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1、第7章 數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)第7章 數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)1數(shù)字信號處理第7章 數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)第7章 數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)1數(shù)字信號處7.1 引言 數(shù)字濾波器是一個時域離散系統(tǒng),它可以用差分方程、單位脈沖響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)表示: 同一個差分方程或系統(tǒng)函數(shù)有不同的算法,而不同的算法將影響系統(tǒng)的運算誤差、運算速度以及系統(tǒng)的復(fù)雜程度,因此研究信號處理的算法是一個很重要的問題。2數(shù)字信號處理7.1 引言 數(shù)字濾波器是一個時域離散系統(tǒng),它可以用差例如: 可以證明: ,但它們具有不同的運算結(jié)構(gòu)。 運算結(jié)構(gòu)不同,所需的存儲單元及乘法次數(shù)不同,前者影響運算的復(fù)雜性,后者影響運算速度。此外,在有限精度情況下,運算結(jié)構(gòu)的誤差、穩(wěn)定性也是
2、不同的。3數(shù)字信號處理例如:3數(shù)字信號處理 基本結(jié)構(gòu)單元 IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu) 直接型、級聯(lián)型、并聯(lián)型 FIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu) 直接型、級聯(lián)型、頻率采樣型及線性相位型本章主要學(xué)習(xí)4數(shù)字信號處理 基本結(jié)構(gòu)單元本章主要學(xué)習(xí)4數(shù)字信號處理7.2 基本結(jié)構(gòu)單元兩種表示方法:方框圖表示法;流圖表示法三種運算:延時,乘以常數(shù)和相加。 所以DF結(jié)構(gòu)中有三個基本運算單元:單位延時、乘法器和加法器。5數(shù)字信號處理7.2 基本結(jié)構(gòu)單元兩種表示方法:方框圖表示法;流圖表示法5例:一階數(shù)字濾波器其方框圖及流圖結(jié)構(gòu)如下:節(jié)點源節(jié)點或輸入節(jié)點吸收節(jié)點或輸出節(jié)點分支節(jié)點相加節(jié)點相加節(jié)點 信號流圖是用節(jié)點與有向支路描述連續(xù)
3、或離散系統(tǒng)的。6數(shù)字信號處理例:一階數(shù)字濾波器其方框圖及流圖結(jié)構(gòu)如下:節(jié)點源節(jié)點或輸入節(jié)7.3 IIR DF的基本結(jié)構(gòu)一、無限長單位脈沖響應(yīng)濾波器的特點(1)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是無限長的;(2)信號流圖中含有反饋支路;(3)系統(tǒng)函數(shù)在有限平面上有極點,存在不穩(wěn)定現(xiàn)象。二、IIR DF基本結(jié)構(gòu)直接型、級聯(lián)型、并聯(lián)型 直接型結(jié)構(gòu):直接I型、直接II型(正準(zhǔn)型、典范型)7數(shù)字信號處理7.3 IIR DF的基本結(jié)構(gòu)一、無限長單位脈沖響應(yīng)濾波器1直接型(1)直接I型由差分方程直接實現(xiàn) 一個N節(jié)延時鏈結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。不過它是對y(n)延時,因而是個反饋網(wǎng)絡(luò)。 對輸入x(n)的M節(jié)延時鏈結(jié)構(gòu),把每節(jié)延時抽頭后加權(quán)
