高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇 14 平面的基本性質(zhì)

1、14 平面的基本性質(zhì)教材分析這篇案例是在初中平面幾何知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)是研究立體幾何的基本理論基礎(chǔ)，這節(jié)課既是立體幾何的開頭課，又是基礎(chǔ)課，學(xué)生對(duì)本節(jié)內(nèi)容理解和掌握得如何，是能否學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵之一這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是平面的基本性質(zhì)，難點(diǎn)是平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用及建立空間概念、正確應(yīng)用符號(hào)語(yǔ)言教學(xué)目標(biāo)1. 在引引導(dǎo)學(xué)生生觀察思思考生活活中的實(shí)實(shí)例、實(shí)實(shí)物模型型等的基基礎(chǔ)上，總總結(jié)和歸歸納出平平面的基基本性質(zhì)質(zhì)，初步步學(xué)會(huì)用用數(shù)學(xué)的的眼光去去認(rèn)識(shí)和和感受現(xiàn)現(xiàn)實(shí)的三三維空間間2. 會(huì)用用圖形語(yǔ)語(yǔ)言、文文字語(yǔ)言言、符號(hào)號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)準(zhǔn)確描述述三個(gè)公公理，能能用公理理及推論論解

2、決有有關(guān)問(wèn)題題，提高高學(xué)生的的邏輯推推理能力力3. 通過(guò)過(guò)畫圖和和識(shí)圖，逐逐步培養(yǎng)養(yǎng)學(xué)生的的空間想想象能力力，使學(xué)學(xué)生在已已有的平平面圖形形知識(shí)的的基礎(chǔ)上上，建立立空間觀觀念任務(wù)分析這節(jié)課是立立體幾何何學(xué)習(xí)的的基礎(chǔ)，但但學(xué)生空空間立體體感還不不強(qiáng)為為此，教教學(xué)時(shí)要要充分聯(lián)聯(lián)系生活活中的實(shí)實(shí)例，如如自行車車有一個(gè)個(gè)腳撐等等，通過(guò)過(guò)實(shí)例，使使學(xué)生盡盡快形成成對(duì)空間間的正確確認(rèn)識(shí)，建建立初步步的空間間觀念；在聯(lián)系系實(shí)際提提出問(wèn)題題和引入入概念時(shí)時(shí)，要合合理運(yùn)用用教具，如如講解公公理1時(shí)時(shí)，可讓讓學(xué)生利利用手中中的直尺尺去測(cè)桌桌面是不不是平的的；講解解公理22時(shí)可讓讓學(xué)生觀觀察教室室的墻面面的關(guān)系系等

3、通通過(guò)這些些方式加加強(qiáng)由模模型到圖圖形，再再由圖形形返回模模型的基基本訓(xùn)練練，逐步步培養(yǎng)學(xué)學(xué)生由圖圖形想象象出空間間位置關(guān)關(guān)系的能能力當(dāng)當(dāng)用文字字和符號(hào)號(hào)描述對(duì)對(duì)象時(shí)，必必須緊密密聯(lián)系圖圖形，使使抽象與與直觀結(jié)結(jié)合起來(lái)來(lái)，即在在圖形的的基礎(chǔ)上上發(fā)展其其他數(shù)學(xué)學(xué)語(yǔ)言在闡述述定義、定定理、公公式等重重要內(nèi)容容時(shí)，宜宜先結(jié)合合圖形，再再用文字字和符號(hào)號(hào)進(jìn)行描描述，綜綜合運(yùn)用用幾種數(shù)數(shù)學(xué)語(yǔ)言言，使其其優(yōu)勢(shì)互互補(bǔ)，這這樣，就就有可能能收到較較好的效效果，給給學(xué)生留留下較為為深刻的的印象教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情情景1. 利用用你手中中的直尺尺，如何何判定你你課桌的的桌面是是不是平平的2. 你騎騎的自行行車有一一

4、個(gè)腳撐撐就可站站穩(wěn)，為為什么？3. 矩形形硬紙板板的一頂頂點(diǎn)放在在講臺(tái)面面上，硬硬紙板與與講臺(tái)面面不重合合，能否否說(shuō)這兩兩個(gè)平面面只有一一個(gè)公共共點(diǎn)？（利用多媒媒體屏幕幕呈現(xiàn)問(wèn)問(wèn)題情景景，即在在屏幕上上出現(xiàn)桌桌子與直直尺、有有一個(gè)腳腳撐的自自行車、矩矩形硬紙紙與講臺(tái)臺(tái)面及相相應(yīng)的問(wèn)問(wèn)題與與現(xiàn)實(shí)生生活聯(lián)系系緊密的的實(shí)物通通過(guò)多媒媒體給出出，能夠夠活躍課課堂氣氛氛，激發(fā)發(fā)學(xué)生學(xué)學(xué)習(xí)興趣趣，從而而引導(dǎo)學(xué)學(xué)生積極極主動(dòng)的的去探究究問(wèn)題）二、建立模模型1. 探究究公理（1）問(wèn)題題1的探探究教師提出問(wèn)問(wèn)題，引引發(fā)學(xué)生生思考：如何用直尺尺這個(gè)工工具來(lái)判判定你的的桌面是是不是平平的呢？（把直尺放放在物體體表面

