圓錐曲線與方程復習資料

標準標準文案文案高中數學選修2—1第二章圓錐曲線與方程知識點:一、曲線的方程求曲線的方程（點的軌跡方程）的步驟：建、設、限、代、化①建立適當的直角坐標系;②設動點Mx,y及其他的點；③找出滿足限制條件的等式；④將點的坐標代入等式；⑤化簡方程，并驗證（查漏除雜）。二、橢圓1、平面內與兩個定點Fi,F2的距離之也等于常數（大于F1F2）的點的軌跡稱為橢圓。這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距。 |MF1|MF22a2a2c2、橢圓的幾何性質：焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形0,1fhd1M標準方程2 2-22^2 1ab0ab2 2-^2~■2 1ab0ab第f義到兩定點Fi、F2的距離之和等于常數2a,即|MFi|IMF2I2a（2aIF1F2|）第二定義 r MF到一定點的距離和到一定直線的距離之比為常數 e,即 e（0de1)范圍axa且bybbxb且aya頂點1a,0、 2a,010,b、 20,b10,a、1 b,0、20,a2b,0軸長長軸的長 2a 短軸的長2b對稱性關于x軸、y軸對稱，關于原點中心對稱住日八'、八\、F1 c,0、F2c,0F10,c、F20,c

焦距F1F2I2c(c22 人2\ab)離心率ei\耳尸JaVa \1與(0e1)準線方程2ax——c2ay一c焦半徑M(xo,yo)左焦半徑：MF1aex0右焦半徑：MF2Iae%下焦半徑：上焦半徑：MFJaey0MF2|aey0焦點三角形面積c ，2， ，SMF1F2 btan-(F1MF2)通徑b2過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑： HH|一a（焦點）弦長公式A(x1,y)B(x2,y2),ABJ1k2x1x2|J〔k2y/(x1%)24x1x23、設是橢圓上任一點，點則!F!LF21eodi d2到Fi對應準線的品巨離為di3、設是橢圓上任一點，點則!F!LF21eodi d2?？碱愋皖愋鸵唬簷E圓的基本量TOC\o"1-5"\h\z2 21.指出橢圓9x4y 36的焦點坐標和離心率2 2【變式1】橢圓二—1上一點P到橢圓一個焦點的距離為3,則P到另一個焦點

25 16的后巨離= 2 2【變式2】橢圓—？一1的兩個焦點分別為FPF2,過F2的直線交橢圓于A、B

16 25兩點，則ABF1的周長CABF1=2 x2 x【變式3】已知橢圓的方程為——16-y71,焦點在x軸上，則m的取值范圍是（）。mA.—4WmW4且mw0B.—4vmv4且mw0C.m>4或mv—4D.0V類型二：橢圓的標準方程2.求適合下列條件的橢圓的標準方程:（1）兩個焦點的坐標分別是（一4,0）、（4,0）,橢圓上一點P到兩焦點距離的和是10; （2）兩焦點的坐標分別為 0,4,0,-4,且橢圓經過點(5,0)。2x【變式1】已知一橢圓的對稱軸為坐標軸且與橢圓 —92—1有相同的焦點，并且4經過點（3,—2）,求此橢圓的方程。3.求經過點P（—3,0）、Q（0,2）的橢圓的標準方程?！咀兪?】求與橢圓4x2+9y2=36有相同的焦距，且離心率為■—1的橢圓的標準方程。5【變式2】在橢圓的標準方程中=6,b=巧,則橢圓的標準方程是（）2C2C?16y21D.以上都不2xA.—36

2匕135

2B.—36

2—135【變式3】長軸長等于20,離心率等于3,求橢圓的標準方程。5類型三：求橢圓的離心率4.已知橢圓一條準線為 yx4,相應焦點為（1,-1）,長軸的一個頂點為原點 O,求其離心率日的取值?！咀兪?】橢圓的兩個焦點把兩條準線間距離三等分，則橢圓離心率為