4、相加,即是一個橫向網(wǎng)絡(luò)。8數(shù)字信號處理1直接型(1)直接I型由差分方程直接實現(xiàn) 一個N結(jié)構(gòu)特點: (1)兩個網(wǎng)絡(luò)級聯(lián):第一個橫向結(jié)構(gòu)M節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)零點,第二個有反饋的N節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)極點。 (2)共需(N+M)級延時單元 (3)系數(shù)ak、br不是直接決定單個零極點,因而不能很好地進行濾波器性能控制。9數(shù)字信號處理結(jié)構(gòu)特點: (1)兩個網(wǎng)絡(luò)級聯(lián):第一個橫向結(jié)構(gòu)M節(jié)延時(2)直接II型(正準(zhǔn)型/典范型) 直接I型結(jié)構(gòu)的兩部分可看成兩個獨立的網(wǎng)絡(luò)。 原理:一個線性時不變系統(tǒng),若交換其級聯(lián)子系統(tǒng)的次序,系統(tǒng)函數(shù)不變。 把此原理應(yīng)用于直接I型結(jié)構(gòu)。即: (1)交換兩個級聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的次序;(2)合并兩個具有
5、相同輸入的延時支路。 直接II型。10數(shù)字信號處理(2)直接II型(正準(zhǔn)型/典范型) 直接I型結(jié)構(gòu)的兩部對調(diào)直接I型11數(shù)字信號處理對調(diào)直接I型11數(shù)字信號處理 由于對調(diào)后前后兩路都有一條內(nèi)容完全相同的延時鏈,可以合并為一條即可。直接II型12數(shù)字信號處理 由于對調(diào)后前后兩路都有一條內(nèi)容完全相同的延時鏈,直接直接II型結(jié)構(gòu)特點: (1)兩個網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)。 第一個有反饋的N節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)極點; 第二個橫向結(jié)構(gòu)M節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)零點。 (2)實現(xiàn)N階濾波器(一般NM)只需N級延時單元,所需延時單元最少,故稱典范型。 (3)同直接I型一樣,具有直接型實現(xiàn)的一般缺點。13數(shù)字信號處理直接II型結(jié)構(gòu)特點: (
6、1)兩個網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)。13數(shù)字信號例7-1:已知IIR DF系統(tǒng)函數(shù),畫出直接型的結(jié)構(gòu)流圖。解:其對應(yīng)的差分方程為 注意反饋部分系數(shù)符號。14數(shù)字信號處理例7-1:已知IIR DF系統(tǒng)函數(shù),畫出直接型的結(jié)構(gòu)流圖。解2級聯(lián)型(1)系統(tǒng)函數(shù)因式分解 一個N階系統(tǒng)函數(shù)可用它的零、極點來表示。 將系統(tǒng)函數(shù)進行進一步分解,使分子、分母中每個因式的次數(shù)不高于2,這樣可以使各項系數(shù)都是實數(shù)。15數(shù)字信號處理2級聯(lián)型(1)系統(tǒng)函數(shù)因式分解15數(shù)字信號處理(2)基本二階節(jié)的級聯(lián)結(jié)構(gòu) 經(jīng)過若干分解及整理,可將H(z)分解為實系數(shù)二節(jié)因子的形式。一般用直接II型(正準(zhǔn)型、典范型表示) 基本二階節(jié),即濾波器的二階節(jié)。16
