第十三屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽(個(gè)人賽)試題點(diǎn)評(píng)

1、第十三屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽（個(gè)人賽）試題點(diǎn)評(píng)2021年5月23日，第十三屆全國周培源大學(xué)生 力學(xué)競(jìng)賽（個(gè)人賽）落下帷幕，這是由教育部高教司 委托中國力學(xué)學(xué)會(huì)和周培源基金會(huì)主辦的全國大學(xué) 生力學(xué)賽事。對(duì)比1988年第一屆賽事僅有62人參 加，今年參賽人數(shù)達(dá)到創(chuàng)紀(jì)錄的30 369人，比2019 年的第十二屆參賽人數(shù)增加了 14%。參加競(jìng)賽的學(xué) 生主要來自大學(xué)二、三年級(jí)的力學(xué)、土木水利、機(jī) 械、能源動(dòng)力、航空航天等專業(yè)。通過參加競(jìng)賽，檢 驗(yàn)了大學(xué)生對(duì)理論力學(xué)和材料力學(xué)等基礎(chǔ)力學(xué)課程 知識(shí)的理解和掌握程度。個(gè)人賽的命題范圍包含基礎(chǔ)題和提高題兩個(gè)部 分，對(duì)全國高?；A(chǔ)力學(xué)課程的教學(xué)具有指導(dǎo)意義 和

2、參考價(jià)值。本文點(diǎn)評(píng)了本屆的力學(xué)競(jìng)賽題，評(píng)議題 目?jī)?nèi)容的難易程度，是否是現(xiàn)行教學(xué)大綱的內(nèi)涵和 外延。1個(gè)人賽試題點(diǎn)評(píng)本屆比賽的理論力學(xué)和材料力學(xué)題目共7道題, 基礎(chǔ)題部分4道題和提高題部分3道題，各占總成 績(jī)的50%?；A(chǔ)題的第1，2題為理論力學(xué)題目，第 3, 4題為材料力學(xué)題目。第57題是內(nèi)容比較綜合 的提高題。點(diǎn)評(píng)如下。第1題（18分）：是利用同一機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的靜力 學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的混合問題。題目：鉛垂面內(nèi)的機(jī)構(gòu)如圖1所示，由直角桿 ABC，BC1，CDE，CiDE1 鉸接而成，銷釘 A1 可 沿固定水平滑槽運(yùn)動(dòng)，AB = BC = AiB = BCi = CD = CiD = a，DE =

3、 DEi = 2a。1）已知圖示瞬時(shí)AB與水平線AAi的夾角為 9, ABC的角速度為3，求CDE和CiDEi的角速 度 3CDE 和 3c1 DE1 ； （5 分）2）已知ABC上作用力偶M，E和Ei點(diǎn)通過剛 度為k、原長(zhǎng)為2a的彈簧連接，均質(zhì)桿DE和DEi 的質(zhì)量均為m，忽略其他桿的質(zhì)量和各處摩擦。為 使系統(tǒng)在9 = 45。的位置平衡，求銷釘Ai上的水平 力F； （5分）3）若在上述平衡位置突然撤去力F，求該瞬時(shí) ABC的角加速度 以ABC。 （8分）圖1第1題圖點(diǎn)評(píng)：第1）問是運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，求角速度，有不 同方法求解。最簡(jiǎn)單的方法是列出相關(guān)角度的表達(dá) 式，進(jìn)行求導(dǎo)。這一方法需要充分利用幾何

