2022年下半年高中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析

1、20212021高中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析2021高中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析2019年上半年教師資格考試高中數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）下列選項(xiàng)中，運(yùn)算結(jié)果一定是無理數(shù)的是（）A.有理數(shù)和無理數(shù)的和B.有理數(shù)與有理數(shù)的差C.無理數(shù)和無理數(shù)的和D.無理數(shù)與無理數(shù)的差在空間直角坐標(biāo)系中，由參數(shù)方程y = asin2ti （0WtW2）所確定的曲線的一般方程為（）x +y 一般方程為（）x +y =z2 =4xyX = p cos 0 cos ,己知空間直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)的變換公式為，* = QCOS0sinp, （ p0 , z = psinQ-n（p0,則一定

2、有|B|0己知仆）=習(xí)-1廣但*（I，則f （1）=（）A.-lB.OC.lDm若矩陣為=x 4 *有三個線性無關(guān)的特征向量,2 = 2是A的二重特征根,廠3 -3 5）則（）A.x=-2, y=2B.x=l, y=-lC.x=2, y=-2D.x=-l, y=l下列表述屬于數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的是（）利用圖形描述，分析數(shù)學(xué)問題；借助空間形式認(rèn)識事物的位置關(guān)系，形態(tài)變化和運(yùn)動規(guī)律；建立形與數(shù)的關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題直觀模型，探索解決問題的思路；在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題建立模型。A.B.C.D.下列描述為演繹推理的是（）A.從一般到特殊的推理B.從特殊到一般的推理C.通過實(shí)驗(yàn)

3、驗(yàn)證結(jié)論的推理D.通過觀察猜想得到結(jié)論的推理二、簡答題（本大題共5小題，每小題7分，共35分）次實(shí)踐活動中，某班甲、乙兩個小組各20名同學(xué)在綜合實(shí)踐基地脫玉米、完成脫粒數(shù)量（千克）的數(shù)據(jù)如下:甲組：57, 59, 63,63, 64, 71,71,71, 72, 7575, 78, 79, 82, 83, 83,85,86, 86, 89乙組：50,53, 57,62,62, 63,65,65, 67,6869,73, 76, 77, 78, 85,成脫粒數(shù)量（千克）的數(shù)據(jù)如下:甲組：57, 59, 63,63, 64, 71,71,71, 72, 7575, 78, 79, 82, 83,

4、83,85,86, 86, 89乙組：50,53, 57,62,62, 63,65,65, 67,6869,73, 76, 77, 78, 85,85,88, 94, 96問題:（1）分別計(jì)算甲、乙兩組同學(xué)脫粒數(shù)量（千克）的中位數(shù)；（2分）（2）比照甲，乙兩組數(shù)據(jù)，請你給出2種信息，并說明實(shí)際意義。（5分）在空間直角坐標(biāo)系下，試判定直線1】：? + + 1 = ；八與直線12： x+2*+z+2=0 x-l = y + l=的位置關(guān)系，并求這兩條直線間的距離。在平面直角坐標(biāo)系下，（1）三次多項(xiàng)式函數(shù)的圖象過四個點(diǎn)円（0, 1） , Pi （1, 3） , P3 （1, 3）,P4 （2, 15

5、）,求該三次多項(xiàng)式函數(shù)的表達(dá)式；（4分）（2）設(shè)Pi （xi, yD （i=l, 2,，n）是平面上滿足條件xix2xn的n個點(diǎn)， 則由這n個點(diǎn)所唯一確定的多項(xiàng)式函數(shù)的最高次數(shù)是多少？簡要說明理由。（3 分）高中數(shù)學(xué)課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)性課程，簡述“基礎(chǔ)性”的含義，并舉 例說明。評價學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該釆用多樣化的方式，請列舉四種不同類型的評價方 式。三、解答題(本大題1小題，10分)設(shè)R2為二維歐式平面，F(xiàn)是R2到R2的映射，如果存在一個實(shí)數(shù)p, 0pb 使得對于任意的P, QGR2,有d (F (P) , F (Q) ) Wpd (P, Q),(其中 d (P, Q)表示P, Q兩點(diǎn)間的

6、距離)，則稱F是壓縮映射。設(shè)映射T： R2 R2,T ( (x, y) ) V(x,y)e/?2o證明：映射T是壓縮映射；(4分)設(shè) Po=Po (xo, yo)為 R2 中任意一點(diǎn),令 Pn=T (Pn-i) , n=l,2,3,，證明： nT8時，平面點(diǎn)列Pn收斂，并求limg,。(6分)四、論述題(本大題1小題，15分)函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)課程的主線，請結(jié)合實(shí)例談?wù)勅绾斡煤瘮?shù)的觀點(diǎn)來認(rèn)識中學(xué) 數(shù)學(xué)課程中的方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容。五、案例分析題(本大題1小題，共20分)案例：下面提供的案例是教師A和教師B在方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)教學(xué) 中的“課堂提問”。教學(xué)環(huán)節(jié)教師A教師B概念的引入1 .方程ln

