計算機(jī)圖形學(xué) 二維變換及二維課件

1、第三章 二維變換及二維觀察本章主要內(nèi)容3.1二維圖形的基本變換3.2窗口視圖變換3.3復(fù)合變換3.4二維圖形裁剪3.5本章小結(jié)3.1 二維圖形的基本變換3.1.1 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)回顧矢量 一條有向線段，具有大小和方向兩個參數(shù) 最廣義指線性空間中的元素,代表N維空間的一個點 矢量矢量和矢量數(shù)乘矢量點積性質(zhì)矩陣矩陣：由mn個數(shù)按一定位置排列的一個整體，簡稱mn矩陣。 A=aij稱為矩陣A的第i行第j列元素 加法 A+B=乘法：設(shè)A為23階矩陣，B為32階矩陣C=AB=矩陣運算性質(zhì) 交換律和結(jié)合律：A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+C 數(shù)乘分配律和結(jié)合律：a(A+B) = aA+aB; a(A

2、B) = (aA) B=A (aB) (a+b)A = aA + bA a(bA) = (ab)A矩陣乘法的結(jié)合律及分配律 A(B C) = (A B)C (A+B) C = A C+ B C C (A+B) = C A + C B3.1.2 二維圖形基本變換基本概念 圖形變換：對圖形的幾何信息經(jīng)過幾何變換產(chǎn)生新的圖形二維變換方法：二維圖形是由點組成，對點進(jìn)行變換變換矩陣的確定運算，得到新點坐標(biāo) P=RP 五種基本變換：平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、比例變換、對稱變換、錯切變換平移變換平移變換從原始位置P(x,y)平移到新位置P(x,y)有用矩陣的形式表示為即 平移變換矩陣旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換P(x,y)繞

3、原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到新點P(x,y)矩陣表示形式即旋轉(zhuǎn)變換矩陣 比例變換比例變換從原始位置P(x,y)平移到新位置P(x,y)有矩陣形式即比例變換矩陣對稱變換反射變換（鏡像變換）：一個圖形繞某一軸旋轉(zhuǎn)180度形成新圖形的過程。原始位置P(x,y)關(guān)于對稱軸對稱得到新位置P(x,y)矩陣形式為 對稱變換矩陣 Tm 錯切變換 保持圖形上各點的某一坐標(biāo)值不變，而另一坐標(biāo)值關(guān)于該坐標(biāo)成線性變化。 坐標(biāo)保持不變的坐標(biāo)軸為依賴軸，其余稱為方向軸。以Y軸為依賴軸（沿X軸錯切）坐標(biāo)變換 矩陣形式即 錯切變換矩陣（C0沿正方向錯切，C0沿正方向錯切，b0沿負(fù)方向錯切） 討論 二維變換的矩陣表達(dá)能否找到一種統(tǒng)一的形

4、式？ 找到一個通用的算子代表所有變換?齊次坐標(biāo) 變換矩陣的統(tǒng)一表示表示無窮遠(yuǎn)的點定義：用n+1維向量表示n維向量二維點（x,y)的齊次坐標(biāo)表示是（hx,hy,h),如（8，4，2）（4，2，1）都表示同一個坐標(biāo)（4，1）h=1為規(guī)范化齊次坐標(biāo)二維變換的齊次坐標(biāo)表達(dá)通常?。▁,y,1)表示二維平面未變換點P(x,y)的齊次坐標(biāo) 基本幾何變換矩陣變?yōu)?3的矩陣新點用齊次坐標(biāo)表示X,Y,H新點的二維坐標(biāo)P（x,y)表示為齊次坐標(biāo)表示 四個子矩陣的作用這些都是相對于原點的變換。本課小結(jié) 五種基本二維圖形變換 圖形變換的矩陣表示 為什么引入齊次坐標(biāo)？ 圖形變換的齊次坐標(biāo)表示 五種變換矩陣及四個子矩陣3.

