蘇教版數(shù)學(xué)高一蘇教版必修33.4互斥事件及其發(fā)生的概率

1、7.4互斥事件及其發(fā)生的概率名師導(dǎo)航三點剖析一、互斥事件1互斥事件的定義：不能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件例如，在一個盒子里放有大小相同的10個小球，其中有7個紅球，2個綠球，1個黃球.從盒中摸出1個小球得到的結(jié)果可能是紅球，也可能是綠球或黃球，并且只能是其中一種情況.我們把“從盒中摸出1個小球，得到紅球”叫做事件A，“從盒中摸出1個小球，得到綠球”叫做事件B，“從盒中摸出1個小球，得到黃球”叫做事件C，那么這里的事件A、事件B、事件C中的任何兩個是不可能同時發(fā)生的.事件A與事件B、事件B與事件C都是互斥事件.從集合的角度來看，事件A與事件B是互斥事件，則事件A所包含的基本事件構(gòu)成的集合與事

2、件B所包含的基本事件構(gòu)成的集合的交集是空集.2互斥事件有一個發(fā)生的概率設(shè)A、B為互斥事件，當事件A、B有一個發(fā)生時，我們把這個事件記作A+B事件A+B發(fā)生的概率等于事件A、B分別發(fā)生的概率的和,即P（A+B）=P（A）+P（B），此公式也稱概率和公式. 例如上例中“從盒中摸出1個小球，得到紅球”叫做事件A，則P（A）=0.7；“從盒中摸出1個小球，得到綠球”叫做事件B，則P（B）=0.2若記“從盒中摸出1個小球，得到紅球或綠球”為事件D，則D=A+B，此時P（D）= P（A） +P（B）=0.7+0.2=0.9.3一般地，如果事件A1，A2，An中的任何兩個都是互斥事件，就說事件A1，A2，A

3、n彼此互斥.從集合的角度看，幾個事件彼此互斥是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此沒有公共元素，即兩兩交集都是空集.一般地，如果事件A1，A2，An兩兩互斥，則P（A1+A2+An）=P（A1）+P（A2）+P（An）.二、對立事件對立事件的定義：兩個互斥事件必有一個發(fā)生，則稱這兩個事件為對立事件.事件A的對立事件記為A從集合的角度看，由事件A的對立事件A所含的結(jié)果組成的集合是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集.此時，事件A和它對立事件的交集為空集，而并集為全集.若對立事件A與必有一個發(fā)生，則A+是必然事件，從而P（A）+P（）= P（A+）=1 .由此我們可以得到一個重要公式： P（）

4、= 1- P（A）.由此可知，當從正面求一個事件的概率比較困難時，可以通過求其對立事件的概率來求解.例如，一枚硬幣連擲3次，則出現(xiàn)正面的概率是多少？此題若從正面分析則有以下三種情況：三次都是正面；二次正面一次反面；一次正面二次反面.雖然它們是互斥事件，可以利用互斥事件有一個發(fā)生的概率公式來求解，但解題比較復(fù)雜.如果考慮其反面利用對立事件的概率來求解，則簡單得多.解：出現(xiàn)正面的對立事件是出現(xiàn)的三次都是反面，由于三次都是反面的概率為，則出現(xiàn)正面的概率為 =.三、互斥事件和對立事件的區(qū)別與聯(lián)系兩個事件若對立則必然互斥，且必有一個事件發(fā)生.因此，兩個事件是對立事件需滿足兩個條件：互斥，兩個事件中必有一

5、個發(fā)生.兩個事件若是對立事件則一定是互斥事件，但若是互斥事件則不一定是對立事件.四、互斥事件有一個發(fā)生的概率的求解步驟（1）確定這些事件是互斥事件；（2）這些事件有一個發(fā)生；（3）分別求每一個事件的概率，再相加.前兩條是使用互斥事件有一個發(fā)生的概率的概率和公式的前提條件，如果不符合這一點就不能用概率和公式.問題探究問題1: 某人把外形相似的4把鑰匙串在一起，其中兩把是房門鑰匙，但他忘記了開房門的是哪兩把，只好逐把試開，試后不放回.請你探究思考如下的問題：（1）此人一次就能打開房門的概率是多少？（2）此人在兩次內(nèi)能打開房門的概率是多少？探究：第（1）問顯然是古典概型，每次拿哪把鑰匙是等可能的，因

6、此，此人一次就能打開房門的概率是.在第（2）問中，記“恰好第i次打開房門”為事件Ai（i=1，2），顯然題設(shè)事件A=A1+A2.A1表示第1次打開房門的事件，A2表示第1次未打開，第2次打開房門的事件.對事件A1來說，其概率已由第（1）問求出來，但對事件A2來講，用我們現(xiàn)有的知識不容易求出，因而用這種方法做有一定難度.不妨換個角度來想，從反面入手，如果把“在兩次內(nèi)能打開房門”記為事件，則對立事件A就表示“在兩次內(nèi)不能打開房門”.設(shè)a、b、c、d分別表示四把鑰匙，其中a、b表示能打開房門的那兩把鑰匙，顯然，共有24種基本事件，它們分別為a，b，c，d；a，b，d，c；a，c，b，d；a，c，d，

