SISO線性定常系統(tǒng)的極點配置

第六章控制系統(tǒng)綜合校正的現(xiàn)代方法——狀態(tài)反饋校正狀態(tài)反饋與輸出反饋；SISO線性定常系統(tǒng)的極點配置；系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題；狀態(tài)觀測器；基于觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)?？刂葡到y(tǒng)的解耦方法1、輸出反饋∫v比較開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)（1）兩者的狀態(tài)維數(shù)相同；（2）系統(tǒng)矩陣由A變?yōu)锳-BHC。6.1狀態(tài)反饋與輸出反饋比較開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)（1）兩者的狀態(tài)維數(shù)相同；（2）系統(tǒng)矩陣由A變?yōu)锳-BK。2、狀態(tài)反饋∫3、狀態(tài)反饋與輸出反饋的比較（1）K中的參數(shù)個數(shù)一般多于H，故狀態(tài)反饋對系統(tǒng)的修正能力優(yōu)于輸出反饋；（2）從實現(xiàn)角度看，輸出反饋優(yōu)于狀態(tài)反饋。4、閉環(huán)系統(tǒng)的能控性與能觀性例6.1解一、問題的提法系統(tǒng)期望性能指標一組期望極點設計反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定性,動態(tài)和靜態(tài)指標λ1λ2,…,λn確定K,H使得A-BK或A-BHC的特征根為λ1λ2,…,λn6.2SISO線性定常系統(tǒng)的極點配置則閉環(huán)的狀態(tài)空間表達式為：其中=所以此系統(tǒng)的特征多項式為：

設為期望特征根，則其特征多項式為：

比較系數(shù)有：對都可以找到相應的k，須引入狀態(tài)反饋后使系統(tǒng)必要性：可以任意配置極點能控反證：若系統(tǒng)不能控，則由可控性分解將系統(tǒng)化為：的極點位于

引入狀態(tài)反饋，設增益陣為，則閉環(huán)的狀態(tài)空間表達式為：閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為：不能控部分的特征根無法改變不能任意配置極點，矛盾。

step1.

求A陣特征多項式

step2.

求期望的閉環(huán)特征多項式step3.

計算

step4.

計算矩陣

，求p-1

step5.求反饋增益陣極點配置步驟與方法一——可控標準型法解：1.判斷系統(tǒng)的能控性滿秩，系統(tǒng)能控，所以極點可以任意配置2.求反饋增益陣step1.

計算開環(huán)的特征多項式

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為求狀態(tài)反饋增益陣k,使閉環(huán)極點位于

例6.2解step4.step3.計算step5.驗證：

step2.計算期望特征多項式.Step2設反饋增益陣為Step1計算期望特征多項式，得到，求閉環(huán)的特征多項式，得Step3求聯(lián)立方程極點配置步驟與方法二——直接計算的方法試求狀態(tài)反饋增益陣k,使閉環(huán)極點位于Step2:

Step1:

=

設K=

det

=Step3:解如下線性方程

已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為例6.3解性質(zhì)1SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋不會移動系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點。線性定常系統(tǒng)極點配置的性質(zhì)性質(zhì)2狀態(tài)反饋可能導致傳遞函數(shù)出現(xiàn)零極點對消的現(xiàn)象。性質(zhì)3不完全能控的系統(tǒng)，狀態(tài)反饋僅能改變能控子系統(tǒng)的特征根，不能改變不能控子系統(tǒng)的特征根。

性質(zhì)4完全能控的SISO系統(tǒng)，（A,B,C）不能采用輸出線性

反饋實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點的任意配置。性質(zhì)5系統(tǒng)(A,b,c)采用從輸出到狀態(tài)的線性反饋實現(xiàn)閉環(huán)

極點任意配置的充要條件是(A,c)能觀。12321u1.按圖中所示的

寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式，判斷系統(tǒng)的能控性

和能現(xiàn)性，

并求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。2.求狀態(tài)反饋增益K，此系統(tǒng)經(jīng)過此狀態(tài)反饋傳函為

3.經(jīng)過狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)是否能控？是否能現(xiàn)？為什么？系統(tǒng)的模擬結構圖如下圖所示：開環(huán)：例6.41.1）求系統(tǒng)狀態(tài)表達式解(2)能控性，能觀性：

滿秩系統(tǒng)能控

滿秩

系統(tǒng)能觀。(3)

傳遞函數(shù)2.經(jīng)過狀態(tài)反饋以后的閉環(huán)傳遞函數(shù)：顯然閉環(huán)有零極點對消，傳遞函數(shù)為：即期望的極點為－1，－2，－3期望的特征多項式為所以K＝

如果受控系統(tǒng)能夠通過狀態(tài)反饋，使閉環(huán)的極點位于復平面的左半部，則稱系統(tǒng)狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的，類似可以定義輸出反饋能鎮(zhèn)定的。

結論1：系統(tǒng)（A,B,C）采用狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是其

不能控子系統(tǒng)為漸進穩(wěn)定的。結論2：系統(tǒng)（A,B,C）通過輸出反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是結