4、關(guān)系，但 是大部分學(xué)生不容易想到。在理論力學(xué)教學(xué)中，一般 有兩種方法求解運(yùn)動(dòng)學(xué)問題。一種方法是在一般位置列出坐標(biāo)、角度的表達(dá) 式，然后進(jìn)行求導(dǎo)。由于這種方法偏重?cái)?shù)學(xué)計(jì)算，沒 有體現(xiàn)力學(xué)的概念和技巧，所以在教學(xué)中基本上是 一帶而過，學(xué)生可能不重視，但本題用這種方法最為 簡(jiǎn)潔。另一種方法是利用基點(diǎn)法或復(fù)合運(yùn)動(dòng)，通過動(dòng) 點(diǎn)、動(dòng)系、牽連運(yùn)動(dòng)、相對(duì)運(yùn)動(dòng)等明顯具有力學(xué)含義 的運(yùn)動(dòng)量，分析出未知的運(yùn)動(dòng)。這是運(yùn)動(dòng)學(xué)教學(xué)中 的重點(diǎn)，學(xué)生接受了大量訓(xùn)練，所以容易從這方面思 考，但是這樣做的工作量比較大。第2）問是靜力學(xué)問題，求系統(tǒng)平衡時(shí)力的大小, 也有不同方法求解。靜力學(xué)通常有幾何靜力學(xué)與分析靜力學(xué)兩種方 法：幾

5、何靜力學(xué)從受力的角度進(jìn)行分析，如果系統(tǒng) 復(fù)雜，則適當(dāng)拆開系統(tǒng)，把約束解除施加約束力，畫 受力圖，列出平衡方程。這種方法通常比較繁瑣，拆 開系統(tǒng)后暴露出一些未知約束力，需要巧妙選擇研 究對(duì)象并列寫合適的平衡方程，有時(shí)還需要求解聯(lián) 立方程，求解有一定的技巧也比較麻煩。分析靜力學(xué)從虛功的角度找出系統(tǒng)平衡時(shí)主動(dòng) 力或主動(dòng)力偶矩之間的關(guān)系。分析靜力學(xué)最大的特 點(diǎn)是把系統(tǒng)整體處理，不拆開，不暴露出多余的未知 約束力。因此對(duì)一個(gè)自由度系統(tǒng)的平衡問題，處理起 來最方便，本題就是這樣。第3）問是動(dòng)力學(xué)問題，突然撤出所施加的外力, 也有不同方法求解，包括動(dòng)量原理（動(dòng)量定理和動(dòng)量 矩定理）、達(dá)朗貝爾原理（動(dòng)靜法）、

6、動(dòng)力學(xué)普遍方程、 拉格朗日方程等，所有方法都比較繁瑣，相對(duì)來說動(dòng) 靜法稍微簡(jiǎn)單一些。評(píng)論：本題把靜力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)融合在一 起，是比較綜合的題目。從題目設(shè)計(jì)的角度看，第1） 問較好，存在不同的解題方法，工作量差異明顯不 同，容易考察出學(xué)生的靈活性。第2）問也比較好, 存在不同的方法，且工作量差異比較大，容易考察學(xué) 生的解題能力。第3）問不是很好，各種方法都很繁 瑣，而且基本上沒有什么靈活性。作為競(jìng)賽題，一旦 可以用拉格朗日方程或達(dá)朗貝爾原理來處理，就只 有工作量了，不容易區(qū)分學(xué)生的潛力和水平。同時(shí)，第1）問也反映出一個(gè)問題：在計(jì)算機(jī)普及 之后，列方程求導(dǎo)也應(yīng)該是運(yùn)動(dòng)學(xué)的重要方法，能夠 快速

7、獲得整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中全部運(yùn)動(dòng)參數(shù)的關(guān)系；而 基點(diǎn)法或復(fù)合運(yùn)動(dòng)強(qiáng)調(diào)力學(xué)概念，但只能對(duì)特定位 置進(jìn)行分析。第2題（12分）是涉及碰撞的動(dòng)力學(xué)問題，比 較綜合。題目：圖2（a）為可在火星上滾動(dòng)的無輪緣車 輪，由n根直桿在中點(diǎn)固結(jié)而成。假設(shè)n = 3，各桿 質(zhì)量均為2m、長(zhǎng)度均為2R，相鄰桿間的夾角均為 60。，如圖2（b）所示。車輪在鉛垂面內(nèi)向右滾動(dòng)，桿 件各端點(diǎn)依次與路面發(fā)生完全塑性碰撞，且不發(fā)生 相對(duì)滑動(dòng)。端點(diǎn)A與路面碰撞前、后瞬時(shí)車輪的角 速度分別記為和，端點(diǎn)B與路面碰撞前、 后瞬時(shí)車輪的角速度分別記為即o和邊1。已知重 力加速度為g。1）求3夕1與3bo 的比值；（3分）2）如圖2（b）所示，