7、x+2x-6=0是否有實(shí)數(shù)根？在初中你是如何判斷一 個方程是否有實(shí)數(shù)根 的？函數(shù)與方程之間有什么關(guān)系？1.觀察三組一元二次方程 及其相應(yīng)的二次函數(shù)，你 能發(fā)現(xiàn)方程的根和函數(shù) 圖象與X軸交點(diǎn)之間有何 關(guān)系嗎？概念的學(xué)習(xí)怎樣定義函數(shù)的零點(diǎn)？函數(shù)的零點(diǎn)是零嗎？函數(shù)的零點(diǎn)如何定義？f (x) =-x2-2x+3 的零點(diǎn) 是什么？根據(jù)下列函數(shù)圖象，判斷函數(shù)有幾個零點(diǎn)？概念的意義6.函數(shù)零點(diǎn)的幾何意義是什么？5.函數(shù)零點(diǎn)的幾何意義是 什么？零點(diǎn)存在性定理的引入7.根據(jù)函數(shù)圖象判斷滿足 什么條件時函數(shù)有零 點(diǎn)？6.觀察 f (x) =-x2-2x+3 的 圖象，它在42上有零 點(diǎn)，計(jì)算f (V)和f (-2

8、) 的乘積，你能發(fā)現(xiàn)這個乘 積有什么特點(diǎn)？在區(qū)間 0, 2上是否也具有這種 特點(diǎn)？零點(diǎn)存在性定理的學(xué)習(xí)(教師板書：如果函數(shù) y=f (x)在區(qū)間a, b_t 的圖象是連續(xù)不斷的一 條曲線，并且有f (a) -f(b) 0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi) 有零點(diǎn)，即存在cU (a, b)使 f (c) =0,這個 c 也就是方程f(c)=0的根)滿足定理?xiàng)l件的函數(shù)零 點(diǎn)是唯一的嗎？滿足什么條件零點(diǎn)唯 一？依據(jù)是什么？(教師板書：如果函數(shù) y=f (x)在區(qū)間a, b上 的圖象是一條連續(xù)不斷 的一條曲線，并且f(a) (b) V0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi) 有零點(diǎn)，即存在

9、cE (a, b)使得f (c) =0,這個c 也就是方程f(x)=O的根)為何要求函數(shù)的圖象連 續(xù)？能否由“函數(shù)f (x)在 區(qū)間(a, b)內(nèi)有零點(diǎn) 得到“f(a) f(b)VO?如果函數(shù)圖象在a,b上 連續(xù)，能否由“fa) -f(b) VO”判斷函數(shù)在區(qū) 間(a, b)內(nèi)零點(diǎn)只有一 個？20212021高中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析例題及練習(xí)、小結(jié) （略）（略）問題：（1）請對兩位教師的課堂提問進(jìn)行評價，并簡述理由；（15分）（2）請對兩位教師“概念引入”環(huán)節(jié)的課堂提問給出改進(jìn)建議。（5分）六、教學(xué)設(shè)計(jì)題（本大題1小題，30分）17.“簡單隨機(jī)抽樣（第一課時）”的教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)如下。目標(biāo)一

10、：學(xué)會從現(xiàn)實(shí)生活或其他學(xué)科中提出具有一定價值的統(tǒng)計(jì)問題，理解隨機(jī) 抽樣的必要性；目標(biāo)二：結(jié)合具體的實(shí)際問題情境，體會簡單隨機(jī)抽樣的重要性；目標(biāo)三：以“問題鏈”的形式理解樣本是否具有代表性。要求：（1）請針對上述教學(xué)目標(biāo)，完成下列任務(wù)：根據(jù)教學(xué)目標(biāo)一，設(shè)計(jì)兩個問題，并說明設(shè)計(jì)意圖；（8分）根據(jù)教學(xué)目標(biāo)二，給出一個實(shí)例，并說明設(shè)計(jì)意圖；（4分）根據(jù)教學(xué)目標(biāo)三，設(shè)計(jì)“問題鏈”（至少包含兩個問題），并說明設(shè)計(jì)意圖。（6分）（2）請針對“簡單隨機(jī)抽樣”的內(nèi)容，回答下列問題：這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是 什么？（4分）作為高中階段“統(tǒng)計(jì)“學(xué)習(xí)的起始課，其難點(diǎn)是什么？（4分）這節(jié)課對后續(xù)哪些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有直接影響？ （