7、數(shù)字信號處理(2)基本二階節(jié)的級聯(lián)結(jié)構(gòu) 經(jīng)過若干分解及整理,可將H(3)用二階節(jié)級聯(lián)表示的濾波器系統(tǒng) 整個濾波器是多個二階節(jié)級聯(lián)結(jié)構(gòu)特點 (a)每個二階節(jié)系數(shù)單獨控制一對零點或一對極點,有利于控制頻率響應(yīng),調(diào)整方面。 (b)級聯(lián)結(jié)構(gòu)中后面的網(wǎng)絡(luò)輸出不會再流到前面,運算誤差的積累比直接型小。17數(shù)字信號處理(3)用二階節(jié)級聯(lián)表示的濾波器系統(tǒng) 整個濾波器是多個二例7-2:由下列差分方程描述的濾波器,畫出其級聯(lián)結(jié)構(gòu)。 解:由差分方程,寫出其系統(tǒng)函數(shù)應(yīng)用MATLAB函數(shù)dir2casb=1 -3 11 -27 18; a=16 12 2 -4 -1; b0,B,A=dir2cas(b,a) % 直接型
8、到級聯(lián)型的型式轉(zhuǎn)換運行結(jié)果b0 = 0.0625B = 1.0000 0.0000 9.0000; 1.0000 -3.0000 2.0000A = 1.0000 1.0000 0.5000; 1.0000 -0.2500 -0.1250MATLAB18數(shù)字信號處理例7-2:由下列差分方程描述的濾波器,畫出其級聯(lián)結(jié)構(gòu)。MAT3并聯(lián)型(1)系統(tǒng)函數(shù)的部分分式展開 將H(z)展成部分分式的形式,就得到并聯(lián)型的IIR濾波器的結(jié)構(gòu)。 “相加”在電路中用并聯(lián)實現(xiàn)。對于共軛復(fù)根部分,可將它們成對地合并為二階實系數(shù)的部分分式。19數(shù)字信號處理3并聯(lián)型(1)系統(tǒng)函數(shù)的部分分式展開19數(shù)字信號處理實現(xiàn)結(jié)構(gòu)(1)
9、可以單獨調(diào)整極點位置,但不能象級聯(lián)那樣直接控制零點。(2)誤差最小。因為并聯(lián)型各基本節(jié)的誤差互不影響,所以比級聯(lián)誤差還少。(3)并聯(lián)型結(jié)構(gòu)運算速度高。因為可同時對輸入信號進行運算。(2)基本二階節(jié)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)20數(shù)字信號處理實現(xiàn)結(jié)構(gòu)(1)可以單獨調(diào)整極點位置,但不能象級聯(lián)那樣直接控制 例7-3 由下列差分方程描述的濾波器畫出其并聯(lián)結(jié)構(gòu)。 解 根據(jù)差分方程,得出對應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)為利用MATLAB函數(shù)dir2parb=1 -3 11 -27 18;a=16 12 2 -4 -1;b0,B,A=dir2par(b,a) %直接型到并聯(lián)型的型式轉(zhuǎn)換運行結(jié)果b0 = -18;B =-10.0500 -3.95
10、00;28.1125 -13.3625A =1.0000 1.0000 0.5000; 1.0000 -0.2500 -0.1250MATLAB21數(shù)字信號處理 例7-3 由下列差分方程描述的濾波器MATLAB2122數(shù)字信號處理22數(shù)字信號處理7.3 FIR DF的基本結(jié)構(gòu)一、FIR DF的特點 (1)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是有限長的; (2)系統(tǒng)函數(shù)在|z|0平面上,只有零點,沒有極點,所有極點都在z=0處,濾波器永遠是穩(wěn)定的; (3)結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu),但有些結(jié)構(gòu)也包含反饋的遞歸部分,比如頻率采樣結(jié)構(gòu)。23數(shù)字信號處理7.3 FIR DF的基本結(jié)構(gòu)一、FIR DF的特點23數(shù)二、FIR的