8、假設(shè)路面上與端點(diǎn)A，B，C 碰撞的三個(gè)點(diǎn)位于同一高度，求車輪能夠由圖中實(shí) 線位置滾動(dòng)到虛線位置的3A1的最小值；（4分）(a)（b）圖2第2題圖3）車輪沿傾角為3 （3 0（1）由于求不出顯示表達(dá)式，采用計(jì)算機(jī)算出，3 7.08。時(shí)滿足要求（見圖3）。也許有人會(huì)奇怪，為什 么解答是一個(gè)范圍，而不是一個(gè)確定的角度。這是因 為題目假設(shè)了桿件各端點(diǎn)與路面發(fā)生完全塑性碰撞, 且不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)（涉及摩擦），而摩擦問題的解通 常是一個(gè)區(qū)域。評(píng)論：本題設(shè)計(jì)比較巧妙，需要概念清楚，綜合 考慮較多因素，作為競(jìng)賽題比較好。第3題（15分）是靜不定平面桿系交匯的靜力 學(xué)平衡問題，桿件的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為分段線彈性 和

9、小變形。題目：平面桿系結(jié)構(gòu)由四根材料相同的圓截面 直桿組成，其中桿AC與桿BC長(zhǎng)度相同、直徑均 為d1 = 20 mm，桿CD與桿CE長(zhǎng)度相同、直徑均 為d2 = 40 mm，設(shè)計(jì)尺寸如圖4（a）所示。各桿材 料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖4（b）所示（分段線性），Oa 和ab段的彈性模量分別為Ea = 200 GPa，Eb = 50 GPa。裝配時(shí)發(fā)現(xiàn)桿AC和桿BC均比設(shè)計(jì)尺寸 短了 0.3 mm。1）求裝配完成后各桿的內(nèi)力；（7分）2）裝配完成后，在點(diǎn)C施加垂直向下的力F = 90 kN，如圖4（c）所示，求各桿的內(nèi)力。（8分）點(diǎn)評(píng)：軸向受力的四根桁架桿件交匯于鉸節(jié)點(diǎn) C，為2次靜不定結(jié)構(gòu)，材料為

10、雙線性彈性和小變形。 利用左右結(jié)構(gòu)、桿件內(nèi)力和約束條件的對(duì)稱性，C點(diǎn) 水平位移為零，僅余下1次靜不定。基本概念是制 造誤差不引起靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力變化，但是引起靜不 定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力重新分配。第1）問是桿件發(fā)生制造誤差后完成裝配引起的 內(nèi)力。由于上部?jī)蓷U產(chǎn)生制造誤差，使得靜不定桿件 體系的內(nèi)力重新分配。通過C點(diǎn)處力和位移的豎向 投影，建立平衡方程和變形協(xié)調(diào)條件。利用對(duì)稱性和 小變形，取對(duì)稱軸一側(cè)的隔離體建立平衡方程，在方 程中包含了材料的物性關(guān)系，即雙線性的應(yīng)力-應(yīng) 變關(guān)系，為1次靜不定問題。聯(lián)立平衡方程和幾何方 程（變形協(xié)調(diào)方程），求解兩根桿件的內(nèi)力。在材料 力學(xué)教材中有簡(jiǎn)單靜不定桁架的例題和作業(yè)，

