指向“化解疑問”的“數(shù)學(xué)廣角集合”教學(xué)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——指向“化解疑問”的“數(shù)學(xué)廣角集合”教學(xué)吳陳萍李苗苗

“集合〞的教學(xué)，一般被理解為“重疊問題〞，進而使得“集合思想〞的啟蒙滲透在一定程度上被弱化了。問卷分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生眼中的集合與數(shù)學(xué)上的集合有一定的區(qū)別，如體育課上往往用到的“集合〞與數(shù)學(xué)上的“集合〞有何不同，學(xué)生心存疑問。教師首先要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)上的集合有較為深刻的認(rèn)識，然后結(jié)合學(xué)生對生活中集合的理解，幫助他們厘清兩者的關(guān)系，通過比較分析讓學(xué)生更深入地理解數(shù)學(xué)上的集合，從而化解他們心中的疑問。

數(shù)學(xué)廣角;集合;學(xué)生疑問;化解疑問

“集合〞是人教版三年級上冊第九單元“數(shù)學(xué)廣角〞中的教學(xué)內(nèi)容，是集合思想的初次滲透。值得注意的是，原人教版教材中的這一內(nèi)容并沒有明確提出“集合〞一詞，教師在教學(xué)這個內(nèi)容時一般將其稱為“重疊問題〞。教材中明確提出“集合〞一詞并將其作為標(biāo)題，是在人教版教材改版（2022年版）之后，并把這個內(nèi)容從原來的三年級下冊移到三年級上冊。不過即便如此，好多教師對此的教學(xué)還是傾向于“重疊問題〞。三年級學(xué)生初次接觸“集合〞，他們會有疑問嗎？課題組對此展開了實踐研究。

一、前測設(shè)計與意圖解讀

為了了解學(xué)生對集合概念的認(rèn)識狀況，研究團隊設(shè)計了以下問卷。

1.寫一寫。

（1）數(shù)學(xué)上有一個名稱叫“集合〞，你聽說過嗎？請打“√〞。

聽說過（

）

沒聽說過（

）

（2）關(guān)于“集合〞，你心里有什么疑問嗎？

2.想一想，填一填。

你已經(jīng)在科學(xué)課上見過右邊這幅圖（如圖1）了。請你細(xì)心觀測下面3個班的狀況，假如請你從中選擇1個班的學(xué)生填到該圖中，你會選擇三（

）班。

[書法張一李四萬一方可葉子合唱夏天馬麗金果]

三（1）

[書法李凡丁一劉紅王芳林立合唱李凡丁一于冰]

三（2）

[書法王五朱會龍華古田衛(wèi)冰合唱王五朱會龍華]

三（3）

問卷第1題直接告訴學(xué)生數(shù)學(xué)上有“集合〞這個名稱，問學(xué)生有沒有聽說過，在此基礎(chǔ)上再讓學(xué)生寫一寫自己對集合的疑問。這樣出題的目的除了了解學(xué)生對“集合〞的知曉狀況外，更想測查學(xué)生對“集合〞會有什么疑問。第2題浮現(xiàn)了韋恩圖（交集），并用提醒的方式喚醒學(xué)生在科學(xué)課上學(xué)習(xí)的經(jīng)驗（本地科學(xué)教材三年級有這個內(nèi)容的教學(xué)，早于數(shù)學(xué)），之后給出3組信息（交集、并集、子集），請學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗進行選擇。這道測試題的目的是了解學(xué)生在科學(xué)課上學(xué)習(xí)了韋恩圖之后，能否將其遷移應(yīng)用到數(shù)學(xué)中來。同時，這3組材料也是上課用的材料，故測試也可幫助研究團隊更好地把握課堂教學(xué)狀況。

二、測試分析與疑問確定

（一）測試分析

測試在1所城鎮(zhèn)學(xué)校和1所農(nóng)村小學(xué)同步開展，共有488名學(xué)生參與（城鎮(zhèn)353人，農(nóng)村135人）。通過對學(xué)生寫下的疑問進行分類歸并后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對集合的疑問主要集中在4個方面，相關(guān)數(shù)據(jù)如表1所示。

（二）疑問確定

基于對這節(jié)課的教學(xué)定位——集合問題，諸如“什么是集合〞“集合有什么用〞這樣的疑問在教學(xué)中會自然化解。同時，這節(jié)課還涉及集合中的簡單運算，因此“集合可以運算嗎〞這個疑問也會自然化解。然而，學(xué)生聯(lián)系到體育課中的集合以及生活中其他的集合現(xiàn)象，產(chǎn)生如下疑問，這是在以往教學(xué)中所不曾顧及的。

由此課題組認(rèn)為，基于對這節(jié)課的教學(xué)定位，可以將“數(shù)學(xué)課的集合與體育老師叫我們集合一樣嗎〞確定為學(xué)生疑問。