A.13 B.乎 cJy D.不確定TOC\o"1-5"\h\z【變式2】橢圓的一個頂點與兩焦點構成等邊三角形，則此橢圓的離心率是( )A.- R曲 C婦D-\o"CurrentDocument"5 4 3 22 2.已知橢圓勺2_1(ab0),以口，b產為系數的關于K的方程歐+於"=口ab無實根，求其離心率金的取值范圍。類型四：橢圓定義的應用.若一個動點P(x,y)到兩個定點A(―1,0)、A，(1,0)的距離的和為定值m(m>0),試求P點的軌跡方程?！咀兪?】下列說法中正確的是( )A.平面內與兩個定點的距離和等于常數的點的軌跡叫做橢圓B.平面內與兩個定點的距離和等于常數的點的軌跡是一條線段C.平面內與兩個定點的距離和等于常數的點的軌跡是一個橢圓或者是一條直線D.平面內與兩個定點的距離和等于常數的點的軌跡存在，則軌跡是一個橢圓或者是條線段【變式2】已知A(0,—1)、B(0,1)兩點，△ABC【變式2】已知A(0,—1)、的軌跡方程是()。十匕二1(了工土。十匕二1(了工土2)4 3口+==1⑶=±2)\o"CurrentDocument"4 32 2二+土=1⑶")\o"CurrentDocument"d.4 3類型五：坐標法的應用7.△ABC的兩個頂點坐標分別是B(0,6)和C(0,—6),另兩邊AB、AC7.△ABC的兩個頂點坐標分別是口4 ，… …、、"是—-,求頂點A的軌跡方程。9

【變式1】^ABC兩頂點的坐標分別是B(6,0)和C(—6,0),另兩邊AB、AC的……4 4 -…，、、…斜率的積是—-,則頂點的軌跡方程是B.—+—二B.—+—二1(yH±6)8116--■F—=1(y#±6)A.8136C.】36D.C.】36D.土十二二15工均3616課后練習,一x課后練習,一x21.橢圓一162y251的焦點坐標為(A)(0,±3)(B)(超(A)(0,±3)(B)(超0)(0,±5)(±4,0)2x2.在方程——1002y2x2.在方程——1002y641中，下列a,b,c全部正確的一項是(A)a=100,b=64,c=36 (B)a=10,b=6,c=8(C)a=10,b=8,c=6(D)a=100,c=64,b=363.已知a=4,b=1,焦點在x軸上的橢圓方程是(A)2(B)x2(C)16y21(D)x2L1164.已知焦點坐標為(0,—4),(0,4),且a=6的橢圓方程是2x(A)一362y202x(B)一202y362x(C)一362y162x(D)一162E1362x5.若橢圓——1002y361上一百P到隹百■—二 八\、 ? —J八'、八\、F1的距離等于6,則點P到另一個焦點F2的距離是(A)4 (B)194(C)94 (D)146.已知F1,F2是定點,|FiF2|=8,動點M滿足|MF1|+|6.已知F1,F2是定點,(A)橢圓(B)直線 (C)圓 (D)線段.當a+b=10,c=245時的橢圓的標準方程是.已知一個圓的圓心為坐標原點， 半徑為2,從這個圓上任意一點P向x軸作垂線段PP,則線段PP的中點M的軌跡方程為..經過點M(J3,—2),N(—2J3,1)的橢圓的標準方程是.三、雙曲線1、平面內與兩個定點Fl,F2的距離之差的絕對值等于常數(小于F1F2)的點的軌跡稱

為雙曲線。這兩個定點稱為雙曲線的焦點，兩焦點的距離稱為雙曲線的焦距。|MF1||MF2||2a2a2c2、雙曲線的幾何性質：焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形N￡NJ-J標準方程2 2x y ， … 八~2 ~~ 1a0,b 0ab2 2y x ， …-2-2 1a0,b 0ab第f義到兩定點Fi、F2的距離之差的絕對值等于常數 2a,即||MFi||MF?(02a|舊)12a第二定義 rMF與一定點的距離和到一定直線的距離之比為常數 e,即——e(e1)d范圍xa或xa,yRya或ya,xR頂點1a,0、 2a,0[0,a、 20,a軸長實軸的長2a 虛軸的長2b對稱性關于x軸、y軸對稱，關于原點中心對稱住日八'、八\、F1 c,0、F2c,0F10,c、F20,c焦距2 2 2F1F22c(c2a2b2)離心率ec，E/J J1% (e1)