7、b；a，d，b，c；a，d，c，b；b，a，c，d；b，a，d，c；b，c，a，d；b，c，d，a；b，d，a，c；b，d，c，a；c，a，b，d；c，a，d，b；c，b，a，d；c，b，d，a；c，d，a，b；c，d，b，a；d，a，b，c；d，a，c，b；d，b，a，c；d，b，c，a；d，c，a，b；d，c，b，A而包含4個基本事件，分別為c，d，a，b；c，d，b，a；d，c，a，b；d，c，b，A因而P（）=，進而所求概率P（A）=.問題2: 有3個1 g砝碼，3個3 g砝碼和2個5 g 砝碼，任意取出2個砝碼，請?zhí)骄咳缦碌膯栴}：（1）兩個砝碼重量相同的概率是多大？（2）兩個砝碼總重

8、為6 g的概率是多大？（3）兩個砝碼總重量不超過8 g的概率是多大？探究：（1）記“兩個砝碼重量相同”為事件A“兩個砝碼重量都是1g”為事件A1，“兩個砝碼重量都是3g”為事件A2，“兩個砝碼重量都是5g”為事件A3，A1、A2、A3是互斥的.顯然A=A1+A2+A3，由前面知識得P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=.由互斥事件的加法公式，有P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=+=.（2）記“兩個砝碼總重量為6 g”為事件B“兩個砝碼中一個砝碼為1g，另一個砝碼為5g”為事件B1，“兩個砝碼重量都為3g”為事件B2，B1、B2互斥.顯然B=B1+B2.P（B1）=，P（B2）=.

9、P（B）=P（B1）+P（B2）=+=. （3）正面去求比較復(fù)雜，故可考慮其對立事件.記“兩個砝碼總重量不超過8g”為事件C，設(shè)其對立事件為D，則D表示“兩個砝碼總重量超過8g”，則只有兩個砝碼都取5g的，而由上可知“兩個砝碼重量都是5g”為事件A3，P（A3）=.所以，P（C）=1-=. 精題精講例1從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么下列事件中互斥事件的個數(shù)是( )至少有一個白球；都是白球至少有一個白球；至少有一個紅球恰有一個白球；恰有兩個白球至少有一個白球；都是紅球A0 B1 C2 D3思路解析當取出的兩球都是白球時，兩個事件同時發(fā)生，故中的兩個事件不是互斥事件.當取出的兩球

10、為一紅一白時，兩個事件同時發(fā)生，故中兩個事件不是互斥事件.中的兩個事件不可能同時發(fā)生，故是互斥事件.中的兩個事件不可能同時發(fā)生，故是互斥事件.答案：C例2某地區(qū)的年降水量在下列范圍內(nèi)的概率如下表：年降水量(單位:mm)100,150)150,200)200,250)250,300)概率0.120.250.160.14（1）求年降水量在100，200)（mm）范圍內(nèi)的概率；（2）求年降水量在150，300)（mm）范圍內(nèi)的概率.思路解析這個地區(qū)的年降水量在各范圍內(nèi)是彼此互斥的，故可根據(jù)互斥事件的概率加法公式求解.答案：（1）記這個地區(qū)的年降水量在100，150)，150，200)，200，250

11、)，250，300)（mm）范圍內(nèi)分別為事件A、B、C、D這4個事件是彼此互斥的.根據(jù)互斥事件的概率加法公式，年降水量在100，200)（mm）范圍內(nèi)的概率是P（A+B）= P（A）+P（B）= 0.12+0.25=0.37 .由于熱切地想要躲避過錯，我們卻常常更易陷入荒謬。賀拉斯 加幾個空格，居中排（2）年降水量在150，300)（mm）范圍內(nèi)的概率是P（B+C+D）= P（B）+P（C）+P（D）=0.25+0.16+0.14=0.55 .綠色通道在用互斥事件的概率加法公式求概率時，一定要明確公式的前提是事件彼此互斥，否則就可能出錯.因此判斷事件是否互斥就顯得特別重要. 例3在一只袋子中裝

12、有4個紅玻璃球、3個綠玻璃球，從中無放回地任意抽取兩次，每次只取一個，試求：（1）取得兩個紅球的概率；（2）取得兩個綠球的概率；（3）取得兩個同顏色的球的概率；（4）至少取得一個紅球的概率.思路解析首先知道各事件中的基本事件有多少，再確定事件之間是互斥事件，故可根據(jù)互斥事件的概率加法公式求解.答案：記四個紅玻璃球為a1、a2、a3、a4，三個綠玻璃球為b1、b2、b3，第一次抽取有7種結(jié)果，對第一次抽取時的每種結(jié)果，第二次抽取時又有6種結(jié)果，故共有76=42種結(jié)果.（1）記“取得兩個紅球”為事件A1，A1有（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4），（a2，a1），（a3，a1），（a4，a1），（a3，a2），（a4，a2），（a4，a3）12種結(jié)果.P（A1）