11、大部 分學(xué)生能夠完成這個(gè)求解過程，屬于基本訓(xùn)練內(nèi)容。的基本題目。多數(shù)學(xué)生熟悉求解靜不定體系的平衡 和變形協(xié)調(diào)方程，知道如何入手分析。但是第2）問 的計(jì)算比較繁雜，需要試算判斷材料處于雙線性應(yīng) 力-應(yīng)變的哪個(gè)區(qū)間。這里需要注意的是不要將a 點(diǎn)之后的應(yīng)力-應(yīng)變曲線誤判為進(jìn)入塑性，按照彈 塑性問題卸載。第4題（15分）是圓軸扭轉(zhuǎn)和拉伸時(shí)表面應(yīng)變 狀態(tài)的計(jì)算題目：直徑為D、長(zhǎng)度為l的實(shí)心圓軸試件如 圖5（a）所示。在圓周表面畫一微線段AB，其初始 位置與水平線AC成月角。當(dāng)圓軸兩端受到外力偶 矩Me作用后，實(shí)驗(yàn)測(cè)得微線段AB順時(shí)針偏轉(zhuǎn)了 月1。已知圓軸的材料常數(shù)E和舊，變形均在線彈性 小變形范圍內(nèi)。1

12、）求外力偶矩Me； （5分）2）在外力偶矩Me作用下再施加軸向拉力F， 如圖5（b）所示。實(shí)驗(yàn)測(cè)得微線段AB偏轉(zhuǎn)角又增大 了 伽，求拉力F ； （5分）3）為提高實(shí)驗(yàn)測(cè)試靈敏度，越大越好。當(dāng)外 力偶矩Me和軸向拉力F同時(shí)作用且F = 8Me/D， 問月為何值時(shí)最大？ （5分）圖4第3題圖圖5第4題圖第2）問是C點(diǎn)作用垂直向下的集中載荷。因 為是雙線性彈性材料，根據(jù)受力后的桿件應(yīng)力-應(yīng) 變關(guān)系，判斷桿件材料處于哪個(gè)彈性階段，采用哪個(gè) 彈性模量。需要通過應(yīng)力試算的方法求解，如果變形 超過彈性階段1，就要重新建立變形協(xié)調(diào)條件，考慮 疊加上彈性階段2的變形。如果考慮壓桿穩(wěn)定性校 核，就要采用細(xì)長(zhǎng)桿屈曲

13、的歐拉公式。評(píng)論：這道題難易程度適中，是力學(xué)分析計(jì)算點(diǎn)評(píng)：第1）問是給定圓軸表面一條微線段（前 視圖），在產(chǎn)生圓軸扭轉(zhuǎn)變形的外力偶矩作用下產(chǎn)生 微小轉(zhuǎn)角，求所施加的外力偶矩的值（圖5（a）。首先 要清楚圓軸受純扭轉(zhuǎn)時(shí)，圓軸表面A點(diǎn)為純剪切應(yīng) 力狀態(tài)，畫出A點(diǎn)處矩形單元的變形幾何關(guān)系（要 用到小變形的近似簡(jiǎn)化），并要注意微線段的微小轉(zhuǎn) 角不是該點(diǎn)的剪應(yīng)變（在材料力學(xué)中，剪應(yīng)變是過某 點(diǎn)兩根變形前相互垂直的微線段在變形后直角的改 變量，且與微線段的方位有關(guān)），接著將剪切應(yīng)力用 剪切應(yīng)變乘以剪切模量表示，利用剪切應(yīng)力與扭矩 的關(guān)系，獲得所施加的力偶矩的值。第1）問考驗(yàn)學(xué) 生對(duì)扭矩、扭轉(zhuǎn)剪切應(yīng)力-應(yīng)變

