高職應(yīng)用數(shù)學(xué)第一節(jié)定積分的概念課件

1、授課建議 1、根據(jù)中學(xué)所學(xué)的情況，不定積分、定積分的概念與性質(zhì)、直接積分法，可作簡單的復(fù)習(xí)介紹；2、重點(diǎn)介紹第一換元法、第二換元法、定積分的換元法、分部積分法、有理式的積分、廣義積分；3、歸納總結(jié)積分方法.建議授課時(shí)數(shù)：約12學(xué)時(shí)第四章 積分學(xué)授課建議 1、根據(jù)中學(xué)所學(xué)的情況，不定積分、定積分的概我們稱一邊在坐標(biāo)軸上，兩邊垂直于該邊，第四邊為曲邊的四邊形（如下圖）為曲邊梯形.第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)一.定積分的概念1.曲邊梯形的面積我們稱一邊在坐標(biāo)軸上，兩邊垂直于該邊，第四邊為曲邊的四邊曲邊梯形面積的求法：(1)分割：用n-1個(gè)分點(diǎn)把閉區(qū)間 分成n個(gè)小閉區(qū)間每一個(gè)小區(qū)間的長度為 ， ， ，

2、，相應(yīng)的曲邊梯形被分割成 個(gè)小曲邊梯形.曲邊梯形面積的求法：(1)分割：用n-1個(gè)分點(diǎn)把閉區(qū)間 (2)近似：在每一個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn) ，用小矩形面積 近似代替第k個(gè)小曲邊梯形面積， 作和式，即得到曲邊梯形面積的近似值，即 (3)取極限：令小區(qū)間長度的最大值趨于零（即 ），取極限，得曲邊梯形的面積(2)近似：在每一個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn) ，用小矩形面積假設(shè)函數(shù)在 在閉區(qū)間 上連續(xù)，當(dāng)和式極 在閉區(qū)間 上的定積分(簡稱為積分). 記作 即其中 稱為積分變量， 與 分別稱為積分的下限與上限，函數(shù) 稱為被積函數(shù)，區(qū)間 稱為積分區(qū)間， 稱為積分號(hào).定義4.1.1 存在時(shí)，則稱極限值為函數(shù)限2.定積分的定義假

3、設(shè)函數(shù)在 在閉區(qū)間 上連續(xù)，當(dāng)和式例4.1.1（阿基米德問題） .解 把 n等分，則 ；取 ，那么 ；因此例4.1.1（阿基米德問題） .解 把 定積分 的幾何意義為： 由 曲線 ，直線 及x軸所圍成圖形的各部分面積的代數(shù)和 定積分 的幾何意義為： (1) ， ； （簡單性質(zhì)）;(2) （和差性質(zhì)）;(3) （c為常數(shù)）3.定積分的定義基本性質(zhì)(數(shù)乘性質(zhì)）;(1) ， (4) ； （分段性質(zhì)）(5)若在區(qū)間 上有 ，則有 ； （可比性質(zhì)）(4) 例4.1.3 比較定積分 的大小.解 在區(qū)間1，2上， ，由性質(zhì)（5）知（6）設(shè)M和m分別是f(x) 在a,b上的最大值和最小值，則有（最值性質(zhì)）例4

4、.1.3 比較定積分 例4.1.4 估計(jì) 的值.解 令 = ，求導(dǎo)得 .令 ，得 .所以 .例4.1.4 估計(jì) 的值.解 令(7) 若 在區(qū)間 上連續(xù)，那么在區(qū)間 上至少存在一點(diǎn) 使 . （中值性質(zhì)）(7) 若 在區(qū)間 上連續(xù)，那么在區(qū)間 1. 原函數(shù)與不定積分定義4.1.2 在開區(qū)間I內(nèi)，若可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為, 即 ，則稱函數(shù) 為函數(shù) 的一個(gè)原函數(shù).定義4.1.3 函數(shù) 為函數(shù) 的一個(gè)原函數(shù),則稱表示式 為 的不定積分記為 . （C為任意的常數(shù)）.其中稱為積分變量，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，C稱為積分常數(shù)，“ ”稱為積分號(hào).二. 牛頓-萊布尼茲公式即1. 原函數(shù)與不定積分定義4.1.2

5、在開區(qū)間I內(nèi)，若例4.1.5 求解 ， 的一個(gè)原函數(shù).則 +C表示了函數(shù) 所有的原函數(shù)， +C是 的不定積分. 即 +C.例4.1.5 求解 ， 注意：(1)原函數(shù)、所有原函數(shù)表示式、不定積分三個(gè)概念之間的關(guān)系.(2)求不定積分 ，歸結(jié)為求出它的一個(gè)原函數(shù)，再加上一個(gè)任意常數(shù)C，切記要“+C”，否則，求出的只是一個(gè)原函數(shù)而不是不定積分.(3)可以用求導(dǎo)的方法驗(yàn)證所求不定積分是否正確.(4)若 = ， = ，則有 .從而有 即同一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)間僅差一個(gè)常數(shù).注意：(1)原函數(shù)、所有原函數(shù)表示式、不定積分三個(gè)概念之2. 牛頓-萊布尼茲公式這就是牛頓萊布尼茲公式，由牛頓與萊布尼茲兩位數(shù)學(xué)家而得名。注意:計(jì)算定積分 ，實(shí)際上只要求得一個(gè)原函數(shù) ，即可轉(zhuǎn)化為求 的函數(shù)值的求法問題. 若 是有限區(qū)間 上連續(xù)函數(shù) 的一個(gè)原函數(shù),則有2. 牛頓-萊布尼茲公式這就是牛頓萊布尼茲公式，由牛頓例4.1.7求 (即阿基米德的面積問題) .解 ， ， ，