人教版八年級數(shù)學(xué)上冊經(jīng)典題型同步匯編 第十三章 軸對稱(教師版)

人教版八年級數(shù)學(xué)上冊經(jīng)典題型匯編第十三章軸對稱題型1：對軸對稱圖形的認(rèn)識【例1】如圖,在由小正方形組成的L形圖中,請你用三種方法分別在圖中添畫一個小正方形,使它成為軸對稱圖形.解:根據(jù)圖中三個圖形的特征,利用軸對稱的知識可以得到如圖13.1-14所示的補充后的軸對稱圖形.點撥:本題不同于直接作出一個圖形的軸對稱圖形,而是需要先找準(zhǔn)對稱軸,然后才能把軸對稱圖形補充完整.題型2：軸對稱圖形的對稱軸

【例2】找出圖中的軸對稱圖形,并說出有幾條對稱軸.點撥:軸對稱圖形的特征是將該圖形沿某一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合.因此,判定一個圖形是不是軸對稱圖形的關(guān)鍵是看能否找到一條直線,使得沿此直線折疊時,直線兩側(cè)的部分能夠重合.解:(1)是軸對稱圖形,有3條對稱軸;(2)是軸對稱圖形,有5條對稱軸;(3)是軸對稱圖形,有4條對稱軸;(4)是軸對稱圖形,有1條對稱軸;(5)是軸對稱圖形,有2條對稱軸;(6)不是軸對稱圖形;(7)是軸對稱圖形,有1條對稱軸;(8)是軸對稱圖形,有1條對稱軸;(9)、(10)都不是軸對稱圖形.題型3：有關(guān)軸對稱圖形及軸對稱的性質(zhì)應(yīng)用【例3】如圖,△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線l對稱,則∠B的度數(shù)為()A.30°

B.50°

C.90°

D.100°

答案:D點撥:根據(jù)軸對稱的定義可知,兩個圖形成軸對稱,則它們是全等圖形,從而對應(yīng)元素相等.題型4：線段垂直平分線的性質(zhì)應(yīng)用【例4】如圖(1),有分別過A,B兩個加油站的公路l1,l2,l1,l2相交于點O,現(xiàn)準(zhǔn)備在∠AOB內(nèi)建一個油庫,要求油庫的位置點P滿足到A,B兩個加油站的距離相等,而且P到兩個公路l1,l2的距離也相等.請用尺規(guī)作圖,作出點P.(不寫作法,保留作圖痕跡)解:作出的點P如圖(2)所示.

(1)

(2)點撥：到兩點距離相等的點,在這兩點所連線段的垂直平分線上.在角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.這兩條線的交點就是加油站的位置.題型5：利用線段垂直平分線的性質(zhì)及判定解題【例5】如圖,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分別為A,B.下列結(jié)論中不一定成立的是()A.PA=PB

B.POB.PO平分∠APBC.OA=OB

D.ABD.AB垂直平分OP答案:D點撥：∵OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,∴在△AOP與△BOP中,∴△AOP≌△BOP,∴結(jié)論A,B,C均正確,故選D.題型6：作圖形的對稱軸【例6】如圖,已知線段AB和線段A'B'關(guān)于某條直線對稱,請你畫出這條對稱軸.解:如圖所示:點撥:連接AA'或BB'作它們的線段垂直平分線,就是對稱軸所在直線.題型7：利用作對稱軸解決實際問題【例7】如圖,校園內(nèi)有兩條路OA、OB,在交叉口附近有兩塊宣傳牌C、D,學(xué)校準(zhǔn)備在這里安裝一盞路燈,要求燈柱的位置P離兩塊宣傳牌一樣遠(yuǎn),并且到兩條路的距離也一樣遠(yuǎn),請你幫忙畫出燈柱的位置P,并說明理由.解:到∠AOB兩邊距離相等的點在這個角的平分線上,而到宣傳牌C、D的距離相等的點則在線段CD的垂直平分線上,于是如圖,交點P即為所求.點撥:本題根據(jù)角的平分線和線段的垂直平分線的性質(zhì)作圖即可.題型8：利用作圖形的軸對稱圖形補全圖形【例8】如圖,把下列圖形補成關(guān)于直線l對稱的圖形.解:如圖:點撥:該圖形均由線段構(gòu)成,可以利用找特殊點(端點)的對稱點的方法畫軸對稱圖形,要注意圖(2)中圖形被直線l穿過的情況.題型9：利用軸對稱圖形的性質(zhì)割補圖形【例9】請你將一個等邊三角形分割成三角形或四邊形(至少4塊),然后將它們重新組合,拼成不同形狀的軸對稱圖形.解:答案不唯一,如圖:點撥:根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì),先分割,再驗證,最后確定分法.題型10：坐標(biāo)系中的軸對稱變換