5、2 窗口到視區(qū)的變換基本概念用戶域和窗口區(qū)1 用戶域：程序員用來定義草圖的整個自然空間(WD) a 人們所要描述的圖形均在用戶域中定義。 b 用戶域是一個實數(shù)域，理論上是連續(xù)無限的。2 窗口區(qū)：用戶指定的任一區(qū)域(W) a 窗口區(qū)W小于或等于用戶域WD b 小于用戶域的窗口區(qū)W叫做用戶域的子域。 c 窗口可以有多種類型，矩形窗口、圓形窗口、多邊形窗口等等 d 窗口可以嵌套，即在第一層窗口中可再定義第二層窗口，在第I層窗口中可再定義第I+1層窗口等等?；靖拍?屏幕域和視圖區(qū)1. 屏幕域(DC)：設(shè)備輸出圖形的最大區(qū)域，是有限的整數(shù)域。如圖形顯示器分辨率為1024768DC0.10230.767

6、2視圖區(qū)：任何小于或等于屏幕域的區(qū)域 a視圖區(qū)用設(shè)備坐標(biāo)定義在屏幕域中 b窗口區(qū)顯示在視圖區(qū)，需做窗口區(qū)到視圖區(qū)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。 c 視圖區(qū)可以有多種類型：圓形、矩形、多邊形等。 d 視圖區(qū)也可以嵌套。 二維圖形的顯示流程圖從應(yīng)用程序得到圖形的用戶坐標(biāo)對窗口區(qū)進(jìn)行裁剪窗口區(qū)到視圖區(qū)的規(guī)格化變換視圖區(qū)從規(guī)格化坐標(biāo)系到設(shè)備坐標(biāo)系的變換WCWCNDCDC在圖形設(shè)備上輸出坐標(biāo)變換設(shè)窗口的四條邊界WXL,WXR,WYB,WYT視圖的四條邊界VXL,VXR,VYB,VYT則用戶坐標(biāo)系下的點（即窗口內(nèi)的一點）(Xw,Yw)對應(yīng)屏幕視圖區(qū)中的點（Xs,Ys），其變換公式為坐標(biāo)變換簡化為：1) 當(dāng)ac時，即x 方向

7、的變化與y方向的變化不同時，視圖中的圖形會有伸縮變化，圖形變形。2)當(dāng)a=c=1，b=d=0則Xs=Xw,Ys=Yw,圖形完全相同。 3.3復(fù)合變換復(fù)合變換 復(fù)合變換又稱級聯(lián)變換，指對圖形做一次以上的幾何變換。注意：任何一個線性變換都可以分解為上述幾類變換。 例1：復(fù)合平移求點P(x,y)經(jīng)第一次平移變換（Tx1,Ty1），第二次平移變換（Tx2,Ty2）后的坐標(biāo)P*（x*, y*）解：設(shè)點P(x,y,1)經(jīng)第一次平移變換后的坐標(biāo)為P(x y 1)，則經(jīng)第二次平移變換后的坐標(biāo)為P*(x* y* 1)變換矩陣為Tt=Tt1Tt2例2：多種復(fù)合組合例:對一線段先放大2倍(即Sx=Sy=2)，再平移

8、Tx=10,Ty=0。解:設(shè)點(x,y)為線段上的任意一點,點(x,y)為點(x,y)放大后的坐標(biāo),點(x,y)為點(x,y)平移后的坐標(biāo),則: x,y,1= x,y,1S2(2,2) x,y,1= x,y,1T2(10,0) x,y,1=x,y,1T2(10,0)=x,y,1S2(2,2)T2(10,0) 令：M=S2(2,2)T2(10,0) ，則M即為組合變換yx(x,y)yx(x,y)yx(x,y)Tx例3：旋轉(zhuǎn)變換對參考點F(xf,yf)做旋轉(zhuǎn)變換。解：1、把旋轉(zhuǎn)中心F(xf,yf)平移至坐標(biāo)原點，即坐標(biāo)系平移（-xf,-yf），則2、進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換例3：旋轉(zhuǎn)變換3.將坐標(biāo)系平移回原來

