譚永基教授-建模競(jìng)賽與案例分析(2012廣西)課件

2022/11/1數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽與案例分析廣西大學(xué)2012.7.13譚永基復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院yjtan@概要

●數(shù)學(xué)建模的重要作用、兩個(gè)實(shí)例●中美大學(xué)生建模競(jìng)賽的發(fā)展歷程●近年競(jìng)賽試題綜述●賽題案例分析2022/11/12011ICM電動(dòng)汽車2011CUMCMA重金屬污染2010CUMCMC輸油管布置

2011CUMCMC，D養(yǎng)老金問(wèn)題，腸衣包裝數(shù)學(xué)建模的重要作用實(shí)例一

凱恩斯模型

2022/11/1令Y表示國(guó)民收入，C表示總消費(fèi)，I表示投資，E表示總支出，那么有其中為最低消費(fèi)，它是由儲(chǔ)蓄等支持的。c稱為“邊際消費(fèi)”，反映了消費(fèi)隨收入增加而增加的傾向。另外總支出分為消費(fèi)和投資兩部分之和，即：由總收入等于總支出：解得:2022/11/1由于

c越接近1，國(guó)民收入越大。這解釋了擴(kuò)大消費(fèi)可以促進(jìn)國(guó)民收入的增加，這種效應(yīng)稱為乘數(shù)效應(yīng)。設(shè)G為政府的支出（如投資基本建設(shè)等）則：此時(shí)可解得：其中為國(guó)民收入增加數(shù)學(xué)建模的重要作用實(shí)例二

萬(wàn)有引力定律

牛頓1665年發(fā)現(xiàn)平方反比定律1686年在哈雷支持下正式發(fā)表在自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理中與胡克關(guān)于發(fā)明權(quán)的爭(zhēng)論平方反比律與開(kāi)普勒天體運(yùn)動(dòng)三定律2022/11/1萬(wàn)有引力定律在人類認(rèn)識(shí)宇宙中的作用樸素的宇宙觀如天圓地方說(shuō)亞里斯多德、托勒密完善地心說(shuō)（天文學(xué)大成）哥白尼提出日心說(shuō)（更早阿里斯塔克）伽利略用觀察支持日心說(shuō)開(kāi)普勒利用第谷的觀察數(shù)據(jù)1609-1619提出天體運(yùn)動(dòng)三定律牛頓平方反比律奠定天體運(yùn)動(dòng)理論基礎(chǔ)勒維埃和亞當(dāng)斯發(fā)現(xiàn)?；市?022/11/1根據(jù)第一篇已從數(shù)學(xué)上證明的命題我們可以從天體現(xiàn)象中獲得引力的學(xué)說(shuō),…,同時(shí),從這些力出發(fā),根據(jù)數(shù)學(xué)定理我們?cè)偻茖?dǎo)出關(guān)于行星、彗星、月亮海洋的運(yùn)動(dòng)，我希望，自然界的其他現(xiàn)象可以用同樣的方法由數(shù)學(xué)原理推導(dǎo)出來(lái)。（牛頓自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理）牛頓太幸運(yùn)了，只有一個(gè)宇宙而牛頓已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它的數(shù)學(xué)規(guī)律。（拉格朗日）理性支配著萬(wàn)事萬(wàn)物則可以稱得上關(guān)于世界本質(zhì)的最有價(jià)值的觀點(diǎn)（帕拉圖菲多篇）2022/11/1亞里斯多德的宇宙模型2022/11/1哥白尼伽利略開(kāi)普勒的行星模型數(shù)學(xué)建模的方法與步驟

現(xiàn)實(shí)問(wèn)題清晰化—假設(shè)簡(jiǎn)化—找出關(guān)鍵量—根據(jù)支配規(guī)律建立關(guān)鍵量間數(shù)學(xué)關(guān)系—求解數(shù)學(xué)問(wèn)題—檢驗(yàn)與驗(yàn)證—應(yīng)用于原現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)建模ABC(Gibbons)

A—Assume,

B—Borrow

,C—Criticize.2022/11/12022/11/1TheArtofMathematicalModeling2022/11/1Physical/BiologicalPhenomenaHeuristicPhysical/BiologicalModel“Pure”MathematicsPhysical/BiologicalModelExact,Approximate,NumericalSolutionsQualitativeBehaviorApproximateMathematicalModelMathematicalModelExistenceUniquenessStabilityImplicitAssumptionsExplicitAssumptionsMechanismsPhysicochemicalLawsMathematical-Physical/BiologicalSimplificationsMathematical/NumericalMethodsAlternativeModelingApproachesGeneralized/ExtendedMathematicalModelAnalysisCOMPARISONVALIDATIONPREDICTION中美大學(xué)生建模競(jìng)賽的發(fā)展歷程

（美國(guó)）Putnam競(jìng)賽的缺陷Fusaro1985年發(fā)起數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽(MCM)90隊(duì)1989年中國(guó)大學(xué)生首次參加（4/211）1996年中國(guó)大學(xué)生首次獲Outstanding獎(jiǎng)1999年開(kāi)始ICM（跨學(xué)科數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽）2006年中國(guó)參賽隊(duì)過(guò)半466/748，194/2242010年中國(guó)參賽隊(duì)2186/2610，84%2011年中國(guó)參賽隊(duì)3060/3509，87%2022/11/1中美大學(xué)生建模競(jìng)賽的發(fā)展歷程