5、的的各個(gè)方方向上，如如果直尺尺的邊緣緣與物體體的表面面不出現(xiàn)現(xiàn)縫隙，就就可判斷斷物體表表面是平平的）教師點(diǎn)拔：這是判判斷物體體表面是是不是平平的的一一個(gè)常用用方法如果物物體表面面是平的的，把直直尺邊緣緣無(wú)論如如何放在在平面上上，則邊邊緣與平平面都沒(méi)沒(méi)有縫隙隙，也就就是說(shuō)，如如果一條條直線上上的兩點(diǎn)點(diǎn)在一個(gè)個(gè)平面內(nèi)內(nèi)，那么么這條直直線上的的所有點(diǎn)點(diǎn)都在這這個(gè)平面面內(nèi)由由此，可可以歸納納出公理理1公理1如如果一條條直線上上的兩點(diǎn)點(diǎn)在一個(gè)個(gè)平面內(nèi)內(nèi)，那么么這條直直線上的的所有點(diǎn)點(diǎn)都在這這個(gè)平面面內(nèi)（如如圖144-1）這時(shí)我們說(shuō)說(shuō)，直線線在平面面內(nèi)或平平面經(jīng)過(guò)過(guò)直線這一性性質(zhì)是平平面的主主要特征征彎曲

6、曲的面就就不是處處處具有有這種性性質(zhì)教師進(jìn)一步步分析：為了書書寫的簡(jiǎn)簡(jiǎn)便，我我們把代代數(shù)中剛剛學(xué)習(xí)過(guò)過(guò)的有關(guān)關(guān)集合的的符號(hào)，引引入立體體幾何中中把點(diǎn)點(diǎn)作為基基本元素素，直線線、平面面即為“點(diǎn)點(diǎn)的集合合”，這這樣：點(diǎn)A在直線線a上，記記作Aa；點(diǎn)A在直線線a外，記記作Aaa；點(diǎn)A在平面面內(nèi)，記記作A；點(diǎn)A在平面面外，記記作A；直線a在平平面內(nèi)內(nèi)，記作作a；直線a在平平面外外，記作作a公理1用集集合符號(hào)號(hào)表示為為：Aa，Ba，A，B，則有有例：證明如如果一個(gè)個(gè)三角形形的兩邊邊在一個(gè)個(gè)平面內(nèi)內(nèi)，那么么第三邊邊也在這這個(gè)平面面內(nèi)注意：在分分析過(guò)程程中，一一定要強(qiáng)強(qiáng)調(diào)“要要證明直直線在平平面內(nèi)，則則應(yīng)該

7、證證明什么么？條件件中有沒(méi)沒(méi)有，沒(méi)沒(méi)有如何何去創(chuàng)造造”通通過(guò)這種種逆推思思路的分分析，培培養(yǎng)學(xué)生生良好的的思考習(xí)習(xí)慣練習(xí)：判斷斷下列命命題的真真假 如果一一條直線線不在平平面內(nèi)，則則這條直直線與平平面沒(méi)有有公共點(diǎn)點(diǎn) 過(guò)一條條直線的的平面有有無(wú)數(shù)多多個(gè) 與一個(gè)個(gè)平面沒(méi)沒(méi)有公共共點(diǎn)的直直線不存存在 如果線線段ABB在平面面內(nèi)，則則直線AAB也在在平面內(nèi)內(nèi)a（2）問(wèn)題題2的探探究教師提出問(wèn)問(wèn)題，引引發(fā)學(xué)生生思考：自行車有一一個(gè)腳撐撐就可站站穩(wěn)，為為什么？（因?yàn)榍拜嗇喼攸c(diǎn)點(diǎn)、后輪輪著地點(diǎn)點(diǎn)、腳撐撐著地點(diǎn)點(diǎn)三點(diǎn)在在一個(gè)平平面上，而而且為了了站穩(wěn)，前前輪著地地點(diǎn)、后后輪著地地點(diǎn)、腳腳撐著地地點(diǎn)三點(diǎn)點(diǎn)不共

