平衡位置的瞬間，速度最大（動能具有最大值），動位移為零（應(yīng)變能為零）；當(dāng)體系達(dá)到最大振幅的瞬間（變形能最大），速度為零（動能為零）。對這兩個(gè)特定時(shí)刻，根據(jù)能量守恒定律得： Umax=Tmax 求Umax ，T

30、max 求頻率 如梁上還有中質(zhì)量mi Yi是集中質(zhì)量mi處的位移幅值位移幅值.13-9 近似法求自振頻率振動過程 根據(jù)能量守恒和轉(zhuǎn)化定律，當(dāng)不考慮阻尼自由振動時(shí)，振動體系在任何時(shí)刻的動能T 和應(yīng)變能U之和應(yīng)等于常數(shù)。第55頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三設(shè)位移幅值函數(shù)Y(x)必須注意以下幾點(diǎn)：1、必須滿足運(yùn)動邊界條件: （鉸支端：Y=0；固定端： Y=0，Y=0） 盡量滿足彎矩邊界條件，以減小誤差。剪力邊界條件可不計(jì)。2、所設(shè)位移幅值函數(shù)應(yīng)與實(shí)際振型形狀大致接近；如正好與第 n 主振型相似，則可求的n的準(zhǔn)確解。但主振型通常是未知 的，只能假定一近似的振型曲線，得到頻率

31、的近似值。由于 假定高頻率的振型困難，計(jì)算高頻率誤差較大。故 Rayleigh 法主要用于求1的近似解。3、相應(yīng)于第一頻率所設(shè)的振型曲線，應(yīng)當(dāng)是結(jié)構(gòu)比較容易出現(xiàn) 的變形形式。曲率小，拐點(diǎn)少。3、通?？扇〗Y(jié)構(gòu)在某個(gè)靜荷載q（x） （如自重）作用下的彈 性曲線作為Y（x）的近似表達(dá)式。此時(shí)應(yīng)變能可用相應(yīng)荷 載q（x）所作的功來代替，即第56頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三2）假設(shè)均布荷載q作用下的撓度曲線作為Y(x).例13-20 試求等截面簡支梁的第一頻率。1）假設(shè)位移形狀函數(shù)為拋物線，lyx滿足邊條且與第一振型相近3）假設(shè).正是第一振型的精確解。精確解第57頁，共71

32、頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三xh0l例13-21 求楔形懸臂梁的自振頻率。設(shè)梁截面寬度為，高 度h=h0 x/l。解：設(shè)位移形狀函數(shù)滿足：Rayleigh法所得頻率的近似解總是比精確解偏高。其原因是假設(shè)了一振型曲線代替實(shí)際振型曲線，就是迫使梁按照這種假設(shè)的形狀振動，這就相當(dāng)于給梁加上了某種約束，增大了梁的剛度，致使頻率偏高。當(dāng)所設(shè)振型越接近于真實(shí)，則相當(dāng)于對體系施加的約束越小，求得的頻率越接近于真實(shí)，即偏高量越小。第58頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三 1、假設(shè)多個(gè)近似振型都滿足前述兩個(gè)條件。2、將它們線性組合 3、確定待定常數(shù)的準(zhǔn)則是：獲得最佳的

33、線性組合，這樣的Y（x）代入（17-85）得到的2 的值雖仍比精確解偏高，但對所有的a1，a2，an的可能組合，確實(shí)獲得了最小的2值。當(dāng)所選的a1，a2，an使2 獲得最小的值的條件是這是以a1，a2，an為未知量的n個(gè)奇次線性代數(shù)方程。零其系數(shù)行列式等于零，得到頻率方程，可以解出原體系最低 n 階頻率來。階次越低往往越準(zhǔn)。 為了使假設(shè)的振型盡可能的接近真實(shí)振型，盡可能減小假設(shè)振型對體系所附加的約束， Ritz提出的改進(jìn)方法： 第59頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三2w2w2w2w2w第60頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三例13-14 用RayleighRitz法求等截面懸臂梁的最初幾個(gè)頻率。xl解：懸臂梁的位移邊界條件為：只取第一項(xiàng)代入：代入頻率方程：其精確解:與精確解相比,誤差為27%。第61頁，共71頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)43分，星期三例13-14 用RayleighRitz法求等截面懸臂梁的最初幾個(gè)頻率。xl解：取兩項(xiàng)代入：代入頻率方程：求得kij，mij：求得最初兩個(gè)頻率近似值：（0.48%）（58%）說明說