譚永基教授-建模競賽與案例分析(2012廣西)課件

2022/11/1數(shù)學建模競賽與案例分析廣西大學2012.7.13譚永基復(fù)旦大學數(shù)學科學學院yjtan@概要

●數(shù)學建模的重要作用、兩個實例●中美大學生建模競賽的發(fā)展歷程●近年競賽試題綜述●賽題案例分析2022/11/12011ICM電動汽車2011CUMCMA重金屬污染2010CUMCMC輸油管布置

2011CUMCMC，D養(yǎng)老金問題，腸衣包裝數(shù)學建模的重要作用實例一

凱恩斯模型

2022/11/1令Y表示國民收入，C表示總消費，I表示投資，E表示總支出，那么有其中為最低消費，它是由儲蓄等支持的。c稱為“邊際消費”，反映了消費隨收入增加而增加的傾向。另外總支出分為消費和投資兩部分之和，即：由總收入等于總支出：解得:2022/11/1由于

c越接近1，國民收入越大。這解釋了擴大消費可以促進國民收入的增加，這種效應(yīng)稱為乘數(shù)效應(yīng)。設(shè)G為政府的支出（如投資基本建設(shè)等）則：此時可解得：其中為國民收入增加數(shù)學建模的重要作用實例二

萬有引力定律

牛頓1665年發(fā)現(xiàn)平方反比定律1686年在哈雷支持下正式發(fā)表在自然哲學的數(shù)學原理中與胡克關(guān)于發(fā)明權(quán)的爭論平方反比律與開普勒天體運動三定律2022/11/1萬有引力定律在人類認識宇宙中的作用樸素的宇宙觀如天圓地方說亞里斯多德、托勒密完善地心說（天文學大成）哥白尼提出日心說（更早阿里斯塔克）伽利略用觀察支持日心說開普勒利用第谷的觀察數(shù)據(jù)1609-1619提出天體運動三定律牛頓平方反比律奠定天體運動理論基礎(chǔ)勒維埃和亞當斯發(fā)現(xiàn)海皇星2022/11/1根據(jù)第一篇已從數(shù)學上證明的命題我們可以從天體現(xiàn)象中獲得引力的學說,…,同時,從這些力出發(fā),根據(jù)數(shù)學定理我們再推導出關(guān)于行星、彗星、月亮海洋的運動，我希望，自然界的其他現(xiàn)象可以用同樣的方法由數(shù)學原理推導出來。（牛頓自然哲學的數(shù)學原理）牛頓太幸運了，只有一個宇宙而牛頓已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它的數(shù)學規(guī)律。（拉格朗日）理性支配著萬事萬物則可以稱得上關(guān)于世界本質(zhì)的最有價值的觀點（帕拉圖菲多篇）2022/11/1亞里斯多德的宇宙模型2022/11/1哥白尼伽利略開普勒的行星模型數(shù)學建模的方法與步驟

現(xiàn)實問題清晰化—假設(shè)簡化—找出關(guān)鍵量—根據(jù)支配規(guī)律建立關(guān)鍵量間數(shù)學關(guān)系—求解數(shù)學問題—檢驗與驗證—應(yīng)用于原現(xiàn)實問題數(shù)學建模ABC(Gibbons)

A—Assume,

B—Borrow

,C—Criticize.2022/11/12022/11/1TheArtofMathematicalModeling2022/11/1Physical/BiologicalPhenomenaHeuristicPhysical/BiologicalModel“Pure”MathematicsPhysical/BiologicalModelExact,Approximate,NumericalSolutionsQualitativeBehaviorApproximateMathematicalModelMathematicalModelExistenceUniquenessStabilityImplicitAssumptionsExplicitAssumptionsMechanismsPhysicochemicalLawsMathematical-Physical/BiologicalSimplificationsMathematical/NumericalMethodsAlternativeModelingApproachesGeneralized/ExtendedMathematicalModelAnalysisCOMPARISONVALIDATIONPREDICTION中美大學生建模競賽的發(fā)展歷程

（美國）Putnam競賽的缺陷Fusaro1985年發(fā)起數(shù)學建模競賽(MCM)90隊1989年中國大學生首次參加（4/211）1996年中國大學生首次獲Outstanding獎1999年開始ICM（跨學科數(shù)學建模競賽）2006年中國參賽隊過半466/748，194/2242010年中國參賽隊2186/2610，84%2011年中國參賽隊3060/3509，87%2022/11/1中美大學生建模競賽的發(fā)展歷程

（中國）1990、1991上海率先組織競賽張家界會議推向全國1992年開始全國競賽從314隊到1萬9千多隊1999年開始設(shè)立大專組三次舉辦數(shù)學建模夏令營致力于提高質(zhì)量和國際化（10年港澳新、澳大利亞參加，和美國MCM合作，2011