8、線線，因此此我們可可以推測(cè)測(cè)：過(guò)不不共線的的三點(diǎn)有有且只有有一個(gè)平平面）教師演示：用相交交于一點(diǎn)點(diǎn)的三根根小棍的的三個(gè)端端點(diǎn)作為為空間不不在一直直線上的的三個(gè)點(diǎn)點(diǎn)（如圖圖14-2），當(dāng)當(dāng)把作為為平面的的硬紙板板放在上上面時(shí)，這這張作為為平面的的硬紙板板不能再再“動(dòng)”了了，因?yàn)闉橐粍?dòng)就就要離開開其中的的一個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，硬紙紙板所在在平面就就不能確確定了，正正如同剛剛才的發(fā)發(fā)現(xiàn)：過(guò)過(guò)不共線線的三點(diǎn)點(diǎn)有且只只有一個(gè)個(gè)平面公理2經(jīng)經(jīng)過(guò)不在在同一條條直線上上的三點(diǎn)點(diǎn)，有且且只有一一個(gè)平面面（如如圖144-3）公理2也可可以簡(jiǎn)單單地說(shuō)成成：不共共線的三三點(diǎn)確定定一個(gè)平平面教師演示課課件：在在空間給給定不共共線的

9、三三點(diǎn)A，BB，C（如如圖144-4），作作直線AAB，BBC，CCA，再再在直線線BC，CCA，AAB上分分別取動(dòng)動(dòng)點(diǎn)P，QQ，R，作作直線AAP，BBQ，CCR，讓讓P，QQ，R分分別在直直線BCC，CAA，ABB上運(yùn)動(dòng)動(dòng)，我們們可以看看到這些些直線“編編織”成成一個(gè)平平面教師出示問(wèn)問(wèn)題：試試舉出一一個(gè)應(yīng)用用公理22的實(shí)例例（例如，一一扇門用用兩個(gè)合合頁(yè)和一一把鎖就就可以固固定了）（3）問(wèn)題題3的探探究教師將矩形形硬紙板板的一頂頂點(diǎn)放在在講臺(tái)面面上，讓讓學(xué)生觀觀察，并并同時(shí)提提出問(wèn)題題：能否否說(shuō)這兩兩個(gè)平面面只有一一個(gè)公共共點(diǎn)？（不能，因因?yàn)槠矫婷媸菬o(wú)限限延展的的，所以以這兩個(gè)個(gè)平面應(yīng)應(yīng)該

10、有一一條經(jīng)過(guò)過(guò)這公共共點(diǎn)的直直線）教師點(diǎn)拔：我們只只能用有有限的模模型或圖圖形來(lái)表表示無(wú)限限延展的的平面，所所以我們們有時(shí)要要看模型型或圖形形，但又又不能受受模型或或圖形的的限制來(lái)來(lái)影響我我們對(duì)平平面的無(wú)無(wú)限延展展的了解解這個(gè)個(gè)實(shí)例說(shuō)說(shuō)明了平平面具有有如下性性質(zhì)公理3如如果兩個(gè)個(gè)不重合合的兩個(gè)個(gè)平面有有一個(gè)公公共點(diǎn)，那那么它們們有且只只有一條條過(guò)這個(gè)個(gè)點(diǎn)的公公共直線線（如如圖144-5）公理3的數(shù)數(shù)學(xué)符號(hào)號(hào)語(yǔ)言：P，PPa，PPa教師進(jìn)一步步概括：為了簡(jiǎn)簡(jiǎn)便，以以后說(shuō)到到兩個(gè)平平面，如如不特別別說(shuō)明，都都是指兩兩個(gè)不重重合的平平面如如果兩個(gè)個(gè)平面有有一條公公共直線線，則稱稱這兩個(gè)個(gè)平面相相交這

11、這條公共共直線叫叫作這兩兩個(gè)平面面的交線線由公公理可可見，兩兩個(gè)平面面如果有有一個(gè)公公共點(diǎn)，那那么就有有無(wú)窮多多個(gè)公共共點(diǎn)，所所有公共共點(diǎn)在公公共直線線上，即即它們的的交線上上；交線線上的每每一個(gè)點(diǎn)點(diǎn)都是兩兩平面的的公共點(diǎn)點(diǎn)練習(xí)：判斷斷下列命命題的真真假如果兩個(gè)個(gè)平面有有兩個(gè)公公共點(diǎn)AA，B，那那么它們們就有無(wú)無(wú)數(shù)個(gè)公公共點(diǎn)，并并且這些些公共點(diǎn)點(diǎn)都在直直線ABB上兩個(gè)平面面的公共共點(diǎn)的集集合可能能是一條條線段2. 推出出結(jié)論教師明晰：由于兩兩點(diǎn)確定定一條直直線，根根據(jù)公理理2容易易得出如如下推論論：推論1經(jīng)經(jīng)過(guò)一條條直線和和直線外外的一點(diǎn)點(diǎn)，有且且只有一一個(gè)平面面已知：點(diǎn)AA，直線線a，AAa

