高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題《數(shù)學(xué)歸納法》習(xí)題含答案解析

專(zhuān)題7.6數(shù)學(xué)歸納法練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，從到等式左邊需增添的項(xiàng)是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分別寫(xiě)出和時(shí)，等式左邊的表達(dá)式，比較2個(gè)式子，可得出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，左邊，共個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加，當(dāng)時(shí)，左邊，所以從到，等式左邊需增添的項(xiàng)是.故選：C.2．（2020·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1-+…+=2時(shí)，若已假設(shè)n=k(k≥2，k為偶數(shù))時(shí)命題成立，則還需要用歸納假設(shè)證（）A．n=k+1時(shí)等式成立 B．n=k+2時(shí)等式成立C．n=2k+2時(shí)等式成立 D．n=2(k+2)時(shí)等式成立【答案】B【解析】直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，判斷選項(xiàng)即可．【詳解】解：由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟可知，假設(shè)為偶數(shù)）時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證下一個(gè)偶數(shù)，即時(shí)等式成立，不是，因?yàn)槭桥紨?shù)，是奇數(shù)，故選：．3．（2020·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n≥2)”時(shí)，由n＝k(k≥2)時(shí)不等式成立，推證n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是（）A．2k－1 B．2k－1C．2k D．2k＋1【答案】C【解析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法、不等式特點(diǎn)知有左側(cè)，有左側(cè)，即可判斷增加的項(xiàng)數(shù).【詳解】時(shí)，左邊=，而n＝k＋1時(shí)，左邊＝，增加了，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k項(xiàng)，故選：C.4．（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為證明（）A．B．C．D．【答案】B【解析】各選項(xiàng)左側(cè)一樣，要轉(zhuǎn)化證明不等式只需右端的部分小于，利用排除法即可.【詳解】根據(jù)放縮法證明不等式，首先排除A，C；D選項(xiàng)當(dāng)時(shí)，左端值為，右端為，不等式不成立，故只要證明B成立，原不等式即成立.故選：B.5．（2019·浙江高二月考）利用數(shù)學(xué)歸納法證明“”的過(guò)程中，由假設(shè)“”成立，推導(dǎo)“”也成立時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用數(shù)學(xué)歸納法證明“”的過(guò)程中，假設(shè)“”成立;當(dāng)時(shí)，左邊為故增加的項(xiàng)數(shù)為項(xiàng).故答案為：C.6．（2020·上海徐匯區(qū)·高三一模）用數(shù)學(xué)歸納法證明能被整除時(shí)，從到添加的項(xiàng)數(shù)共有__________________項(xiàng)（填多少項(xiàng)即可）．【答案】5【解析】分別寫(xiě)出和時(shí)的對(duì)應(yīng)的結(jié)果，再比較差異，得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，原式為：，當(dāng)時(shí)，原式為，比較后可知多了，共5項(xiàng).故答案為：57.（2019·湖北高考模擬（理））已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，前項(xiàng)和滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，猜想得，故，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①，滿足，②假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，即，可得，則，，也滿足，結(jié)合①②可知，，故答案為．8.（2019屆江蘇省揚(yáng)州市儀征中學(xué)摸底）已知正項(xiàng)數(shù)列an中，a1=1,【答案】見(jiàn)解析.【解析】當(dāng)n=1時(shí)，a2=1+a11+假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)，ak+2-=a所以，n=綜上所述，不等式an9.（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列滿足.（1）計(jì)算，并猜想的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想.【答案】(1)；；；.(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】分析：（1）將n進(jìn)行賦值，分別求得前三項(xiàng)的數(shù)值，猜想歸納處通項(xiàng)；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，證明猜想即可.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴；由此猜想；（2）證明：①當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，②假設(shè)（，且）時(shí)結(jié)論成立，即，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，由①②可知對(duì)于一切的自然數(shù)，成立.10．（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知數(shù)列{an}滿足：，點(diǎn)在直線上．（1）求的值，并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中你的猜想．【答案】（1），，；；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）先將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程，得到遞推關(guān)系，再依次求出前幾項(xiàng)，猜想通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合遞推關(guān)系，用數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】(1)點(diǎn)在直線上可知，數(shù)列滿足：，