14、關(guān)系的理解。第2）問是保持第1）問的微線段微小轉(zhuǎn)角和外 力偶矩，增加拉伸載荷，此時(shí)圓軸產(chǎn)生拉扭組合受力 和變形，通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得的微線段微小轉(zhuǎn)角增量，求所 施加的拉伸載荷。第2）問考驗(yàn)學(xué)生對(duì)扭轉(zhuǎn)和拉伸組 合受力和變形的理解，比第1）問提高了難度。這兩 個(gè)問題都是已知變形求外力。出題很好，屬于基本 題目。第3）問求變形的極值問題。已知內(nèi)力求應(yīng)力的 極值問題沒有難度，引入強(qiáng)度理論評(píng)估失效狀態(tài)。但 是，已知內(nèi)力求變形的極值問題是有難度的，計(jì)算也 比較復(fù)雜。引入極值條件，令轉(zhuǎn)角增量對(duì)轉(zhuǎn)角的一階 導(dǎo)數(shù)等于零，得到駐值；判斷二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號(hào)，給 出極小或極大值。評(píng)論：這個(gè)題目出得很好，前兩個(gè)問題融合了 圓軸扭

15、轉(zhuǎn)中剪應(yīng)變、剪應(yīng)力與扭矩的關(guān)系。屬于基本 題目，不超綱，考驗(yàn)學(xué)生對(duì)材料中一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)和 角位移實(shí)驗(yàn)測(cè)量以及剪應(yīng)變正確概念的理解能力和 精確計(jì)算能力。第3）問是超出了大多數(shù)學(xué)生的知識(shí)范圍。目前 教材普遍講授一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)，比如彎曲、扭轉(zhuǎn)和拉伸 作用下的應(yīng)力狀態(tài)，通過理論公式和應(yīng)力莫爾圓計(jì) 算主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力，給出一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)下的最 大主應(yīng)力。學(xué)生普遍掌握剪切變形的計(jì)算問題。對(duì)于 一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)的分析內(nèi)容，在美國鐵摩辛柯編著的 材料力學(xué)教材和我國20世紀(jì)80-90年代的教材中 包含這部分內(nèi)容，但是目前大多數(shù)教材中沒有這部 分內(nèi)容，由于學(xué)時(shí)所限，課程內(nèi)也不講這部分內(nèi)容, 所以學(xué)生普遍不會(huì)做。第5題（

16、15分）是理論力學(xué)（已知運(yùn)動(dòng)求主動(dòng) 力的動(dòng)力學(xué)題）與材料力學(xué)的綜合問題。題目：圖6所示圓盤-連桿-活塞機(jī)構(gòu)在鉛垂 平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，圓盤O上OA的長(zhǎng)度為1000 mm，連 桿AB的長(zhǎng)度為2000 mm、質(zhì)量為200 kg，活塞B 的質(zhì)量為200 kg，所有構(gòu)件均可視為均質(zhì)體。在驅(qū)動(dòng) 力F作用下，圓盤O以勻角速度/ = 100 rad/s逆 時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)?？紤]重力，不計(jì)摩擦。1）將圓盤O、連桿AB和活塞B均視為剛體。當(dāng)6為何值時(shí)，活塞B上驅(qū)動(dòng)力F的大小有多解? 當(dāng)6 = 90。時(shí)，求活塞B上的驅(qū)動(dòng)力F； （5分）圖6第5題圖2）將連桿AB視為變形體（不考慮連桿AB的 壓桿穩(wěn)定性問題）。已知連桿AB的橫截面

17、面積A = 12.8x 103 mm2，抗彎截面系數(shù) W = 1.0 x 106 mm3，材 料的許用應(yīng)力a = 180 MPa。當(dāng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)到6 = 90。 時(shí)，校核連桿AB的強(qiáng)度，并畫出連桿AB彎矩圖 的大致形狀。（1分）點(diǎn)評(píng)：第1）問是機(jī)械運(yùn)動(dòng)的常識(shí)，知道機(jī)構(gòu)在 運(yùn)動(dòng)時(shí)存在奇異位置或稱為“死點(diǎn)”（也稱運(yùn)動(dòng)死點(diǎn)、 機(jī)械死點(diǎn)）就很簡(jiǎn)單，不知道則無從下手。所謂“機(jī) 械死點(diǎn)”，是指在平面連桿機(jī)構(gòu)中，若以搖桿或滑塊 為主動(dòng)件，當(dāng)運(yùn)動(dòng)構(gòu)件處于同一直線位置時(shí)，不論驅(qū) 動(dòng)力多大，都不能使機(jī)構(gòu)起動(dòng)?；疖囀怯没钊ɑ瑝K）運(yùn)動(dòng)推導(dǎo)車輪轉(zhuǎn)動(dòng)的，萬 一停車時(shí)處于“機(jī)械死點(diǎn)”位置，火車就開動(dòng)不了。 為了避免這一現(xiàn)象，

