(全)高中數(shù)學(xué)知識總結(jié)4

三、函數(shù)與方程的思想方法函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型〔方程、不等式、或方程與不等式的混合組〕，然后通過解方程〔組〕或不等式〔組〕來使問題獲解。有時，還實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，到達解決問題的目的。笛卡爾的方程思想是：實際問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程問題。宇宙世界，充滿著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問題是通過解方程來實現(xiàn)的……等等；不等式問題也與方程是近親，密切相關(guān)。而函數(shù)和多元方程沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)y＝f(x)，就可以看作關(guān)于x、y的二元方程f(x)－y＝0?？梢哉f，函數(shù)的研究離不開方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時需要重點考慮的。函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進行研究。它表達了“聯(lián)系和變化〞的辯證唯物主義觀點。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f(x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。函數(shù)知識涉及的知識點多、面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點。我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數(shù)觀點加以分析；含有多個變量的數(shù)學(xué)問題中，選定適宜的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；實際應(yīng)用問題，翻譯成數(shù)學(xué)語言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識解答；等差、等比數(shù)列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問題也可以用函數(shù)方法解決。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1.方程lgx＋x＝3的解所在的區(qū)間為_____。A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞)2.如果函數(shù)f(x)＝x＋bx＋c對于任意實數(shù)t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么_____。A.f(2)<f(1)<f(4)B.f(1)<f(2)<f(4)C.f(2)<f(4)<f(1)D.f(4)<f(2)<f(1)3.函數(shù)y＝f(x)有反函數(shù)，那么方程f(x)＝a(a是常數(shù))______。A.有且僅有一個實根B.至多一個實根C.至少一個實根D.不同于以上結(jié)論4.sinθ＋cosθ＝，θ∈(，π)，那么tgθ的值是_____。A.－B.－C.D.5.等差數(shù)列的前n項和為S，且S＝S(p≠q，p、q∈N)，那么S＝_________。6.關(guān)于x的方程sinx＋cosx＋a＝0有實根，那么實數(shù)a的取值范圍是__________。7.正六棱錐的體積為48,側(cè)面與底面所成的角為45°，那么此棱錐的側(cè)面積為___________。8.建造一個容積為8m，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，那么水池的最低造價為___________。【簡解】1小題：圖像法解方程，也可代入各區(qū)間的一個數(shù)〔特值法或代入法〕，選C；2小題：函數(shù)f(x)的對稱軸為2，結(jié)合其單調(diào)性，選A；3小題：從反面考慮，注意應(yīng)用特例，選B；4小題：設(shè)tg＝x(x>0〕，那么＋＝，解出x＝2，再用萬能公式，選A；5小題：利用是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)S＝S＝m，＝x，那么〔,p〕、(,q)、(x，p+q)在同一直線上，由兩點斜率相等解得x＝0，那么答案：0；6小題：設(shè)cosx＝t，t∈[-1,1]，那么a＝t－t－1∈[－,1]，所以答案：[－,1]；7小題：設(shè)高h，由體積解出h＝2，答案：24；8小題：設(shè)長x，那么寬，造價y＝4×120＋4x×80＋×80≥1760，答案：1760。Ⅱ、示范性題組：例1.設(shè)a>0，a≠1，試求方程log(x－ak)＝log(x－a)有實數(shù)解的k的范圍。(89年全國高考)【分析】由換底公式進行換底后出現(xiàn)同底，再進行等價轉(zhuǎn)化為方程組，別離參數(shù)后分析式子特點，從而選用三角換元法，用三角函數(shù)的值域求解?！窘狻繉⒃匠袒癁椋簂og(x－ak)＝log，等價于〔a>0,a≠1〕∴k＝－(||>1〕,設(shè)＝cscθ，θ∈(－,0)∪(0,)，那么k＝f(θ)＝cscθ－|ctgθ|當θ∈(－,0)時，f(θ)＝cscθ＋ctgθ＝ctg<－1，故k<－1；當θ∈(0,)時，f(θ)＝cscθ－ctgθ＝tg∈(0,1)，故0<k<1；綜上所述，k的取值范圍是：k<－1或0<k<1。yCC-ak-aax【注】求參數(shù)的范圍，別離參數(shù)后變成函數(shù)值域的問題，觀察所求函數(shù)式，引入新的變量，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，在進行三角換元時，要注意新的變量的范圍。一般地，此種思路可以解決有關(guān)不等式、方程、最大值和最小值、參數(shù)范圍之類的問題。此題還用到了別離參數(shù)法、三角換元法、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法。另一種解題思路是采取“數(shù)形結(jié)合法〞：將原方程化為：log(x－ak)＝log，等價于x－ak＝(x－ak>0)，設(shè)曲線C：y＝x－ak，曲線C：y＝(y>0)，如下列圖。由圖可知，當－ak>a或－a<－ak<0時曲線C與C有交點，即方程有實解。所以k的取值范圍是：k<－1或0<k<1。還有一種思路是直接解出方程的根，然后對方程的根進行討論，具體過程是：原方程等價變形為后，解得：，所以>ak，即－k>0，通分得<0，解得k<－1或0<k<1。所以k的取值范圍是：k<－1或0<k<1。例2.設(shè)不等式2x－1>m(x－1)對滿足|m|≤2的一切實數(shù)m的取值都成立。求x的取值范圍?！痉治觥看藛栴}由于常見的思維定勢，易把它看成關(guān)于x的不等式討論。