11、系統(tǒng)函數(shù)及差分方程 一個有限長脈沖響應(yīng)濾波器有如下形式的系統(tǒng)函數(shù)其脈沖響應(yīng)對應(yīng)差分方程24數(shù)字信號處理二、FIR的系統(tǒng)函數(shù)及差分方程 一個有限長脈沖響應(yīng)濾波三、FIR濾波器實現(xiàn)基本結(jié)構(gòu)1)橫截型結(jié)構(gòu)(直接型)2)級聯(lián)型結(jié)構(gòu)3)頻率抽樣型結(jié)構(gòu)4)線性相位結(jié)構(gòu)25數(shù)字信號處理三、FIR濾波器實現(xiàn)基本結(jié)構(gòu)1)橫截型結(jié)構(gòu)(直接型)25數(shù)字1.直接型結(jié)構(gòu)(卷積型、橫截型)or轉(zhuǎn)置26數(shù)字信號處理1.直接型結(jié)構(gòu)(卷積型、橫截型)or轉(zhuǎn)置26數(shù)字信號處理例7-4 已知FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為試畫出其直接型結(jié)構(gòu)。 解:27數(shù)字信號處理例7-4 已知FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為27數(shù)字信號處理2.級聯(lián)型結(jié)構(gòu)
12、 當(dāng)需要控制濾波器的傳輸零點時,可將H(z)系統(tǒng)函數(shù)分解成二階實系數(shù)因子的形成: 即可以由多個二階節(jié)級聯(lián)實現(xiàn),每個二階節(jié)用橫截型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。28數(shù)字信號處理2.級聯(lián)型結(jié)構(gòu) 當(dāng)需要控制濾波器的傳輸零點時,可將H(級聯(lián)型結(jié)構(gòu)特點:由于這種結(jié)構(gòu)所需的系數(shù)比直接型多,所需乘法運算也比直接型多,很少用。由于這種結(jié)構(gòu)的每一節(jié)控制一對零點,因而只能在需要控制傳輸零點時用。29數(shù)字信號處理級聯(lián)型結(jié)構(gòu)特點:由于這種結(jié)構(gòu)所需的系數(shù)比直接型多,所需乘法運例7-5 已知FIR濾波器的差分方程試畫出其級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解 采用MATLAB函數(shù)dir2casb=1 0.3 0.72 0.11 0.21;C,B,A=dir2cas
13、(b,1)運行結(jié)果C =1B = 1.0000 0.2514 1.5744 1.0000 0.0486 0.1334 A = 1 0 0 1 0 030數(shù)字信號處理例7-5 已知FIR濾波器的差分方程試畫出其級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解3.頻率抽樣型結(jié)構(gòu)若FIR DF 的沖激響應(yīng)h(n)為有限長(N),則有:h(n)H(z)H(k)H(ejw)DFTN等分抽樣單位園上頻響Z變換內(nèi)插對h(n)可以利用DFT得到H(k),再利用內(nèi)插公式:1)頻率抽樣型結(jié)構(gòu)的導(dǎo)入31數(shù)字信號處理3.頻率抽樣型結(jié)構(gòu)若FIR DF 的沖激響應(yīng)h(n)為有限長2)頻率抽樣型濾波器結(jié)構(gòu)它是由兩部分級聯(lián)而成。第一部分為梳狀濾波器:第二部分
14、由N個諧振器組成的諧振柜。32數(shù)字信號處理2)頻率抽樣型濾波器結(jié)構(gòu)它是由兩部分級聯(lián)而成。第一部分為梳狀(1)梳狀濾波器 它是一個由N節(jié)延時單元所組成的梳狀濾波器。它在單位園上有N個等分的零點,無極點。(a)零、極點特性33數(shù)字信號處理(1)梳狀濾波器 它是一個由N節(jié)延時單元所組成(b)幅頻特性及流圖梳狀濾波器信號流圖和幅頻曲線34數(shù)字信號處理(b)幅頻特性及流圖梳狀濾波器信號流圖和幅頻曲線34數(shù)字信號(2)諧振柜(a)諧振器:是一個一階網(wǎng)絡(luò)。諧振器的極點:z-1WN-kH (k)35數(shù)字信號處理(2)諧振柜(a)諧振器:是一個一階網(wǎng)絡(luò)。諧振器的極點:z-(b)諧振柜:它是由N個諧振器并聯(lián)而成的
