高斯消去法高斯塞德爾迭代法

1、數(shù)值計(jì)算高斯消去法和高斯-塞德爾迭代法摘要雖然已學(xué)過加減消元法、代入消元法、矩陣變換法和Cramer法則等，但是 無法滿足實(shí)際計(jì)算需要，故在此討論在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的有效而實(shí)用的解法。線性 方程組的解法大致分2類：直接法（高斯消去法）和迭代法（高斯-賽德爾迭代 法），在此對(duì)著此類算法進(jìn)行比較分析。一、算法設(shè)計(jì)當(dāng)計(jì)算線性方程組如下時(shí)，a x + a x Hb a x = b11 112 21n n1（1-1）a x + a x bb a x = b（1-1）21 122 22n n2a x + a x bb a x = bn1 1 n 2 2nn n n為方便起見，常將線性方程組表示成矩陣形式Ax

2、= b其中a11-其中a11-a1nx=x J:b=bJ:.a * * / /xb1- n1nnnnA =并始終假定A是非奇異的，即方程組的解存在且唯一。1.1高斯消去法消去法就是按特定順序進(jìn)行的矩陣初等變換法，當(dāng)消元按自然順序進(jìn)行時(shí)，稱為 高斯順序消去法。一般情況下的高斯順序消去法的計(jì)算機(jī)算法如下，現(xiàn)將方程組（1-1）的增廣矩陣記作a（0）.a（0）a（0）111n1n b1,a（0）.a（0）a（0）n1nnnn b1假設(shè)經(jīng)k-1步消元后，增廣矩陣化為a（0）11a（0）12.a（0）1na（0）1n b1a22.a2n,a2 n b1,a（ k-1） kk,.a（ k-1） kn,a（

3、k-1） knb1,a（ k-1） nk.a（ k-1）nna（ k-1） nn b1其中）的上標(biāo)表示是由s步消元得到的植。第k步消元：設(shè)a(k-i)0 ,以第k行為基礎(chǔ)，將以后各行中的g-i)化為0,為此kkik先計(jì)算I =/ a（k-i）ik ik kk然后以第i行減去第k行乘以煩，即以司Cl（k-l） 1ijika（si） kj（j = k + l, （i = k +1 ., +1）,n）于是得a（o）ii a（o）Ina（o）1/1+1aa-i） kkg-1） kk+1awk+ik+i, kn.k+lng-1） kn+1a（k）k+ln+1a（k）k+ln.nnaw7171 + 1經(jīng)n

4、T步消元后，增廣矩陣化為a（o） ii a（o）Ina（o）1/1+1, kkknkn+1e-i）自下往上逐步回代即可求彳得其解nnnn+1X - (g-1)-芝 aa-i)x ) /aa-i)k kn+1kj j kkj=k+l(Ji n 1 2, , 1)由行列式的初等變換和矩陣初等變換的關(guān)系可知，順序消元法的每一步系數(shù)行列式之值不變，因此原方程組之系數(shù)行列式的值為gw.a(n-D ,可在求解過程中 1122 nn逐步累乘求得。clearclcA= input (J清輸人條數(shù)拒陣n7 )n=size (Aj 1);b= input (J 清輸入b nJ) a=鼠 bl;D=1 :for k

5、=1:n-1if a(kj k) =0for i=k+l:na-1, k)=a(ij (虬 k):for j=k+lin+1atij j) = a(iJ jJ-atij k) *a(k5 j);endendelsedisp C輸出失敗信息，停止PreturnendD二D*a(k, k):if a(iij n) =0D=D*就4 n);elsedisp (-輸出失成信息，停止returnend-endfor k=n：-l:1s=0;for j=k+l:n3=5+3( j)*就j, n+1):enda(kj n+l) = (a(k, n+l)-s)/a(kj k); endaX： n+1)1.3高

6、斯-塞德爾(Gauss-Seidel )迭代法由于迭代法能充分避免系數(shù)矩陣中零元素的貯存與計(jì)算，因此特別適用于系數(shù)矩 陣階數(shù)很高而非零元極少的線性方程組。高斯-塞德爾的迭代格式為1 ,尤(k+1)(-a x(k+i) 2a1 ,尤(k+1)(-a x(k+i) 2a21 122 1 /(-a x(k+i)nanl 1、nnX(fc+1)=1a或縮寫為-a x(k)12 2-a xw13 3.-a x(Q23 3. -a 尤以+i)n2 2-a尤以+i)n3 3 -a xwIn n+b)i -a x(Q2n n+b )2-a 尤以+i)nn-l n-1 +b )n(Wij(，= 1,2,)X(k

7、+1)aiiX(k+1) - jaij j=i+lX(k) +b)j i將其寫成矩陣形式為x(m) Lv(m)+ + Dil)若把X(E)解出來，則得等價(jià)的迭代公式x(m) (D L)-iUx(k)+ (D Zv)-i h記M =(D-L)-iUG其中 TOC o 1-5 h z 01a a 0nln20 Q Cl HYPERLINK l bookmark59 o Current Document 12In_0 _aiiD= .annM為高斯-塞德爾的迭代矩陣。G1.4高斯-塞德爾(Gauss-Se i de I )迭代法Mat I ab程序設(shè)計(jì)clearA= input (J 清輸 AA ,

8、n );b= input清輸Ab .nJ);kO=input。清石i入初值n);D=diag(diag(A);L-triKA.-l):UtriufAj 1);IM=(D-L)U;K=M*KO+(D-L)b;n=l :if mas (abs(eig(M)=0. 000001 k0=k ;K=M*zO+(D-L)b;n=n+l:enddisp C迭代次教.為J)disp C 解為：)土：disp (J高斯-賽德爾迭代不收斂勺 returnend二、數(shù)值試驗(yàn)用高斯消去法和高斯-塞德爾迭代法求解方程組0.00173.85671.10233.1243X18.0904 一0.12341.23432.304

9、41.6257X2=5.28789.92744.92588.50423.4253X39.4805_7.54339.999510.67287.0147 _X1- 421.2009File Edit Debug Desktop Window Help請(qǐng)輸入系數(shù)拒陣0. 0071, 3. 8567, 1. 1023, 3. 1243;0. 1234, 1. 2343, 2. 3044, 1. 62EA =0.00713.85671.10233. 12430. 12341.23432.3Q441.62579.9274-4.92588.5042-3. 42537. 54339.999510.6728-7. 0147清輸入b8. 0904;5. 2870;9.4805;21.2009:b =8.09045.28789.480521.2009ans =0.92751.01971.01380.9710iI2.2高斯-賽德爾迭代法在計(jì)算機(jī)上求解結(jié)果如下2.3計(jì)算機(jī)上求解結(jié)果分析有上述結(jié)果可知當(dāng)用直接法可求出線性方程組的解得時(shí)