然而，假設(shè)變換一個角度以m為變量，即關(guān)于m的一次不等式(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2]上恒成立的問題。對此的研究，設(shè)f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，那么問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)〔或常數(shù)函數(shù)〕f(m)的值在[-2,2]內(nèi)恒為負值時參數(shù)x應(yīng)該滿足的條件。【解】問題可變成關(guān)于m的一次不等式：(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2]恒成立，設(shè)f(m)＝(x－1)m－(2x－1),那么解得x∈〔,〕【注】此題的關(guān)鍵是變換角度，以參數(shù)m作為自變量而構(gòu)造函數(shù)式，不等式問題變成函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題。此題有別于關(guān)于x的不等式2x－1>m(x－1)的解集是[-2,2]時求m的值、關(guān)于x的不等式2x－1>m(x－1)在[-2,2]上恒成立時求m的范圍。一般地，在一個含有多個變量的數(shù)學(xué)問題中，確定適宜的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化?；蛘吆袇?shù)的函數(shù)中，將函數(shù)自變量作為參數(shù)，而參數(shù)作為函數(shù)，更具有靈活性，從而巧妙地解決有關(guān)問題。例3.設(shè)等差數(shù)列{a}的前n項的和為S，a＝12，S>0，S<0。①.求公差d的取值范圍；②.指出S、S、…、S中哪一個值最大，并說明理由。(92年全國高考)【分析】①問利用公式a與S建立不等式，容易求解d的范圍；②問利用S是n的二次函數(shù)，將S中哪一個值最大，變成求二次函數(shù)中n為何值時S取最大值的函數(shù)最值問題?！窘狻竣儆蒩＝a＋2d＝12,得到a＝12－2d，所以S＝12a＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d>0，S＝13a＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d<0。解得：－<d<－3。②S＝na＋n(n1－1)d＝n(12－2d)＋n(n－1)d＝[n－(5－)]－[(5－)]因為d<0，故[n－(5－)]最小時，S最大。由－<d<－3得6<(5－)<6.5，故正整數(shù)n＝6時[n－(5－)]最小，所以S最大?！咀ⅰ繑?shù)列的通項公式及前n項和公式實質(zhì)上是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，因此可利用函數(shù)思想來分析或用函數(shù)方法來解決數(shù)列問題。也可以利用方程的思想，設(shè)出未知的量，建立等式關(guān)系即方程，將問題進行算式化，從而簡潔明快。由次可見，利用函數(shù)與方程的思想來解決問題，要求靈活地運用、巧妙的結(jié)合，開展了學(xué)生思維品質(zhì)的深刻性、獨創(chuàng)性。此題的另一種思路是尋求a>0、a<0，即：由d<0知道a>a>…>a，由S＝13a<0得a<0，由S＝6(a＋a)>0得a>0。所以，在S、S、…、S中，S的值最大。例4.如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上任一點，設(shè)∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求異面直線PB和AC的距離?！痉治觥慨惷嬷本€PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點到AC的距離的最小值，從而設(shè)定變量，建立目標函數(shù)而求函數(shù)最小值。P

M

AHB

DC【解】在PB上任取一點M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，設(shè)MH＝x，那么MH⊥平面ABC，AC⊥HD。∴MD＝x＋[(2r－x)sinθ]＝(sin＋1)x－4rsinθx＋4rsinθ＝(sinθ＋1)[x－]＋即當x＝時，MD取最小值為兩異面直線的距離。【注】此題巧在將立體幾何中“異面直線的距離〞變成“求異面直線上兩點之間距離的最小值〞，并設(shè)立適宜的變量將問題變成代數(shù)中的“函數(shù)問題〞。一般地，對于求最大值、最小值的實際問題，先將文字說明轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言后，再建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)性質(zhì)、重要不等式和有關(guān)知識進行解答。比方再現(xiàn)性題組第8題就是典型的例子。例5.△ABC三內(nèi)角A、B、C的大小成等差數(shù)列，且tgA·tgC＝2＋，又知頂點C的對邊c上的高等于4,求△ABC的三邊a、b、c及三內(nèi)角。【分析】了一個積式，考慮能否由其它得到一個和式，再用方程思想求解?！窘狻坑葾、B、C成等差數(shù)列，可得B＝60°；由△ABC中tgA＋tgB＋tgC＝tgA·tgB·tgC，得tgA＋tgC＝tgB(tgA·tgC－1)＝(1＋)設(shè)tgA、tgC是方程x－(＋3)x＋2＋＝0的兩根，解得x＝1，x＝2＋設(shè)A<C，那么tgA＝1，tgC＝2＋，∴A＝，C＝由此容易得到a＝8，b＝4，c＝4＋4。【注】此題的解答關(guān)鍵是利用“△ABC中tgA＋tgB＋tgC＝tgA·tgB·tgC〞這一條性質(zhì)得到tgA＋tgC，從而設(shè)立方程求出tgA和tgC的值，使問題得到解決。例6.假設(shè)(z－x)－4(x－y)(y－z)＝0,求證：x、y、z成等差數(shù)列?！痉治觥坑^察題設(shè)，發(fā)現(xiàn)正好是判別式b－4ac＝0的形式，因此聯(lián)想到構(gòu)造一個一元二次方程進行求解?！咀C明】當x＝y(tǒng)時，可得x＝z，∴x、y、z成等差數(shù)列；當x≠y時，設(shè)方程(x－y)t－(z－x)t＋(y－z)＝0，由△＝0得t＝t，并易知t＝1是方程的根?！鄑·t＝＝1，即2y＝x＋z，∴x、y、z成等差數(shù)列【注】一般地，題設(shè)條件中如果已經(jīng)具備或經(jīng)過變形整理后具備了“x＋x＝a、x·x＝b〞的形式，那么可以利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程；如果具備b－4ac≥0或b－4ac≤0的形式，可以利用根的判別式構(gòu)造一元二次方程。這種方法使得非方程問題用方程思想來解決，表達了一定的技巧性，也是解題根本方法中的一種“構(gòu)造法〞。例7.△ABC中，求證：cosA·cosB·cosC≤?！痉治觥靠紤]首先使用三角公式進行變形，結(jié)合三角形中有關(guān)的性質(zhì)和定理，主要是運用“三角形的內(nèi)角和為180°〞。