人教版七年級數(shù)學上冊第四章42《直線射線線段》例題與講解

1、4.2直線、射線、線段1直線看法：直線是最簡單、最基本的幾何圖形之一，是一個不作定義的原始的看法，直線常用“一根拉得很緊的細線”，“一張紙的折痕”等實質(zhì)事物進行描述特點：直線向兩方無量延伸，不能胸襟，沒有粗細；并且同一平面內(nèi)的兩條訂交直線只有一個交點直線的基本性質(zhì)：經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線即“兩點確定一條直線”(4)直線的兩種表示法：一是用一個小寫字母表示：如直線a，b，c或直線是用直線上兩個點的大寫字母表示，如：直線AB或直線BA.如圖：表示為直線l的字母地址能夠交換)l等另一個或直線AB(點直線與點的地址關系：一是點在直線上，也叫做直線經(jīng)過這點；另一種是點在直線外，也叫做直線不

2、經(jīng)過這個點【例11】下面幾種表示直線的寫法中，錯誤的選項是(A直線aB直線MaC直線MND直線MO解析：直線的表示法有兩種，一種是用一個小寫字母表示，大寫字母表示，所以直線Ma這類表示法不正確，應選B.答案：B)另一種是用直線上兩個點的【例12】如圖，以下說法錯誤的選項是()A點C點A在直線B在直線m上l上B點A在直線l上D直線m不經(jīng)過B點解析：點與直線有兩種地址關系，一是點在直線上，也稱作直線過這點，另一種是點在直線外所以C錯誤答案：C2射線定義：直線上一點和它一旁的部分，叫做射線它是直線的一部分如圖就是一條射線，其中O是射線的端點表示法：同直線同樣，射線也有兩種表示方法，一種是用一個小寫字

3、母表示：如射線a，b，c或射線l等，另一個是用射線上兩個點的大寫字母表示，其中前面的字母表示的點必定是端點如圖：表示為射線l或射線OA.(3)特點：射線只有1個端點，向一方無量延伸，所以不能胸襟【例21】如圖，若射線AB上有一點C，以下與射線AB是同一條射線的是()A射線BAB射線ACC射線BCD射線CB解析：端點同樣，在同一條直線上，且方向一致，就是同一條射線，所以B正確答案：B3線段(1)定義：直線上兩點和它們之間的部分，叫做線段它是直線的一部分(2)特點：有兩個端點，不能夠向兩方無量延伸，所以它有長度，有大小(3)表示法：同直線同樣，線段也有兩種表示法，一種是用一個小寫字母表示，如線段a

4、，b，c.另一種是用線段兩個端點的大寫字母表示如圖：能夠表示為：線段AB或線段BA，或線段a.線段的基本性質(zhì)：兩點的所有連線中，線段最短，簡單的說成：“兩點之間，線段最短”意義：采用最短路線的原則和依照(5)兩點間的距離：連接兩點的線段的長度，叫做這兩點間的距離破疑點線段的表示表示線段的兩端點的字母能夠交換，如線段AB也是線段BA，但端點字母不一樣線段就不同樣【例3】如圖有幾條直線？幾條射線？幾條線段？并寫出解析：直線主要看有幾條線向兩方無量延伸，圖中只有一條；射線主要看端點，再看延伸方向，3個端點，所以有6條，線段主若是看端點，3個端點，所以有3條解：有一條直線AB(或AC，AD，AE，BE

5、，BD，CD，)；射線有6條：CA，CB，DA，DB，EA，EB.線段有3條：CD，CE，DE.4.線段的畫法(1)畫一條線段等于已知線段畫法：測量法：用刻度尺先量出已知線段的長度，畫一條等于這個長度的線段；尺規(guī)法：如圖：畫一條射線AB，在這條射線上截取(用圓規(guī))ACa.(2)畫線段的和差測量法：量出每一條線段的長度，求出它們的和差，畫一條線段等于計算結(jié)果的長度如：已知線段a，b(ab)，畫線段ABab，就是計算出ab的長度，畫出線段AB等于ab的長度即可尺規(guī)法：如圖，已知線段a，b，畫一條線段，使它等于畫法：如圖，畫一條射線AB，在這條射線上連續(xù)截取再以A為一個端點，截取AD=a，那么DC=