11、4分）答案解析 一、單項(xiàng)選擇題1.A 解析】（1）有理數(shù)與有理數(shù)：和、差、積、商均為有理數(shù)（求商時分母不 為零）。（2）有理數(shù)與無理數(shù)：一個有理數(shù)和一個無理數(shù)的和、差為無理數(shù)； 一個非零有理數(shù)與一個無理數(shù)的積、商為無理數(shù)。（3）無理數(shù)與無理數(shù)：和、 差、積、商可能是有理數(shù)，也可能是無理數(shù)。故本題選A。x = a cos21,2.B【解析】由y =。sin 2 f,可得 x+y=acos2t+asin2t=a, z2=a2 (2sintcost) 2=4xy, z = a sin 2/2.B【解析】由所以將參數(shù)方程化為一般方程為、7 =務(wù)故選B。z = 4 Ay3.D【解析】將缶;X = QCO

12、S0COSQ, 3.D【解析】將缶;X = QCOS0COSQ, y = q cos Osin 仞，得 0）繞z軸旋轉(zhuǎn)得到 的，它表示以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以射線z = J和（z0）為母線，以z軸為中心軸的半 錐面。故選D。C【解析】矩陣的初等行（列）變換有：交換矩陣的兩行（列）；將一個 非零數(shù)k乘到矩陣的某一行（列）；將矩陣的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上。若矩陣A經(jīng)過上面三種初等變換得到矩陣B,則對應(yīng)的行列式的關(guān) 系依次是|A|=|B|, |A|=k|B|, |A|=|B|O 即|A|=a|B|, aWR。所以|A|=0 時必有|B|=0。 故選C。B【解析】根據(jù)泰勒公式的展開式，2n-ls

13、inx=廠訐號+廣品2n-lsinx=廠訐號+廣品r.芝廣湍頊，所以n-l X2-12”-1/()= (T 廣 7?(心)=sin nx f (1) =sin/r=0。故選 B。n=i (2一1)!C【解析】由題意可知矩陣A可以相似對角化，且人=2對應(yīng)兩個線性無關(guān)的特征向量，所以（2E-A）x = 0有兩個線性無關(guān)的解，即有3-r（2E-A）= 2,所以 r(2E-A)= l2E-A =-x -23 3-1_3以 r(2E-A)= l2E-A =-x -23 3-1_320y ，要使 r(2E-A)=l,則0有- = - = 可得 x=2, y=-2o 故選 C。 x 2 yA【解析】直觀想象

14、是指借助兒何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利 用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。主要包括：借助空間形式 認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)I耳題；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。中的描述 屬于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。故選A。A【解析】演繹推理是從一般規(guī)律出發(fā)，運(yùn)用邏輯證明或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得出特殊事物應(yīng)遵循的規(guī)律，即從一般到特殊的推理。歸納推理是由個別、特殊到一般的 推理，通過實(shí)驗(yàn)結(jié)論和通過觀察猜想得到結(jié)論的推理都是歸納推理。故選A。二、簡答題【解析】根據(jù)中位數(shù)的定義知，甲組脫粒數(shù)量的中位數(shù)為孝= 75,乙組脫粒數(shù)量的中位數(shù)為為竺券

15、 =68.5。甲組同學(xué)脫粒數(shù)量的平均值為(57+59+63+63+64+71+71+71+72+75+75+78+79+82+83+83+85+86+86+89 )20=74.6乙組同學(xué)脫粒數(shù)量的平均值為20=74.6乙組同學(xué)脫粒數(shù)量的平均值為(50+53+57+62+62+63+65+65+67+6869+73+76+77+78+85+85+88+94+96 ) 20=71.65o根據(jù)平均數(shù)的大小比較可知，甲組脫粒速度更快。根據(jù)兩組數(shù)據(jù)的波動情況，能夠看出甲組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，乙組數(shù)據(jù)波動很大。進(jìn) 而可知，甲組同學(xué)的脫粒能力差不多，而乙組同學(xué)脫粒能力存在很大的個體差異tto【解析】根據(jù)直線的方程可

16、知，直線h的方向向量n, = l 1 0=(1, -1,1),1 2 1直線12的方向向量!2=(2,-1,1)。在h中令尸0,可得h過點(diǎn)M|=(.1, 0, -1),又12過點(diǎn)M2 (-1,0)航7萬=(2,-1,1)。因?yàn)榛旌戏e又12過點(diǎn)M2 (-1,0)航7萬=(2,-1,1)。因?yàn)榛旌戏e1(n, xn2)-MM2 = 22-11-1-2*0 ,即向量A，II?, 4/材2不共面，所以直線h與直線12異面。直線li與直線12的公垂線的方向向量1 = 0 xn2-1 1 =(-2,1,3),1 1布諾=(2,-1,1),則兩直線之間的距離等于向量反而在向量1方向上的投影的長度，即=告寫【解