（中國(guó)）1990、1991上海率先組織競(jìng)賽張家界會(huì)議推向全國(guó)1992年開(kāi)始全國(guó)競(jìng)賽從314隊(duì)到1萬(wàn)9千多隊(duì)1999年開(kāi)始設(shè)立大專組三次舉辦數(shù)學(xué)建模夏令營(yíng)致力于提高質(zhì)量和國(guó)際化（10年港澳新、澳大利亞參加，和美國(guó)MCM合作，2011

ICM終評(píng)閱卷）二十周年慶典2022/11/1近10年競(jìng)賽試題綜述

（美國(guó)）

01

A自行車車輪選擇，B颶風(fēng)交通疏散問(wèn)題，C斑馬貽貝的擴(kuò)散與控制02

A風(fēng)與噴水池控制，B航空公司機(jī)票超訂問(wèn)題，C灌木蜥蜴數(shù)量問(wèn)題03

A特技演員保護(hù)紙箱問(wèn)題，B

Gamma刀治療方案，C機(jī)場(chǎng)安檢（EDS，ETD）起飛時(shí)間安排方案04

A指紋識(shí)別問(wèn)題，B快速通過(guò)系統(tǒng)的改進(jìn)，C計(jì)算機(jī)系統(tǒng)安全問(wèn)題05

A洪水災(zāi)害估計(jì)，B公路收費(fèi)亭最佳數(shù)目設(shè)置，C不可再生資源的管理2022/11/1近10年競(jìng)賽試題綜述

（美國(guó)）06

A噴灌系統(tǒng)管理與移動(dòng)問(wèn)題，B機(jī)場(chǎng)輪椅使用問(wèn)題，C抗擊艾滋病的協(xié)調(diào)問(wèn)題07

A

不公正的選區(qū)劃分，

B飛機(jī)就座問(wèn)題，

C器官移植：腎交換問(wèn)題08

A題：可能的嚴(yán)重后果（全球溫度的上升而導(dǎo)致的北極冰蓋的融化對(duì)陸地的影響）

B題：創(chuàng)建數(shù)獨(dú)智力游戲（研制構(gòu)成不同難度的數(shù)獨(dú)智力游戲的算法，C醫(yī)療保健服務(wù)(醫(yī)保)系統(tǒng)評(píng)價(jià)09

A環(huán)島交通管理，B能源和手機(jī)，

C題:創(chuàng)建食物系統(tǒng)—重建受到人類影響的生態(tài)系統(tǒng)10

A棒球棒甜蜜點(diǎn)(最佳擊球點(diǎn))問(wèn)題，

B犯罪學(xué)(連環(huán)謀殺案搜索)問(wèn)題，

C大太平洋塑料垃圾帶2022/11/12011年MCMICMA，滑雪滑道設(shè)計(jì)B，通訊頻道問(wèn)題C，電動(dòng)汽車前景問(wèn)題（1）預(yù)測(cè)前景（2）省多少油（3）各種電站如何配置第二輪閱卷63份選出5份OUTSTADING2012ICM網(wǎng)絡(luò)科學(xué)2022/11/12012賽題樹(shù)葉問(wèn)題野營(yíng)規(guī)劃犯罪克星2022/11/101

A三維血管重建，B公交調(diào)度，C基金使用計(jì)劃，D公交調(diào)度02

A車燈光源優(yōu)化設(shè)計(jì)，B彩票中的數(shù)學(xué)，C同A，D賽程安排03

A

SARS傳播，B露天煤礦車輛安排，C同A，D搶渡長(zhǎng)江04

A奧運(yùn)商業(yè)網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)，B輸電阻塞管理，C飲酒駕車，D公務(wù)員招聘05

A長(zhǎng)江水質(zhì)評(píng)價(jià)與預(yù)測(cè)，B

DVD在線租賃，C雨量預(yù)報(bào)方法評(píng)價(jià)，D同B近10年競(jìng)賽試題綜述

（中國(guó)）06

A出版社資源配置，B愛(ài)滋病療法評(píng)價(jià)，C易拉罐設(shè)計(jì)，D瓦斯煤塵檢測(cè)控制07

A中國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)，B乘公交，看奧運(yùn)，C手機(jī)“套餐”優(yōu)惠幾何，D體能測(cè)試時(shí)間安排08

A數(shù)碼相機(jī)定位，B高等教育學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)探討，C地面搜索，DNBA賽程的分析與評(píng)價(jià)09

A制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)的控制方法分析，B眼科病床的合理安排，C衛(wèi)星和飛船的跟蹤測(cè)控，D會(huì)議籌備10

A儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定，B2010年上海世博會(huì)影響力的定量評(píng)估，C輸油管的布置，D對(duì)學(xué)生宿舍設(shè)計(jì)方案的評(píng)價(jià)2011CUMCM重金屬污染交巡警服務(wù)平臺(tái)設(shè)置養(yǎng)老保險(xiǎn)問(wèn)題腸衣包裝2022/11/1命題及閱卷文件產(chǎn)生過(guò)程2022/11/1確定命題負(fù)責(zé)人征題初篩選命題研討會(huì)題目初選題目加工題目終選產(chǎn)生題目最終文本競(jìng)賽試閱卷產(chǎn)生閱卷要點(diǎn)正式閱卷命題原則與實(shí)際緊密相關(guān)的新問(wèn)題數(shù)學(xué)建模在解決問(wèn)題中起關(guān)鍵作用難易適中學(xué)生有創(chuàng)新空間可以判別優(yōu)劣2022/11/1全國(guó)閱卷過(guò)程