18、兩側(cè)車輪與活塞的連接位置錯(cuò) 開90。即可。第2）問是常規(guī)的動(dòng)力學(xué)問題，可以運(yùn)用質(zhì)系普 遍定理求解。這一題最簡(jiǎn)便的方法是采用donf動(dòng)力 學(xué)普遍方程求解：設(shè)AB桿與垂線角度為9,半徑為 尸，桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，列出一般位置B點(diǎn)和AB桿中點(diǎn)C 的坐標(biāo)，求導(dǎo)得到加速度，然后加上慣性力和慣性力偶，給出虛位移（見圖7），不用拆開系統(tǒng)，直接求出F。mABgA圖7系統(tǒng)加上慣性力、虛位移JCBaABmABgA圖7系統(tǒng)加上慣性力、虛位移JCBaABmiBg6ryB = r cos 0 + L cos 9yC = r cos 0 + ； L cos 9(2)對(duì)式（2）求導(dǎo)有(2)yB = r sin 00 L sin 99

19、r cos 002 - L cos 992yC = r sin 00 ：L sin 9912r cos 002 2 L cos 992利用 r sin 0 = L sin 饑以及 0 = n/2，寸=n/6，0 =100 rad/s? 0 = 0，代入式(3)有(4)系統(tǒng)加上慣性力及慣性力偶，注意圓盤勻速轉(zhuǎn) 動(dòng)時(shí)慣性力偶為0, AB桿慣性力偶為JcaAB。加上 虛位移，利用AB桿瞬時(shí)平動(dòng)（虛轉(zhuǎn)角為零，各處虛 位移相同），有(F + mB g + Sb )阮 + (mAB g + sab )阮 +Jc aAB 算=0 其中 Sb = mBy/B，Sab = mJc aAB 算=0F = mB （

20、yB + g） mAB （yc + g） = 1 736 kN （6）點(diǎn)評(píng)：本題第1）問較好，考察學(xué)生是否靈活掌 握了機(jī)械運(yùn)動(dòng)中的知識(shí)點(diǎn)。第2）問是常規(guī)的動(dòng)力學(xué) 問題，沒有太多難點(diǎn)，計(jì)算步驟較多。采用動(dòng)力學(xué)普 遍方程，不拆開系統(tǒng)，且充分利用AB桿瞬時(shí)平動(dòng)、 圓輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的條件，很多問題整體計(jì)算很簡(jiǎn)單，如 果拆開處理，就很繁瑣。第6題（25分）是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)的綜合問題。題目：圖8示圓筒直立放置在光滑水平面上, 小球A可沿圓筒內(nèi)壁上的螺旋線溝槽無摩擦下滑。 已知小球A的質(zhì)量為m，均質(zhì)圓筒的質(zhì)量為2m、半 徑為R、高為h，螺旋線的升角0 =冗/6。初始時(shí)圓 筒靜止，將小球從螺旋線溝槽的頂部靜止釋放。