17、析】（1）設(shè)三次多項(xiàng)式的表達(dá)式為f （x） =a3X3+a2X2+aix+ao根據(jù)題意% =1，得，解得 aj=l a2=2, ai=-l, au=l,所以 f(x)=x312x2-x I為 +a2 +0 得，解得 aj=l a2=2, ai=-l, au=l,所以 f(x)=x312x2-x I8務(wù) + 4角 + 2q + = 15,（2）平面上n個橫坐標(biāo)不同的點(diǎn)唯一確定的多項(xiàng)式函數(shù)的最高次數(shù)是n-lo設(shè)多 項(xiàng)式 g （x） =an-1 xn_, +an-2Xn2+- +azx2+aix+ao 的圖象經(jīng)過 Pi （xi, yD （i=l, 2,，+an_2x；2 + + ： +%=，n）,則

18、有卜寸、心疔+3淺2+。內(nèi)詢=外，這是一個關(guān)于ai （i=0,%/尸 +-2“，1,，n-1）的非齊次線性方程組，它的系數(shù)矩陣對應(yīng)的行列式為n階范徳蒙徳行列式X22XX2X”X”行列式X22XX2X”X”r1X22X2n-2n-1n）。由克拉默法則得，該線性方程組有因?yàn)閄KX2VVXn，所以此行列式不等于0。由克拉默法則得，該線性方程組有唯一解，即存在唯一的一組數(shù)ai （i=0,l,，n-1） o所以由這n個點(diǎn)所唯一確定的多項(xiàng)式函數(shù)的最高次數(shù)是n-10【參考答案】高中數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)性的具有以下幾點(diǎn)含義。高中數(shù)學(xué)課程在課程內(nèi)容上包含了數(shù)學(xué)中最基本的部分。在義務(wù)教育階段之后, 為滿足需求給學(xué)生提供

19、更高水平的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生提供了學(xué)生現(xiàn)階段學(xué) 習(xí)及未來發(fā)展所需要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，為學(xué)生的未來發(fā)展奠定基礎(chǔ)。高中數(shù)學(xué)課程為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)提供了選修內(nèi)容。例如，高中數(shù)學(xué)設(shè)有選修與 必修課程，必修課程是為了滿足所有學(xué)生的共同數(shù)學(xué)需求，選修系列課程是為了 滿足學(xué)生的不同數(shù)學(xué)需求，它仍然是學(xué)生發(fā)展所需要的基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)課程。高中數(shù)學(xué)課程為學(xué)生適應(yīng)未來社會生活，高等教育和職業(yè)發(fā)展等提供必需的數(shù) 學(xué)基礎(chǔ)。例如，大學(xué)階段理工科類的學(xué)生需要更多的數(shù)學(xué)知識，而高中數(shù)學(xué)課程20212021高中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析為大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)提供了必備的基礎(chǔ)知識。高中數(shù)學(xué)課程也為學(xué)生學(xué)習(xí)其他學(xué)科的課程，如高中物理、化學(xué)技

20、術(shù)等，提供 了必要的知識準(zhǔn)備?！緟⒖即鸢浮繑?shù)學(xué)學(xué)習(xí)評價的形式多樣，主要有口頭測驗(yàn)、書面測驗(yàn)、開放 式問題研究、活動報告、課堂觀察、課后訪談、課內(nèi)外作業(yè)、建立成長記錄袋等。 下面列舉幾種不同的評價方式進(jìn)行闡述?？陬^測驗(yàn)，是指在教學(xué)過程中教師通過與學(xué)生之間的言語互動，及時地了解學(xué) 生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，找出問題并及時糾正。書面評語評價，教師對學(xué)生的作業(yè)或者其他活動報告所做的書面性的評價。評 價形式不僅僅是分?jǐn)?shù)或者等級，評語一般以鼓勵為主，用以幫助學(xué)生認(rèn)識與解決 問題。課后訪談，是指教師通過課后與學(xué)生的溝通交流了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況的-種 評價方式。這種評價方式可以幫助老師更直接地了解到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況

21、建立成長記錄袋，了解學(xué)生的成長經(jīng)歷，可以有效地幫助他們確立今后的學(xué)習(xí) 目標(biāo)與方向。三、解答題【解析】(1)證明：設(shè)P (xp, yP) , Q (xq, yQ)是R?上任意的兩點(diǎn)，則T(P) =T ( (xp, yp) ) =(!*!) T (Q) =T ( (xq, yq) ) = (?工料為)。f/xp-xJ+G-xJ =y(P,。)，即存在滿足題意的Q = S，所以映射T是壓縮映射。(2)由于 Pn=T(Pn)=T(T(Pn.2)=30)=(工0，日)，因?yàn)?H 巧土X。=0, lim丄義=0,所以點(diǎn)列Pn收斂，且lim =(0,0)。ns 3n-a7四、15.【參考答案】函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)