變形后再通過觀察式子的特點而選擇和發(fā)現(xiàn)最適宜的方法解決?！咀C明】設(shè)k＝cosA·cosB·cosC＝[cos(A＋B)＋cos(A－B)]·cosC＝[－cosC＋cos(A－B)]cosC整理得：cosC－cos(A－B)·cosC＋2k＝0，即看作關(guān)于cosC的一元二次方程?！唷鳎絚os(A－B)－8k≥0即8k≤cos(A－B)≤1∴k≤即cosA·cosB·cosC≤【注】此題原本是三角問題，引入?yún)?shù)后，通過三角變形，發(fā)現(xiàn)了其等式具有“二次〞特點，于是聯(lián)想了一元二次方程，將問題變成代數(shù)中的方程有實解的問題，這既是“方程思想〞，也表達了“判別式法〞、“參數(shù)法〞。此題的另外一種思路是使用“放縮法〞,在放縮過程中也表達了“配方法〞，具體解答過程是：cosA·cosB·cosC＝[cos(A＋B)＋cos(A－B)]·cosC＝－cosC＋cos(A－B)·cosC＝－[cosC－]＋cos(A－B)≤cos(A－B)≤。例8.設(shè)f(x)＝lg，如果當x∈(-∞,1]時f(x)有意義，求實數(shù)a的取值范圍?！痉治觥慨攛∈(-∞,1]時f(x)＝lg有意義的函數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式問題。【解】由題設(shè)可知，不等式1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立，即：()＋()＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。設(shè)t＝(),那么t≥，又設(shè)g(t)＝t＋t＋a，其對稱軸為t＝－∴t＋t＋a＝0在[,+∞)上無實根，即g()＝()＋＋a>0，得a>－所以a的取值范圍是a>－?！咀ⅰ繉τ诓坏仁胶愠闪?，引入新的參數(shù)化簡了不等式后，構(gòu)造二次函數(shù)利用函數(shù)的圖像和單調(diào)性進行解決問題，其中也聯(lián)系到了方程無解，表達了方程思想和函數(shù)思想。一般地，我們在解題中要抓住二次函數(shù)及圖像、二次不等式、二次方程三者之間的緊密聯(lián)系，將問題進行相互轉(zhuǎn)化。在解決不等式()＋()＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的問題時，也可使用“別離參數(shù)法〞：設(shè)t＝(),t≥，那么有a＝－t－t∈(－∞,－]，所以a的取值范圍是a>－。其中最后得到a的范圍，是利用了二次函數(shù)在某區(qū)間上值域的研究，也可屬應(yīng)用“函數(shù)思想〞。Ⅲ、穩(wěn)固性題組：方程sin2x＝sinx在區(qū)間(0,2π)內(nèi)解的個數(shù)是_____。A.1B.2C.3D.4函數(shù)f(x)＝|2－1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，那么_____。A.a<0,b<0,c>0B.a<0,b>0,c>0C.2<2D.2＋2<2函數(shù)f(x)＝log(x－4x＋8)，x∈[0,2]的最大值為－2，那么a＝_____。A.B.C.2D.44.{a}是等比數(shù)列，且a＋a＋a＝18，a＋a＋a＝－9，S＝a＋a＋…＋a，那么S等于_____。A.8B.16C.32D.485.等差數(shù)列{a}中，a＝84，前n項和為S,S>0，S<0，那么當n＝______時，S最大。6.對于滿足0≤p≤4的所有實數(shù)p，使不等式x＋px〉4x＋p－3成立的x的取值范圍是________。7.假設(shè)關(guān)于x的方程|x－6x＋8|＝a恰有兩個不等實根，那么實數(shù)a的取值范圍是____________。8.點A(0,1)、B(2,3)及拋物線y＝x＋mx＋2，假設(shè)拋物線與線段AB相交于兩點，求實數(shù)m的取值范圍。9.實數(shù)x、y、z滿足等式x＋y＋z＝5和xy＋yz＋zx＝3,試求z的取值范圍。10.lg－4·lg·lg＝0，求證：b是a、c的等比中項。11.設(shè)α、β、γ均為銳角，且cosα＋cosβ＋cosγ＋2cosα·cosβ·cosγ＝1，求證：α＋β＋γ＝π。12.當p為何值時，曲線y＝2px(p>0)與橢圓(x―2―)＋y＝1有四個交點。(88年全國高考)13.關(guān)于x的實系數(shù)二次方程x＋ax＋b＝0有兩個實數(shù)根α、β。證明：如果|α|<2，|β|<2，那么2|a|<4＋b且|b|<4；如果2|a|<4＋b且|b|<4，那么|α|<2，|β|<2?！?3年全國理〕14.設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(-∞,+∞)上以2為周期的函數(shù)，對k∈Z，用I表示區(qū)間(2k-1,2k+1]，當x∈I時，f(x)＝x。①.求f(x)在I上的解析表達式；②.對自然數(shù)k，求集合M＝{a|使方程f(x)＝ax在I上有兩個不相等的實根}?！?9年全國理〕四、等價轉(zhuǎn)化思想方法等價轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不標準、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、標準甚至模式法、簡單的問題。歷年高考，等價轉(zhuǎn)化思想無處不見，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)化意識，將有利于強化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧。轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化與非等價轉(zhuǎn)化。等價轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中前因后果是充分必要的，才保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問題的結(jié)果。非等價轉(zhuǎn)化其過程是充分或必要的，要對結(jié)論進行必要的修正〔如無理方程化有理方程要求驗根〕，它能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口。我們在應(yīng)用時一定要注意轉(zhuǎn)化的等價性與非等價性的不同要求，實施等價轉(zhuǎn)化時確保其等價性，保證邏輯上的正確。著名的數(shù)學(xué)家，莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表?什么叫解題?的演講時提出：“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題〞。數(shù)學(xué)的解題過程，就是從未知向、從復(fù)雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程。等價轉(zhuǎn)化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性。