9、的原點因此變換矩陣： 例4：任意反射軸的反射變換任一圖形關(guān)于任意反射軸y=a+bx的反射變換 解：1. 將坐標(biāo)原點平移到(0,a)處例4：任意的反射軸的反射變換2.將反射軸（已平移后的直線）按順時針方向旋轉(zhuǎn)角，使之與x軸重合 3.圖形關(guān)于x軸的反射變換 4.將反射軸逆時針旋轉(zhuǎn)角例4：任意的反射軸的反射變換5.恢復(fù)反射軸的原始位置因此 3.4 二維圖形裁剪裁剪裁剪：確定圖形中哪些部分落在顯示區(qū)之內(nèi)，哪些落在顯示區(qū)之外,以便只顯示落在顯示區(qū)內(nèi)的那部分圖形。這個選擇過程稱為裁剪。裁剪的實質(zhì)就是決定圖形中哪些點、線段、文字以及多邊形在窗口之內(nèi)。 圖形裁剪算法，直接影響圖形系統(tǒng)的效率。3.4.1點的裁剪

10、圖形裁剪中最基本的問題。 假設(shè)窗口的左下角坐標(biāo)為(xL,yB),右上角坐標(biāo)為(xR,yT)，對于給定點P(x,y),則P點在窗口內(nèi)的條件是要滿足下列不等式：xL = x = xR 并且yB = y = yT否則，P點就在窗口外。最簡單的圖形裁剪方法是判斷各點是否在窗口內(nèi)。(xL,yB )(xR,yT )3.3.2直線段裁剪直線段裁剪算法是復(fù)雜圖形裁剪的基礎(chǔ)。復(fù)雜的曲線可以通過折線段來近似，從而裁剪問題也可以化為直線段的裁剪問題。直線裁剪算法：Cohen-Sutherland算法 中點分割算法3.4.2直線段裁剪裁剪線段與窗口的關(guān)系：(1)直線兩個端點都在窗口內(nèi)；(2)兩個端點都在窗口外，且在窗

11、口的某邊框線的同一側(cè)；(3)其它 直線的一個端點在窗口內(nèi)，另一個在窗口外 兩個均在窗口外，橫跨窗口 整條線在窗口外，兩交點不在窗口某邊線的同一側(cè)提高裁剪效率：快速判斷情形(1)(2)，對于情形(3)，設(shè)法減少求交次數(shù)和每次求交時所需的計算量。Cohen-Sutherland裁剪1.基本思想：對于每條線段P1P2分為三種情況處理:（1）若P1P2完全在窗口內(nèi)，則顯示該線段P1P2。（2）若P1P2明顯在窗口外，則丟棄該線段。（3）若線段不滿足（1）或（2）的條件，則在交點處把線段分為兩段。其中一段完全在窗口外，可棄之。然后對另一段重復(fù)上述處理。2.為快速判斷，采用如下編碼方法： 實現(xiàn)方法： 將窗

12、口邊線兩邊延長，得到九個區(qū)域，每一個區(qū)域都用一個四位二進(jìn)制數(shù)標(biāo)識，直線的端點都按其所處區(qū)域賦予相應(yīng)的區(qū)域碼，用來標(biāo)識出端點相對于裁剪矩形邊界的位置。0101Cohen-Sutherland裁剪100100010101100000000100101000100110ABCDCohen-Sutherland算法將區(qū)域碼的各位從右到左編號，則坐標(biāo)區(qū)域與各位的關(guān)系為： 上 下 右 左 X X X X任何位賦值為1，代表端點落在相應(yīng)的位置上，否則該位為0。若端點在剪取矩形內(nèi)，區(qū)域碼為0000。如果端點落在矩形的左下角，則區(qū)域碼為0101。Cohen-Sutherland算法3.判斷依據(jù)一旦給定所有的線段

