論文：剛體的平面運(yùn)動(dòng)

1、剛體的平面運(yùn)動(dòng)目錄 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark34 o Current Document （一）剛體平面運(yùn)動(dòng)方程-2 -位移-2 -速度-3 -加速度-3 - HYPERLINK l bookmark59 o Current Document （二）剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)-4 -動(dòng)力學(xué)方程-4 -力偶和力偶矩-5 -（三）剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能-5 -實(shí)例分析-5 -滾動(dòng)摩擦力偶矩-5 -汽車(chē)運(yùn)動(dòng)時(shí)輪的受力和汽車(chē)的極限速度-7 -剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能運(yùn)用-8 - HYPERLINK l bookmark171 o Current Document 結(jié)論-9 -

2、 HYPERLINK l bookmark177 o Current Document 參考文獻(xiàn)-9 -摘要本論文主要從剛體的平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)進(jìn)行研究說(shuō)明，同時(shí)捎帶提了一下能量 的問(wèn)題。在運(yùn)動(dòng)學(xué)方面，分位移（空間位置），速度，加速度進(jìn)行講述，其中以相對(duì)基點(diǎn)速 度，加速度的推導(dǎo)為重點(diǎn)。在動(dòng)力學(xué)中講述里剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，同時(shí)為了簡(jiǎn)化剛 體平面運(yùn)動(dòng)的分析，引入力偶和力偶矩的概念。然后是簡(jiǎn)潔的給出了剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能表 達(dá)式和動(dòng)能定理。接著本論文以滾子的滾動(dòng)這一簡(jiǎn)單的剛體平面運(yùn)動(dòng)形式給出了實(shí)例的運(yùn)用?！皾L動(dòng)動(dòng)摩擦 力偶矩”，“汽車(chē)運(yùn)動(dòng)時(shí)輪的受力和汽車(chē)的極限速度”（驅(qū)動(dòng)力的產(chǎn)生）這都是比

3、較接近現(xiàn)實(shí) 生活的。雖然本文在這兩方面的論述比較粗糙，但就分析剛體的平面運(yùn)動(dòng)和理解滾動(dòng)摩擦卻 是很有意義的。雖然能量不是本文的重點(diǎn)，但作者認(rèn)為這卻是很重要的思想方法，是一種物 理修養(yǎng)。所以在實(shí)例分析中給出力一道常見(jiàn)的大學(xué)物理題的分析討論。相信這一似乎離題的 討論能給我們一些啟示。平面平行運(yùn)動(dòng)是指剛體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)離某固定平面的距離始終保持不變。也就是 說(shuō)，剛體內(nèi)任一點(diǎn)始終在與固定平面平行的某一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。（一）剛體平面運(yùn)動(dòng)方程取剛體內(nèi)一點(diǎn)A作為基點(diǎn)，設(shè)過(guò)A點(diǎn)且平行于剛體運(yùn)功的平面的平面截剛體為S（如圖 1）。在S內(nèi)作射線(xiàn)AB （如圖2）。剛體內(nèi)各點(diǎn)相對(duì)射線(xiàn)AB的位置是固定的，只需確定AB七

4、，七）及 AB 與 x軸的夾角平七，七）及 AB 與 x軸的夾角平來(lái)確定。1.位移當(dāng)S運(yùn)動(dòng)時(shí)上，匕，平時(shí)t的單值連續(xù)函數(shù)仲+ 叫（1） TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark37 o Current Document f （t）J3J這就是剛體平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。r = f （t） + f （tn質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程圖（1）圖（3）A圖（1）圖（3）中=f3（t ）n剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程從而得剛體的平面運(yùn)動(dòng)可分解為隨基點(diǎn)A的移動(dòng) 和繞A的轉(zhuǎn)動(dòng)。說(shuō)明：轉(zhuǎn)角中與基點(diǎn)地選擇無(wú)關(guān)如圖（3），AB是S中任意一直線(xiàn)，在A,B分別建立移動(dòng)的坐標(biāo)系氣，和B：y，當(dāng)S運(yùn) 動(dòng)時(shí)AB與

