材料力學(xué)基本第十一章-材料力學(xué)中的能量方法課件

第十一章材料力學(xué)中的能量方法§11.1基本概念§11.2互等定理§11.3虛位移原理、內(nèi)力虛功§11.4莫爾方法§11.5莫爾積分應(yīng)用直桿時(shí)的圖乘法§11.6卡式定理§11.7結(jié)論與討論第十一章材料力學(xué)中的能量方法§11.1基本概念11.1.1作用在彈性桿件上的力所做的常力功和變力功11.1基本概念◆外力功：在外力作用下，固體的變形將引起外力的作用點(diǎn)沿其作用方向產(chǎn)生位移，便引起外力做功

?！糇冃文芑驊?yīng)變能：彈性固體因變形將具有作功的本領(lǐng)

，即能量

?！裟芰糠ǎ焊鶕?jù)能量守恒原理，外力功w應(yīng)等于彈性體的應(yīng)變能

Vε。11.1.1作用在彈性桿件上的力所做的常力功和變力功11本章主要研究能量法的以下問(wèn)題：1.外力功與桿件應(yīng)變能的計(jì)算；2.能量法的卡式定理

；3.能量法的單位載荷法與莫爾積分；4.能量法的力法求解超靜定結(jié)構(gòu)。本章主要研究能量法的以下問(wèn)題：1.外力功與桿件應(yīng)變能的計(jì)算一、外力功的計(jì)算

線彈性結(jié)構(gòu)上的外力功的計(jì)算。b)在線彈性范圍內(nèi)，F(xiàn)′與Δ′成正比a)一、外力功的計(jì)算線彈性結(jié)構(gòu)上的外力功的計(jì)算。b)在線彈性1、F為一個(gè)集中力

，

Δ就是沿F作用方向的線位移

1、軸向拉壓桿

◆需要指出：F與Δ均為廣義量2、F為一個(gè)集中力偶，Δ就是角位移

3、F為一對(duì)等值、反向的集中力或集中力偶

，Δ就是相對(duì)線位移或相對(duì)角位移

11.1.2、桿件的彈性應(yīng)變能軸向變形

軸力在d△l上作的功

整根桿的應(yīng)變能

當(dāng)FN/EA為常量時(shí)

1、F為一個(gè)集中力，Δ就是沿F作用方向的線位移1、軸2、圓軸扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)圓軸的應(yīng)變能

當(dāng)T/GIp為常量時(shí)

3、對(duì)稱彎曲梁對(duì)稱彎曲梁的應(yīng)變能

◆由于剛架同樣也是主要承受彎曲變形的結(jié)構(gòu)，所以，上式亦適用于剛架。

4、組合變形桿2、圓軸扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)圓軸的應(yīng)變能當(dāng)T/GIp為常量時(shí)3、對(duì)例11-1懸臂梁如圖所示，試計(jì)算其應(yīng)變能以及B截面的轉(zhuǎn)角。已知梁的抗彎剛度為常量。

解：（1）梁的應(yīng)變能

梁任一橫截面上的彎矩

（2）截面的轉(zhuǎn)角

梁上外力的功為

MexBAl即得梁的應(yīng)變能

由

于是

旋向與外力偶矩的旋向一致，為順時(shí)針。

例11-1懸臂梁如圖所示，試計(jì)算其應(yīng)變能以及B截面的轉(zhuǎn)角。例11-2試求下圖所示結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能。已知梁的抗彎剛度為EI，桿的拉壓剛度為EA。解（1）CB桿的軸力

（2）由截面法，得梁的彎矩方程為

得梁的應(yīng)變能

即得CB桿的應(yīng)變能

所以，整個(gè)結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能

ClABxqa例11-2試求下圖所示結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能。已知梁的抗彎剛度為EI例11-3在下圖所示三角支架中，若兩桿的拉壓剛度均為EA，試計(jì)算結(jié)點(diǎn)的豎直位移ΔBV。

解（1）計(jì)算外力功

（2）計(jì)算應(yīng)變能由截面法，得AB、CB兩桿的軸力分別為

三角支架上外力的功為

三角支架的應(yīng)變能

21l45°FACB（3）計(jì)算ΔBV

由

得

例11-3在下圖所示三角支架中，若兩桿的拉壓剛度均為EA，§11.2互等定理

11.2.1、功互等定理

在載荷F1和F2共同作用下，1、2點(diǎn)處的位移先加F1，再加F2

先加F2，再加F1

§11.2互等定理11.2.1、功互等定理應(yīng)變能與加載次序無(wú)關(guān)