22、課程的主線，同時也對應(yīng)著重要的數(shù)學(xué)思 想方法，就是函數(shù)與方程的思想方法。函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析 問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題；方程思想是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，應(yīng)用數(shù)學(xué)語言 將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，包括方程、方程組和不等式、不等式組，然后 通過解方程或不等式來解決問題。首先，函數(shù)與方程，中學(xué)數(shù)學(xué)課程中一元二次方程的求解問題，可以轉(zhuǎn)化為對應(yīng) 函數(shù)的零點(diǎn)問題。方程是利用算術(shù)來從數(shù)量關(guān)系入手解決問題，函數(shù)是集合間的 映射關(guān)系，當(dāng)需要計(jì)算函數(shù)值時，可以利用方程的運(yùn)算方法；在求解方程時也可 以利用函數(shù)的性質(zhì)和圖象。例如當(dāng)尸0時，函數(shù)X的值表示函數(shù)圖象與X軸交點(diǎn) 的橫坐標(biāo)，也就是方程的根，那

23、么交點(diǎn)的數(shù)量就是方程的根的數(shù)量，也是方程的 根的判別式的判別目的。其次，函數(shù)與不等式，用函數(shù)的觀點(diǎn)來看，不等式的解集就是使函數(shù)圖象尸f（x） 在X軸上方或下方的X的區(qū)域。在解不等式時可以借助函數(shù)的圖象來理解和運(yùn)算, 也就是經(jīng)典的線性規(guī)劃問題。最后，函數(shù)與數(shù)列，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看作是關(guān)于首項(xiàng)和公差（公比）的 一次函數(shù)的離散化，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是二次函數(shù)的離散化，等比數(shù)列的 通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式都是指數(shù)函數(shù)的離散化，因此可以將借助函數(shù)的性質(zhì) 來研究數(shù)列，可以通過函數(shù)圖象和解析式來求得數(shù)列的某些值。五、案例分析題【參考答案】（1）課堂提問的原則主要有以下八種，分別為：有目的性原則、

24、啟發(fā)性原則、適度性原則、興趣性原則、循序漸進(jìn)性原則、全面性原則、充分思 考性原則、及時評價性原則。A教師的課堂提問中遵循了目的性、循序漸進(jìn)、充分思考性等幾個原則。但是違 背了啟發(fā)性、適度性、全面性、興趣性以及時評性原則。首先是啟發(fā)性、適度性和全面性原則。教師A提出的問題普遍特點(diǎn)是相對比較 難的，比較抽象，適合于中等及以上的同學(xué)，沒有考慮全體學(xué)生的水平，所以， 違背了適度性和全面性原則。其次是違背了興趣性原則。教師A在教學(xué)中，例 子相對比較少，更多的是直接提問知識層面上的問題，讓學(xué)生直接思考。沒有考 慮從學(xué)生的興趣出發(fā)，調(diào)動學(xué)生的積極性。最后是及時評價性原則。教師A在 整個教學(xué)中，沒有體現(xiàn)出對學(xué)

25、生的回答及時做出評價。B教師的課堂提問中遵循了目的性、啟發(fā)性、循序漸進(jìn)性、充分思考性、興趣性、 適度性、全面性等幾個原則。但是沒有遵循及時評價性原則。教師B在整個的 教學(xué)過程中，能夠充分的利用例子，通過循序漸進(jìn)的提問，幫助學(xué)生一步一步理 解函數(shù)的零點(diǎn)的概念以及方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系。但在提問過程中，B教師沒有對學(xué)生的回答及時做出評價。在教學(xué)中，對學(xué)生的 表現(xiàn)進(jìn)行及時的評價，這樣才能夠保證學(xué)生與教師的快速成長。（2） A老師概念引入部分的提問沒有遵循循序漸進(jìn)性的原則，問題的設(shè)置要考 慮學(xué)生的認(rèn)知水平，問題的設(shè)置應(yīng)該由易到難、由簡到繁。對于教師A的建議: 應(yīng)該先提問：同學(xué)們，初中你是如何判

26、斷一個方程有實(shí)數(shù)根的？（回顧之前學(xué)過 的方法）用初中的方法判斷l(xiāng)nx+2x-6=0是否有實(shí)數(shù)根嗎？（引導(dǎo)學(xué)生思考方程 和函數(shù)之間的關(guān)系）B教師的概念引入雖然給出了三組實(shí)例，但還需在函數(shù)的類型上進(jìn)行改進(jìn)，不單 單只呈現(xiàn)一元二次方程及其對應(yīng)的二次函數(shù)，還可以增加一次方程及其對應(yīng)函數(shù) 讓學(xué)生進(jìn)行觀察。六、教學(xué)設(shè)計(jì)題【參考答案】（1）問題一：某校領(lǐng)導(dǎo)要了解全校學(xué)生的視力情況（近視和 不近視），隨機(jī)抽取50名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)出這50名學(xué)生的視力情況，最后估計(jì)出全 校學(xué)生的視力情況。你會設(shè)計(jì)何種抽樣方法？你認(rèn)為這種抽樣方法有什么優(yōu)缺 點(diǎn)？在隨機(jī)抽取的過程中應(yīng)該注意什么？問題二：假設(shè)你是一名藥品安全監(jiān)測的工作人員