21、假設(shè) 小球下降過程中圓筒不會(huì)翻倒，水平面對(duì)圓筒的支 承力的合力記為Fn。求：1）圓筒的質(zhì)心相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)軌跡；（3分）2）小球運(yùn)動(dòng)到圓筒底部時(shí)，在地面上觀察到的 小球運(yùn)動(dòng)軌跡的總長(zhǎng)度s； （6分）3）小球下降過程中Fn的大小；（6分）4）小球下降過程中Fn的作用線與圓筒軸線 間的距離d（表示為小球下降的垂直距離za的函 數(shù)）。（10分）點(diǎn)評(píng)：第1）問涉及動(dòng)量定理中的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守 恒。若動(dòng)量定理概念清楚，本題就比較簡(jiǎn)單，應(yīng)該是 送分題。第2）問中質(zhì)點(diǎn)相對(duì)圓筒的運(yùn)動(dòng)軌跡是螺旋線, 把圓筒展開，相對(duì)運(yùn)動(dòng)是沿直角三角形斜邊的運(yùn)動(dòng) （圖 9（a）。0.5h1.50-0.5-1.000.51.01.52.0

22、2.53.0Za/R圖10作用點(diǎn)位置的變化圖9小球相對(duì)于圓筒的軌跡展開速度分析質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，軌道光滑，牽連運(yùn)動(dòng)在水平面內(nèi), 對(duì)垂直面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)沒有影響，因此vaz = vr sin 0。 再利用水平面內(nèi)動(dòng)量守恒以及對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理, 用小球相對(duì)圓柱的速度來表示其他運(yùn)動(dòng)量，由于切 向速度與垂直方向速度之比為常數(shù)，明確絕對(duì)運(yùn)動(dòng) 軌跡是（新的）螺旋線。然后根據(jù)速度方向沿軌跡的 切向，定出絕對(duì)運(yùn)動(dòng)螺旋線的升角50.5h1.50-0.5-1.000.51.01.52.02.53.0Za/R圖10作用點(diǎn)位置的變化圖9小球相對(duì)于圓筒的軌跡展開速度分析第3）問中，利用動(dòng)能定理，找出相對(duì)速度與下 降高度的關(guān)系，求

23、導(dǎo)獲得垂直方向的角速度，然后利 用系統(tǒng)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，得到作用力。第4）問中，根據(jù)前面的結(jié)果，利用動(dòng)靜法，加 上慣性力和慣性力矩后，由力矩平衡方程得到支撐 力的位置。注意支撐力作用在整個(gè)圓筒底部，是分布 的平行力系，其最終的簡(jiǎn)化結(jié)果是一個(gè)合力Fn,作 用點(diǎn)位置在動(dòng)坐標(biāo)系中為x, y。如果畫出y的變化曲線（圖10）,可以看出 不超出圓筒邊界，但是y可能會(huì)超出圓筒邊界（圓筒 高度約大于2.8倍半徑時(shí)，圓筒會(huì)傾倒）。這意味著 題目中的圓筒不會(huì)翻倒，實(shí)際上是有條件限制的。如果要看作用點(diǎn)相對(duì)地面的軌跡，需要進(jìn)行轉(zhuǎn) 換（圖11,定坐標(biāo)系原點(diǎn)為系統(tǒng)質(zhì)心）。圖11不同坐標(biāo)系間的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系有 TOC

24、 o 1-5 h z R = Ro + r（8）動(dòng)系相對(duì)定系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為, cos 2 cos Y/ 、AXx =.（9）sin y sin y根據(jù)前面已經(jīng)得到的結(jié)果，在動(dòng)系中Ro = -R/3x+y(10)（沿y負(fù)方向），則式（8）在定坐標(biāo)系中投影后有x+y(10)XYcos y cos y sin y sin y根據(jù)前面已經(jīng)求出的關(guān)系式1zA = 2 aazV3A0R9,aaz則坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)角為根據(jù)前面已經(jīng)求出的關(guān)系式1zA = 2 aazV3A0R9,aaz則坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)角為(11)從而得到作用點(diǎn)在定坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)軌跡（圖12中 大圓是圓筒邊界的包絡(luò)線：以質(zhì)心為圓心，半徑為 4R/3的圓