在應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時，沒有一個統(tǒng)一的模式去進行。它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進行轉(zhuǎn)換；它可以在宏觀上進行等價轉(zhuǎn)化，如在分析和解決實際問題的過程中，普通語言向數(shù)學(xué)語言的翻譯；它可以在符號系統(tǒng)內(nèi)部實施轉(zhuǎn)換，即所說的恒等變形。消去法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、求值求范圍問題等等，都表達了等價轉(zhuǎn)化思想，我們更是經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進行等價轉(zhuǎn)化?？梢哉f，等價轉(zhuǎn)化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由于其多樣性和靈活性，我們要合理地設(shè)計好轉(zhuǎn)化的途徑和方法，防止死搬硬套題型。在數(shù)學(xué)操作中實施等價轉(zhuǎn)化時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標準化的原那么，即把我們遇到的問題，通過轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁瑣、復(fù)雜的問題，變成比較簡單的問題，比方從超越式到代數(shù)式、從無理式到有理式、從分式到整式…等；或者比較難以解決、比較抽象的問題，轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題，以便準確把握問題的求解過程，比方數(shù)形結(jié)合法；或者從非標準型向標準型進行轉(zhuǎn)化。按照這些原那么進行數(shù)學(xué)操作，轉(zhuǎn)化過程省時省力，有如順水推舟，經(jīng)常滲透等價轉(zhuǎn)化思想，可以提高解題的水平和能力。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1.f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x，那么f(7.5)等于_____。A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.52.設(shè)f(x)＝3x－2，那么f[f(x)]等于______。A.B.9x－8C.xD.3.假設(shè)m、n、p、q∈R且m＋n＝a，p＋q＝b，ab≠0，那么mp＋nq的最大值是______。A.B.C.D.4.如果復(fù)數(shù)z滿足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值為______。A.1B.C.2D.5.設(shè)橢圓＋＝1〔a>b>0〕的半焦距為c，直線l過(0,a)和(b,0)，原點到l的距離等于c，那么橢圓的離心率為_____。A.B.C.D.6.三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D為AB的中點，E為AC的中點，那么四棱錐S-BCED的體積為_____。A.B.10C.D.【簡解】1小題：由轉(zhuǎn)化為周期為2,所以f(7.5)＝f(-0.5)＝－f(0.5)，選B；2小題：設(shè)f(x)＝y(tǒng)，由互為反函數(shù)的值域與定義域的關(guān)系，選C；3小題：由mp＋nq≤＋容易求解，選A；4小題：由復(fù)數(shù)模幾何意義利用數(shù)形結(jié)合法求解，選A；5小題：ab＝×，變形為12e－31e＋7＝0，再解出e，選B；6小題：由S＝S和三棱椎的等體積轉(zhuǎn)化容易求，選A。Ⅱ、示范性題組：例1.假設(shè)x、y、z∈R且x＋y＋z＝1，求(－1)(－1)(－1)的最小值?！痉治觥坑蓌＋y＋z＝1而聯(lián)想到，只有將所求式變形為含代數(shù)式x＋y＋z，或者運用均值不等式后含xyz的形式。所以，關(guān)鍵是將所求式進行合理的變形，即等價轉(zhuǎn)化?！窘狻?－1)(－1)(－1)＝〔1－x〕(1－y)(1－z)＝(1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)＝(xy＋yz＋zx－xyz)＝＋＋－1≥3－1＝－1≥－1＝9【注】對所求式進行等價變換：先通分，再整理分子，最后拆分。將問題轉(zhuǎn)化為求＋＋的最小值，那么不難由平均值不等式而進行解決。此題屬于代數(shù)恒等變形題型，即代數(shù)式在形變中保持值不變。例2.設(shè)x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范圍。【分析】設(shè)k＝x＋y，再代入消去y，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程有實數(shù)解時求參數(shù)k范圍的問題。其中要注意隱含條件，即x的范圍?！窘狻坑?x－3x＝2y≥0得0≤x≤2。設(shè)k＝x＋y，那么y＝k－x，代入等式得：x－6x＋2k＝0，即k＝－x＋3x，其對稱軸為x＝3。由0≤x≤2得k∈[0,4]。所以x＋y的范圍是：0≤x＋y≤4。【另解】數(shù)形結(jié)合法〔轉(zhuǎn)化為解析幾何問題〕：由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，即表示如下列圖橢圓，其一個頂點在坐標原點。x＋y的范圍就是橢圓上的點到坐標原點的距離的平方。由圖可知最小值是0,距離最大的點是以原點為圓心的圓與橢圓相切的切點。設(shè)圓方程為x＋y＝k，代入橢圓中消y得x－6x＋2k＝0。由判別式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x＋y的范圍是：0≤x＋y≤4。【再解】三角換元法，對式和待求式都可以進行三角換元〔轉(zhuǎn)化為三角問題〕：由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，設(shè)，那么x＋y＝1＋2cosα＋cosα＋sinα＝1＋＋2cosα－cosα＝－cosα＋2cosα＋∈[0,4]所以x＋y的范圍是：0≤x＋y≤4。【注】此題運用多種方法進行解答，實現(xiàn)了多種角度的轉(zhuǎn)化，聯(lián)系了多個知識點，有助于提高發(fā)散思維能力。此題還可以利用均值換元法進行解答。各種方法的運用，分別將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為了其它問題，屬于問題轉(zhuǎn)換題型。例3.求值：ctg10°－4cos10°【分析】分析所求值的式子，估計兩條途徑：一是將函數(shù)名化為相同，二是將非特殊角化為特殊角?！窘庖弧縞tg10°－4cos10°＝－4cos10°＝＝＝＝＝＝＝〔根本過程：切化弦→通分→化同名→拆項→差化積→化同名→差化積〕【解二】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝＝＝＝＝＝＝＝〔根本過程：切化弦→通分→化同名→特值代入→積化和→差化積〕【解三】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝＝＝＝＝＝＝〔根本過程：切化弦→通分→化同名→拆角80°→和差角公式〕【注】無條件三角求值問題，是高考中常見題型，其變換過程是等價轉(zhuǎn)化思想的表達。