27、，要對一批藥品進(jìn)行安全監(jiān)測， 你準(zhǔn)備怎樣做？需要對研究對象進(jìn)行一一調(diào)查嗎？那么，應(yīng)該怎樣獲取樣本呢？ 設(shè)計(jì)意圖：兩個問題的提出讓學(xué)生對于簡單隨機(jī)抽樣有一個初步了解，意識到簡 單隨機(jī)抽樣在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用，與我們的生活息息相關(guān)。并將抽樣調(diào)查與 普査進(jìn)行對比，引導(dǎo)學(xué)生提出抽樣的必要性。實(shí)例：經(jīng)消費(fèi)者反映，某品牌牛奶存在細(xì)菌超標(biāo)問題。針對該問題，食品衛(wèi)生 工作人員需要對該品牌牛奶進(jìn)行衛(wèi)生達(dá)標(biāo)檢驗(yàn)。但是，若食品衛(wèi)生工作人員對該 品牌所有牛奶進(jìn)行逐一檢測，將面臨巨大的工作壓力。因此，食品衛(wèi)生工作人員 只隨機(jī)抽取該品牌部分牛奶進(jìn)行衛(wèi)生檢測。 設(shè)計(jì)意圖：將實(shí)際生活問題作為實(shí)例進(jìn)行教學(xué)，不僅可以使學(xué)生對簡

28、單隨機(jī)抽樣 方法有更深的理解，還可以使其感受在面對總體數(shù)量較多時，簡單隨機(jī)抽樣方法 的重要性。師：在1936年美國總統(tǒng)選舉前，某雜志工作人員做了一次民意測驗(yàn)，即調(diào)查蘭 頓和羅斯福誰將成為美國的下一屆總統(tǒng)。該調(diào)查者通過電話簿和車輛登記簿上面 的名單（只有少數(shù)富人擁有）給一大批人發(fā)了調(diào)査表，通過分析調(diào)査表數(shù)據(jù)，從 而做出預(yù)測。問題一：該雜志工作人員運(yùn)用了什么抽樣方法？研究的總體和樣本分別是什么？ 該抽樣方法具有什么特征？設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合生活實(shí)際描述問題情境并設(shè)置問題，加深學(xué)生對簡單隨機(jī)抽樣方 法的理解，使其進(jìn)一步明確簡單隨機(jī)抽樣的特征，并巧妙地為后面問題做鋪墊。師：該雜志工作人員做出的預(yù)測是蘭頓將在

29、選舉中獲勝。但實(shí)際情況是，羅斯福 在選舉中獲勝。問題二：你知道該雜志的工作人員的預(yù)測為什么是錯誤的嗎？分析該工作人員的 抽樣樣本可以發(fā)現(xiàn)什么？該樣本是否具有代表性？設(shè)計(jì)意圖：顛覆性的結(jié)果，引出抽樣問題。使學(xué)生自主思考和探究問題，可以培 養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考問題的習(xí)慣以及發(fā)現(xiàn)問題的能力。師：該抽樣樣本中涉及的調(diào)查者是富人階層，只占所有選票中的少數(shù)。所以該工 作人員所抽取的樣本不具有代表性。問題三：結(jié)合上述實(shí)例，在運(yùn)用簡單隨機(jī)抽樣方法抽取樣本時，應(yīng)該注意什么？ 除此之外，還應(yīng)該注意什么？設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)例使學(xué)生理解樣本是否具有代表性的重要性。此外，該問題進(jìn) 一步開拓學(xué)生的思維，從而達(dá)到總結(jié)出簡單隨機(jī)抽樣

30、時需要注意的問題的目的。（2）教學(xué)重點(diǎn)：了解簡單隨機(jī)抽樣方法的意義；理解簡單隨機(jī)抽樣方法的定 義；掌握簡單隨機(jī)抽樣最常用的兩種方法一一抽簽法和隨機(jī)數(shù)法。靈活選用抽樣 方法。教學(xué)難點(diǎn)：理解一些統(tǒng)計(jì)名詞；抽簽法和隨機(jī)數(shù)法的實(shí)施步驟；面對統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù) 時，正確判斷所選取的抽樣方法是否合適。20212021高中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析本節(jié)課是高中階段學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)的第一節(jié)課，統(tǒng)計(jì)是硏究如何合理收集、整理、 分析數(shù)據(jù)的學(xué)科，它可以為人們制定決策提供依據(jù)。本節(jié)課對于后續(xù)學(xué)習(xí)用樣本 估計(jì)總體以及變量的相關(guān)關(guān)系有直接影響。2019下半年高中數(shù)學(xué)教師資格證真題一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)若函