13、端點的區(qū)域碼，就可以快速判斷哪條直線完全在剪取窗口內(nèi)，哪條直線完全在窗口外。所以得到一個規(guī)律：Cohen-Sutherland裁剪若P1P2完全在窗口內(nèi)：code1=0,且code2=0,則“取”若P1P2明顯在窗口外：code1&code20，則“棄” 在交點處把線段分為兩段。其中一段完全在窗口外，可棄之。然后對另一段重復(fù)上述處理。 編碼 線段裁剪 Cohen-Sutherland直線裁剪算法小結(jié)本算法的優(yōu)點在于簡單，易于實現(xiàn)。可以簡單的描述為將直線在窗口外邊的部分刪去，處理之后，剩余部分就是可見的了。在這個算法中求交點是很重要的，決定了算法的速度。特點：用編碼方法可快速判斷線段的完全可見和

14、顯然不可見。中點分割裁剪算法基本思想：從P0點出發(fā)找出離P0最近的可見點，和從P1點出發(fā)找出離P1最近的可見點。這兩個可見點的連線就是原線段的可見部分。與Cohen-Sutherland算法一樣首先對線段端點進(jìn)行編碼，并把線段與窗口的關(guān)系分為三種情況，對前兩種情況，進(jìn)行一樣的處理；對于第三種情況，用中點分割的方法求出線段與窗口的交點。A、B分別為距P0 、 P1最近的可見點，Pm為P0P1中點。 中點分割算法-求線段與窗口的交點從P0出發(fā)找距離P0最近可見點采用中點分割方法先求出P0P1的中點Pm,若P0Pm不是顯然不可見的，并且P0P1在窗口中有可見部分，則距P0最近的可見點一定落在P0Pm

15、上，所以用P0Pm代替P0P1；否則取PmP1代替P0P1。再對新的P0P1求中點Pm。重復(fù)上述過程，直到PmP1長度小于給定的控制常數(shù)為止，此時Pm收斂于交點。從P1出發(fā)找距離P1最近可見點采用上面類似方法。中點分割裁剪算法對分辯率為2N*2N的顯示器，上述二分過程至多進(jìn)行N次。主要過程只用到加法和除法運算，適合硬件實現(xiàn)，它可以用左右移位來代替乘除法，這樣就大大加快了速度。中點分割裁剪算法小結(jié) 5.1點的裁剪 5.2直線段裁剪 3.4.3多邊形裁剪 3.4.3多邊形裁剪錯覺：直線段裁剪的組合？新的問題：1）邊界不再封閉，需要用窗口邊界的恰當(dāng)部分來封閉它，如何確定其邊界？2）一個凹多邊形可能被

16、裁剪成幾個小的多邊形，如何確定這些小多邊形的邊界？Sutherland-Hodgman算法分割處理策略：將多邊形關(guān)于矩形窗口的裁剪分解為多邊形關(guān)于窗口四邊所在直線的裁剪。流水線過程(左上右下)：前邊的結(jié)果是后邊的輸入。亦稱逐邊裁剪算法Sutherland-Hodgman算法基本思想是一次用窗口的一條邊裁剪多邊形?？紤]窗口的一條邊以及延長線構(gòu)成的裁剪線該線把平面分成兩個部分:可見一側(cè)；不可見一側(cè)多邊形的各條邊的兩端點S、P。它們與裁剪線的位置關(guān)系只有四種Sutherland-Hodgman算法情況（1）僅輸出頂點P；情況（2）輸出0個頂點；情況（3）輸出線段SP與裁剪線的交點I；情況（4）輸出線段SP與裁剪線的交點I和終點PSutherland-Hodgman算法框圖 處理線段SP過程子框圖Sutherland-Hodgman算法上述算法僅用一條裁剪邊對多邊形進(jìn)行裁剪，得到一個頂點序列，作為下一條裁剪邊處理過程的輸入。對于每一條裁剪邊，算法框圖同上。Sutherland-Hodgeman算法小結(jié)對凸