構分解中能控、能觀子系統(tǒng)是能輸出反饋鎮(zhèn)定的，其余子系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。6.3系統(tǒng)鎮(zhèn)定的問題已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：能否通過狀態(tài)反饋使系統(tǒng)穩(wěn)定。例6.52．判斷系統(tǒng)的能控性，不滿秩，系統(tǒng)不完全能控。3．將系統(tǒng)按能控性能分解取，則令則有故系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)可以通過狀態(tài)反饋使系統(tǒng)鎮(zhèn)定。故系統(tǒng)不穩(wěn)定。1.求系統(tǒng)的特征根解.全維狀態(tài)觀測器1、狀態(tài)重構6.4狀態(tài)觀測問題由于初始狀態(tài)不清楚，所以可能導致所以只有系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定時，才有此時我們可以用來代替，但系統(tǒng)不穩(wěn)定時無法表達上面構造時沒有使用，按如下方式構造

利用原系統(tǒng)的輸出量與觀測器的輸出量的差修正狀態(tài)的偏差，從而改善觀測器的特性，我們稱如圖所構造的狀態(tài)觀測器為全維狀態(tài)觀測器。此時時的行為取決于(A－BC)的特征根。若在(A－BC)的特征根全部有負實部，則必有：

在一定的條件下可以求得一個E

，使(A－EC)的特征根都有負實部。

全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)空間表達式

通過E配置（A－EC）的特征根配置（A－EC）的特征根，任意配置的充要條件是（A，B）能控（A－EC）的特征根的特征根。能控的特征根可以任意配置。能控能觀

（對偶原理）結論：線性定常系統(tǒng)（A，B，C）能觀，則可以借助全維狀態(tài)觀測器來估計系統(tǒng)的狀態(tài)，其誤差由下式確定E的計算：與極點配置比較系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為設計一個全維狀態(tài)觀測器，并使觀測器的極點位于計算：解例6.6求變換矩陣計算期望特征多項式全維觀測器為注：1.全維狀態(tài)觀測器的維數(shù)為n。若使用其作為系統(tǒng)狀態(tài)的估計值，則系統(tǒng)成為2n維的。是否能減少？

2.能否有更精確的判別觀測器的存在性的方法？二.狀態(tài)觀測器的存在性結論：線性定常系統(tǒng)（A，B，C）狀態(tài)觀測器存在的

充要條件是：系統(tǒng)的不能觀子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。（A.B.C）狀態(tài)觀測器K基本原理狀態(tài)觀測器：開環(huán)系統(tǒng)：6.5基于觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)：∫CBAB∫CEAK++++y整理后有：1.2.的特征根集合具有分離性。取則所以閉環(huán)系統(tǒng)的特征根為：帶觀測器的反饋系統(tǒng)的性質(zhì)：3.傳遞函數(shù)

結論：狀態(tài)觀測器的引入不影響由狀態(tài)反饋增益陣所配置的極點。而狀態(tài)反饋器不影響已經(jīng)設計好的觀測器的極點。結論：帶狀態(tài)觀測器的反饋系統(tǒng)的傳函與狀態(tài)反饋系統(tǒng)的傳函相同。6.6控制系統(tǒng)的解耦方法6.6.1解耦問題的描述

解耦問題是MIMO系統(tǒng)綜合理論中的重要組成部分。解耦目的：使多變量系統(tǒng)中的每一個輸出僅受一個輸入的影響。每個輸入也僅能控制一個輸出。這樣的問題稱為解耦問題。這樣的過程稱為解耦。定義：如果線性系統(tǒng)是一個n維輸入n維輸出系統(tǒng)，當其傳遞函數(shù)滿足：是一個對角形有理多項式矩陣，則稱該系統(tǒng)是解耦的。常見解耦方法1）前饋補償法

方法：串接一個前饋補償器。優(yōu)點：方法簡單。

缺點：系統(tǒng)的維數(shù)增加一倍。2）狀態(tài)反饋法

方法：狀態(tài)反饋。優(yōu)點：不增加系統(tǒng)的維數(shù)。缺點：條件苛刻。6.6控制系統(tǒng)的解偶方法回答兩個問題：①系統(tǒng)能夠解耦的充要條件；

②解耦的方法和實現(xiàn)過程。6.6.2前饋補償法Gd(S)Go(S)w1w2u1uny1yn解耦條件：待解偶系統(tǒng)滿秩！6.6.3狀態(tài)反饋解耦待解耦系統(tǒng)其中：FB1/sCAKvmymΣ。urxn

問題是如何設計K和F，使系統(tǒng)從v到y(tǒng)是解耦的。

定義：是滿足不等式：且介于0到m-1之間的一個最小整數(shù)。式中，為系統(tǒng)輸出矩陣C中的第i行向量(i=1,2,…m),因此，的下標i表示行數(shù)。根據(jù)定義下列矩陣：已知系統(tǒng)=(A,B,C):解例6.7

試計算（i=1,2），并計算D、E、L陣。（1）先算使的最小的是1，所以，再算使的最小的是1，所以。計算D、E、L陣：定理(能解耦性判據(jù))：設受控系統(tǒng),采用狀態(tài)反饋能解耦的充要條件是

維矩陣E為非奇異。即是一個積分型解耦系統(tǒng)。其中，狀態(tài)反饋矩陣為：輸入變換矩陣為：閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：定理(