1980年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題及答案解析

1980年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題及答案解析(理工農(nóng)醫(yī)類)一、將多項(xiàng)式x5y-9xy5分別在下列范圍內(nèi)分解因式:(1)有理數(shù)范圍;(2)實(shí)數(shù)范圍(3)復(fù)數(shù)范圍.[Key]二、半徑為1、2、3的三個(gè)圓兩兩外切.證明:以這三個(gè)圓的圓心為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.[Key]二、證明:設(shè)⊙O1、⊙O2、⊙O3的半徑分別為1、2、3.因這三個(gè)圓兩兩外切,故有O1O2=1+2=3,O2O3=2+3=5,O1O3=1+3=4,根據(jù)勾股弦定理的逆定理,或余弦定理,△O1O2O3為直角三角形.三、用解析幾何方法證明三角形的三條高線交于一點(diǎn).[Key]三、證明:取△ABC最長(zhǎng)的一邊BC所在的直線為x軸,經(jīng)過(guò)A的高線為y軸,設(shè)A、B、C的坐標(biāo)分別為A(0,a)、B(b,0)、C(c,0),根據(jù)所選坐標(biāo)系,如圖,有a>0,b<0,c>0.解(1)、(2),得:(b-c)x=0.∵b-c≠0,∴x=0.這就是說(shuō),高線CE、BD的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,即交點(diǎn)在高線AO上.因此,三條高線交于一點(diǎn).(a、b、N都是正數(shù),a≠1,b≠1)[Key]四、證法一:令logbN=x,根據(jù)對(duì)數(shù)定義,bx=N.兩端取以a為底的對(duì)數(shù),logabx=logaN,xlogab=logaN.∵b≠1,∴l(xiāng)ogab≠0,證法二:令logbN=x,根據(jù)對(duì)數(shù)定義,N=bx=(alogab)x=axlogab,∴xlogab=logaN.∵b≠1,logab≠0,五、直升飛機(jī)上一點(diǎn)P在地平面M上的正射影是A.從P看地平面上一物體B(不同于A),直線PB垂直于飛機(jī)窗玻璃所在的平面N(如圖).證明:平面N必與平面M相交,且交線l垂直于AB.[Key]五、證明:用反證法.假如平面N與平面M平行,則PA也垂直于N,因此PA與PB重合,B點(diǎn)與A點(diǎn)重合,但這與題設(shè)矛盾,所以平面N與平面M相交.設(shè)平面N與平面M的交線為l.∵PA⊥平面M,∴PA⊥l.又∵PB⊥平面N,∴PB⊥l.∴l(xiāng)⊥平面PAB,∴l(xiāng)⊥AB.(1)寫出f(x)的極大值M、極小值m與最小正周期T;(2)試求最小的正整數(shù)k,使得當(dāng)自變量x在任意兩個(gè)整數(shù)間(包括整數(shù)本身)變化時(shí),函數(shù)f(x)至少有一個(gè)值是M與一個(gè)值是m.[Key]六、解:(1)M=1,m=-1,(2)f(x)在它的每一個(gè)周期中都恰好有一個(gè)值是M與一個(gè)值是m.而任意兩個(gè)整數(shù)間的距離都≥1.因此要使任意兩個(gè)整數(shù)間函數(shù)f(x)至少有一個(gè)值是M與一個(gè)值是m,必須且只須使f(x)的周期≤1.可見(jiàn),k=32就是這樣的最小正整數(shù).七、CD為直角三角形ABC中斜邊AB上的高,已知△ACD、△CBD、△ABC的面積成等比數(shù)列,求∠B(用反三角函數(shù)表示).[Key]七、解法一:設(shè)CD=h,AB=c,BD=x,則AD=c-x.即x2=c(c-x),即x2+cx-c2=0,∵取負(fù)號(hào)不合題意,又依直角三角形的性質(zhì),有AC2=AD·AB=c(c-x).但x2=c(c-x),∴AC2=x2,解法二:由題設(shè)有(CD·BD)2=(CD·AD)·(CD·AB),∴BD2=AD·AB.但AC2=AD·AB,∴BD=AC.[Key]兩端乘以正數(shù)sin,問(wèn)題化為證明2sinsin2≤1+cos.而2sinsin2=4sin2cos=4(1-cos2)cos=4(1-cos)(1+cos)cos.所以問(wèn)題又化為證明不等式(1+cos)[4(1-cos)cos-1]≤0.8t2(1-t2)≤(1+t2)2,即-9t4+6t2-1≤0,-(3t2-1)2≤0.∴不等式成立.九、拋物線的方程是y2=2x,有一個(gè)半徑為1的圓,圓心在x軸上運(yùn)動(dòng).問(wèn)這個(gè)圓運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),圓與拋物線在交點(diǎn)處的切線互相垂直.[Key]九、解:設(shè)圓的方程為(x-k)2+y2=1.再設(shè)圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為P(x0y0).在P點(diǎn)拋物線的切線與圓的切線垂直,必須且只須圓的半徑與拋物線在P點(diǎn)相切.由(1)、(2)式消去y0,得x0=-k,將(2)代入(3),得(x0-k)2+2x0-1=0,將x0=-k代入,得4k2-2k-1=0,由于對(duì)稱性,圓與拋物線的另一交點(diǎn)(x0,-y0)處的切線也互相垂直.附加題問(wèn)a、b應(yīng)滿足什么條件,使得對(duì)于任意m值來(lái)說(shuō),直線(L)與橢圓(E)總有公共點(diǎn).[Key]附加題解法一:消去參數(shù),得消去y,整理得(1+a2m2)x2+2(a2mb-1)x+a2b2-a2+1=0.(a2mb-1)2-(1+a2m2)(a2b2-a2+1)≥0.化簡(jiǎn)并約去a2得(a2-1)m2-2bm+(1-b2)≥0.對(duì)任何m的值,要使這個(gè)式子永遠(yuǎn)成立,條件是即為所求的條件.解法二:直線(L)即y=mx+b;它通過(guò)P(0,b)點(diǎn),斜率為m.如果P(0,b)落在(E)內(nèi)或(E)上,如P1,則過(guò)P1點(diǎn)作任意直線(L)顯然與橢圓(E)總有公共點(diǎn).如果P(0,b)落在(E)外,如P2,那么由P2向橢圓作兩切線,則(E)上所有的點(diǎn)都在兩切線的一個(gè)夾角內(nèi),所以可以選擇斜率