定評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)閱一等卷3人統(tǒng)計(jì)分析標(biāo)準(zhǔn)化大分差調(diào)整排序閱二等卷查違規(guī)挑候選優(yōu)秀論文調(diào)整確定名次上網(wǎng)、面試定獎(jiǎng)評(píng)閱印象（優(yōu)點(diǎn)）

各題均出現(xiàn)有一定創(chuàng)新的答卷建模能力增強(qiáng)：數(shù)據(jù)建模和機(jī)理建模結(jié)合摘要有明顯改進(jìn)利用現(xiàn)有文獻(xiàn)能力增強(qiáng)出現(xiàn)很多表達(dá)清晰的好論文存在問(wèn)題選題的盲目性缺乏建模創(chuàng)新性：對(duì)文獻(xiàn)過(guò)度依賴計(jì)算和編程能力的不足缺乏嚴(yán)肅的科學(xué)精神和學(xué)術(shù)態(tài)度賽題案例分析2011ICM電動(dòng)汽車2011CUMCMA重金屬污染2010CUMCMC輸油管布置2011CUMCMC養(yǎng)老保險(xiǎn)問(wèn)題2011CUMCMD腸衣包裝2022/11/12011ICM電動(dòng)汽車題目要求建立電動(dòng)車廣泛應(yīng)用對(duì)經(jīng)濟(jì)、環(huán)境、健康影響的數(shù)模，詳細(xì)刻畫(huà)政府和制造商決定是否和如何支持發(fā)展和應(yīng)用電動(dòng)汽車應(yīng)考慮的關(guān)鍵因素，用什么數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型。用你的模型估計(jì)廣泛使用電動(dòng)汽車世界可節(jié)省多少石油提供為適應(yīng)你推薦的各種電動(dòng)車數(shù)量所需各種發(fā)電站和各自發(fā)電量使環(huán)境、社會(huì)、商業(yè)、個(gè)人效益達(dá)到最大的數(shù)模2022/11/1要求（續(xù)）寫(xiě)20頁(yè)的報(bào)告闡明你的模型及你對(duì)有關(guān)電動(dòng)車和發(fā)電站的關(guān)鍵事項(xiàng)的分析注意要包括政府在保證安全、高效、充分交通中的重要作用。要討論電動(dòng)汽車的廣泛應(yīng)用是一種值得的目標(biāo)和面對(duì)石油供應(yīng)逐漸減少全球能源總政策的一個(gè)組成部分2022/11/1估計(jì)電動(dòng)車數(shù)量的新技術(shù)模型2022/11/1競(jìng)爭(zhēng)模型2022/11/1層次分析模型2022/11/1層次分析（健康)2022/11/1用高斯模型分析污染2022/11/12022/11/1不同電站配置(0.3044,0.2553,0.2555,0.1848)2022/11/1優(yōu)化模型2022/11/1評(píng)閱過(guò)程A題初選：Appalachian州立大學(xué)7人；分區(qū)評(píng)閱軍事科學(xué)院5人；終評(píng)10人B題初選：Carroll學(xué)院、國(guó)家安全局（NSA）人數(shù)不詳；分區(qū)評(píng)閱海軍研究生院8人；終評(píng)11人C題初選：軍事科學(xué)院30人其他1人；終評(píng)8人2022/11/1評(píng)閱過(guò)程初評(píng)（triage)是否回答解決問(wèn)題，重點(diǎn)看摘要，綜述整篇文章，各節(jié)提供綜述有幫助甄別（screening)考察模型，清晰模型和堅(jiān)實(shí)分析可得較高分，分析、結(jié)果和寫(xiě)作的一致性是重要的。終評(píng)（final）目的挑選優(yōu)秀論文，細(xì)節(jié)比較，最后若干篇每個(gè)評(píng)委都要看，討論后遴選outstanding,finallist2022/11/1*ChrisArney對(duì)中國(guó)學(xué)生建議利用競(jìng)賽機(jī)會(huì)充分發(fā)揮想象力和創(chuàng)造力不要過(guò)分簡(jiǎn)化注意離散和隨機(jī)模型2022/11/12011CUMCMA

城市表層土壤重金屬污染分析

隨著城市經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和城市人口的不斷增加，人類活動(dòng)對(duì)城市環(huán)境質(zhì)量的影響日顯突出。對(duì)城市土壤地質(zhì)環(huán)境異常的查證，以及如何應(yīng)用查證獲得的海量數(shù)據(jù)資料開(kāi)展城市環(huán)境質(zhì)量評(píng)價(jià)，研究人類活動(dòng)影響下城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，日益成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)。按照功能劃分，城區(qū)一般可分為生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主干道路區(qū)及公園綠地區(qū)等，分別記為1類區(qū)、2類區(qū)、……、5類區(qū)，不同的區(qū)域環(huán)境受人類活動(dòng)影響的程度不同?，F(xiàn)對(duì)某城市城區(qū)土壤地質(zhì)環(huán)境進(jìn)行調(diào)查。為此，將所考察的城區(qū)劃分為間距1公里左右的網(wǎng)格子區(qū)域，按照每平方公里1個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)表層土（0~10厘米深度）進(jìn)行取樣、編號(hào)，并用GPS記錄采樣點(diǎn)的位置。應(yīng)用專門(mén)儀器測(cè)試分析，獲得了每個(gè)樣本所含的多種化學(xué)元素的濃度數(shù)據(jù)。2011CUMCMA