15、。這個諧振柜的極點正好與梳狀濾波器的一個零點(i=k)相抵消,從而使這個頻率( )上的頻率響應(yīng)等于H(k)。將兩部分級聯(lián)起來,得到頻率抽樣結(jié)構(gòu)。36數(shù)字信號處理(b)諧振柜:它是由N個諧振器并聯(lián)而成的。這個諧振柜的極點正頻率抽樣型結(jié)構(gòu)流圖 (1)它的系數(shù)H(k)直接就是濾波器在 處的頻率響應(yīng)。因此,控制濾波器的頻率響應(yīng)是很直接的。(2)它的零、極點數(shù)目只取決于h(n)的長度,只要h(n)長度相同,利用同一梳狀濾波器、同一結(jié)構(gòu)而只有加權(quán)系數(shù)H(k)不同的諧振器,就能得到各種不同的濾波器,所以其結(jié)構(gòu)可以高度模塊化、標(biāo)準(zhǔn)化,適用于時分復(fù)用。優(yōu) 點37數(shù)字信號處理頻率抽樣型結(jié)構(gòu)流圖 (1)它的系數(shù)H(
16、k)直接就是濾波器在缺點:(1)所有諧振器的極點都是在單位園上,由 決定??紤]到系數(shù)量化的影響,當(dāng)系數(shù)量化時,極點會移動,有些極點就不能被梳狀濾波器的零點所抵消,(零點由延時單元決定,不受量化的影響)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(2)所有的相乘系數(shù)及H(k)都是復(fù)數(shù),完成復(fù)數(shù)相乘,對硬件實現(xiàn)不方便。38數(shù)字信號處理缺點:38數(shù)字信號處理注:修正的頻率抽樣結(jié)構(gòu)為了克服系數(shù)量化后可能不穩(wěn)定的缺點,將頻率抽樣結(jié)構(gòu)做一點修正。即將所有零極點都移到單位園內(nèi)某一靠近單位園、半徑為r(r1)的園上,同時梳狀濾波器的零點也移到r園上。(即將頻率采樣由單位園移到修正半徑r的園上)為了使系數(shù)是實數(shù),可將共軛根合并,這些共軛
17、根在半徑為r的圓周上以實軸成對稱分布。39數(shù)字信號處理注:修正的頻率抽樣結(jié)構(gòu)為了克服系數(shù)量化后可能不穩(wěn)定的缺點,N=偶數(shù)40數(shù)字信號處理N=偶數(shù)40數(shù)字信號處理N=奇數(shù)41數(shù)字信號處理N=奇數(shù)41數(shù)字信號處理例7-6 設(shè) 求并畫出頻率采樣結(jié)構(gòu)。直接調(diào)用dir2fs函數(shù)程序 h=1,2,3,2,1/9;C,B,A=dir2fs(h)運行結(jié)果C = 0.5818 0.0849 1.0000B = -0.8090 0.8090;0.3090 -0.3090A =1.0000 -0.6180 1.0000; 1.0000 1.6180 1.0000; 1.0000 -1.0000 042數(shù)字信號處理例
18、7-6 設(shè) 求并畫出頻率采樣結(jié)構(gòu)。直接調(diào)用dir2fs函數(shù)因為M5是奇數(shù),因此只有一個一階節(jié)環(huán)。43數(shù)字信號處理因為M5是奇數(shù),因此只有一個一階節(jié)環(huán)。43數(shù)字信號處理4. 線性相位FIR結(jié)構(gòu) h(n)是實序列且對 (N-1)/2 偶對稱或奇對稱。 式中,“+”號代表第一類線性相位;“”號代表第二類線性相位。 滿足上述條件,那么這種FIR濾波器就具有嚴(yán)格的線性相位。(1)線性相位條件44數(shù)字信號處理4. 線性相位FIR結(jié)構(gòu) 令n=N-1-m代入,m=n再應(yīng)用線性FIR特性:(a)N=奇數(shù)(2)線性相位結(jié)構(gòu)45數(shù)字信號處理令n=N-1-m再應(yīng)用線性FIR特性:(a)N=奇數(shù)(2)線“+”號表示h(n)是偶對稱,代表第一類線性相位;“-”號表示 h(n) 是奇對稱,代表第二類線性相位。 第一類線性相位第二類線性相位N=奇數(shù)46數(shù)字信號處理“+”號表示h(n)是偶對稱,代表第一類線性相位;第一類線性7-5 設(shè)某
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