5、兩移動(dòng)坐標(biāo)系的夾角是相同的，可以推斷：在同一瞬時(shí)，圖形繞任一基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng) 不但轉(zhuǎn)角是相同的，而且角速度，角加速度也各相同。2.速度S內(nèi)任意二點(diǎn)A,B。設(shè)A為基點(diǎn)r = r + r兩邊同時(shí)對(duì)t求導(dǎo)B A ABdr dr drB = A + AB 其中 dt dt dt 八drABdtddrABdtd (r x e )dtr 0 0 = r k x = CD xrAB所以 v = v +Dx r(2)B AABB點(diǎn)的速度為基點(diǎn)A的速度和B相對(duì)A的速度兩矢量和。3.加速度r = r + r兩邊同時(shí)對(duì)t求二階導(dǎo)B A ABd 2 r _ d 2 r d 2 r dt 2 dt 2dt 2d0ea = a

6、 +r 9 其中聞=理 e +0 性=。3 0 2dt dt 0 dt 0 r所以 a = a + 0 0 2 （3） B B AB 0 AB rB點(diǎn)的加速度為基點(diǎn)A的加速度和B相對(duì)A轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度的矢量和。（二）剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)1.動(dòng)力學(xué)方程如圖（4）,在O系中對(duì)剛體應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 F = ma （4）ic得投影式 F = macx在從C系研究剛體繞乙軸的角動(dòng)量矩的矢量和。此外所有質(zhì)點(diǎn)受慣性力-macM瀕表示作用于各質(zhì)點(diǎn)諸力對(duì)矩的矢量和。此外所有質(zhì)點(diǎn)受慣性力-mac再考慮到諸質(zhì)點(diǎn)所受慣性力矩L成（-瀝）=無(wú)其中慣性力M , +一一、dL iz夕卜L成（-瀝）=無(wú)其中慣性力

7、 - -r x m 一mc -， -、rx (-ma )=ic r x m右方的一i一為質(zhì)心系中質(zhì)心的位置矢量，當(dāng)然為零。所以m當(dāng)然為零。所以iz 外dt運(yùn)用于剛體，剛體對(duì)z軸角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率即I ,a :所以M.，外=I 偵（5）即作用于剛體各力對(duì)質(zhì)心z軸的合力矩等于剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體角加速度的乘 積，叫做剛體對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)定理。（4） （5）兩式合起來(lái)給出了剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程。剛體的力學(xué)特征根據(jù)（4）式作用于剛體上的力使質(zhì)心加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)5）式它對(duì)質(zhì)心軸的力矩使剛體產(chǎn)生 角加速度。因此作用與剛體的力有兩種力學(xué)效應(yīng)。從而在分析剛體的平面運(yùn)動(dòng)時(shí)可以從等效 出力的這兩種效果出

8、發(fā)使問(wèn)題變得清晰簡(jiǎn)單。圖（5）2.力偶和力偶矩圖（5）大小相等方向相反彼此平行的一對(duì)力叫力偶。 因其矢量和為零，故對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)無(wú)影響。二 力對(duì)質(zhì)心軸力矩之和為M =命 x F力矩大小等于力偶中一力與力偶臂乘積而方 向與力偶中而力成右受螺旋者稱(chēng)作該力偶的 力偶矩。因此我們可以用力偶矩來(lái)表示剛體 收到的轉(zhuǎn)動(dòng)作用，而不對(duì)質(zhì)心產(chǎn)生影響?？紤]到作用于剛體的力的兩種效果和力偶矩 的概念，如圖（5），作用于剛體的力等效于 一作用線(xiàn)通過(guò)質(zhì)心的力和一力偶矩，這力的大小和方向與原力相同，而力偶矩等于原力對(duì)質(zhì) 心軸的力矩。（三）剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能按克尼希定理式E - mv2 +上m v2K 2 C 2 i i可得剛體