25、）。X/R圖12作用點(diǎn)在定坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)軌跡圖13第7題圖第7題（20分）是充滿液體的直立圓錐形薄壁 金屬容器的靜力平衡問題。題目:“小口尖底彩陶瓶”是距今約6000年新 石器時(shí)代（仰韶文化）的汲水器或酒禮器，如圖13（a） 所示。現(xiàn)將其簡(jiǎn)化為如圖13（b）所示的充滿液體的圓 錐形薄壁容器，處于鉛垂直立位置，上沿周邊支承, 圓錐角為2a,其體積按薄壁結(jié)構(gòu)計(jì)算。容器的密度 為pc，容器各處壁厚均為6，液體的密度為pw，液 面高度為ho1）求容器內(nèi)沿母線方向的正應(yīng)力； （6分）2）求容器內(nèi)與母線垂直且與表面相切方向的正 應(yīng)力at; （6分）3）設(shè) pc = 3pw,6 = h/90，a = 30。

26、，根據(jù)第三 強(qiáng)度理論求容器內(nèi)的最大相當(dāng)應(yīng)力。（8分）點(diǎn)評(píng)：第1）問和第2）問是求無矩內(nèi)力狀態(tài)下 的圓錐殼的正應(yīng)力和面內(nèi)切應(yīng)力，將某一點(diǎn)的應(yīng)力 分量投影到母線方向，計(jì)算正應(yīng)力和與母線垂直且 與表面相切方向的切應(yīng)力。注意容器內(nèi)的液面是上 下變化的。考驗(yàn)學(xué)生對(duì)殼體力系的簡(jiǎn)化、內(nèi)力平衡和 強(qiáng)度計(jì)算分析等綜合能力。第3問是利用強(qiáng)度理論求最大相當(dāng)應(yīng)力。由于 是薄壁圓錐殼體，忽略殼體徑向應(yīng)力作用（答案中給 出了考慮徑向應(yīng)力的計(jì)算結(jié)果，其數(shù)值很小，可以忽 略），僅計(jì)算沿母線方向的正應(yīng)力和與母線垂直且與 表面相切方向的切應(yīng)力，即平面應(yīng)力狀態(tài)。計(jì)算一點(diǎn) 的最大和最小主應(yīng)力，得到最大切應(yīng)力。然后代入第 3強(qiáng)度理論求

27、相當(dāng)應(yīng)力。評(píng)論：作為綜合性提高題，這道題非常有創(chuàng)意, 題目描述簡(jiǎn)單清晰，出題人下了功夫和動(dòng)了腦筋。它 展示了我國古代的汲水器或酒禮器，將其簡(jiǎn)化為充 滿液體的圓錐形薄壁容器。但是，在材料力學(xué)教材 中僅講授了圓筒形薄壁容器，求解了在均勻內(nèi)壓作 用下沿母線和環(huán)線方向的正應(yīng)力，不計(jì)筒壁的自重。 內(nèi)壓作用下的直立圓錐形薄壁容器，考慮容器內(nèi)變 化液面的流體質(zhì)量和外錐殼自重，幾何投影和受力 平衡關(guān)系復(fù)雜，超出了材料力學(xué)教學(xué)大綱內(nèi)容，考驗(yàn) 學(xué)生對(duì)材料力學(xué)知識(shí)的擴(kuò)展能力，需要力學(xué)概念清 楚，如何截取單元體更是本題的關(guān)鍵，并需要分析沿 母線方向和環(huán)向的載荷和單元體的平衡，熟悉運(yùn)用 單元體上應(yīng)力求其主應(yīng)力和第三強(qiáng)度理論的計(jì)算公 式。這道綜合性題目超出了本科力學(xué)課程大綱內(nèi)容, 即便是學(xué)過板殼理論無矩內(nèi)力解答的研究生，也是 比較難的題目，況且很多學(xué)校即便是研究生也不再 開設(shè)板殼理論的課程