城市表層土壤重金屬污染分析另一方面，按照2公里的間距在那些遠(yuǎn)離人群及工業(yè)活動(dòng)的自然區(qū)取樣，將其作為該城區(qū)表層土壤中元素的背景值。附件1列出了采樣點(diǎn)的位置、海拔高度及其所屬功能區(qū)等信息，附件2列出了8種主要重金屬元素在采樣點(diǎn)處的濃度，附件3列出了8種主要重金屬元素的背景值。現(xiàn)要求你們通過(guò)數(shù)學(xué)建模來(lái)完成以下任務(wù)：(1)給出8種主要重金屬元素在該城區(qū)的空間分布，并分析該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬的污染程度。(2)通過(guò)數(shù)據(jù)分析，說(shuō)明重金屬污染的主要原因。(3)分析重金屬污染物的傳播特征，由此建立模型，確定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的優(yōu)缺點(diǎn)，為更好地研究城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，還應(yīng)收集什么信息？有了這些信息，如何建立模型解決問(wèn)題？問(wèn)題（1）用插值給出8種污染物的2維分布并作圖克里金插值、用MATLAB等軟件作圖定義刻畫(huà)污染程度的定量指標(biāo)（單參數(shù)和綜合污染參數(shù)）例內(nèi)梅羅指數(shù)等工業(yè)區(qū)〉交通區(qū)〉生活區(qū)〉園林綠化區(qū)〉山區(qū)問(wèn)題（2）統(tǒng)計(jì)方法分析數(shù)據(jù)得到污染原因聚類分析、相關(guān)分析等得到工業(yè)區(qū)各種污染都較高、交通區(qū)鉛、銅、鋅污染較高、生活區(qū)鉻污染較高的合理結(jié)論及原因分析問(wèn)題（3）對(duì)流擴(kuò)散機(jī)理模型a)穩(wěn)定、不考慮對(duì)流、點(diǎn)源，可假設(shè)指數(shù)下降用數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題（3）缺點(diǎn)：適用于空氣中擴(kuò)散，未考慮高度影響。b)忽略擴(kuò)散，穩(wěn)定、點(diǎn)源給定可求出C在各點(diǎn)之值，從而可用最小二乘擬合c)在a)的基礎(chǔ)上考慮高度的影響注意到污染隨高度增加而減少，可建立污染擴(kuò)散模型問(wèn)題（3）或?qū)υ紨?shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)處理后，擬合問(wèn)題（4）增加不同時(shí)間的數(shù)據(jù)增加不同深度土壤中的數(shù)據(jù)，考慮污染物在土壤中的彌散2010年C題輸油管的布置某油田計(jì)劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時(shí)在鐵路線上增建一個(gè)車站，用來(lái)運(yùn)送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設(shè)計(jì)院希望建立管線建設(shè)費(fèi)用最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法。1.針對(duì)兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出你的設(shè)計(jì)方案。在方案設(shè)計(jì)時(shí)，若有共用管線，應(yīng)考慮共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同或不同的情形。2.設(shè)計(jì)院目前需對(duì)一更為復(fù)雜的情形進(jìn)行具體的設(shè)計(jì)。兩煉油廠的具體位置由附圖所示，其中A廠位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域），B廠位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域），兩個(gè)區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為a=5，b=8，c=15，l=20。2010年C題輸油管的布置2010年C題輸油管的布置若所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用均為每千米7.2萬(wàn)元。鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用，為對(duì)此項(xiàng)附加費(fèi)用進(jìn)行估計(jì)，聘請(qǐng)三家工程咨詢公司（其中公司一具有甲級(jí)資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級(jí)資質(zhì)）進(jìn)行了估算。估算結(jié)果如下表所示：工程咨詢公司公司一公司二公司三附加費(fèi)用（萬(wàn)元/千米）212420請(qǐng)為設(shè)計(jì)院給出管線布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用。2010年C題輸油管的布置3.在該實(shí)際問(wèn)題中，為進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用，可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。這時(shí)的管線鋪設(shè)費(fèi)用將分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬(wàn)元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬(wàn)元，共用管線費(fèi)用為每千米7.2萬(wàn)元，拆遷等附加費(fèi)用同上。請(qǐng)給出管線最佳布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用。問(wèn)題分析建立函數(shù)模型，尋找最值函數(shù)可能是分段的或根據(jù)參數(shù)不同具有不同形式用微積分多元函數(shù)求極值方法求解問(wèn)題1：共用管道價(jià)同幾何模型費(fèi)馬點(diǎn)：三角形中到三頂點(diǎn)距離和最小的點(diǎn)斯坦納結(jié)果：最大內(nèi)角小于120°，費(fèi)馬點(diǎn)為與三頂點(diǎn)連線交角均為120°之點(diǎn)幾何模型為求費(fèi)馬點(diǎn)，該點(diǎn)位于B點(diǎn)出發(fā)與BD夾角為60°的射線上當(dāng)時(shí)可求得P幾何模型函數(shù)最值模型設(shè)油管交匯點(diǎn)P的坐標(biāo)為，共用管道的費(fèi)用為非共用管道的k倍，模型可歸結(jié)為：直接求解較繁鎖。要使費(fèi)用達(dá)到最小，共用管道必然垂直于鐵路，可將模型化為一元函數(shù)的最值問(wèn)題函數(shù)最值模型函數(shù)最值模型a)當(dāng)b)當(dāng)c)當(dāng)問(wèn)題2模型變更如下：(a)首先考慮城區(qū)拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用。根據(jù)三家評(píng)估公司的資質(zhì)，用加權(quán)平均的方法得出費(fèi)用的估計(jì)值。例如用權(quán)2:1:1計(jì)算得到估計(jì)值21.5萬(wàn)元/千米；或用4:3:3計(jì)算可得估計(jì)值21.6萬(wàn)元/千米；等等。注意：公司一的權(quán)值應(yīng)大于公司二、三的權(quán)值。(b)假設(shè)管線布置在城鄉(xiāng)結(jié)合處的點(diǎn)為Q，Q到鐵路線的距離為z。模型連接煉油廠A和點(diǎn)Q到鐵路線的輸油管最優(yōu)布置應(yīng)取加上煉油廠B到點(diǎn)Q一段的管道費(fèi)用t表示城鄉(xiāng)建設(shè)費(fèi)用的比值，如數(shù)學(xué)模型成為求解以本題提供的數(shù)據(jù)以及計(jì)算，此時(shí)的