6、2ba.2ba.(用圓規(guī))AC=2b，【例4】如圖，已知線段a，b，c，畫一條線段，使它等于abc(用尺規(guī)法)畫法：如圖，畫射線(直線也可)AB，在射線AB上分別截取ACa，CDb.以D為一個端點在AD上截取DEc，線段AE即為所求5線段的比較(1)測量法：就是用刻度尺測量出兩條線段的長度，再比較它們的大小(2)疊合法：把兩條線段的一端對齊，放在一起進行比較如圖：若C點落在線段AB內(nèi)，那么ABAC；若C點落在線段AB的一個端點上，那么ABAC；若C點落在線段AB外(正確的說是AB的延伸線上)，那么ABAC.談重點線段的比較用疊合法比較兩條線段的大小，一端必然要對齊，看另一個端點的落點，測量法要

7、注意單位的一致【例5】已知：如圖，完成以下填空：圖中的線段有_、_、_、_、_、_共六條(2)AB_；AD_；CB_.(3)ACAB_；CDAD_BC_；(4)AB_.注意(4)題有兩種可能解析：依照圖形和線段間的和差關系填空，答案：(1)ACADABCDCBDB(2)ACCDDBACCDCDDB(3)CBACDB(4)ADDB或ACCB6線段中點、線段均分點(1)定義：點M把線段AB分成相等的兩條線段AM與MB，點M叫做線段AB的中點(2)拓展：把一條線段分成相等的三條線段的點叫做這條線段的三均分點.(3)等量關系：在上圖中：1AMBM2AB；2AM2BMAB.【例6】如圖，點C是線段AB的

8、中點(1)若AB6cm，則AC_cm.(2)若AC6cm，則AB_cm.1解析：若AB6cm，那么AC2AB3(cm)若AC6cm，那么AB2AC2612(cm)答案：3127關于延伸線的認識延伸線是重要的，也是應用很多的幾何術語，是初學者最易錯，最不好理解的地方，下面介紹幾種關于延伸線的術語：如圖(1)延伸線段AB，就是由A往B的方向延伸，并且延伸線一般在作圖中都用虛線表示；如圖(2)叫做反向延伸線段AB，就是由B向A的方向延伸；如圖(3)延伸AB到C，就是到C不再延伸；如圖(4)延伸AB到C，使ABBC；如圖(5)點C在AB的延伸線上等幾種常有的錯誤，延伸射線AB或延伸直線AB，都是錯誤的

9、，圖(6)中只能反向延伸射線AB.【例71】若AC1AB，那么點C與AB的地址關系為()2A點C在AB上B點C在AB外C點C在AB延伸線上D無法確定答案：D【例72】畫線段AB5cm，延伸AB至C，使AC2AB，反向延伸AB至E，使AE1CE，再計算：3(1)線段AC的長；(2)線段AE，BE的長解析：按要求畫圖由畫圖過程可知：AC2AB，且C在AB的延伸線上，所以ABBC1AC，E在ABAE1CE，所以ABBCAE5cm.2的反向延伸線上，且3解：如圖：(1)由于AC2AB，所以BCAB5cm，所以ACABBC5510(cm)1(2)由于AE3CE，所以AEABBC5cm，8.線段的計數(shù)公式

10、及應用一條直線上有n個點，怎樣不重復不遺漏地數(shù)出該直線上分布著多少條線段呢？以以下列圖為例：為防備重復，我們一般能夠按以下方法來數(shù)線段的條數(shù)：即AAB，AC，AD，BBC，BD，CCD，線段總數(shù)為3216，若是更多的點，由以A為極點的線段的條數(shù)能夠看出，每個點除了自己以外，和其他任何一個點都能組成一條線段，所以當有n個點時，以A為極點的線段就有(n1)條，同樣以B為極點的線段也有(n1)條，所以n個極點共有n(n1)條線段；但由A到B獲取的線段AB和由B到A獲取的線段BA是同一條，而每條線段的數(shù)法都是這樣，這樣關于每一條線段都數(shù)了2次，所以除以2就是所得線段的實質(zhì)條數(shù)，即當一條直線上有n個點時

11、，線段的總條數(shù)就等于12n(n1)【例81】從秦皇島開往A市的特快列車，途中要?？績蓚€站點，若是任意兩站之間的票價都不同樣，那么有多少種不一樣的票價？有多少種車票？解析：這個問題相當于一條直線上有4個點，求這條直線上有多少條線段由于任意兩站之間的票價都不同樣，所以有多少條線段就有多少種票價，依照公式我們很快能夠得出有6種不一樣的票價，由于任意兩站往返的車票不同樣，所以，從秦皇島到達目的地有12種車票解：當n4時，有n(n1)4(41)6(種)不一樣的票價22車票有6212(種)答：有6種不一樣的票價，有12種車票【例82】在1,2,3，100這100個不一樣的自然數(shù)中任選兩個求和，則不一樣的結(jié)