F1在F2單獨(dú)作用下引起的1點(diǎn)的位移△12上所作的功，等于F2在F1單獨(dú)作用下引起的2點(diǎn)處的位移△21上所作的功，這就是功互等定理。

應(yīng)變能與加載次序無(wú)關(guān)F1在F2單獨(dú)作用下引起的1點(diǎn)的11.2.2、位移互等定理當(dāng)F1=F2

時(shí)，有△12=△21

當(dāng)F1、F2數(shù)值相等時(shí)，F(xiàn)2在1點(diǎn)引起的沿F1方向的位移△12，等于F1在2點(diǎn)引起的沿F2方向的位移△21，此為位移互等定理。11.2.2、位移互等定理當(dāng)F1=F2時(shí)，有△12例所示外伸梁，抗彎剛度EI為常量。已知在跨度中點(diǎn)C處作用集中力F時(shí)，截面B的轉(zhuǎn)角為，試求在截面D作用力偶MD時(shí)，跨度中點(diǎn)C的撓度。解圖a為第一載荷系統(tǒng)，圖b為第二載荷系統(tǒng)

由功互等定理

于是有

例所示外伸梁，抗彎剛度EI為常量。已知在跨度中點(diǎn)C處作用集11.3.1

虛位移原理（1）剛體虛位移——滿足約束條件的假想的任意微小位移。

虛位移原理——作用于剛體上的力對(duì)于任何虛位移所作的總功等于零（平衡的必要和充分條件）。11.3虛位移原理、內(nèi)力虛功11.3.1虛位移原理（1）剛體虛位移——滿足約束條（2）可變形固體

滿足約束條件和變形連續(xù)條件的假想的任意微小位移。

——外力作用下，物體產(chǎn)生變形的同時(shí)產(chǎn)生內(nèi)力虛位移——

虛位移原理——外力和內(nèi)力對(duì)于虛位移所作的總虛功等于零（平衡的充要條件），即We（外力虛功）＋Wi（內(nèi)力虛功）＝0

（8－15）（2）可變形固體1.梁的虛位移原理

圖a所示的位移為由荷載產(chǎn)生的實(shí)際位移，簡(jiǎn)稱實(shí)位移。荷載對(duì)于其相應(yīng)位移上所作的功為實(shí)功。圖b所示的位移為梁的虛位移，它是滿足約束條件和變形連續(xù)條件的假想的任意微小位移，與梁上的荷載及其內(nèi)力完全無(wú)關(guān)。(a)x

實(shí)際位移實(shí)際撓曲線lxdxy(b)x

虛位移虛設(shè)撓曲線lxdxy1.梁的虛位移原理圖a所示的位移為由荷

梁上廣義力的作用點(diǎn)沿其作用方向的虛位移分別為外力對(duì)于虛位移所作的總虛功為(a)(a)外力虛功(b)x

虛位移虛設(shè)撓曲線lxdxy(b)內(nèi)力虛功

取梁的dx微段進(jìn)行分析。圖c為微段的原始位置，其上面各力均由荷載產(chǎn)生，它們?yōu)榱旱膬?nèi)力，也是微段的外力。11.3.2各種受力形式下的內(nèi)力虛功梁上廣義力由于梁的虛位移，使微段位移至圖d

所示位置。微段的虛位移可分為兩部分：一為剛性體位移。

暫不計(jì)微段的變形，由于梁的其它部分的變形，而引起的微段的虛位移，微段由abcd位置移至。（圖d的實(shí)線）(d)(b)x

虛位移虛設(shè)撓曲線lxdxy由于梁的虛位移，使微段位移至圖d所示位置。微段的虛位移可分二為變形虛位移。

由于微段本身的虛變形而引起的位移，使微段由移到（圖d的虛線）。變形虛位移包括由彎曲和剪切產(chǎn)生的兩部分，如圖(e)和圖(f)所示。(d)(b)x

虛位移虛設(shè)撓曲線lxdxy二為變形虛位移。(b)

M、對(duì)于剛體虛位移要做虛功，但由剛體虛位移原理可知，所有外力對(duì)于微段的剛體虛位移所作的總虛功等于零。M、對(duì)于變形虛位移（圖e,f），所做的虛功為(b)M、對(duì)于剛體虛位移要做虛功，(b)式為微段的外力虛功dWe

，設(shè)微段的內(nèi)力虛功為dWi。由變形固體的虛位移原理(3-15)，即

(c)梁的內(nèi)力虛功為

(d)將(a),(d)式代入（3－15）式，得梁的虛位移原理表達(dá)式為得即(8-16)(b)式為微段的外力虛功dWe，設(shè)微段的內(nèi)力虛功為dWi。

