解三角形知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、文檔編碼 : CB10I4X3Y1B3 HL8Z7O10V8N1 ZX10P4V10R1Y1第一章解三角形一. 正弦定理：1. 正弦定理： 在一個(gè)三角形中, 各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等,并且都等于外接圓的直徑,即 a b c2 R（其中 R是三角形外接圓的半徑）sin A sin B sin C2. 變形： 1）a b c a b csin sin sin C sin sin sin C2）化邊為角：a : b : c sin A : sin B : sin C；a sin A b sin B a sin A; ; ;b sin B c sin C c sin C 3 ）化邊為角：a 2 R

2、 sin A , b 2 R sin B , c 2 R sin C 4 ）化角為邊：sin A a ; sin B b; sin A a;sin B b sin C c sin C c 5）化角為邊：sin A a, sin B b, sin C c2 R 2 R 2 R3. 利用正弦定理可以解決以下兩類三角形的問題：已知兩個(gè)角及任意邊,求其他兩邊和另一角；例：已知角 B,C,a ,解法：由 A+B+C=180 o ,求角 A,由正弦定理 a sin A ; b sinb sin B c sinb 與 c已知兩邊和其中邊的對(duì)角,求其他兩個(gè)角及另一邊；B;asinA;求出CcsinC例：已知邊

3、 a,b,A, 弦定理解法：由正弦定理asinA求出角 B,由 A+B+C=180 o 求出角 C,再使用正bsinBasinA求出 c 邊csinC4. ABC中,已知銳角 A,邊 b,就absinA時(shí),B無解；b bsinAabsinA或ab時(shí), B有一個(gè)解；bsinAab時(shí),B有兩個(gè)解；A 如：已知A60,a2,b23, 求 B 有一個(gè)解 已知A60,b2,a23, 求 B 有兩個(gè)解 留意：由正弦定理求角時(shí),留意解的個(gè)數(shù)；二. 三角形面積1.S ABC1absinC1bcsinA1acsinBc, 2222. S ABC1abcr, 其中 r 是三角形內(nèi)切圓半徑 . 23. S ABCp

4、pa pb pc, 其中p1ab24. S ABCabc,R 為外接圓半徑4R5.S ABC2R2sinAsinBsinC,R 為外接圓半徑三. 余弦定理 1. 余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2 倍,即accosB1a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC2. 變形：cosAb2c2a22bccosBa2c2b22accosCa2b2c22ab留意整體代入,如：a2c2b223利用余弦定理判定三角形形狀：、 C 的對(duì)邊,就：設(shè) a 、 b 、 c是C 的角、如,所以為銳角如c2b2a2A為直角如為鈍,角

5、所以,就是鈍角三角形4. 利用余弦定理可以解決以下兩類三角形的問題：1）已知三邊,求三個(gè)角2）已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個(gè)角四、應(yīng)用題1. 已知兩角和一邊（如 A、B、C）,由 A+B+C= 求 C,由正弦定理求 a、b2. 已知兩邊和夾角（如 a、b、c）,應(yīng)用余弦定理求 c 邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角,然后利用 A+B+C = ,求另一角3. 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如 a、b、A）,應(yīng)用正弦定理求 B,由 A+B+C= 求C,再由正弦定理或余弦定理求 c 邊,要留意解可能有多種情形4. 已知三邊 a、b、c,應(yīng)用余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = ,求角 C

6、5. 方向角一般是指以觀測(cè)者的位置為中心,旋轉(zhuǎn)到目將正北或正南方向作為起始方向標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角） ,通常表達(dá)成 . 正北或正南,北偏東 度,北偏西 度,南偏東 度,南偏西 度 . 6. 俯角和仰角的概念：在視線與水平線所成的角中, 視線在水平線上方的角叫仰角 , 視線在水平線下方的角叫俯角. 視線鉛 直仰角線 水平線俯角視線五、三角形中常見的結(jié)論 1）三角形三角關(guān)系： A+B+C=180 ； C=180 A+B；2）三角形三邊關(guān)系：兩 邊 之 和 大 于 第 三 邊 ：,；兩 邊 之 差 小 于 第 三 邊 ：,；3）在同一個(gè)三角形中大邊對(duì)大角：,ABBabCsinAsinB 4 三角形內(nèi)的誘導(dǎo)公式：tanAtan,sinABsinC cosABcosCtanA2Btan2Csin2C 2C 2cos C2sin C2 2cos25 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1sin sin cos cos sin . 2coscos cos .sin sin . 3tantan tan 1.tan tan . 6 二倍角的正弦、余弦、正切公式1sin 2 2sin cos . 2 . 2cos 2 cos2 sin2 2cos2 112sin3sin21cos2;2 cos1cos2224tan 2 2tan 1tan 2