，．可猜得．

(2)當(dāng)時(shí)，成立，

假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，成立，

就是說(shuō)，猜想正確；綜上，．練提升練提升TIDHNEG1．（2021·全國(guó)）已知數(shù)列滿足，，則當(dāng)時(shí)，下列判斷一定正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)特殊值法，分別令，，即可判斷ABD錯(cuò)誤；再由數(shù)學(xué)歸納法證明C選項(xiàng)正確.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，若，則，不滿足，故A錯(cuò)誤；若，則，，，不滿足，故D錯(cuò)誤；又此時(shí)，不滿足，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；構(gòu)造函數(shù)，，，所以，則在上顯然恒成立，所以在上單調(diào)遞增；因此在上單調(diào)遞增，所以，猜想，對(duì)任意恒成立；下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)時(shí)，，顯然成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即恒成立；則時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增；所以，即成立；由（1）（2）可得；，對(duì)任意恒成立；故C正確.故選：C.2．（2021·浙江高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列，滿足，，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】轉(zhuǎn)化條件為，令，通過(guò)導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)遞增，通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法可證明如果，則，再令，通過(guò)導(dǎo)數(shù)證明后，適當(dāng)放縮可得，進(jìn)而可證明，即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，由題意，，如果，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，因?yàn)椋?，所以，所以?duì)于任意的，均有，所以.故選：B.3．（2020·浙江省桐廬中學(xué)）數(shù)列滿足，，則以下說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)（）①；②；③對(duì)任意正數(shù)，都存在正整數(shù)使得成立；④.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)及遞推關(guān)系得，然后作差，可判斷①，已知等式變形為，求出平方和可得②成立，利用簡(jiǎn)單的放縮可得，可判斷③，利用數(shù)學(xué)歸納法思想判斷④．【詳解】，若，則，∴，∴，①正確；由已知，∴，②正確；由及①得，，∴，顯然對(duì)任意的正數(shù)，在在正整數(shù)，使得，此時(shí)成立，③正確；(i)已知成立，(ii)假設(shè)，則，又，即，∴，由數(shù)學(xué)歸納法思想得④正確．∴4個(gè)命題都正確．故選：D．4．（2021·全國(guó)高三其他模擬（理））已知數(shù)列滿足：，，前項(xiàng)和為（參考數(shù)據(jù)：，，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）.A．是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)，則有，，，構(gòu)建，求導(dǎo)分析可知導(dǎo)函數(shù)恒大于零，即數(shù)列，都是單調(diào)數(shù)列，分別判定，，即得單調(diào)性，數(shù)列與的單調(diào)性一致，可判定A選項(xiàng)正確；B、C選項(xiàng)利用分析法證明，可知B正確，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)利用數(shù)學(xué)歸納法證分兩邊證，即可證得.【詳解】∵，，∴，，，設(shè)，，，則，令，則，∴單調(diào)遞增，將，看作是函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，則，∴數(shù)列，都是單調(diào)數(shù)列，，同理，，，即，，∴單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，而數(shù)列與的單調(diào)性一致，∴是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列，A正確；由得，要證，即證，即，即證，也即要證，等價(jià)于，顯然時(shí)，，時(shí)，，故成立，∴不等式成立．B正確；欲證，只需證，即即，顯然成立，故，所以，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；欲證，因單調(diào)性一致則只需證，只需證因?yàn)椋?，則；又因?yàn)?，若，則，由數(shù)學(xué)歸納法有，則成立故D選項(xiàng)正確。故選：C5．（2021·上海市建平中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）有限集的全部元素的積稱(chēng)為該數(shù)集的“積數(shù)”，例如的“積數(shù)”為2，的“積數(shù)”為6，的“積數(shù)”為，則數(shù)集的所有非空子集的“積數(shù)”的和為_(kāi)__________.【答案】1010【解析】先利用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)于有限非空數(shù)集，積數(shù)和，由此即可計(jì)算得到答案.【詳解】先利用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)于有限非空數(shù)集，積數(shù)和當(dāng)時(shí)，，成立；假設(shè)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上可得，，則數(shù)集的所有非空子集的“積數(shù)”的和為：故答案為：1010.6．（2021·浙江高三期末）已知數(shù)列滿足，前項(xiàng)和為，若，且對(duì)任意的，均有，，則_______；______.【答案】12146【解析】由遞推關(guān)系計(jì)算出，再計(jì)算出，然后可以計(jì)算，歸納出的通項(xiàng)公式（可用數(shù)學(xué)歸納法證明），求得和．【詳解】因?yàn)?，，由已知，，，，，，，，，歸納結(jié)論，，證明：（1），由上面知已經(jīng)成立；假設(shè)時(shí)，假設(shè)成立，即，，則，，，由數(shù)學(xué)歸納法知，，對(duì)一切成立．．故答案為：1；2146．7．（2020·江蘇南通·高三其他）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，記，數(shù)列滿足，，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）請(qǐng)寫(xiě)出，，滿足的關(guān)系式，并加以證明；（2）若數(shù)列通項(xiàng)公式為，證明：．