此種題型屬于三角變換型。一般對，對于三角恒等變換，需要靈活運用的是同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和差角公式、倍半角公式、和積互化公式以及萬能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、將次與升次、和積互化、異名化同名、異角化同角、化特殊角等等。對此，我們要掌握變換的通法，活用2公式，攻克三角恒等變形的每一道難關(guān)。例4.f(x)＝tgx，x∈(0,)，假設(shè)x、x∈(0,)且x≠x，求證：[f(x)＋f(x)]>f()〔94年全國高考〕【分析】從問題著手進行思考，運用分析法，一步步探求問題成立的充分條件?！咀C明】[f(x)＋f(x)]>f()[tgx＋tgx]>tg(＋)>>1＋cos(x＋x)>2cosxcosx1＋cosxcosx＋sinxsinx>2cosxcosxcosxcosx＋sinxsinx<1cos(x－x)<1由顯然cos(x－x)<1成立，所以[f(x)＋f(x)]>f()S

AM

DNC

B【注】此題在用分析法證明數(shù)學(xué)問題的過程中，每一步實施的都是等價轉(zhuǎn)化。此種題型屬于分析證明型。例5.如圖，在三棱錐S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是側(cè)棱SC上的一點，使截面MAB與底面所成角等于∠NSC。求證：SC垂直于截面MAB?！?3年全國高考〕【分析】由三垂線定理容易證明SC⊥AB，再在平面SDNC中利用平面幾何知識證明SC⊥DM?！咀C明】由可得：SN⊥底面ABC，AB⊥CD，CD是斜線SC在底面AB的射影，∴AB⊥SC?！逜B⊥SC、AB⊥CD∴AB⊥平面SDNC∴∠MDC就是截面MAB與底面所成的二面角由得∠MDC＝∠NSC又∵∠DCM＝∠SCN∴△DCM≌△SCM∴∠DMC＝∠SNC＝Rt∠即SC⊥DM所以SC⊥截面MAB。【注】立體幾何中有些問題的證明，可以轉(zhuǎn)化為平面幾何證明來解決，即考慮在一個平面上的證明時運用平面幾何知識。Ⅲ、穩(wěn)固性題組：1.正方形ABCD與正方形ABEF成90°的二面角，那么AC與BF所成的角為_____。A.45°B.60°C.30°D.90°2.函數(shù)f(x)＝|lgx|，假設(shè)0<a<b時有f(a)>f(b)，那么以下各式中成立的是_____。A.ab≤1B.ab<1C.ab>1D.a>1且b>13.[－](n∈N)的值為______。A.B.C.0D.14.(a＋b＋c)展開式的項數(shù)是_____。A.11B.66C.132D.35.長方體ABCD-A’B’C’D’中，AA’＝AD＝1，AB＝，那么頂點A到截面A’BD的距離是_______。6.點M(3cosx，3sinx)、N(4cosy，4siny)，那么|MN|的最大值為_________。7.函數(shù)y＝＋的值域是____________。8.不等式log〔x＋x＋3〕>log(x＋2)的解是____________。9．設(shè)x>0，y>0，求證：(x＋y)>(x＋y)(86年上海高考)10.當x∈[0,]時，求使cosx－mcosx＋2m－2>0恒成立的實數(shù)m的取值范圍。11.設(shè)△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，假設(shè)三邊a、b、c順次成等差數(shù)列，求復(fù)數(shù)z＝[cos(π＋)＋ｉsin(π＋)]·[sin(－)＋ｉcos(－)]的輻角主值argz的最大值。12.拋物線C：y＝(t＋t－1)x－2(a＋t)x＋(t＋3at＋b)對任何實數(shù)t都與x軸交于P(1,0)點，又設(shè)拋物線C與x軸的另一交點為Q(m,0)，求m的取值范圍。第三章高考熱點問題和解題策略數(shù)學(xué)高考堅持以“兩個有利〞〔有利高校選拔新生、有利中學(xué)教學(xué)〕為指導(dǎo)思想，嚴格遵循“考試說明〞的規(guī)定，內(nèi)容上不超綱，能力上不超規(guī)定層次〔了解、理解和掌握、靈活和綜合運用〕，在考查三基〔根底知識、根本技能、根本技巧〕和四種能力〔邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力、分析和解決問題的能力〕的同時，側(cè)重考查教材中的主要內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想方法和應(yīng)用意識，特別是突出考查數(shù)學(xué)學(xué)科的思維能力。函數(shù)平均每年占高考總分的13.8％，考查的知識背景為冪、指、對及一般函數(shù)的概念、定義域、值域、反函數(shù)；函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性；函數(shù)的圖像等。三角函數(shù)平均每年占高考總分的12.6％，考查的知識背景是三角函數(shù)的概念、性質(zhì)、以及有關(guān)公式的應(yīng)用，以常規(guī)題居多。解〔證〕不等式平均每年占高考總分的11.2％，考查的知識背景為不等式的性質(zhì)、定理；立幾、數(shù)列中的最值問題以及解幾中的范圍問題。數(shù)列、極限和數(shù)學(xué)歸納法平均每年占高考總分的13.8％，考查的知識背景為等差〔比〕數(shù)列的概念與計算公式；數(shù)列、極限的概念與求法。線面間的位置關(guān)系平均每年占高考總分的11.8％，考查的知識背景為線面間的平行、垂直性質(zhì)與判定及有關(guān)概念。每年均為閱讀理解型試題。圓錐曲線平均每年占高考總分的11.7％，考查的知識背景為圓錐曲線的定義、性質(zhì)及解幾中的根本數(shù)學(xué)思想方法。1993年—1999年高考試題中，常用的數(shù)學(xué)方法幾乎每年考到，常用的數(shù)學(xué)思想方法考查的頻率明顯提高，探索性能力題年年考，對應(yīng)用性問題的考查力度不斷加大，閱讀理解能力多題滲透。今年高考命題，選擇題繼續(xù)保持14個題題量，仍分為1-5題，每題4分，6-14題每題5分，但適當降低最后2-3題的難度，控制語言的抽象水平。填空題保持1997-1999年水平，共4個題左右，每題4分，難度仍將為中等題，以計算題為主，且計算量仍不會加大。相比99年高考，2000高考將適當降低試卷的難度，進一步加強對思維能力考查。進一步注重通性通法的考查，繼續(xù)突出主體內(nèi)容〔函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列和圓錐曲線等〕，淡化某些不宜升溫的知識〔遞推數(shù)列、復(fù)數(shù)和立體幾何等〕，做好向新高中教材過渡的準備。應(yīng)用題將適當控制對建模能力難度的考查，減少普通語言轉(zhuǎn)譯為數(shù)學(xué)語言的難度，既注意貼近生活，又注意靠近課本。探索性綜合題和信息遷移題不可能增加難度，如數(shù)列綜合題仍以歸納猜想為主要形式。