總費(fèi)用為282.6973萬(wàn)元。如果各評(píng)估公司估價(jià)以權(quán)重4:3:3計(jì)算，則可得總費(fèi)用283.2013萬(wàn)元。對(duì)于本題提供的數(shù)據(jù)，當(dāng)權(quán)重之比取為2:1:1時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(5.4494,1.8538)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(15.0000,7.3678)。而當(dāng)權(quán)重比取為4:3:3時(shí)，P和Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(5.4474,1.8549),和(15.0000,7.3701)。問(wèn)題3：模型-----AP、BQ、PH、BQ段管道的費(fèi)率PQ模型及求解最優(yōu)解為模型及求解由題設(shè)數(shù)據(jù)，當(dāng)工程咨詢公司評(píng)估權(quán)重之比取為2:1:1時(shí)，最優(yōu)方案為P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(6.7338,0.1389),(15.0000,7.2795),管道鋪設(shè)總費(fèi)用251.9685萬(wàn)元。當(dāng)權(quán)重之比取為4:3:3時(shí)，最優(yōu)方案為P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(6.7321,0.1401),(15.0000,7.2822),管道鋪設(shè)總費(fèi)用252.4737萬(wàn)元。2011C題企業(yè)退休職工養(yǎng)老金制度的改革

養(yǎng)老金也稱退休金，是一種根據(jù)勞動(dòng)者對(duì)社會(huì)所作貢獻(xiàn)及其所具備享受養(yǎng)老保險(xiǎn)的資格，以貨幣形式支付的保險(xiǎn)待遇，用于保障職工退休后的基本生活需要。我國(guó)企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險(xiǎn)實(shí)行“社會(huì)統(tǒng)籌”與“個(gè)人賬戶”相結(jié)合的模式，即企業(yè)把職工工資總額按一定比例（20%）繳納到社會(huì)統(tǒng)籌基金賬戶，再把職工個(gè)人工資按一定比例（8%）繳納到個(gè)人賬戶。這兩個(gè)賬戶我們合稱為養(yǎng)老保險(xiǎn)基金。退休后，按職工在職期間每月（或年）的繳費(fèi)工資與社會(huì)平均工資之比（繳費(fèi)指數(shù)），再考慮到退休前一年的社會(huì)平均工資等因素，從社會(huì)統(tǒng)籌賬戶中撥出資金（基礎(chǔ)養(yǎng)老金），加上個(gè)人工資賬戶中一定比例的資金（個(gè)人賬戶養(yǎng)老金），作為退休后每個(gè)月的養(yǎng)老金。養(yǎng)老金會(huì)隨著社會(huì)平均工資的調(diào)整而調(diào)整。如果職工死亡，社會(huì)統(tǒng)籌賬戶中的資金不退給職工，個(gè)人賬戶中的余額可繼承。個(gè)人賬戶儲(chǔ)存額以銀行當(dāng)時(shí)公布的一年期存款利率計(jì)息，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，利率統(tǒng)一設(shè)定為3%。養(yǎng)老金的發(fā)放與職工在職時(shí)的工資及社會(huì)平均工資有著密切關(guān)系；工資的增長(zhǎng)又與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)相關(guān)。近30年來(lái)我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅速，工資增長(zhǎng)率也較高；而發(fā)達(dá)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)和工資增長(zhǎng)率都較低。我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的戰(zhàn)略目標(biāo)，是要在21世紀(jì)中葉使我國(guó)人均國(guó)民生產(chǎn)總值達(dá)到中等發(fā)達(dá)國(guó)家水平?，F(xiàn)在我國(guó)養(yǎng)老保險(xiǎn)改革正處于過(guò)渡期。養(yǎng)老保險(xiǎn)管理的一個(gè)重要的目標(biāo)是養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的收支平衡，它關(guān)系到社會(huì)穩(wěn)定和老齡化社會(huì)的順利過(guò)渡。影響?zhàn)B老保險(xiǎn)基金收支平衡的一個(gè)重要因素是替代率。替代率是指職工剛退休時(shí)的養(yǎng)老金占退休前工資的比例。按照國(guó)家對(duì)基本養(yǎng)老保險(xiǎn)制度的總體思路，未來(lái)基本養(yǎng)老保險(xiǎn)的目標(biāo)替代率確定為58.5%.