9、平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)能等于隨質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能和剛體相對(duì)質(zhì)心系的動(dòng)能的和廠 1 一 , 1 , 一E = mv 2 + I & 2k 2 c 2 c根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能增量等于一切內(nèi)力和外力做功的代數(shù)和。對(duì)剛體來(lái)說(shuō)，內(nèi)力做功的代數(shù)和為零，故對(duì)于剛體的平面運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能定理為11J A - A（-mv 2 + I 2）實(shí)例分析在水平面上滾動(dòng)的圓柱形的滾子的運(yùn)動(dòng)是典型和常見(jiàn)的剛體平面運(yùn)動(dòng)的實(shí)例，但同時(shí)卻有重 要意義。1.滾動(dòng)摩擦力偶矩滾動(dòng)體放在支持面上，滾動(dòng)體和支持面都會(huì)發(fā)生形變。當(dāng)滾動(dòng)體靜止時(shí)形變對(duì)稱(chēng)如圖（6），當(dāng)滾動(dòng)體滾動(dòng)時(shí)，如圖（7）,后邊的形變略低于前方，前面的支撐面凸起，形變不對(duì)稱(chēng)，支撐面對(duì)滾動(dòng)體

10、的作用力前移，作用力為Fn，力Fn分解為豎直分力Fn和水平分力Fn，F(xiàn)n-近似與公切面垂直可看做彈性支持力；力F近似與公切面平行，可看做靜摩擦力。它們的 N效果為作用于o的力Fn和附加力偶矩。附加力偶矩起阻礙滾動(dòng)體滾動(dòng)的作用，稱(chēng)滾動(dòng)摩 擦力偶矩，大小記作M滾用5表示原來(lái)力Fn與O的垂直距離，則M = M = N5滾圖（6）圖（7）圖（8）可見(jiàn)滾動(dòng)摩擦力偶矩與滾動(dòng)體和支撐面間的正壓力成正比，比例系數(shù)5為滾動(dòng)摩擦因數(shù)，它 有長(zhǎng)度的量綱。取四=5 /r，r表示滾動(dòng)體滾過(guò)時(shí)的曲率半徑，稱(chēng)作滾動(dòng)阻力因數(shù)。它與滾動(dòng)快慢，輪與支撐面材料和形變程度均有關(guān)，表（1）列出了常見(jiàn)汽車(chē)輪在幾種典型路 面上的值表（1）

11、路面類(lèi)型史良好的瀝青或混凝土路面0.0100.018一般的瀝青或混凝土路面0.0180.020坑洼的卵石路面0.0350.050泥濘土路（雨季或解凍）0.1000.250結(jié)冰路面0.0100.030數(shù)據(jù)選自于志生主編汽車(chē)?yán)碚撐覀兂Ｕf(shuō)，滾動(dòng)摩擦比滑動(dòng)摩擦小。其實(shí)它們一是力偶矩一各是力，不好直接比較。但可在另一意義下比較。如圖（9）表示沿水平方向用力F拉滾子，當(dāng)作用與轉(zhuǎn)軸時(shí)f = f =-F =-W = W f r n r當(dāng)力作用于滾子的邊緣如（10），則滾子只能平動(dòng)。若速度不變，則F和F都是力。因?yàn)楦?日，因而F2 + % + m)x = 0 HYPERLINK l bookmark111 o

12、Current Document 124 R 2 4 R 244I I mm (+ + + 2 HYPERLINK l bookmark117 o Current Document 4 R 2 4 R 244所以是簡(jiǎn)諧振動(dòng)+ M)x + (k + k ) x = 01+ m2 2同時(shí)也可以用受力分析的方法u板=2v n af + f = maa 0a 0- iR(f - f ) R = Im4m42 + M)x + (k + k )x = 0f + f = m a2220a(f - f ) R = I 言222 RF = -(k + k )xF - f 1 - f2 = Ma所以是簡(jiǎn)諧振動(dòng)結(jié)論剛體的平面運(yùn)動(dòng)可分解為剛體的平動(dòng)和剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在研究剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)是可以選取剛 體上比較特殊和好研究的一點(diǎn)作為基點(diǎn)，然后把其他點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)看做是其繞之一基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)和 基點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的合成。對(duì)剛體