一、應(yīng)用問題應(yīng)用問題的“考試要求〞是考查考生的應(yīng)用意識和運用數(shù)學(xué)知識與方法來分析問題解決問題的能力，這個要求分解為三個要點：1、要求考生關(guān)心國家大事，了解信息社會，講究聯(lián)系實際，重視數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活及科學(xué)中的應(yīng)用，明確“數(shù)學(xué)有用，要用數(shù)學(xué)〞，并積累處理實際問題的經(jīng)驗。2、考查理解語言的能力，要求考生能夠從普通語言中捕捉信息，將普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，以數(shù)學(xué)語言為工具進行數(shù)學(xué)思維與交流。3、考查建立數(shù)學(xué)模型的初步能力，并能運用“考試說明〞所規(guī)定的數(shù)學(xué)知識和方法來求解。對應(yīng)用題，考生的弱點主要表現(xiàn)在將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的能力上。實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，關(guān)鍵是提高閱讀能力即數(shù)學(xué)審題能力，審出函數(shù)、方程、不等式、等式，要求我們讀懂材料，辨析文字表達所反響的實際背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來的數(shù)學(xué)實質(zhì)，抽象其中的數(shù)量關(guān)系，將文字語言表達轉(zhuǎn)譯成數(shù)學(xué)式符號語言，建立對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型解答?？梢哉f，解答一個應(yīng)用題重點要過三關(guān)：一是事理關(guān)，即讀懂題意，需要一定的閱讀理解能力；二是文理關(guān)，即把文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號語言；三是數(shù)理關(guān)，即構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建之后還需要扎實的根底知識和較強的數(shù)理能力。求解應(yīng)用題的一般步驟是〔四步法〕：1、讀題：讀懂和深刻理解，譯為數(shù)學(xué)語言，找出主要關(guān)系；2、建模：把主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學(xué)問題；3、求解：化歸為常規(guī)問題，選擇適宜的數(shù)學(xué)方法求解；4、評價：對結(jié)果進行驗證或評估，對錯誤加以調(diào)節(jié)，最后將結(jié)果應(yīng)用于現(xiàn)實，作出解釋或驗證。在近幾年高考中，經(jīng)常涉及的數(shù)學(xué)模型，有以下一些類型：數(shù)列模型、函數(shù)模型、不等式模型、三角模型、排列組合模型等等。Ⅰ、再性性題組：1.某種細菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次〔一個分裂為兩個〕，經(jīng)過3小時，這種細菌由1個可繁殖成______。(94年全國高考)A.511個B.512個C.1023個D.1024個2.如圖，以墻為一邊，用籬笆圍成長方形的場地，并用平行于一邊的籬笆隔開，籬笆的總長為定值L，這塊場地的長為_______時，場地面積最大，最大面積是_________。(82年全國高考)3.圓柱軸截面的周長L為定值，那么圓柱體積的最大值是_______。(93年全國高考)A.()πB.()πC.()πD.2()π4.在半徑為30m的圓形廣場中央上空，置一個照明光源，射向地面的光呈圓錐形，且其軸截面頂角為120°，假設(shè)要光源恰好照亮整個廣場，那么其高度應(yīng)為_______。(精確到0.1m)(93年全國高考)5.甲、乙、丙、丁四個公司承包8項工程，甲公司承包3項，乙公司承包1項，丙、丁公司各承包2項，共有_______種承包方式。(86年全國高考)【簡解】1小題：答案B；2小題：設(shè)長x，面積S＝x×≤()，答案：長為，最大面積；3小題：V＝πr＝πr(－2r)≤π()，選A；4小題：由＝tg60°得h＝10≈17.3；5小題：CCC＝1680。Ⅱ、示范性題組：例1．某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)有增加22％，人均糧食產(chǎn)量比現(xiàn)在提高10％，如果人口年增長率為1％，那么耕地每年至多只能減少多少公頃〔精確到1公頃〕？〔96年全國高考〕〔糧食單產(chǎn)＝；人均糧食產(chǎn)量＝〕【分析】此題以關(guān)系國計民生的耕地、人口、糧食為背景，給出兩組數(shù)據(jù)，要求考生從兩條線索抽象數(shù)列模型，然后進行比較與決策?！窘狻?.讀題：問題涉及耕地面積、糧食單產(chǎn)、人均糧食占有量、總?cè)丝跀?shù)及三個百分率，其中人均糧食占有量P＝，主要關(guān)系是：P≥P。2.建模：設(shè)耕地面積平均每年至多減少x公頃，現(xiàn)在糧食單產(chǎn)為a噸／公頃，現(xiàn)在人口數(shù)為m，那么現(xiàn)在占有量為，10年后糧食單產(chǎn)為a(1＋0.22)，人口數(shù)為m(1＋0.01)，耕地面積為〔10－10x〕。∴≥〔1＋0.1〕即1.22〔10－10x〕≥1.1×10×〔1＋0.01〕3.求解：x≤10－×10×〔1＋0.01〕∵〔1＋0.01〕＝1＋C×0.01＋C×0.01＋C×0.01＋…≈1.1046∴x≤10－995.9≈4〔公頃〕4.評價：答案x≤4公頃符合控制耕地減少的國情，又驗算無破，故可作答?！泊鹇浴场玖斫狻?.讀題：糧食總產(chǎn)量＝單產(chǎn)×耕地面積；糧食總占有量＝人均占有量×總?cè)丝跀?shù)；而主要關(guān)系是：糧食總產(chǎn)量≥糧食總占有量2.建模：設(shè)耕地面積平均每年至多減少x公頃，現(xiàn)在糧食單產(chǎn)為a噸／公頃，現(xiàn)在人口數(shù)為m，那么現(xiàn)在占有量為，10年后糧食單產(chǎn)為a(1＋0.22)，人口數(shù)為m(1＋0.01)，耕地面積為〔10－10x〕?！郺(1＋0.22)×(1O－10x)≥×(1＋0.1)×m(1＋0.01)3.求解：x≤10－×10×〔1＋0.01〕∵〔1＋0.01〕＝1＋C×0.01＋C×0.01＋C×0.01＋…≈1.1046∴x≤10－995.9≈4〔公頃〕4.評價：答案x≤4公頃符合控制耕地減少的國情，又驗算無破，故可作答?！泊鹇浴场咀ⅰ看祟}主要是抓住各量之間的關(guān)系，注重3個百分率。其中耕地面積為等差數(shù)列，總?cè)丝跀?shù)為等比數(shù)列模型，問題用不等式模型求解。此題兩種解法，雖都是建立不等式模型，但建立時所用的意義不同，這要求靈活掌握，還要求對指數(shù)函數(shù)、不等式、增長率、二項式定理應(yīng)用于近似計算等知識熟練。此種解法可以解決有關(guān)統(tǒng)籌安排、最正確決策、最優(yōu)化等問題。