委托代理模型

委托代理理論模型一、 引言委托代理問題是指委托人希望代理人可以按照自身(委托人)的利益選擇行動，但是委托人又不能觀測到代理人的整個行動，只能通過觀測一些相關變量來推斷代理人的行動，從而制定出相應的獎懲措施，該理論模型就是在解決信息對稱下的最優(yōu)風險分擔及激勵成本之后，由Holmstrom和Milgrom于1987年提出，以下將會對此模型做一簡要介紹。二、 模型介紹假設一、a是一維努力變量，產(chǎn)出函數(shù)兀二a+0,其中E(9)=0,D(0)=◎2,0作為正態(tài)隨機變量，代表外生的影響因素。由此可以推出期望E(兀)=E(a+0)=a，方差VAR(k)=VAR(a+0)=◎2；假設二、委托人是風險中性的，代理人是風險規(guī)避的，根據(jù)微觀經(jīng)濟學中的知識，風險中性的效用函數(shù)曲線是條向右上方傾斜的直線，風險規(guī)避者的效用曲線是向上凸的曲線，并且一階導數(shù)大于0，二階導數(shù)小于0。假設三、線性代理合同S(兀)=a+卩兀，其中a是代理人的固定收入，與k無關；0是代理人可以分享的產(chǎn)出份額的比例；若0=0，說明代理人不用承擔風險，0=1說明代理人承擔全部風險。在以上的假設條件下，委托人作為風險中性者，其期望效用等于期望收入，即Ev(k—s(k))=E((1—0)k—a)=—a+a(1—0) 假設四、代理人具有絕對風險規(guī)避者，效用函數(shù)u=—e-Pv，其中p是絕對風險規(guī)避度量，v是實際貨幣收入。代理人努力的成本c(a)=ba2/，b>0代表成本系數(shù)：所以b越大，努力的成本越高。代理人的實際貨幣收入v=s(k)—c(a)=a+0(a+0)--ba2，實際貨幣收入的2期望效用是：Ew=a+0a-—ba2；風險成本ARC=—pvar(s(k))=—p02c2，所222以確定性等價收入為：Ew-—p02C2=a+0a-—ba2——p02c2，關于確定性等222價的定義：如果u(x)=Eu(y)，其中y為隨機性收入，x稱為y的確定性等價，原因是二者的效用相等。第一、考慮委托人可以觀測代理人努力水平a時的最優(yōu)合同。令w是代理人的保留收入水平，那么代理人的參與約束是：11—a+卩a-一ba2-—pP202>w,此時激勵約束無效。最優(yōu)化問題轉化為：22TOC\o"1-5"\h\zmaxEv=-a+(1-P)a，將上式和參與約束聯(lián)立，得到最優(yōu)化的一階條件：a*=一；a,P,a b———P*二0，把上述結果代入?yún)⑴c約束中可以得到：a*=w+-b(a*)2=w+一2 2b分析：1、P*=0，由第三節(jié)中的公式P=p/(p+p)，其中p是代理人的ppa a風險規(guī)避度，p是委托人的風險規(guī)避度，根據(jù)假設二，委托人是風險中性者，P代理人是風險規(guī)避者，所以pp=0，從而與所求結果P*二0一致；2、委托人支付—給代理人的固定收入a*正好等于代理人的保留工資w與努力的成本一b(a*)2之2和；3、最優(yōu)努力水平a*要求努力的邊際期望利潤1等于努力的邊際成本ba；所以，委托人在觀測到代理人的努力水平aY一時就支付aYwYa*即可，另TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"b -外一點，在委托人不能觀測到代理人的行動時，帕累托最優(yōu)是不能實現(xiàn)的，在P=0的情況下，此時代理人最大化自己的確定性等價收入Ew-一pP202=a+Pa-一ba2-一pP202，對a進行一階求導，得到a= =0，2 2 2 b也就是說，代理人只能得到固定收入時，他是不會努力工作的！第二、努力水平a不可觀測時的最優(yōu)合同a不可觀測的時候，代理人的激勵相容約束為a=P/b，所以此時的最優(yōu)化問題是：maxEv=-a+(一-P)aa,P11一s.t?(IR)a+Pa-—ba2-pP202>w22(IC)a=P/b將約束條件代入最大化公式得到：maxP-一pP202-卑-w，對P求一階Pb2 2b導數(shù)，得到P= 一 >0，從這個公式可以看出，(1)b越大，也就是代理人一+bp02越不愿意努力工作，P越小，代理人承擔的風險越??；(2)公式中可以得到ap/apyo和押/加2yo,所以給定p不變，p或b2越大，風險成本1p卩2Q2越2高，所以p應該越小，其最有風險才會較低。代理人之所以越不愿意努力工作，其所承擔的成本越小，主要有兩方面原因：1、在可觀測努力水平的情況下，a*= ,b越大，a越??