12、果有多少種？解析：本題初看憂如和線段條數(shù)的計數(shù)規(guī)律沒關，但事實上，若把每個數(shù)都看作直線上的點，而把這兩個數(shù)求和獲取的結(jié)果看作是1條線段，則其中的道理就和直線上線段的計數(shù)規(guī)律是完好一致的，所以解法同樣，直接代入公式計算即可求出結(jié)果解：不一樣的結(jié)果共有：1n(n1)1100(1001)4950(種)22答：共有4950種不一樣的結(jié)果9.與線段有關的計算和線段有關的計算主要分為以下三種狀況：(1)線段的和差及有關計算，一般比較簡單，依照線段間的和差由已知線段求未知線段有關線段中點和幾均分點的計算，是本節(jié)的重點，其中以中點運用最多，這也是用數(shù)學推理的方式進行運算的開始綜合性的運算，既有線段的和差，也有

13、線段的中點，綜合運用和差倍分關系求未知線段解技巧線段的計算有關線段的計算都是由已知，經(jīng)過和差或中點進行轉(zhuǎn)變，求未知的過程，所以要結(jié)合圖形，解析各段關系，找出它們的聯(lián)系，經(jīng)過加減倍分的運算解決【例91】如圖，線段AB8cm，點C是AB的中點，點D在CB上且DB1.5cm，求線段CD的長度解析：依照中點關系求出CB，再依照CDCBDB求出CD.11，CDCBDB41.52.5(cm)解：CBAB84(cm)22答：線段CD的長度為2.5cm.【例92】以下列圖，線段AB4，點O是線段AB上一點，C，D分別是線段OA，OB的中點，求線段CD的長解：由于C，D分別是線段OA，OB的中點，1111142

14、.所以OCOA，OD2OB，所以CD(OAOB)AB2222答：線段CD的長為2.10直線訂交時的交點數(shù)兩條直線訂交有1個交點，三條直線兩兩訂交最多有3個交點，那么n條直線兩兩訂交最多有多少個交點？下面以5條直線兩兩訂交最多有多少個交點為例研究：如圖，當有5條直線時，每條直線上有4個交點，共計有(51)5個交點，但圖中交點A，既在直線e上也在直線a上，所以多算了一次，其他交點也是這樣，所以實質(zhì)交點數(shù)是(51)5210個，同樣的道理，當有n條直線時，在沒有共同交點的狀況下，每條直線上有(n1)個交點，共有n條直線，交點總數(shù)就是n(n1)個，但由于每一個點都數(shù)了兩次，所以交點總數(shù)是12n(n1)個

15、【例101】三條直線a，b，c兩兩訂交，有_個交點()A1B2C3D1或3解析：三條直線a，b，c兩兩訂交的狀況有兩種，如圖答案：D【例102】同一平面內(nèi)的12條直線兩兩訂交，(1)最多能夠有多少個交點？(2)可否存在最多交點個數(shù)為10的狀況？解析：(1)將n12代入1n(n1)中求出交點個數(shù)(2)交點個數(shù)為10，也就是1n(n1)2210，即n(n1)20，沒有兩個相鄰整數(shù)的積是20，所以不存在最多交點個數(shù)是10的情況解：(1)12條直線兩兩訂交，最多能夠有：1n(n1)112(121)66(個)交點22(2)不存在最多交點個數(shù)為10的狀況11.最短路線選擇“兩點之間，線段最短”是線段的一條

16、重要性質(zhì)，運用這個性質(zhì)，能夠解決一些最短路線選擇問題這類問題一般分兩類：一類是選擇路線，選擇從A到B的最短路線，連接AB所獲取的線段就是；另一類是選擇一個點，使這個點到A，B的距離之和最小，依照“兩點之間，線段最短”這條線段上的任一點到A到B的距離之和都等于這條線段的長度，所以這條線段上的任一點都吻合要求但這類問題經(jīng)常還有附加條件，如：這點還要在某條公路上，某條河上等，所以要滿足所有條件解技巧求最短路線關于第一類問題，只要將A，B放到同一個平面上，連接AB即可獲取所需線路關于第二類問題，連接AB，它們的交點一般就是所求的點【例11】如圖(1)，一只壁虎要從圓柱體A點沿著表面盡可能快的爬到B點，由于B點處有它要吃的一只蚊子，