31、數(shù)f (x)在x=0處可導(dǎo)，則a, b的值是()b + sin 2x,x 0,a=2, b=lB.a=l, b=2C.a=2, b=lD.a=2, b=-l若函數(shù)f (x) =xsin!，x*0,的一階導(dǎo)函數(shù)在x=o處連續(xù)，則正整數(shù)n的取0,x = 0值范圍是()A.nN3B.n=2C.n=lD.n=0已知點(diǎn)Mi (1, 2,.1) , M2 (1, 3, 0),若平面口過點(diǎn)Mi且垂直于MN2,則平面Fl?： 6x+y+18z.18=0與平面幾之間的夾角是()A.-B.-C.-D.-6 4 32若向量a , b, c滿足a+b + c = 0,那么a X b=()A.bXaB.c XbC.b

32、XcD.a X c設(shè)n階方陣M的秩r (M) =r0) , g (x) =-!(x-l) o求曲線y=f (x)與g (x)所圍成圖形的面積；求平面圖形0WyWf (x) , 1WxW3,繞y軸旋轉(zhuǎn)所得體積。一個袋子里8個黑球，8個白球，隨機(jī)不放回連續(xù)取球5個，每次取出I個球, 求最多取到3個白球的概率。數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā) 展，還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué) 相關(guān)的人文活動。請你給出數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化的兩個事例。簡述數(shù)學(xué)建模的過程。三、解答題(本大題共1小題，10分)f (x)在a, b上連續(xù)，且f (a)

33、 - f (b) 0,請用二分法證明f (x) =0在 區(qū)間a, b上至少有一個根。四、論述題(本大題共1小題，15分)有人說，當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)欠缺的是思維能力的培養(yǎng)，請談?wù)勀愕目捶ǎ⒔o出 具體的教學(xué)建議。五、案例分析題(本大題共1小題，20分)案例：在學(xué)習(xí)了 “直線與圓的位置關(guān)系后，教師要求學(xué)生解決如下問題：求過點(diǎn)P (2, 3)且與圓0： (x.l) 2+y2=l相切的直線1的方程。一位學(xué)生給出的解法如下：由圓O: (x-l) 2+y2=l知，圓心O (1, 0),半徑為1,設(shè)直線1的斜率為k, 則其方程為y.3=k (x-2),即kx.y2k+3=0。因?yàn)橹本€1與圓O： (x-l) 2+y

34、2=l 相切，所以圓心O到直線1的距離d七2* + 3|=,解得k=4所以，所求直 線1的方程為4x.3y+l=0由題意可知尸(x)在x=0處連0,x = 0,續(xù)，所以lim/(x) = 0,當(dāng)且僅當(dāng)n=3時成立。故選A。B【解析】ST両=(0,1,1),設(shè)平面羽的一點(diǎn)到點(diǎn)Mi的向量為。=(x.l, y-2,z+1),二者垂直，則(x-1) X0+ (y-2) X1+ (z+1) Xl=0,整理得 y+z-l=0, 平面；r?： 6x+y+18z-18=0,法向量為n? =(6,1,18),平面沔：y+z-l=0,法向量為 n, =(0,1,1),可得0 =為與=9=單,可知只有b項(xiàng)符合題意。

35、|n2|n3| V2-73612C【解析】a + b+c=0 ,貝ija+c=-b ,所以(a+c ) X b=-b X b=0,貝ia X b+c X b=0,所以a X b=-c X b=b X c o 故選 C。D【解析】由題意知r (m) =rn,由矩陣性質(zhì)可知必然有r個行向量線性無關(guān), A錯；只有極大無關(guān)組中行向量才能由其它向量表示，B錯；線性無關(guān)才可以， 任意r個行向量不能保證線性無關(guān)，C錯。故選D。C【解析】在平面任取一點(diǎn)P (x, y),點(diǎn)P關(guān)于尸x的對稱點(diǎn)PW),由22x點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)公式得，Xlo故選C22x點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)公式得，*2D【解析】向量理論具有神奇的數(shù)學(xué)內(nèi)涵