此種題型屬于不等式模型，也可以把它作為數(shù)列模型，相比之下，主要求解過程是建立不等式模型后解出不等式。在解容許用問題時，我們強調(diào)“評價〞這一步不可少！它是解題者的自我調(diào)節(jié)，比方此題求解過程中假設(shè)令1.01≈1,算得結(jié)果為x≤98公頃，自然會問：耕地減少這么多，符合國家保持耕地的政策嗎？于是進行調(diào)控，檢查發(fā)現(xiàn)是錯在1.01的近似計算上。例2．某市1990年底人口為100萬，人均住房面積為5m，如果該市每年人口平均增長率為2％，每年平均新建住房面積為10萬m，試求到2000年底該市人均住房面積〔精確到0.01〕？〔91年上海高考〕【分析】城市每年人口數(shù)成等比數(shù)列，每年住房總面積成等比數(shù)列，分別寫出2000年后的人口數(shù)、住房總面積，從而計算人均住房面積?！窘狻?.讀題：主要關(guān)系：人均住房面積＝2.建模：2000年底人均住房面積為3.求解：化簡上式＝，∵1.02＝1＋C×0.02＋C×0.02＋C×0.02＋…≈1.219∴人均住房面積為≈4.924.評價：答案4.92符合城市實際情況，驗算正確，所以到2000年底該市人均住房面積為4.92m。【注】一般地，涉及到利率、產(chǎn)量、降價、繁殖等與增長率有關(guān)的實際問題，可通過觀察、分析、歸納出數(shù)據(jù)成等差數(shù)列還是等比數(shù)列，然后用兩個根底數(shù)列的知識進行解答。此種題型屬于應(yīng)用問題中的數(shù)列模型。例3．甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米／時，汽車每小時的運輸本錢〔以元為單位〕由可變局部和固定局部組成：可變局部與速度v〔千米／時〕的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定局部為a元。①把全程運輸本錢y〔元〕表示為速度v〔千米／時〕的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域；②為了使全程運輸本錢最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？〔97年全國高考〕【分析】幾個變量〔運輸本錢、速度、固定局部〕有相互的關(guān)聯(lián)，抽象出其中的函數(shù)關(guān)系，并求函數(shù)的最小值?！窘狻俊沧x題〕由主要關(guān)系：運輸總本錢＝每小時運輸本錢×時間，〔建?！秤衴＝(a＋bv)〔解題〕所以全程運輸本錢y〔元〕表示為速度v〔千米／時〕的函數(shù)關(guān)系式是：y＝S(＋bv)，其中函數(shù)的定義域是v∈(0,c]。整理函數(shù)有y＝S(＋bv)＝S(v＋)，由函數(shù)y＝x＋(k>0)的單調(diào)性而得：當<c時，那么v＝時，y取最小值；當≥c時，那么v＝c時，y取最小值。綜上所述，為使全程本錢y最小，當<c時，行駛速度應(yīng)為v＝；當≥c時，行駛速度應(yīng)為v＝c。【注】對于實際應(yīng)用問題，可以通過建立目標函數(shù)，然后運用解〔證〕不等式的方法求出函數(shù)的最大值或最小值，其中要特別注意蘊涵的制約關(guān)系，如此題中速度v的范圍，一旦無視，將出現(xiàn)解答不完整。此種應(yīng)用問題既屬于函數(shù)模型，也可屬于不等式模型。A

MCDB例4．如圖，假設(shè)河的一條岸邊為直線MN，AC⊥MN于C，點B、D在MN上，現(xiàn)將貨物從A地經(jīng)陸地AD于水陸B(tài)D運往B地，AC＝10km，BC＝30km，又陸地單位距離的運價是水陸單位距離運價的2倍，為使運費最少，D點應(yīng)選在距C點多遠處？【分析】設(shè)∠ADC＝α后，將AD、BC用α表示，進而將運費表示成α的函數(shù)是，再求運費最小值等?！窘狻吭O(shè)∠ADC＝α，那么AD＝，BD＝30－10ctgα，設(shè)水路每km的運費為1，那么運費y＝(30－10ctgα)＋2×＝10(3－＋)＝10(3＋)設(shè)t＝，即t×sinα＋cosα＝2,有sin(α＋θ)＝2,∴≥2即t≥。當t＝時，2－cosα＝sinα即sinα＋cosα＝1,∴sin(α＋30°)＝1,即α＝60°。∴CD＝10ctgα＝km綜上所述，D點應(yīng)選在距C點km時運費最少。【注】作為工具學(xué)科的三角，跨學(xué)科的應(yīng)用是它的特點，不少物理學(xué)、工程測量、航海航空等應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來解決，或者運用解三角形中的根本知識和手段進行解答，此種題型屬于應(yīng)用問題中的三角模型。在解容許用問題中，最常見的是以上的幾種模型，即：函數(shù)模型、不等式模型、數(shù)列模型、三角模型。此外，其它的幾種應(yīng)用問題模型有：與排列組合有關(guān)的應(yīng)用問題，特征比較明顯，屬于排列組合模型，解答時一定要分清楚是分類還是分步，是排列還是組合，是否有重復(fù)和遺漏；與光學(xué)、力學(xué)、軌跡等有關(guān)方面的應(yīng)用問題，可通過建立適當?shù)淖鴺讼担\用曲線的知識來建立數(shù)學(xué)模型來解答，且曲線研究主要是二次曲線，所以可稱之為二次曲線模型。Ⅲ、穩(wěn)固性題組：1.某商品降價10％后，欲恢復(fù)原價，那么應(yīng)提價為______。A.10％B.9％C.11％D.11％2.某工廠去年12月的月廠值為a，月平均增長率為P，那么今年12月廠值比去年同期增加的倍數(shù)是______。A.(1＋P)－1B.(1＋P)C.(1＋P)D.12P3.將一半徑為R的木球加工成一正方形木塊，那么木塊的最大體積為______。A.RB.RC.RD.R4.在北緯45°圈上有甲、乙兩地，它們分別在東經(jīng)50°與140°的圈上，設(shè)地球半徑為R，那么甲、乙兩地的球面距離為______。A.πRB.πRC.RD.πR5.某種商品分兩次提價，有三種提價方案，方案甲是：第一次提價p％，第二次提價q％；方案乙是：第一次提價q％，第二次提價p％；方案丙是：第一次提價％，第二次提價％，p>q>0，那么上述三個方案中______。A.方案甲提價最多B.方案乙提價最多C.方案丙提價最多D.以上都不對6.假設(shè)國家收購某種農(nóng)產(chǎn)品的價格是120元／擔，其中征稅標準為每100元征8元〔叫稅率8個百分點，即8％〕，方案可收購m萬擔。為了減輕農(nóng)民負擔，決定把稅率降低x個百分點，預(yù)計收購量可增加2x個百分點。①寫出稅收y〔萬元〕與x的函數(shù)關(guān)系式；②要使此項稅收在稅率調(diào)節(jié)后不低于原方案的78％，試確定x的范圍。7.某單位用分期付款的方式為職工購置40套住房，共需1150萬元。購置當天先付150萬元，以后每月的這一天都交付50萬元，并加付欠款利息，月利率為1％。假設(shè)交付150萬元后的第一個月開始算分期付款的第一個月，問分期付款的第10個月應(yīng)該付多少錢？全部貨款付清后，買這40套住房實際花了多少錢？

A