組合變形時(shí)，桿橫截面上的內(nèi)力一般有彎矩M，剪力Q，軸力N及扭矩Mn。與軸力相應(yīng)的虛變形位移為沿軸力方向的線位移dd，與扭矩相應(yīng)的虛變形位移為扭轉(zhuǎn)角

dj。仿照梁的虛位移原理，可得組合變形時(shí)的虛位移原理表達(dá)式為(8-17)2.組合變形的虛位移原理

由于以上分析中沒(méi)有涉及材料的物理性質(zhì)，所以(3-17)式適用于彈性體和非彈性體問(wèn)題。式中Fi為廣義力，M,FS,FN,T是由荷載產(chǎn)生的內(nèi)力，為廣義虛位移，dq,

dl,dd,

為微段的變形虛位移。組合變形時(shí)，桿橫截面上的內(nèi)力一般有彎矩M，剪單位力法(1)因?yàn)橛珊奢d引起的位移，滿足約束條件和變形連續(xù)條件，且為微小位移，滿足可變形固體的虛位移條件。因此，可以把由荷載引起的實(shí)際位移D，作為虛位移。由荷載引起的微段的變形位移dq,dl,dd,dj作為變形虛位移。即以實(shí)際位移作為虛位移。(2)

若要確定在荷載作用下桿件上某一截面沿某一指定方向的實(shí)際位移D，可在該處施加一個(gè)相應(yīng)的單位力，并以此作為單位荷載。即以虛設(shè)單位力作為荷載。由單位力引起的內(nèi)力記為。單位力法(1)因?yàn)橛珊奢d引起的位移，滿足約束條件和（3）單位力所做的外力虛功為We=1·D單位力法的虛位移原理表達(dá)式為(3-18)該式同樣適用于彈性體和非彈性體問(wèn)題。桿件的內(nèi)力虛功為（3）單位力所做的外力虛功為We=1·D單位力法的虛位(3-19)于是(3-18)成為(3-20)式中為由單位力引起的內(nèi)力，為荷載引起的內(nèi)力。為大于1的系數(shù)，見(jiàn)例3－20。(4)

線彈性體由荷載引起的微段變形位移公式為(3-19)于是(3-18)成為(3-20)式中線彈性結(jié)構(gòu)，各種基本變形情況下微段的變形為

11.4、莫爾方法則

上式為計(jì)算線彈性桿件或桿系結(jié)構(gòu)位移的一般公式，又稱為莫爾積分。

為實(shí)際載荷作用于結(jié)構(gòu)時(shí)x截面上的軸力、扭矩和彎矩。

為單位載荷單獨(dú)作用于同一結(jié)構(gòu)時(shí)x截面上的軸力、扭矩和彎矩。

線彈性結(jié)構(gòu)，各種基本變形情況下微段的變形為11.4、莫爾方1.平面彎曲變形

各種基本變形的莫爾積分式2.軸向拉壓變形

3.扭轉(zhuǎn)變形

1.平面彎曲變形各種基本變形的莫爾積分式2.軸向拉壓變例圖11-15a所示剛架，若兩桿抗彎及抗拉(壓)剛度分別為EI和EA，且為常數(shù)。試求A點(diǎn)的水平位移。

解在A點(diǎn)加一水平單位力

各段的彎矩方程和軸力方程

BC段

AB段

代入莫爾積分式

例圖11-15a所示剛架，若兩桿抗彎及抗拉(壓)剛度分別當(dāng)時(shí)，上式變?yōu)?/p>

第一項(xiàng)是由于彎曲變形引起的A點(diǎn)的位移，第二項(xiàng)是由于軸向變形引起的A點(diǎn)的位移。

可見(jiàn)由于軸向變形引起的位移大約是彎曲變形引起位移的0.3%。

若兩桿均為直徑為d的圓截面桿，且設(shè)a=4d，則I/A=d2/16，A點(diǎn)的水平位移為當(dāng)時(shí)，上式變?yōu)榈谝豁?xiàng)是由于彎11.5莫爾積分應(yīng)用于直桿時(shí)的圖乘法