；2、在不可觀測a的時候，a=p/b,b越大，委托人b誘導代理人選擇同樣的努力水平要求的P就越大，換句話說，委托人寧愿以較低的努力換取風險成本的節(jié)約！在此種情況下，代理人的風險成本ARC=1pP2b2=p( )2b2》0，2 2 1+bpb2和a可以觀測到p*=0的候比較，整個風險成本就是凈福利損失；期望產(chǎn)出的凈損失：AEn=a*-a=匕"=>0，代理人的努力成本的減小額：b 1+bpb2AC=C(a*)-C(a)=丄- 1 =_￡空±乞，把期望收益與努力成本的2b2b(1±bpb2)2 2(1±bpb2)2減少定義為激勵成本：AEn-AC=b(pb2)2 >0，那么總代理成本等于風險2(1±bpb2)2成本與激勵成本的加總：AC=ARC±(AEn-AC)= 也>0，在這個式子2(1±bpb2)中，當代理人為風險中性，即絕對風險規(guī)避度量p=0時，總成本為0，從公式中可以看到總代理成本隨著p和b2的增大而增大。第三、在外生變量另外企業(yè)的利潤Z可以觀測時，委托代理模型中的最優(yōu)合同。假定：z與a無關，服從正態(tài)分布，并且E(z)=0,D(z)=b2，此時的委托合z同變?yōu)椋簊(n,z)=a±p(n+Yz)，其中y表示代理人的收入與z的關系。在這個條件下，代理人的實際收入w=a±p(n+Yz)-1ba2，從而2E(w)=a+pa-1ba2 ，風險成本變?yōu)椋?ARC=1pvar(s(n,z))=1pp2Q2+y2b2+2ycov(n,z))，所以代理人的確定性等2 2 z

價收入是：E（w）-ARC=a+卩a-一ba2-p卩2?2+y2c2+2ycov（兀,z）），將上式2 2 z對a求導：a=0/b，與上一種情況相同，原因是z與a無關。委托人的期望收入是：E（兀-s（兀,z））=E（兀-a-0（兀+Yz））=（1-0）-a，此時的參與約束為：E（w）-ARC>W，代入上式，得到最優(yōu)化問題，1-—P02（c2+y2c2+2ycov（兀,z））-w，對—和z求導得到:2聯(lián)立兩式：0=1-p0Q2+y2c2+2ycov（兀,z））-—=0b z b聯(lián)立兩式：0=，y=-cov（兀,z）/c2，因為兩個變量之1+bp（c2一cov2（兀,z）/c2） zz間的相關系數(shù)在T和1之間，所以c2-cov2（兀,z）/c2>0。從上面的公式看出,z⑴、如果兀，z不相關，則0=1+b麗>0，與此前情況相同。⑵、如果兀，z正相關，cov（n,z）>0，y<0，根據(jù)合同函數(shù)s（兀,z）=a+0（兀+yz），可以看出z>0，也就是較好的外部條件下，代理人的收入會減少，相反z<0，即外部條件不利時會增加代理人的收入；（3）如果兀,z負相關，y>0，則會出現(xiàn)z>0時增加代理人的收入，z<0減少代理人的收入。在cov（兀在cov（兀,z）豐0的情況下,11+bp（c2一cov2（兀,z）/c2）z1>1+bpc2同時var（s（var（s（兀,z））=02（c2+y2c2+2ycov（兀,z））zc2-cov2（兀,z）/c2z（1+bp（c2-cov2（兀,z）/c2>0））2z要小于var（s（兀））=c2于var（s（兀））=c2（1+bpc2）2所以此時將z寫進合同都會降低代理成本的。風險成本：p（c2-cov2（兀,z）/c2）1ARC=—pvar（s（兀,z））=2 2（1+bp（c2-cov2（兀,z）/c2>0））2z期望產(chǎn)出凈損失：AEk=Aa=1-0bbp（c2-cov2（兀,z）/c2）z1+bp（c2-cov2（兀,z）/c2）z代理人努力節(jié)約的成本AC=他*)-C(a)=2i2b(l+bp(Q2一C0V2(兀,z)/Q2))2z2p(cAC=他*)-C(a)=2i2b(l+bp(Q2一C0V2(兀,z)/Q2))2zz z2(1+bp(Q2一C0V2(K,z)/Q2))2z▲廠 b(p(G2—C0V2(兀,z)/G2))2所以總的激勵成本：AE兀-AC= z ，總的代理成本就是風2(1+bp(G2—C0V2(兀,z)/G2))2z險成本和激勵成本之和：AC二ARC+(AE兀一AC)二p(險成本和激勵成本之和：AC二ARC+(AE兀一AC)二z2(1+bp(G2—C0V2(兀,z)/G2))z第二種情況相比較，在COV(兀,z)豐0的情況下，風險成本、激勵成本都比之前有所降低。若C0V2(兀,z)/G2=G2 ，即