O水面8.公園要建造一個圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25米，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上拋物線路徑如下列圖，為使水流形狀較為漂亮，設(shè)計成水流在到OA的距離為1米處到達距水面最大高度2.25米，如果不計其他因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不致落到池外？〔97年上海高考〕9.電燈掛在圓桌的正中央上空，光學(xué)定律指出：桌邊A處的照度I與射到點A的光線與桌面的夾角θ的正弦成正比，與點A到光源的距離的平方成反比。桌面半徑r＝0.5米，當電燈離桌面1米時，桌邊A處的照度為I。①試把照度I表示為角θ的函數(shù)；②怎樣選擇電燈懸掛的高度h，才能使桌邊處最亮？10.國際足聯(lián)規(guī)定法國世界杯決賽階段，比賽場地長105米、寬68米，足球門寬7.32米、高2.44米，試確定邊鋒最正確射門位置〔邊鋒在足球場地長邊上移動，最正確射門位置應(yīng)使邊鋒看足球門的水平視角θ最大〕?！簿_到1米〕二、探索性問題近年來，隨著社會主義經(jīng)濟建設(shè)的迅速開展，要求學(xué)校由“應(yīng)試教育〞向“素質(zhì)教育〞轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)全面開展的開拓型、創(chuàng)造型人才。在這種要求下，數(shù)學(xué)教學(xué)中開放型問題隨之產(chǎn)生。于是，探索性問題成了近幾年來高考命題中的熱點問題，它既是高等學(xué)校選拔高素質(zhì)人材的需要，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生具有創(chuàng)造能力、開拓能力的任務(wù)所要求的。實際上，學(xué)生在學(xué)習數(shù)學(xué)知識時，知識的形成過程也是觀察、分析、歸納、類比、猜想、概括、推證的探索過程，其探索方法是學(xué)生應(yīng)該學(xué)習和掌握的，是今后數(shù)學(xué)教育的重要方向。一般地，對于雖給出了明確條件，但沒有明確的結(jié)論，或者結(jié)論不穩(wěn)定，需要探索者通過觀察、分析、歸納出結(jié)論或判斷結(jié)論的問題〔探索結(jié)論〕；或者雖給出了問題的明確結(jié)論，但條件缺乏或未知，需要解題者尋找充分條件并加以證明的問題〔探索條件〕，稱為探索性問題。此外，有些探索性問題也可以改變條件，探討結(jié)論相應(yīng)發(fā)生的變化；或者改變結(jié)論，探討條件相應(yīng)發(fā)生的變化；或者給出一些實際中的數(shù)據(jù)，通過分析、探討解決問題。探索性問題一般有以下幾種類型：猜想歸納型、存在型問題、分類討論型。猜想歸納型問題是指在問題沒有給出結(jié)論時，需要從特殊情況入手，進行猜想后證明其猜想的一般性結(jié)論。它的思路是：從所給的條件出發(fā)，通過觀察、試驗、不完全歸納、猜想，探討出結(jié)論，然后再利用完全歸納理論和要求對結(jié)論進行證明。其主要表達是解答數(shù)列中等與n有關(guān)數(shù)學(xué)問題。存在型問題是指結(jié)論不確定的問題，即在數(shù)學(xué)命題中，結(jié)論常以“是否存在〞的形式出現(xiàn)，其結(jié)果可能存在，需要找出來，可能不存在，那么需要說明理由。解答這一類問題時，我們可以先假設(shè)結(jié)論不存在，假設(shè)推論無矛盾，那么結(jié)論確定存在；假設(shè)推證出矛盾，那么結(jié)論不存在。代數(shù)、三角、幾何中，都可以出現(xiàn)此種探討“是否存在〞類型的問題。分類討論型問題是指條件或者結(jié)論不確定時，把所有的情況進行分類討論后，找出滿足條件的條件或結(jié)論。此種題型常見于含有參數(shù)的問題，或者情況多種的問題。探索性問題，是從高層次上考查學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的新題型，正確運用數(shù)學(xué)思想方法是解決這類問題的橋梁和向?qū)ВǔＰ枰C合運用歸納與猜想、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價轉(zhuǎn)化與非等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法才能得到解決，我們在學(xué)習中要重視對這一問題的訓(xùn)練，以提高我們的思維能力和開拓能力。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1.是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)對一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論?！?9年全國理〕2.數(shù)列，…，，…。S為其前n項和，求S、S、S、S，推測S公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明?！?3年全國理〕【簡解】1題：令n＝1、2、3代入等式列出方程組，解得a＝3、b＝11、c＝10，猜想a、b、c的值對所有的n∈N都成立，再運用數(shù)學(xué)歸納法進行證明。〔屬于是否存在型問題，也可屬于猜想歸納型問題〕2題：計算得到S＝、S＝、S＝、S＝，觀察后猜想S＝，再運用數(shù)學(xué)歸納法進行證明。Ⅱ、示范性題組：【例1】方程kx＋y＝4，其中k為實數(shù)，對于不同范圍的k值，分別指出方程所代表圖形的類型，并畫出曲線簡圖?！?8年全國高考題〕【分析】由圓、橢圓、雙曲線等方程的具體形式，結(jié)合方程kx＋y＝4的特點，對參數(shù)k分k>1、k＝1、0<k<1、k＝0、k<0五種情況進行討論。【解】由方程kx＋y＝4，分k>1、k＝1、0<k<1、k＝0、k<0五種情況討論如下：①當k>1時，表示橢圓，其中心在原點，焦點在y軸上，a＝2，b＝;②當k＝1時，表示圓，圓心在原點，r＝2；③當0<k<1時，表示橢圓，其中心在原點，焦點在x軸上，a＝，b＝2；④當k＝0時，表示兩條平行直線y＝±2；⑤當k<0時，表示雙曲線，中心在原點，焦點在y軸上。yyyyy

xxxxx所有五種情況的簡圖依次如下所示：【注】分類討論型問題，把所有情況分類討論后，找出滿足條件的條件或結(jié)論?！纠?】給定雙曲線x－＝1，①過點A(2,0)的直線L與所給雙曲線交于P及P，求線段PP的中點P的軌跡方程；②過點B(1,1)能否作直線m，使m與所給雙曲線交于兩點Q、Q，且點B是線段Q、Q的中點？這樣的直線m如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由?！?1年全國高考題〕【分析】兩問都可以設(shè)直線L的點斜式方程，與雙曲線方程聯(lián)立成方程組，其解就是直線與雙曲線的交點坐標，再用韋達定理求解中點坐標等。【解】①設(shè)直線L：y＝k(x－2)∴消y得(2－k)x＋4kx－(2＋4k)＝0∴x＋x＝∴x＝代入直線L得：y＝∴消k得2x－4x－y＝0即－＝1線段PP的中點P的軌跡方程是：－＝1②設(shè)所求直線m的方程為：y＝k(x－1)＋1∴消y得(2－k)x＋(2k－2k)x＋2k－k－3＝0∴x＋x＝＝2×2∴k＝2代入消y后的方程計算