【例10】在平面直角坐標(biāo)系中,對于平面內(nèi)任一點(m,n),規(guī)定以下兩種變換:①f(m,n)=(m,-n),如f(2,1)=(2,-1);②g(m,n)=(-m,-n),如g(2,1)=(-2,-1).按照以上變換有:f=f=,那么g等于()A.(3,2)

B.(3,-2)

C.(-3,2)

D.(-3,-2)解:由題意可得f(-3,2)=(-3,-2),從而g[f(-3,2)]=g(-3,-2)=(3,2),故選A.點撥：本題定義了兩種變換,只要正確理解給出的定義,其中f(m,n)表示將一個點的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù),g(m,n)表示將一個點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù),從而模仿套寫即可.題型11：在坐標(biāo)系中利用軸對稱解決問題【例11】已知點A(a,b)和點B(c,d)關(guān)于y軸對稱,試求3a+3c+的值.解:∵點A(a,b)和點B(c,d)關(guān)于y軸對稱,∴a+c=0,b=d.∴3a+3c+=3+=0+2=2.點撥:兩點關(guān)于y軸對稱,橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)相等.題型12：在等腰三角形中求邊的長度【例12】已知等腰三角形的底邊長為10,周長不大于40,求腰長的取值范圍.解:設(shè)腰長為x.∵等腰三角形兩腰相等,∴2x+10≤40.∴x≤15.又底邊長為10,兩邊之和要大于第三邊,∴x+x>10.∴x>5.∴腰長的取值范圍是5<x≤15.點撥:由等腰三角形的周長不大于40和三角形的兩邊之和大于第三邊可確定兩個不等式,腰長的取值范圍就是這兩個不等式的公共解.題型13：利用等腰三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)【例13】

如圖,△ABC中,AC=AD=BD,∠DAC=80°.則∠B的度數(shù)是()A.40°B.35°C.25°D.20°

答案:C點撥：法一:∵AC=AD,∠DAC=80°,∴∠ADC=∠ACD=50°.∵AD=BD,∴∠DAB=∠ABD,而∠ADC=∠DAB+∠ABD,∴∠ABD=25°,故選C.法二:設(shè)∠ABD=x°,∵AD=BD,∴∠DAB=∠ABD=x°,∴∠ADC=∠DAB+∠ABD=2x°.∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC=2x°.∵∠DAC=80°,∴2x+2x+80=180.解之得x=25,故選C.欲求三角形中的某個內(nèi)角,可從已知條件出發(fā),逐步求解,即由因得果;也可利用方程思想,設(shè)所求的角的度數(shù)為x°,再執(zhí)果索因.題型14：利用三角形的性質(zhì)解決實際問題

【例14】如圖是一鋼架,∠AOB=10°,為使鋼架更加堅固,需要在內(nèi)部添加一些鋼管EF、FG、GH……添加的鋼管長度都與OE相等,則最多可以添加這樣的鋼管根.

答案:8點撥:因為OE=EF,所以∠EOF=∠EFO=10°,∠FEG=∠EOF+∠EFO=20°.又因為EF=FG,所以∠EGF=20°.由三角形外角的性質(zhì),所得等腰三角形的底角每次增加10°,依次類推.當(dāng)添加到8根時,此等腰三角形的兩底角為80°,底角不能再增加,因此不能再添加同樣長度的鋼管組成等腰三角形.題型15：等腰三角形的判定【例15】如圖,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC與BD交于O,AC=BD.求證:(1)BC=AD;(2)△OAB是等腰三角形.

解:(1)

∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠D=∠C=90°.在Rt△ACB和Rt△BDA中,AB=BA,AC=BD,∴△ACB≌Rt△BDA(HL).∴BC=AD.(2)由△ACB≌Rt△BDA得∠CAB=∠DBA,∴△OAB是等腰三角形.點撥:(1)證△ACB≌Rt△BDA,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得;(2)證∠OAB=∠OBA,根據(jù)等角對等邊可得.題型16：等邊三角形的邊角計算【例16】如圖,過邊長為1的等邊三角形ABC的邊AB上一點P,作PE⊥AC于E,Q為BC延長線上一點,當(dāng)PA=CQ時,連PQ交AC邊于D,則DE的長為()A.

B.

C.