三、疑問分析與“化疑〞實施

（一）疑問分析

1.教學(xué)價值分析

集合（set），簡稱集，是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。康托爾（Cantor，G.F.P）認(rèn)為，“所謂集合，是一些對象的匯集。這些對象是人們的直觀或思考中所涉及的，在一定范圍內(nèi)是明確而可鑒別的〞。通俗地說，集合是將一些具有一致性質(zhì)的對象放在一起，作為一個整體來考慮。

集合作為一種思想，它在生活中有著廣泛的運用。譬如一位教師的電腦中建有一個文件夾，取名“視頻集合〞，這便是一種最基本的集合思想的表達。集合思想其實就在我們每個人的身邊。開啟人教版《教師教學(xué)用書》，發(fā)現(xiàn)對這個內(nèi)容的解讀，也是指向集合思想的滲透?？梢?，基于“集合問題〞的教學(xué)定位，以滲透初步的集合思想為目標(biāo)，是合理的。

基于上述理解，再來看“數(shù)學(xué)課的集合與體育老師叫我們集合一樣嗎〞這個疑問，就能進一步體會到化解這個疑問的內(nèi)在價值了。

首先，化解這個疑問，可以更為有效地滲透集合思想?？梢韵胂筮@樣的畫面：體育課上教師哨聲一響，學(xué)生就迅速地集合到一起，排成整齊的隊伍。這就是學(xué)生眼中的“集合〞。不難發(fā)現(xiàn)，這個畫面中的“集合〞是一個動詞，這與作為數(shù)學(xué)概念的“集合〞當(dāng)然是不一樣的。數(shù)學(xué)上的“集合〞，不關(guān)注對象的運動，關(guān)注的是對象的性質(zhì)。這也就是說，操場上同一個班的學(xué)生不用集合（動詞）到一起，本身就是一個集合（名詞），由于這些學(xué)生具有一個共同的性質(zhì)——來自同一個班級。當(dāng)然，為了更明了地表達把具有一致性質(zhì)的對象看成一個整體，可以把這些對象圈起來，以區(qū)別于其他不同性質(zhì)的對象。因此，把體育課的“集合〞與數(shù)學(xué)課的“集合〞加以區(qū)別的過程，本身就是集合思想滲透的過程。

其次，化解這個疑問，可為學(xué)生后續(xù)進一步運用集合思想奠定基礎(chǔ)。教材在編排中并沒有對集合的產(chǎn)生進行呈現(xiàn)，而是直接進行集合的運用——交集，也就是韋恩圖。不難看出，這樣的教學(xué)是有“斷層〞的，即還沒實現(xiàn)集合概念的建立，就已經(jīng)開始運用集合概念了。這或許也就是在教學(xué)交集時，學(xué)生往往只能看見3個區(qū)域，看不見原來集合的原因。在后續(xù)教學(xué)中，如“因數(shù)與倍數(shù)〞中“2的倍數(shù)〞用集合表示，也是“沒學(xué)就用〞這一現(xiàn)象的延續(xù)。因此，把體育課的“集合〞與數(shù)學(xué)課的“集合〞進行區(qū)別，無形中把教材中的“斷層〞補上了，這為學(xué)生后續(xù)進一步運用集合思想奠定了基礎(chǔ)。

由此可見，化解了“數(shù)學(xué)課的集合與體育老師叫我們集合一樣嗎〞這個疑問，不僅可以實現(xiàn)集合思想的滲透，還可以為學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中運用集合思想奠定基礎(chǔ)，具有重要的價值。

2.可行性分析

曾有教師這樣質(zhì)疑：“在小學(xué)教學(xué)集合，適合嗎？〞當(dāng)然不適合。事實上，這也不可能。課題組把教學(xué)定位在“集合問題〞上，主要是基于學(xué)生在體育課上已有的關(guān)于集合的經(jīng)驗，將其與數(shù)學(xué)上的集合進行比較，去偽存真，進而初步滲透簡單的集合思想?；谶@樣的教學(xué)定位，課題組認(rèn)為在小學(xué)三年級教學(xué)“集合問題〞是可行的，首先是三年級的學(xué)生已經(jīng)具備了一定的抽象思維能力，具有把一些看成一個整體的經(jīng)驗（如一個班級等），其次是通過結(jié)合具體實例的形式，學(xué)生能理解把具有共同性質(zhì)的對象圈起來看成一個整體的集合思想。

由此，就形成了化解“數(shù)學(xué)課的集合與體育老師叫我們集合一樣嗎〞這一疑問的設(shè)想：首先在課始暴露學(xué)生對集合的疑問，然后通過熟悉的體育課的場景為素材進行辨析，認(rèn)識到數(shù)學(xué)上的“集合〞和體育課上的“集合〞是不一樣的，初步滲透簡單的集合思想，最終進行集合的運用（韋恩圖）。

（二）“化疑〞實施

根據(jù)對學(xué)生疑問的確定，化解疑問教學(xué)主要集中在課的開始階段。

師：同學(xué)們，這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)集合。（板書：集合）我們一起來讀一讀。（生讀）對于“集合〞，你們心里有什么疑問？