12、（如如圖144-6）求證：過(guò)點(diǎn)點(diǎn)A和直直線a可可以確定定一個(gè)平平面分析：“確確定一個(gè)個(gè)平面”包包含兩層層意思：一是存存在，二二是唯一一這兩兩層都應(yīng)應(yīng)證明（說(shuō)明：這這個(gè)證明明可以由由教師引引導(dǎo)學(xué)生生一起分分析完成成，但步步驟教師師一定要要板書）證明：存在在性因?yàn)锳a，在在a上任任取兩點(diǎn)點(diǎn)B，CC，所以過(guò)不共共線的三三點(diǎn)A，BB，C有有一個(gè)平平面（公理理2）因?yàn)锽，C，所以a（公公理1）故經(jīng)過(guò)點(diǎn)AA和直線線a有一一個(gè)平面面唯唯一性如果經(jīng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)AA和直線線a的平平面還有有一個(gè)平平面，那那么，因?yàn)锽，C，所以B，B（公公理1）故不共線的的三點(diǎn)AA，B，CC既在平平面內(nèi)內(nèi)又在平平面內(nèi)內(nèi)所以平面和平面面重

13、合合（公公理2）所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)A和直直線有有且只有有一個(gè)平平面有有時(shí)“有有且只有有一個(gè)平平面”，我我們也說(shuō)說(shuō)“確定定一個(gè)平平面”類似地可以以得出下下面兩個(gè)個(gè)推論：推論2經(jīng)經(jīng)過(guò)兩條條相交直直線，有有且只有有一個(gè)平平面（如如圖144-7）推論3經(jīng)經(jīng)過(guò)兩條條平行直直線，有有且只有有一個(gè)平平面（如如圖144-8）三、解釋應(yīng)應(yīng)用例題兩兩相交且且不過(guò)同同一點(diǎn)的的三條直直線必在在同一個(gè)個(gè)平面內(nèi)內(nèi)（如如圖144-9）已知：ABBACCA，AABBBCBB，ACCBCCC求證：直線線AB，BBC，AAC共面面證法1：因因?yàn)锳BBACCA，所以直線AAB，AAC確定定一個(gè)平平面（推論論2）因?yàn)锽AAB，CCAC，所

14、以B，C，故BC（公理理1）因此，直線線AB，BBC，CCA都在在平面內(nèi)，即即它們共共面證法2：因因?yàn)锳直直線BCC，所以過(guò)點(diǎn)AA和直線線BC確確定平面面（推推論1）因?yàn)锳，BBC，所所以B故AB，同理AC，所以AB，AAC，BBC共面面證法3：因因?yàn)锳，BB，C三三點(diǎn)不在在一條直直線上，所以過(guò)A，BB，C三三點(diǎn)可以以確定平平面（公理理2）因?yàn)锳，B，所以以AB（公公理1）同理BC，ACC，所所以ABB，BCC，CAA三直線線共面思考：在這這道題中中“且不不過(guò)同一一點(diǎn)”這這幾個(gè)字字能不能能省略，為為什么？（不能，如如果三條條直線兩兩兩相交交且過(guò)同同一點(diǎn)，則則這三條條直線可可以不共共面）練習(xí)1.

15、 三角角形、梯梯形是平平面圖形形嗎？2. 已知知：平面面外有有一個(gè)ABCC，并且且ABCC三條邊邊所在的的直線分分別與平平面交交于三個(gè)個(gè)點(diǎn)P，QQ，R求證PP，Q，RR三點(diǎn)共共線四、拓展延延伸1. 四條條直線兩兩兩相交交且不過(guò)過(guò)同一點(diǎn)點(diǎn)，這四四條直線線是否一一定共面面？2. 兩個(gè)個(gè)平面最最多可以以把空間間分成幾幾個(gè)部分分？三個(gè)個(gè)平面呢呢？四個(gè)個(gè)平面呢呢？點(diǎn)評(píng)這篇案例在在教師指指導(dǎo)下，從從現(xiàn)實(shí)生生活中選選擇和確確定問(wèn)題題進(jìn)行研研究，以以類似科科學(xué)家探探究的方方式使學(xué)學(xué)生主動(dòng)動(dòng)地解決決問(wèn)題，獲獲取知識(shí)識(shí)，應(yīng)用用知識(shí)，并并在探究究過(guò)程中中充分利利用模型型、進(jìn)行行數(shù)學(xué)實(shí)實(shí)驗(yàn)等多多種渠道道在問(wèn)問(wèn)題探究究的過(guò)程程中，學(xué)學(xué)生的空空間想象象