替代率較低，退休職工的生活水準(zhǔn)低，養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡容易維持；替代率較高退休職工的生活水準(zhǔn)就高，養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡較難維持，可能出現(xiàn)缺口。所謂缺口，是指當(dāng)養(yǎng)老保險(xiǎn)基金入不敷出時(shí)出現(xiàn)的收支之差。附件1是山東省職工歷年平均工資數(shù)據(jù)；附件2是2009年山東省某企業(yè)各年齡段職工的工資分布情況，附件3是養(yǎng)老金的計(jì)算辦法。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型，解決如下問(wèn)題：?jiǎn)栴}一：對(duì)未來(lái)中國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和工資增長(zhǎng)的形勢(shì)做出你認(rèn)為是簡(jiǎn)化、合理的假設(shè)，并參考附件1，預(yù)測(cè)從2011年至2035年的山東省職工的年平均工資。問(wèn)題二：根據(jù)附件2計(jì)算2009年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比。如果把這些比值看作職工繳費(fèi)指數(shù)的參考值，考慮該企業(yè)職工自2000年起分別從30歲、40歲開(kāi)始繳養(yǎng)老保險(xiǎn)，一直繳費(fèi)到退休（55歲，60歲，65歲），計(jì)算各種情況下的養(yǎng)老金替代率。問(wèn)題三：假設(shè)該企業(yè)某職工自2000年起從30歲開(kāi)始繳養(yǎng)老保險(xiǎn)，一直繳費(fèi)到退休（55歲，60歲，65歲），并從退休后一直領(lǐng)取養(yǎng)老金，至75歲死亡。計(jì)算養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的缺口情況，并計(jì)算該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到多少歲時(shí)，其繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡。問(wèn)題四：如果既要達(dá)到目標(biāo)替代率，又要維持養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡，你認(rèn)為可以采取什么措施。請(qǐng)給出你的理由。養(yǎng)老金的計(jì)算辦法

職工退休時(shí)的養(yǎng)老金由兩部分組成：養(yǎng)老金=基礎(chǔ)養(yǎng)老金+個(gè)人賬戶養(yǎng)老金個(gè)人賬戶養(yǎng)老金=個(gè)人賬戶儲(chǔ)存額÷計(jì)發(fā)月數(shù)（數(shù)據(jù)見(jiàn)表一）基礎(chǔ)養(yǎng)老金=（全省上年度在崗職工月平均工資+本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資）÷2×繳費(fèi)年限×1%本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資=全省上年度在崗職工月平均工資×本人平均繳費(fèi)指數(shù)能夠正確反映“本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資指標(biāo)的計(jì)算公式為：退休前1、2、……、m年本人繳費(fèi)工資額；退休前1、2、……、m年“職工平均工資”n為企業(yè)和職工實(shí)際繳納基本養(yǎng)老保險(xiǎn)費(fèi)的月數(shù)合計(jì)（可以簡(jiǎn)單認(rèn)為等于12m，m為企業(yè)和職工實(shí)際繳納基本養(yǎng)老保險(xiǎn)費(fèi)的年限）。退休前第i年的繳費(fèi)指數(shù)，i=1,…,m.參保人員i年度的本人繳費(fèi)工資通過(guò)工資指數(shù)得到指數(shù)化繳費(fèi)工資，從而使各年度不可比的換算為相當(dāng)于參保人員退休前1年社會(huì)平均工資水平的、可比的各年度指數(shù)化繳費(fèi)工資，各年度指數(shù)化繳費(fèi)工資加總再除以參保人員實(shí)際繳費(fèi)月數(shù)和n，進(jìn)而得到本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資S。由此，該指標(biāo)能夠反映參保人員在整個(gè)繳費(fèi)年限的繳費(fèi)工資平均水平。表一：個(gè)人賬戶養(yǎng)老金計(jì)發(fā)月數(shù)表退休年齡計(jì)發(fā)月數(shù)退休年齡計(jì)發(fā)月數(shù)402335616441230571584222658152432235914544220601394521661132462126212547208631174820464109491996510150195669351190678452185687553180696554175705655170問(wèn)題1：工資預(yù)測(cè)合理假設(shè)是關(guān)鍵一，工資趨于穩(wěn)定二，工資增長(zhǎng)趨于穩(wěn)定三，工資增長(zhǎng)與GDP增長(zhǎng)緊密相關(guān)工資趨于穩(wěn)定Logistic模型工資上限K大約為2010年工資水平的3倍多。增速趨于穩(wěn)定Logistic模型模型更合理。