36、，豐富的物理背景，向量既是代數(shù)研 究對象也是幾何研究對象，是溝通幾何和代數(shù)的橋梁。向量是描述直線、曲線、 平面以及高維空間數(shù)學(xué)問題的基本工具，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問題 的基礎(chǔ)，在解決實(shí)際問題中發(fā)揮重要作用。故選D。B【解析】數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法，是一種演繹推理方法，它的基本思想是遞推思想。故選B。二、簡答題【解析】（1）設(shè)橢圓 + = 1上任意一點(diǎn)（xo,yo）在該變換作用下得到（、，富）,5。X 31工1虹=孔+3，卜0=2缶一3）,則2。+= ，即 :即,代入橢圓方0 擴(kuò)。L5|虹=%+5, |%=3（當(dāng)-5）,程中得所求曲線方程為（X.3） 2+ （y-5） 2=1。（2）

37、在該變換條件下，不變的性質(zhì)：都是中心對稱圖形和軸對稱圖形，都是在 某條件下點(diǎn)的軌跡所形成的對稱圖形；變化的性質(zhì)：圖形形態(tài)發(fā)生了變化，不再 以原點(diǎn)為中心點(diǎn)，不再與坐標(biāo)軸相交，圖形距離中心點(diǎn)的距離都相等。【解析】（1 ）由 lnx = y（x-l）,得 x=5 ,J5 Inx一寫（x-l） dx = x（nx-x-x R = 3In5-4x In xdx = In xx In xdx = In x Inx2【解析】隨機(jī)不放冋地連續(xù)取5個球，最多取到3個白球的對立事件是取到4r4 .r1個白球1個黑球或取到5個白球。其中，取4個白球與1個黑球的概率為切戶C.取5個白球的概率為故最多取3個白球的概率尸

38、=1_空1一=區(qū)。雋C* C* 78【參考答案】在高中教學(xué)中，及時并有效地滲透數(shù)學(xué)文化，有利于増加學(xué)生 的學(xué)習(xí)興趣，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)知識的實(shí)際運(yùn)用。例如：（1）在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)時，“負(fù)數(shù)”概念對學(xué)生來說相對抽象。教師可以在教學(xué) 中滲透數(shù)學(xué)文化史：笛卡爾，著名的法國哲學(xué)家、科學(xué)家和數(shù)學(xué)家。笛卡爾在解 方程時，把方程的根區(qū)分為實(shí)根與虛根，他認(rèn)為復(fù)數(shù)開平方是不可思議的，因而 取名為“虛數(shù)”，也給出了 “復(fù)數(shù)的名字。教師在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化，讓學(xué) 生了解概念產(chǎn)生的背景和意義，利用概念與生活的相通性可以幫助學(xué)生更直觀地 理解概念。（2）在教學(xué)二項(xiàng)式定理時，可以介紹我國古代數(shù)學(xué)成就“楊輝三角”，“楊

39、 輝三角”在中國數(shù)學(xué)文化史上有著特殊的地位，它蘊(yùn)含了豐富的內(nèi)容，還科學(xué)揭 示了二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，由它可以直觀地看岀二項(xiàng)式定理的性 質(zhì)。將數(shù)學(xué)文化滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)中，將教材內(nèi)容與數(shù)學(xué)文化巧妙結(jié)合起來，從數(shù)學(xué)文 化中延伸出數(shù)學(xué)概念和規(guī)律，可以幫助學(xué)生理解相關(guān)內(nèi)容。數(shù)學(xué)文化中蘊(yùn)含的故 事具有較強(qiáng)的趣味性，還可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。【參考答案】數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識解決實(shí)際問題的過程。 建立和求解模型的過程包活從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符 號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、 并討論結(jié)果的意義。具體如下：（1）模型準(zhǔn)備：了

40、解問題的實(shí)際背景，明確其實(shí)際意義，掌握對象的各種信息 以數(shù)學(xué)思想來包容問題的精髓，數(shù)學(xué)思路貫穿問題的全過程，進(jìn)而用數(shù)學(xué)語言來 描述問題。要求符合數(shù)學(xué)理論，符臺數(shù)學(xué)習(xí)慣，清晰準(zhǔn)確。（2）模型假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對象的特征和建模的目的，對問題進(jìn)行必要的簡化， 并用精確的語言提岀一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。（3）模型建立：在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來刻畫各變量常量之間 的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（盡量用簡單的數(shù)學(xué)工具）。（4）模型求解：利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對模型的所有參數(shù)做出計(jì)算（或近似計(jì) 算）。（5）模型分析：對所要建立模型的思路進(jìn)行闡述，對所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的 分析。（6）模型檢驗(yàn)：將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較，以此來驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確 性、合理性和適用性。如果模型與實(shí)際較吻合，則要對計(jì)算結(jié)果給出其實(shí)際含義, 并進(jìn)行解釋。如果模型與實(shí)際吻合較差，則應(yīng)該修改假設(shè)。再次重復(fù)建模過程。三、解答題14.【解析】先將a, b二等分為。，號成立；若14.【解析】先將a, b二等分為。，號成立；