棱柱、棱錐和棱臺 教案-高一下學期數(shù)學北師大版（2019）必修第二冊

1、 8/8簡單多面體棱柱、棱錐和棱臺【第一課時】【教學目標】1通過多面體的定義與分類學習，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象核心素養(yǎng)。2借助棱柱結(jié)構(gòu)特征的學習，培養(yǎng)直觀抽象的數(shù)學核心素養(yǎng)?！窘虒W重難點】1了解多面體的定義及其分類。（重點）2理解棱柱的定義和結(jié)構(gòu)特征。（重點）3在棱柱中構(gòu)造恰當?shù)奶卣鲌D形，研究其中的線段數(shù)量關系和位置關系。（難點）【教學過程】一、基礎鋪墊多面體：一般地，由若干個平面多邊形所圍成的封閉幾何體稱為多面體。例如，我們初中學習過的長方體、棱錐等都是多面體。一個多面體中，連接同一面上兩個頂點的線段，如果不是多面體的棱，就稱其為多面體的面對角線；連接不在同一面上兩個頂點的線段稱為多面體的體對角

2、線。一個幾何體和一個平面相交所得到的平面圖形（包含它的內(nèi)部），稱為這個幾何體的一個截面，多面體所有面的面積之和稱為多面體的表面積（或全面積）。二、新知探究1棱柱的概念【例】下列關于棱柱的說法正確的個數(shù)是（ ）四棱柱是平行六面體；有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱；底面是正多邊形的棱柱是正棱柱。A1 B2 C3 D4A 四棱柱的底面可以是任意四邊形；而平行六面體的底面必須是平行四邊形，故不正確；說法就是棱柱的定義，故正確；對比定義，顯然不正確；底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱，故不正確。2幾種常

3、見四棱柱的關系【例】 下列說法中正確的是（ ）A直四棱柱是直平行六面體B直平行六面體是長方體C六個面都是矩形的四棱柱是長方體D底面是正方形的四棱柱是直四棱柱C 直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，故A錯；直平行六面體的底面不一定是矩形，故B錯；C正確；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D錯?！窘處熜〗Y(jié)】幾種常見四棱柱的關系【跟蹤訓練】1一個棱柱是正四棱柱的條件是（ ）A底面是正方形，有兩個面是矩形的四棱柱B底面是正方形，兩個側(cè)面垂直于底面的四棱柱C底面是菱形，且有個頂點處的兩條棱互相垂直的四棱柱D底面是正方形，每個側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱D 選項A、B中，兩個面為相對側(cè)面時，四棱柱不一定

4、是直四棱柱，C中底面不是正方形，故排除選項A、B、C，所以選D三、課堂總結(jié)1多面體（1）定義由若干個平面多邊形所圍成的幾何體叫做多面體。（2）相關概念（如圖所示）（3）凸多面體把一個多面體的任意一個面延展為平面，如果其余的各面都在這個平面的同一側(cè)，則這樣的多面體就叫做凸多面體。2棱柱的結(jié)構(gòu)特征定義有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的多面體圖示及相關概念底面：兩個互相平行的面?zhèn)让妫旱酌嬉酝獾钠溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弮蓚?cè)面的公共邊頂點：側(cè)面與底面的公共頂點分類按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱柱、四棱柱四、課堂檢測1下列幾何體中是棱柱的個數(shù)有（ ）A5個

5、B4個 C3個 D2個D 由棱柱的定義知是棱柱，選D2一個棱柱至少有_個面；面數(shù)最少的棱柱有_個頂點，有_條棱。5 6 9 面數(shù)最少的棱柱是三棱柱，有5個面，6個頂點，9條棱。【第二課時】【教學目標】借助棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的學習，培養(yǎng)直觀抽象的數(shù)學核心素養(yǎng)?！窘虒W重難點】1棱錐、棱臺的定義和結(jié)構(gòu)特征。（重點）2棱錐、棱臺中構(gòu)造恰當?shù)奶卣鲌D形，研究其中的線段數(shù)量關系和位置關系。（難點）【教學過程】一、復習導入思考1：長方體、正方體是多面體嗎？提示 是。長方體是由6個矩形圍成的，正方體是由6個正方形圍成的，均滿足多面體的定義。思考2：最簡單的多面體由幾個面所圍成？提示 四個。二、合作探究1棱錐、棱