可用數(shù)據(jù)差分求得問(wèn)題2

替代率計(jì)算2000年起繳費(fèi)30(40)→55(60,65)替代率各年平均工資已由問(wèn)題1得到，需計(jì)算不同年齡段職工平均工資年齡段（歲）20-2425-2930-3435-3940-4445-4950-5455-59個(gè)人工資與企業(yè)平均工資之比0.6690.8050.9831.0671.1731.2671.2091.115到退休時(shí)職工個(gè)人賬戶中的金額的計(jì)算模型如下：∑某年繳費(fèi)額本息=∑當(dāng)年繳費(fèi)工資×繳費(fèi)率×社會(huì)統(tǒng)籌基金賬戶中的儲(chǔ)存額不計(jì)利息，計(jì)算模型為：∑某年繳費(fèi)額=∑當(dāng)年繳費(fèi)工資×繳費(fèi)率養(yǎng)老金計(jì)算退休后第一個(gè)月領(lǐng)取的養(yǎng)老金=基礎(chǔ)養(yǎng)老金+個(gè)人賬戶養(yǎng)老金基礎(chǔ)養(yǎng)老金=（退休前一年社會(huì)平均工資+本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資）/2×繳費(fèi)年限×1%；個(gè)人賬戶養(yǎng)老金=個(gè)人賬戶儲(chǔ)存額÷計(jì)發(fā)月數(shù)本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資=退休前1、2、……、m年本人繳費(fèi)工資額；退休前1、2、……、m年職工平均工資替代率計(jì)算職工退休時(shí)實(shí)際替代率=退休后第一個(gè)月領(lǐng)取的養(yǎng)老金/退休前一個(gè)月該職工的月工資參加工作年齡304055歲退休時(shí)的替代率<0.35<0.260歲退休時(shí)的替代率>0.4>0.2565歲退休時(shí)的替代率>0.7>0.45問(wèn)題3何時(shí)收支平衡2000年30→55（60，65）→75現(xiàn)值方法：轉(zhuǎn)化為剛退休時(shí)的現(xiàn)值職工到去世時(shí)領(lǐng)取的基礎(chǔ)養(yǎng)老金總和職工到去世時(shí)個(gè)人賬戶養(yǎng)老金總和在剛退休時(shí)的現(xiàn)值結(jié)果：在55歲退休，67歲左右出現(xiàn)缺口；60歲退休，75歲左右出現(xiàn)缺口，65歲退休75歲左右出現(xiàn)缺口。問(wèn)題4措施推遲退休年齡盡早開(kāi)始繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)提高個(gè)人賬戶繳費(fèi)率；提高社會(huì)統(tǒng)籌基金賬戶繳費(fèi)率要有計(jì)算結(jié)果的支持自己的建議2011D題天然腸衣搭配問(wèn)題