在應(yīng)用莫爾定理求位移時(shí)，需計(jì)算下列形式的積分：

對(duì)于等直桿，EI=const，可以提到積分號(hào)外，故只需計(jì)算積分目錄11.5莫爾積分應(yīng)用于直桿時(shí)的圖乘法直桿的M

(x)圖必定是直線或折線。目錄直桿的M(x)圖必定是直線或折線。目錄材料力學(xué)基本第十一章-材料力學(xué)中的能量方法課件

頂點(diǎn)二次拋物線的ω

頂點(diǎn)目錄頂點(diǎn)二次拋物線的ω頂點(diǎn)目錄二、常見(jiàn)圖形的面積和形心位置

二、常見(jiàn)圖形的面積和形心位置LFF解（1）求自由端的撓度例題試用圖乘法求所示懸臂梁自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。目錄LFF解（1）求自由端的撓度例題試用圖乘法求所示懸臂梁自由端Fm=1(2)求自由端的轉(zhuǎn)角例題13-12目錄Fm=1(2)求自由端的轉(zhuǎn)角例題13-12目錄

圖示梁的材料為非線性彈性體，F(xiàn)i為廣義力，Di為廣義位移。各力同時(shí)作用在梁上，并按同一比例由零逐漸增加到最終值（簡(jiǎn)單加載）。11.6.1卡氏定理及其證明（8－10）

設(shè)各力和相應(yīng)位移的瞬時(shí)值分別為fi,di，各力在其相應(yīng)的位移上做功,并注意到材料為非線性彈性體，梁的應(yīng)變能為11.6卡氏定理為位移狀態(tài)函數(shù)。圖示梁的材料為非線性彈性體，F(xiàn)i為廣義力，D

假設(shè)與第i個(gè)荷載Fi相應(yīng)的位移Di有一微小位移增量dDi，而與其余荷載相應(yīng)的位移,以及各荷載均保持不變。外力功和應(yīng)變能的增量分別為（dDi不是由Fi產(chǎn)生的，F(xiàn)idDi為常力做的功

）

（a）(b)式中，為應(yīng)變能對(duì)位移的變化率。假設(shè)與第i個(gè)荷載Fi相應(yīng)的位移Di有一微（8－11）式為卡氏第一定理。它說(shuō)明，彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，對(duì)于結(jié)構(gòu)上與某一荷載相應(yīng)的位移之變化率，等于該荷載的值。以上推導(dǎo)中并沒(méi)有涉及到梁的具體性質(zhì)，故（8－11）適用于一切受力狀態(tài)的彈性體。對(duì)于線彈性體也必須把U寫(xiě)成給定位移的函數(shù)形式。（8－11）得令（8－11）式為卡氏第一定理。它說(shuō)明，彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，對(duì)（11.6.2

卡氏定理的內(nèi)力分量形式

線彈性結(jié)構(gòu)

應(yīng)變能第i個(gè)外力增加一微量dFi

，結(jié)構(gòu)應(yīng)變能為1.先施加F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，后加dFi11.6.2卡氏定理的內(nèi)力分量形式線彈性結(jié)構(gòu)應(yīng)變應(yīng)變能(1)在施加dFi時(shí),其作用點(diǎn)沿dFi方向的位移為d△i，結(jié)構(gòu)中的應(yīng)變能為dFid△i/2。

2.先施加dFi，后加F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n§9.4卡氏第二定理(2)再施加F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n時(shí)的應(yīng)變能Vε。

(3)同時(shí),在Fi的方向(即dFi的方向)上又發(fā)生了位移△i，“等候”在此的常力dFi又完成了功dFi△i。

應(yīng)變能(1)在施加dFi時(shí),其作用點(diǎn)沿dFi方向的位移為d略去二階微量，得

根據(jù)彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能與加力次序無(wú)關(guān)的性質(zhì)

§9.4卡氏第二定理線彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能對(duì)某一載荷Fi的偏導(dǎo)數(shù)，等于在該載荷處沿載荷方向的位移，這就是卡氏第二定理。

略去二階微量，得根據(jù)彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能與加力次序無(wú)關(guān)的性質(zhì)

交換上式中的積分與微分次序,即先對(duì)Fi求微分，再對(duì)x積分，得

例：對(duì)于橫力彎曲,由卡氏第二定理，得

交換上式中的積分與微分次序,即先對(duì)Fi求微分，再對(duì)例圖9-9a所示懸臂梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。試用卡氏第二定理計(jì)算自由端B截面的撓度和轉(zhuǎn)角。

解(1)求截面B的撓度

梁內(nèi)任意橫截面x處的彎矩及其對(duì)載荷F的偏導(dǎo)數(shù)為例圖9-9a所示懸臂梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。試用卡氏第二(2)求截面B的轉(zhuǎn)角在截面B處“虛擬”地施加一個(gè)力偶Me