生：什么是集合？

生：這個集合和體育課上老師叫我們集合，是一樣的嗎？

生：集合不就是排隊嗎，數(shù)學(xué)課上的集合莫非也是排隊？

生：數(shù)學(xué)課上的集合有什么用，又是怎么用的？

生：集合可以計算嗎？

師：關(guān)于集合，你們有這么多疑問呀！我們來整理一下方才大家提出的疑問。

教師與學(xué)生一起回憶，并板書：是什么？有什么用？能計算嗎？與體育課的集合一樣嗎？

師：老師有點好奇。誰來把你們體育課上的集合介紹一下？

生：體育課上的集合是這樣的，一上體育課，我們所有人就站在一起了。

生：體育課上老師只要一吹哨子，我們就馬上跑到集合點，排好隊。

生：操場上每個班都有一個集合點，我們班集中在一個點，三（2）班一個點，三（3）班也一個點，就是每個班有一塊地方，在一起。

生：體育老師讓我們集中在一個地方，男生女生排成兩個隊就可以了。

師：原來體育課的集合是這樣的??！你們猜猜看，數(shù)學(xué)課上的集合會是怎樣的？

生：我覺得數(shù)學(xué)上的集合可能是將數(shù)學(xué)知識進行分類。

生：體育課上老師集合要用哨子或者口令，數(shù)學(xué)課上可能只要用口令。

生：我覺得數(shù)學(xué)課上的集合就是把物品進行分類，有的是吃的，有的是用的，還有的是玩具什么的。

師：哈哈！同學(xué)們都十分有經(jīng)驗，介紹得十分精彩。那么，畢竟體育課上的集合和數(shù)學(xué)課上的集合一樣嗎？我們一起來看一看。

（課件出示圖2）

師：瞧！上體育課了，三（1）班的同學(xué)們高興地來到操場上。體育老師說“集合〞。根據(jù)你們的經(jīng)驗，接下來大家會怎么做？

生：大家會跑到一起，排成整齊的隊伍。

師：真的嗎？我們一起來看。

（課件動態(tài)演示學(xué)生排成2行，如圖3）

生：對的，就是這樣的，跑到一起來。

生：體育課上我們就是這樣排隊集合的。

師：原來體育課上的集合就是大家聚到一起來排隊??！

教師板書：到一起，排隊。

師：那么，數(shù)學(xué)課上的集合是怎樣的呢？請看（課件切換到圖2）。這些學(xué)生現(xiàn)在就可以看成一個集合，叫作“三（1）班學(xué)生的集合〞。

（此時學(xué)生有點詫異）

師：由于這些學(xué)生具有共同的特征，你們知道是什么特征嗎？

生：他們都是三（1）班的學(xué)生。

師：對了。這些學(xué)生都來自三（1）班，這是他們的共同特征。

教師板書：共同特征，三（1）班的學(xué)生。

師：邊上可能還有其他班的學(xué)生。所以，為了和其他班級區(qū)分開，我們可以用這樣一個圈把這些學(xué)生圈起來（課件演示），表示“三（1）班學(xué)生的集合〞（如圖4）。

師：通過方才的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)初步認(rèn)識了數(shù)學(xué)上的集合。請看大屏幕（如圖5），細(xì)心觀測，你看到新的集合了嗎？你是怎么想的？

生：這些都是鉛筆，就是“鉛筆的集合〞。

師：對的，雖然長短、顏色不一樣，但它們都是鉛筆，這是它們的共同特征（在“共同特征〞后板書“鉛筆〞），就可以叫作“鉛筆的集合〞。請看（課件出示圖6），現(xiàn)在你看到新的集合了嗎？

生：這是“鉛筆橡皮的集合〞。

師：對的，當(dāng)然可以這樣說。不過現(xiàn)在有兩種學(xué)習(xí)用品，我們也可以分開來說，一個是“鉛筆的集合〞，還有一個是——

生（齊）：橡皮的集合。

教師在“共同特征〞后板書“橡皮〞。

師：為了看起來更明了，我們也可以這樣表示這兩個集合（如圖7）。

師：現(xiàn)在請你猜一猜，這個集合里藏著什么圖形呢（出示圖8）？

生：長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形……

師：他猜對了嗎？為什么？

生：由于這個集合是平面圖形的集合，他說的都是平面圖形，所以是對的。

師：講得真棒（在“共同特征〞后板書“平面圖形〞）。同學(xué)們，你們看誰來了？（課件出示圓柱）它能放到這個集合里嗎？

生：不能放到這個集合中，由于圓柱是立體圖形。

生：這個集合的共同特征是“平面圖形〞，圓柱不是平面圖形，不能放進來。

結(jié)合學(xué)生的意思，再次強調(diào)“共同特征〞。

師：學(xué)到這里，你們認(rèn)為數(shù)學(xué)課的