天然腸衣（以下簡(jiǎn)稱腸衣）制作加工是我國(guó)的一個(gè)傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)，出口量占世界首位。腸衣經(jīng)過(guò)清洗整理后被分割成長(zhǎng)度不等的小段（原料），進(jìn)入組裝工序。傳統(tǒng)的生產(chǎn)方式依靠人工，邊丈量原料長(zhǎng)度邊心算，將原材料按指定根數(shù)和總長(zhǎng)度組裝出成品（捆）。原料按長(zhǎng)度分檔，通常以0.5米為一檔，如：3-3.4米按3米計(jì)算，3.5米-3.9米按3.5米計(jì)算，其余的依此類推。表1是幾種常見(jiàn)成品的規(guī)格，長(zhǎng)度單位為米，∞表示沒(méi)有上限，但實(shí)際長(zhǎng)度小于26米。表1成品規(guī)格表最短長(zhǎng)度最大長(zhǎng)度根數(shù)總長(zhǎng)度36.52089713.588914∞589為了提高生產(chǎn)效率，公司計(jì)劃改變組裝工藝，先丈量所有原料，建立一個(gè)原料表。表2為某批次原料描述。表2原料描述表長(zhǎng)度3-3.43.5-3.94-4.44.5-4.95-5.45.5-5.96-6.46.5-6.9根數(shù)4359394127283421長(zhǎng)度7-7.47.5-7.98-8.48.5-8.99-9.49.5-9.910-10.410.5-10.9根數(shù)2424202521232118長(zhǎng)度11-11.411.5-11.912-12.412.5-12.913-13.413.5-13.914-14.414.5-14.9根數(shù)3123225918253529長(zhǎng)度15-15.415.5-15.916-16.416.5-16.917-17.417.5-17.918-18.418.5-18.9根數(shù)3042284245495064長(zhǎng)度19-19.419.5-19.920-20.420.5-20.921-21.421.5-21.922-22.422.5-22.9根數(shù)526349352716122長(zhǎng)度23-23.423.5-23.924-24.424.5-24.925-25.425.5-25.9根數(shù)060001根據(jù)以上成品和原料描述，設(shè)計(jì)一個(gè)原料搭配方案，工人根據(jù)這個(gè)方案“照方抓藥”進(jìn)行生產(chǎn)。公司對(duì)搭配方案有以下具體要求：(1)對(duì)于給定的一批原料，裝出的成品捆數(shù)越多越好；(2)對(duì)于成品捆數(shù)相同的方案，最短長(zhǎng)度最長(zhǎng)的成品越多，方案越好；(3)為提高原料使用率，總長(zhǎng)度允許有±0.5米的誤差，總根數(shù)允許比標(biāo)準(zhǔn)少1根；(4)某種規(guī)格對(duì)應(yīng)原料如果出現(xiàn)剩余，可以降級(jí)使用。如長(zhǎng)度為14米的原料可以和長(zhǎng)度介于7-13.5米的進(jìn)行捆扎，成品屬于7-13.5米的規(guī)格；(5)為了食品保鮮,要求在30分鐘內(nèi)產(chǎn)生方案。請(qǐng)建立上述問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，給出求解方法，并對(duì)表1、表2給出的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行求解，給出搭配方案。問(wèn)題的提出腸衣加工企業(yè)希望開(kāi)發(fā)一套計(jì)算機(jī)軟件，只需一線工人將測(cè)量所得原料數(shù)據(jù)輸入電腦，就能自動(dòng)生成經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的滿足成品規(guī)格要求的搭配方案，這樣既可以減少勞動(dòng)強(qiáng)度、又能提高原料使用率問(wèn)題的提出原料信息：企業(yè)的測(cè)量以0.5米為一檔，如：3.1-3.5米按3米計(jì)算，3.6米-4米按3.5米計(jì)算，其余的依此類推；成品描述：一般分成三種規(guī)格每種規(guī)格用（最短原料長(zhǎng)度，最長(zhǎng)原料長(zhǎng)度，原料根數(shù)，總長(zhǎng)度）加以描述問(wèn)題的提出目標(biāo)對(duì)于給定的一批原料，裝出的成品捆數(shù)越多，方案越好。對(duì)于成品捆數(shù)相同的方案，最短長(zhǎng)度最長(zhǎng)的成品越多，方案越好。要在30分鐘內(nèi)產(chǎn)生方案。問(wèn)題的提出條件總長(zhǎng)度允許誤差范圍為[-0.5，0.5]，總根數(shù)允許誤差范圍為[-1，0]。剩余原料可以降級(jí)使用。問(wèn)題的分析目標(biāo)2是難點(diǎn)最小最大問(wèn)題解決難度高和目標(biāo)1可能是相互矛盾的辦法把成品規(guī)格分成大、中、小三擋，其實(shí)質(zhì)是將“最短長(zhǎng)度最長(zhǎng)的成品最多”的要求轉(zhuǎn)化為“最短長(zhǎng)度在某個(gè)值以上的成品最多”將一個(gè)從理論上完美但難以實(shí)現(xiàn)的最優(yōu)目標(biāo)轉(zhuǎn)化為可行的優(yōu)化目標(biāo)。問(wèn)題的分析受目標(biāo)2的限制，無(wú)法依據(jù)目標(biāo)1建立關(guān)于全部原料的優(yōu)化裝配模型辦法結(jié)合條件1按照三種不同規(guī)格分步進(jìn)行優(yōu)化。結(jié)合條件2，擴(kuò)大每種規(guī)格最大長(zhǎng)度的上限，提高原料使用率問(wèn)題的分析總體方案根據(jù)大規(guī)格要求，求最優(yōu)解；將第1步優(yōu)化后多余的原料納入中規(guī)格，求最優(yōu)解；將第2步優(yōu)化后多余的原料納入小規(guī)格求最優(yōu)解。如果多余的原料總長(zhǎng)小于88.5米或者接近于理論最優(yōu)值，則優(yōu)化成功。模型一落料問(wèn)題回顧套裁方案。。。。。。。。方案板材圓片1圓片2余料112622443201641012::::::::::k::::::::::m線性規(guī)劃模型

--第i種圓片需求量，--第j種板材庫(kù)存量建模兩個(gè)主要步驟：生成套裁方案；尋求最佳方案組合模型一搭配方式模型記號(hào)：

：材料的最短長(zhǎng)度

：材料的最大長(zhǎng)度

：材料根數(shù)

：成品總長(zhǎng)度。

種不同長(zhǎng)度的材料：各種材料的長(zhǎng)度

：材料根數(shù)

：某種搭配方式中各檔材料的根數(shù)模型一搭配方式模型模型上述不等式組的解表示所有可能的搭配方式

模型一最優(yōu)搭配模型記號(hào)：不等式組解的個(gè)數(shù)為M，第j個(gè)解(第j種搭配方式)為搭配方案表示為(x1,x2,…,xM)xj表示第j種搭配方式對(duì)應(yīng)的捆數(shù)(j=1,…,M)，模型一最優(yōu)搭配模型模型：約束條件目標(biāo)

模型一求解：搭配方式模型自編程序多重循環(huán)簡(jiǎn)單循環(huán)層次不變遞推方式循環(huán)層次可變

復(fù)雜模型一求解：最優(yōu)搭配模型結(jié)果分析大規(guī)格：捆扎方式=2862種，最多捆數(shù)=137，

原料長(zhǎng)度捆數(shù)1414.51515.51616.51717.51818.51919.52020.52121.52222.52323.52424.52525.5搭配方式110000000001110000000000410001000101000010000000011000011000000200000000002100001000020100000000000710000001011100000000000080100000110110000000000001501000000040000000000000010剩余18米一根模型一求解：最優(yōu)搭配模型結(jié)果分析中規(guī)格：M=19635種，最優(yōu)捆數(shù)=37捆

原料長(zhǎng)度捆數(shù)77.588.599.51010.51111.51212.51313.518捆扎方式0011000030003002001100000303000200103000000013030010004000000301001000012040000400021000002201020001100202000205000102001004