6、臺的概念【例】 下列關于棱錐、棱臺的說法中，正確說法的序號是_。（1）用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺；（2）棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形；（3）棱錐的側(cè)面只能是三角形；（4）棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點；（5）棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐。（2）（3）（4） （1）錯誤，若平面不與棱錐底面平行，用這個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺；（2）正確，棱臺的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；（3）正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形；（4）正確，棱臺是由平行于棱錐底面的平面截得的，故棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點；（5）錯誤，如圖所示四棱錐被平

7、面PBD截成的兩部分都是棱錐?！窘處熜〗Y(jié)】判斷一個幾何體是何種幾何體，一定要緊扣棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征，注意概念中的特殊字眼，切不可馬虎大意，如棱柱的概念中的“相鄰”，棱錐的概念中的“公共頂點”，棱臺的概念中的“棱錐”“平行”等。2幾何體的計算問題探究問題（1）計算正三棱錐中底面邊長，斜高，高時，通常是將所求線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？提示 常用到的直角三角形有：由斜高、高、底面中心到邊的距離構(gòu)成的三角形，由高、側(cè)棱和底面中心與底面頂點的連線構(gòu)成的三角形。（2）其他正棱錐的計算是否與正三棱錐計算用同樣的方法？提示 是。（3）正棱臺中的計算呢？提示 根據(jù)正棱錐與正棱臺的

8、關系，轉(zhuǎn)化到直角梯形中求解?！纠?正三棱錐的底面邊長為3，側(cè)棱長為2eq r(3)，求正三棱錐的高。思路探究 正三棱錐側(cè)棱、高和底面三角形外接圓半徑組成直角三角形勾股定理求解。解 作出正三棱錐如圖，SO為其高，連接AO，作ODAB于點D，則點D為AB的中點。在RtADO中，ADeq f(3,2)，OAD30，故AOeq f(f(3,2),cosOAD)eq r(3)。在RtSAO中，SA2eq r(3)，AOeq r(3)，故SOeq r(SA2AO2)3，其高為3【母題探究】1將本例中“側(cè)棱長為2eq r(3)”，改為“斜高為2eq r(3)”，則結(jié)論如何？解 在RtSDO中，SD2eq

9、r(3)，DOeq f(1,2)AOeq f(r(3),2)，故SOeq r(SD2DO2)eq r(12f(3,4)eq f(3r(5),2)。2將本例中“三棱錐”改為“四棱錐”，如何解答？解 如圖正四棱錐SABCD中，SO為高，連接OC則SOC是直角三角形，由題意BC3，則OCeq f(3r(2),2)，又因為SC2eq r(3)，則SOeq r(SC2OC2)eq r(12f(9,2)eq r(f(15,2)eq f(r(30),2)。故其高為eq f(r(30),2)?！窘處熜〗Y(jié)】（一）正棱錐中的直角三角形的應用已知正棱錐如圖(以正四棱錐為例)，其高PO，底面為正方形，作PECD于E，

10、則PE為斜高。(1)斜高、側(cè)棱構(gòu)成直角三角形，如圖中RtPEC(2)斜高、高構(gòu)成直角三角形，如圖中RtPOE。(3)側(cè)棱、高構(gòu)成直角三角形，如圖中RtPOC（二）正棱臺中的直角梯形的應用已知正棱臺如圖(以正四棱臺為例)，O1，O分別為上、下底面中心，作O1E1B1C1于E1，OEBC于E，則E1E為斜高，(1)斜高、側(cè)棱構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形E1ECC1(2)斜高、高構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形O1E1EO。(3)高、側(cè)棱構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形O1OCC1三、課堂總結(jié)1棱錐的結(jié)構(gòu)特征。定義有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面圍成的多面體圖示及相關概念底面：多邊形面?zhèn)让?/p>

11、：有公共頂點的各個三角形面?zhèn)壤猓合噜弮蓚?cè)面的公共邊頂點：各側(cè)面的公共頂點分類按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐、四棱錐2棱臺的結(jié)構(gòu)特征。定義用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分圖示及相關概念上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)让妫撼舷碌酌嬉酝獾拿鎮(zhèn)壤猓合噜弮蓚?cè)面的公共邊頂點：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點分類按由幾棱錐截得分：三棱臺、四棱臺四、課堂檢測1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)（1）有一個底面為多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體是棱錐。( )（2）棱臺的側(cè)棱長都相等。( )（3）棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形。( )（4）棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形。( )答案 （1） （2） （3） （