數(shù)列的通項與求和

1、 數(shù)列的通項與求和一.求數(shù)列的通項的一般方法、定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目.例.等差數(shù)列11是遞增數(shù)列，前項和為s，且a,a,a成等比數(shù)列，Sa2.求nn13955數(shù)列T嗝通項公式點評：利用定義法求數(shù)列通項時要注意不用錯定義，設(shè)法求出首項與公差（公比）后再寫出通項。、二、公式法若已知數(shù)列的前n項和s與a的關(guān)系，求數(shù)列1/勺通項a可用公式nnnn求解。isnnnnnnnnn1求解。品snum2nn例.已知下列兩數(shù)列a的前項和的公式，求a的通項公式nn()Sn3nH1()sn2H1nnIS1點評：利用公式an一求解時，要注意對n分類討

2、論，但若能合1Ssmnnft2nn寫時一定要合并.、由遞推式求數(shù)列通項法對于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。類型1遞推公式為aaf(n)TOC o 1-5 h znn解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為aaf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。nn例3.已知數(shù)列,足a1,aa1，求a。n12nnn2|nn類型2遞推公式為af(n)anna解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。an例4,已知數(shù)列,足a2，ana，求a。n13nn1nn變式：已知a13變式：已知a13，.3n1aan3n2n

3、(n1)，類型3遞推式：apaf1nHnn解法：只需構(gòu)造數(shù)列2消去fn帶來的差異.TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark29 類型3遞推公式為apaq（其中p,q均為常數(shù)，（pq（p0）。nn解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：atp（at），其中t：，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等nn1p比數(shù)列求解。類型3遞推公式為apaqn（其中p，q均為常數(shù)，（pq（p1）（q1）0）。（或nnaparqn，其中p，q,r均為常數(shù)）nn解法：該類型較類型31要復雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以qn-，得：apa1n1nqnqqnq引入輔助數(shù)列.（其中ban），得：bp-b1再應(yīng)用類型

4、39勺方法解決。nnqnnqnq1例5.數(shù)列Ua滿足a=1,a、a+1（n三2）,求數(shù)列a的通項公式。n1n2nn變式：數(shù)列a滿足a1,3aa70,求數(shù)列a的通項公式。n1nnn例6,已知數(shù)列11例6,已知數(shù)列11n,16n，求a。n變式：已知數(shù)列,足出1,n1a3n2an(n2)求a.，n點評：遞推式為apaqn-（p、q為常數(shù)）時，可同除qn-，得nn一p.i,令ban從而化歸為apaq（p、q為常數(shù)）型.qnqqnnqnnn取倒數(shù)法有些關(guān)于通項的遞推關(guān)系式變形后含有aa項，直接求相鄰兩項的關(guān)系很困難，但nn兩邊同除以aa后，相鄰兩項的倒數(shù)的關(guān)系容易求得，從而間接求出a。nnn例7、已知數(shù)

5、列a例7、已知數(shù)列a,a產(chǎn),n1aann1annN，求an3變式、已知數(shù)列a滿足a-n123na且an一n2an印n(n2nN)()求數(shù)歹ija的n通項公式。、數(shù)列求和的方法（1）公式法：fta1(q)n(aa)等差數(shù)列：snan(aa)等差數(shù)列：snan21d；等比數(shù)歹U：naLn)_aa2ff)#anq(q)iiqiiqn1nk2-n(n1)(2n.1);6k(2)錯位相減法:這是推導等比數(shù)列前n項和公式時所使用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列1a前nnn項和，其中a.嗎別是等差數(shù)列和等比數(shù)歹U。nn（3）倒序相加法將一個數(shù)列倒過來排序，當它與原數(shù)列相加時，若有公因式可提，并且剩余項的和易于

6、求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和。（4）分組求和法數(shù)列既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列時，但它可以通過適當拆分，分為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即能分別求和，然后再合并。（5）裂項法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用，其實質(zhì)是將數(shù)列中的某些項分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的。常見的裂項法有：,1、1LJ萬b）n（n11）nn1aa）bab1(2n1)(2n|1)數(shù)列D數(shù)列D嚏等差數(shù)列，1_11_1aad.a.nnMnn（6）其它求和法：如歸納猜想法，奇偶法，并項求和法等1分組與公式法求和：例1.已知數(shù)列U%n的首項11=3,通項xn=2np+nq（n*,p,q為常數(shù)），且x1,x4,x5成等差數(shù)列.求：（1）p，q的值；（2）數(shù)列Uxn前n項和Sn的公式.2錯位相減法求和例2.（2013唐山統(tǒng)考）在等比數(shù)列an中，a2a3=32,a5=32.（1）求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)數(shù)歹ijaj的前n項和為Sn，求S1+2S2H-nSn.裂項相消法求和例3。已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a1=1,Sn=nann(n-1)(n*).(1)求數(shù)列an的通項公式；2n項和Tn.(2)設(shè)b=，求數(shù)列叫b的前nanan項和Tn.本例條件不變，若數(shù)列b滿足b=，求數(shù)列b的前n項和T.nnS+n