D.不能確定答案:B點撥：如圖所示,作PF∥BC交AC于F,∵△ABC是等邊三角形,∴∠APF=∠ABC=60°,∠AFP=∠ACB=60°,∴△APF是等邊三角形,∴AP=PF,∵PA=CQ,∴PF=CQ.在△DPF和△DQC中,

∴△DPF≌△DQC,∴DF=DC,∵PE⊥AC,∴E是AF中點,從而ED=AC=,故選B.因為本題中DE與等邊三角形ABC的邊長之間無直接聯(lián)系,所以通過分割,將其分成兩部分后,分別證DF=DC和EF=EA,從而求之.題型17：利用等邊三角形證線段和差【例17】如圖,在△ABC中,AB=AC,D是CB延長線上的一點,∠ADB=60°,E是AD上的一點,且DE=DB.求證:AE=BE+BC.

(1)

(2)

(3)證明：證法一:如圖(1),延長DC到F,使CF=BD,連接AF,∵∠ADB=60°,DE=DB,∴△DBE是等邊三角形,∴BE=DB.∴BE=CF.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABD=∠ACF.∵BD=CF,∴△ABD≌△ACF.∴∠F=∠D=60°,∴△ADF是等邊三角形,∴AD=DF,∴AD-DE=DF-DB,即AE=BF,∴AE=BC+CF=BC+BE.證法二:如圖(2),延長EB到P,使BP=BC,連接AP,CP.∵∠ADB=60°,DE=DB,∴△DBE是等邊三角形,∴∠CBP=∠DBE=60°,∴△BPC為等邊三角形,∴BP=PC.∵AB=AC,AP=AP,∴△BAP≌△CAP,∴∠BPA=∠CPA,∵∠PCB=∠D=60°,∴PC∥AD,∴∠CPA=∠EAP,∴∠EAP=∠BPA,∴AE=EP=BE+BC.證法三:如圖(3),過C作CM∥BE,交AD于M.∵∠ADB=60°,DE=DB,∴△DBE是等邊三角形,∴∠DBE=60°.∵CM∥BE,∴∠MCD=∠DBE=60°,∠DMC=∠DEB=60°,∴△DCM為等邊三角形,∴CD=MD,∴CD-DB=DM-DE,即BC=EM.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∴∠D+∠DAB=∠DCM+∠MCA.∵∠D=∠MCD=60°,∴∠DAB=∠MCA.∵MC∥BE,∴∠CMA=∠AEB,∴△ABE≌△CAM.∴AM=BE,∴AE=AM+EM=BE+BC.點撥：欲證一線段等于另兩線段之和,可利用“截長補短”之法.本題條件蘊含著等邊三角形,所以有相等的邊與角,從而有全等的三角形,由此得證.題型18：含30°角的直角三角形的邊角關(guān)系【例18】如圖,△ABC為等邊三角形,AE=CD,AD,BE相交于點P,BQ⊥AD于Q,PQ=3,PE=1.(1)求證:AD=BE.(2)求AD的長.解：(1)證明:∵△ABC為等邊三角形,∴∠BAC=∠C=60°,AB=AC.又AE=CD,∴△ABE≌△CAD(SAS),∴BE=AD.(2)解:∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.∵∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠PAE=∠BAC=60°,又∵BQ⊥AD,∴∠PBQ=30°,∴PB=2PQ=6,∴BE=PB+PE=7,∴AD=BE=7.點撥：因為等邊三角形的三條邊都相等,三個角都等于60°,所以在等邊三角形中容易找到全等三角形,本題第(1)題就是通過全等三角形證兩線段相等;在第(1)題的基礎(chǔ)上,可求得∠BPQ的度數(shù),從而聯(lián)想直角三角形中含30°角的性質(zhì)求得PB之長,再求AD的長.題型19：特殊直角三角形性質(zhì)的實際應(yīng)用【例19】如圖,一艘輪船早上8時從點A向正北方向出發(fā),小島P在輪船的北偏西15°方向,輪船每小時航行15海里,11時輪船到達點B處,小島P此時在輪船的北偏西30°方向.(1)求PB的距離;(2)在小島P的周圍20海里范圍內(nèi)有暗礁,如果輪船不改變方向繼續(xù)向前航行,是否會有觸礁危險?請說明理由.解:(1)過點P作PE⊥AB,垂足為E,由題意,得∠PAB=15°,∠PBC=30°.∴∠BPA=∠PBC-∠A=15°.∴BP=BA.又AB=3×15=45海里,∴BP=45海里.(2)∵PE⊥AB,∠PBC=30°,∴PE=BP=22.5海里,∵22.5海里>20海里,∴如果輪船不改變方向繼續(xù)向前航行,不會有觸礁危險.點撥:過點P作PE垂直于AB的延長線,垂足為E,根據(jù)三角形的外角可知∠BPA=∠A,使得BP=AB,所以可以求出BP的距離;在(2)中,只要求出PE的長即可,可以根據(jù)直角三角形中30°角的性質(zhì)解決.題型20：解決實際生活中的最短路徑問題【