準線方程x2acy2ac漸近線方程yb—xaya—xb左焦：MF1IexoaM在左焦：MF1eyoa焦半徑M在右支右焦：MF2exoa上支右焦：MF2eyoaM(Xo,yo)左焦：MF1ex0a左焦：MF1eyoaM在左支右焦：MF2exoaM仕卜文右焦：MF2eyoa焦點三角形面積2Smf1f2 bcot](F1MF2)通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：HHb2a4、設是雙曲線上任一點，點到Fi4、設是雙曲線上任一點，點到Fi對應準線的距離為di,點到F2對應準線的距離為d2,Fi | F2d1 d2?？碱愋皖愋鸵唬弘p曲線的定義及標準方程例1.如圖2所示，F(xiàn)為雙曲線2—1的左16焦點，雙曲線C上的點P例1.如圖2所示，F(xiàn)為雙曲線2—1的左16焦點，雙曲線C上的點Pi與P71,2,3關于y軸對稱,則PF P2FA.9 B.16P3FC.P4F18P5FD.F6F的值是（）27忖練習:設P為雙曲線x2y2121上的一點F1、F2是該雙曲線的兩個焦點,若 |PR|:呼|=3:2,則處F1F2的面積為B.12C.123D.242L=12L=14有公共焦點，且過點（342,2）.求雙曲線C的.. x2例2.已知雙曲線C與雙曲線——16方程.2x練習：1.曲線——102—y—1(m6m6）與曲線—1(5n9)的()nA.焦距相等B.焦點相同C.離心率相等D.以上都不對_2 -22m3n_2 -22m3n1有公共的焦點，（1）求雙曲線的漸近2,一x2.已知橢圓一23m

2-yy1和雙曲線5n線方程（2）直線l過焦點且垂直于x軸，若直線l與雙曲線的漸近線圍成的三角形的面積為33,求雙曲線的方程4類型二：雙曲線的幾何性質2 2例3.已知雙曲線2 2例3.已知雙曲線——mn…… 4 - _ ,1的一條漸近線方程為 y—x,則該雙曲線的離心率 e為3題型2與漸近線有關的問題2x例2x例4.若雙曲線—a2看1(ab0,b0）的焦點到漸近線的距離等于實軸長， 則雙曲線的離心率為（）A...2B」3D.2練習：焦點為（02 2xyA1224題型3焦點三角形2A...2B」3D.2練習：焦點為（02 2xyA1224題型3焦點三角形2點P是雙曲線—4則F1PF2的面積—6）,且與雙曲線2yB.122x24F1、有相同的漸近線的雙曲線方程是F2是雙曲線焦點，若2

xD.五2y-112F1PF2=120o,2練習：設22是雙曲線上2y161的兩個焦點，點P在雙曲線上，且F1PF2 60,求F1PF2的面積。課后練習一、填空題21.橢圓土一、填空題21.橢圓土9與1與雙曲線一k2 k%1的焦點相同，則k=TOC\o"1-5"\h\z2 22.雙曲線上J1的漸近線為9 4 3.過點(-6,3)且和雙曲線x2-2y2=2有相同的漸近線的雙曲線方程為\o"CurrentDocument"2 24.過原點與雙曲線 —y- 1交于兩點的直線斜率的取值范圍是\o"CurrentDocument"4 35、若雙曲線8kx2ky28的一個焦點是(0,3),則k的值是。 xy . o .6.點P是雙曲線———1上一點，R、卷是雙曲線焦點，若 FiPF2=120,則RPF2的面\o"CurrentDocument"4 3積。二、選擇題2.經過雙曲線X2”1的右焦點F2作直線l交雙曲線與A、B兩點，若|AB|=4,則這樣的直線存在的條數為 ( )(A)4; (B)3; (C)2;(D)1.雙曲線與其共軻雙曲線有 ( )A.相同的焦點B.相同的漸近線C.相等的實軸長 D.相等的虛軸長29.過點P(3,4)與雙曲線9.過點P(3,4)與雙曲線c:16A.4A.4B.3 C.2D.1三、解答題10.已知動圓與圓C1:(x+5)2+y2=49和圓C2：(x-5)2+y2=1都外切，(1)求動圓圓心P的軌跡方程。(2)若動圓P與圓C2內切，與圓C1外切，則動圓圓心P的軌跡是。若動圓P與圓C1內切，與圓C2外切，則動圓圓心P的軌跡若把圓C1的半徑改為1,那么動圓P的軌跡是。(只需寫出圖形形狀)四、拋物線1、平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線.定點F稱為拋物線的焦點，定直線l稱為拋物線的準線.2、關于拋物線焦點弦的幾個結論：2設AB為過拋物線y2px(p0)焦點的弦，A(x1,y1)、B(x2,y2),直線AB的傾斜角為，則⑵AB2p⑵AB2p...2 ;sin.\ P 2⑴Mx2 ，小yp;4⑶以AB為直徑的圓與準線相切;(4)3拋物線的幾何性質:

例題講解圖形*國標準方程y2 2pxpoy2 2pxp0x2 2pyp0x2 2pyp0定義與一定點F和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線 （定點F不在定直線l上）頂點0,0離心率e1對稱軸x軸y軸范圍x0x0y0y0住日八'、八\、Fp,02F坦02F0,fF0,i準線方程xE2x-p2yiyi焦半徑M(xo,y°)MFxpx02|mf1x0—2|mf y0—2MF y—2通徑過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑： HH2p焦點弦長公式ABXx2P參數p的幾何意義參爹工p表示焦點到準線的距離， p越大，開口越闊21.拋物線y=4x上的一點M到焦點的距離為1,則點M的縱坐標是（）A.17 B.1615 C.7 D.016 82.頂點在原點、焦點在坐標軸上且經過點（ 3,2）的拋物線的條數有?？碱愋皖愋鸵唬簰佄锞€的定義例1.已知點P在拋物線y2=4x上，那么點P到點Q（2,—1）的距離與點P到拋物線焦點

距離之和的最小值為2練習1.已知拋物線y 2Px(p0)的焦點為F，點R(xi,y。P2(x2,y2),P3(x%y)在拋物線上，且|PF|、|P2F卜|BF|成等差數列，則有 ( )A.xi x2 x3b.yiy2y3c.xx32x2D.yi y3 2y22練習2.已知點A(3,4),f是拋物線y8x的焦點，M是拋物線上的動點，當MAMF最小時,M點坐標是A.(0,0)A.(0,0)B.(3,2.6)C.(2,4)D.(3, 2、6)類型二： 拋物線的標準方程例2.求滿足下列條件的拋物線的標準方程，并求對應拋物線的準線方程:⑴過點(-3,2) (2)焦點在直線x2y40上22 . x2練習3.若拋物線y2Px的焦點與雙曲線—y 1的右焦點重合，則p的值3練習4.對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件：①焦點在y軸上； ②焦點在x軸上；③拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6;④拋物線的通徑的長為5; ⑤由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標為( 2,1).能使這拋物線方程為y2=10x的條件是.要求填寫合適條件的序號)類型三：拋物線的幾何性質2例3.設A、B為拋物線y 2px上的點，且AOB90(O為原點工則直線AB必過的定點坐標為.… 2 一.、…練習5.若直線axy10經過拋物線y4x的焦點，則實數a練習6.過拋物線焦點F的直線與拋物線交于兩點A、B,若A、B在拋物線準線上的射影為A1,B1,則A1FB1 ()A.45B.60C.90D.120課后練習一、選擇題1.如果拋物線y2=ax的準線是直線x=-1,那么它的焦點坐標為A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(—1,0)2.圓心在拋物線y2=2x上,且與x軸和該拋物線的準線都相切的一個圓的方程是A.x+y-x-2y—-=0B.x2+y2+x-2y+1=0C.x2+y2-x-2y+1=0D.x2+y-x-2y+—=03.拋物線yx2上一點到直線2x40的距離最短的點的坐標是11A.(1,1)B.(一,—)24C.9、-)D.(2,4)44.一拋物線形拱橋，當水面離橋頂2m時，水面寬4m,若水面下降1m則水面寬為(A.<16mB.2<6mC.4.5mD.9m5.平面內過點A(-2,0),且與直線x=2相切的動圓圓心的軌跡方程是A. y=—2xB. y=-4xC.y2=—8xD.y2=-16x6.拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上點-5,m)到焦點距離是 6,則拋物線的方程是A. y2=-2xB.y2=-4xC.2=2xD.y=-4x或y=-36x7.過拋物線y2=4x的焦點作直線，交拋物線于A(x1,y1)B(x2,y2)兩點,如果x1+x2=6,那么|AB|二A.8B.10 C.6D.48.把與拋物線y2=4x關于原點對稱的曲線按向量a(2,3)平移，所得的曲線的方程是()A.(y3)2 4(x2)B.(y3)24(x2)C.(y3)2 4(x2)D.(y3)24(x2)9.過點M(2,4)作與拋物線y2=8x只有一個公共點的直線l有A.B.1條C.2條D.3條10.過拋物線y=ax2(a>0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是p、1 1一q,則一一等于

pqA.2aB. -C.4a2a二、填空題.拋物線y2=4x的弦AB垂直于x軸，若AB的長為4J3,則焦點到AB的距離為..拋物線y=2x2的一組斜率為k的平行弦的中點的軌跡方程是..P是拋物線y2=4x上一動點，以P為圓心，作與拋物線準線相切的圓，則這個圓一定經過一個定點Q,點Q的坐標是.TOC\o"1-5"\h\z2 2.拋物線的焦點為橢圓J2一1的左焦點，頂點在橢圓中心，則拋物線方程\o"CurrentDocument"9 4為.三、解答題, ，… ,,… ,,一 2 一、2?一 …