【答案】（1），證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1），，之間滿足的關(guān)系式是：，證明如下：當(dāng)時(shí)，，所以成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，即，當(dāng)時(shí)，，所以成立，所以成立.（2）由（1）得，即，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，不等式成立，所以.證畢.8.（2020屆浙江省“山水聯(lián)盟”高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)）已知等比數(shù)列的公比，且，是，的等差中項(xiàng)，數(shù)列滿足：數(shù)列的前項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足：，，證明【答案】（1），；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】（1）由題意，得，即，解得或，已知故．，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，，．（2）法1．，，累加得當(dāng)，，當(dāng)，∴法2．先用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)，．①當(dāng)時(shí)，，左式>右式，不等式成立．②假設(shè)時(shí)，不等式成立，即當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，由，得，即，可得，不等式也成立．③由①②得證當(dāng)，．.9．（2020屆浙江省嘉興市3月模擬）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，成等差數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，，證明：，．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）因?yàn)?，，成等差?shù)列，即，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，所以是公比為2的等比數(shù)列，即，即，由，得，所以的通項(xiàng)公式．（2）方法一（放縮法）：因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，，取到“”號(hào)，綜上所述，，方法二（數(shù)學(xué)歸納法）：因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，左邊，右邊，原不等式成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，原不等式成立，即，那么，當(dāng)時(shí)，左邊，即時(shí)也成立，由此可知，原不等式對(duì)于任意的均成立．10.已知點(diǎn)Pn(an,bn)滿足（1）求過(guò)點(diǎn)P1（2）試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于n∈N*，點(diǎn)Pn都在（1【答案】（1）2x+y-1=0.（2）見(jiàn)解析.【解析】(1)由P1的坐標(biāo)為(1,?1)知：a1=1，b1=?1.∴b2=b11-4a12=13,∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為13∴直線l的方程為2x+y-1=0.(2)要證明原問(wèn)題成立只需證明點(diǎn)Pn都滿足2x①當(dāng)n=1時(shí)，2a1+b1=2×1+(?1)=1，成立.②假設(shè)n=k(k∈N*,k?1)時(shí)，2ak+bk=1則2ak+1+bk+1=2ak?bk+1+bk+1=bk1-4∴當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立.由①②知，對(duì)n∈N?，都有2an+bn=1，即點(diǎn)Pn在直線l上練真題練真題TIDHNEG1．（2020·全國(guó)高考真題（理））設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．【答案】（1），，，證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由題意可得，，由數(shù)列的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即，證明如下：當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)時(shí)，成立.那么時(shí)，也成立.則對(duì)任意的，都有成立；（2）由（1）可知，，①，②由①②得：，即.2.（2017浙江）已知數(shù)列滿足：，．證明：當(dāng)時(shí)（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【答案】見(jiàn)解析【解析】（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，假設(shè)時(shí)，，那么時(shí)，若，則，矛盾，故．因此所以因此（Ⅱ）由得記函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以=0，因此故（Ⅲ）因?yàn)樗缘糜傻盟怨示C上，．3．(湖北省高考真題)已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與e的大??；（Ⅱ）計(jì)算，，，由此推測(cè)計(jì)算的公式，并給出證明；（Ⅲ）令，數(shù)列，的前項(xiàng)和分別記為,,證明：．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）；；．（Ⅲ）見(jiàn)解析.【解析】（Ⅰ）的定義域?yàn)?，．?dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減．故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．當(dāng)時(shí)，，即．令，得，即．①（Ⅱ）；；．由此推測(cè)：．②下面用數(shù)學(xué)歸納法證明②．（1）當(dāng)時(shí)，左邊右邊，②成立．（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，②成立，即．當(dāng)時(shí)，，由歸納假設(shè)可得．所以當(dāng)時(shí)，②也成立．根據(jù)（1）（2），可知②對(duì)一切正整數(shù)n都成立．（Ⅲ）由的定義，②，算術(shù)-幾何平均不等式，的定義及①得，即．4.（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．【答案】（1），，，證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）利用遞推公式得出，猜想得出的通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；（2）由錯(cuò)位相減法求解即可.【詳解】（1）由題意可得，，由數(shù)列的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即，證明如下：當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)時(shí)，成立.那么時(shí)，也成立.則對(duì)任意的，都有成立；（2）由（1）可知，，①，②由①②得：，即.5.(江蘇省高考真題)已知函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)數(shù)，．（Ⅰ）求的值；（2）證明：對(duì)任