ICM終評閱卷）二十周年慶典2022/11/1近10年競賽試題綜述

（美國）

01

A自行車車輪選擇，B颶風交通疏散問題，C斑馬貽貝的擴散與控制02

A風與噴水池控制，B航空公司機票超訂問題，C灌木蜥蜴數(shù)量問題03

A特技演員保護紙箱問題，B

Gamma刀治療方案，C機場安檢（EDS，ETD）起飛時間安排方案04

A指紋識別問題，B快速通過系統(tǒng)的改進，C計算機系統(tǒng)安全問題05

A洪水災(zāi)害估計，B公路收費亭最佳數(shù)目設(shè)置，C不可再生資源的管理2022/11/1近10年競賽試題綜述

（美國）06

A噴灌系統(tǒng)管理與移動問題，B機場輪椅使用問題，C抗擊艾滋病的協(xié)調(diào)問題07

A

不公正的選區(qū)劃分，

B飛機就座問題，

C器官移植：腎交換問題08

A題：可能的嚴重后果（全球溫度的上升而導致的北極冰蓋的融化對陸地的影響）

B題：創(chuàng)建數(shù)獨智力游戲（研制構(gòu)成不同難度的數(shù)獨智力游戲的算法，C醫(yī)療保健服務(wù)(醫(yī)保)系統(tǒng)評價09

A環(huán)島交通管理，B能源和手機，

C題:創(chuàng)建食物系統(tǒng)—重建受到人類影響的生態(tài)系統(tǒng)10

A棒球棒甜蜜點(最佳擊球點)問題，

B犯罪學(連環(huán)謀殺案搜索)問題，

C大太平洋塑料垃圾帶2022/11/12011年MCMICMA，滑雪滑道設(shè)計B，通訊頻道問題C，電動汽車前景問題（1）預(yù)測前景（2）省多少油（3）各種電站如何配置第二輪閱卷63份選出5份OUTSTADING2012ICM網(wǎng)絡(luò)科學2022/11/12012賽題樹葉問題野營規(guī)劃犯罪克星2022/11/101

A三維血管重建，B公交調(diào)度，C基金使用計劃，D公交調(diào)度02

A車燈光源優(yōu)化設(shè)計，B彩票中的數(shù)學，C同A，D賽程安排03

A

SARS傳播，B露天煤礦車輛安排，C同A，D搶渡長江04

A奧運商業(yè)網(wǎng)點設(shè)計，B輸電阻塞管理，C飲酒駕車，D公務(wù)員招聘05

A長江水質(zhì)評價與預(yù)測，B

DVD在線租賃，C雨量預(yù)報方法評價，D同B近10年競賽試題綜述

（中國）06

A出版社資源配置，B愛滋病療法評價，C易拉罐設(shè)計，D瓦斯煤塵檢測控制07

A中國人口增長預(yù)測，B乘公交，看奧運，C手機“套餐”優(yōu)惠幾何，D體能測試時間安排08

A數(shù)碼相機定位，B高等教育學費標準探討，C地面搜索，DNBA賽程的分析與評價09

A制動器試驗臺的控制方法分析，B眼科病床的合理安排，C衛(wèi)星和飛船的跟蹤測控，D會議籌備10

A儲油罐的變位識別與罐容表標定，B2010年上海世博會影響力的定量評估，C輸油管的布置，D對學生宿舍設(shè)計方案的評價2011CUMCM重金屬污染交巡警服務(wù)平臺設(shè)置養(yǎng)老保險問題腸衣包裝2022/11/1命題及閱卷文件產(chǎn)生過程2022/11/1確定命題負責人征題初篩選命題研討會題目初選題目加工題目終選產(chǎn)生題目最終文本競賽試閱卷產(chǎn)生閱卷要點正式閱卷命題原則與實際緊密相關(guān)的新問題數(shù)學建模在解決問題中起關(guān)鍵作用難易適中學生有創(chuàng)新空間可以判別優(yōu)劣2022/11/1全國閱卷過程

定評分標準閱一等卷3人統(tǒng)計分析標準化大分差調(diào)整排序閱二等卷查違規(guī)挑候選優(yōu)秀論文調(diào)整確定名次上網(wǎng)、面試定獎評閱印象（優(yōu)點）

各題均出現(xiàn)有一定創(chuàng)新的答卷建模能力增強：數(shù)據(jù)建模和機理建模結(jié)合摘要有明顯改進利用現(xiàn)有文獻能力增強出現(xiàn)很多表達清晰的好論文存在問題選題的盲目性缺乏建模創(chuàng)新性：對文獻過度依賴計算和編程能力的不足缺乏嚴肅的科學精神和學術(shù)態(tài)度賽題案例分析2011ICM電動汽車2011CUMCMA重金屬污染2010CUMCMC輸油管布置2011CUMCMC養(yǎng)老保險問題2011CUMCMD腸衣包裝2022/11/12011ICM電動汽車題目要求建立電動車廣泛應(yīng)用對經(jīng)濟、環(huán)境、健康影響的數(shù)模，詳細刻畫政府和制造商決定是否和如何支持發(fā)展和應(yīng)用電動汽車應(yīng)考慮的關(guān)鍵因素，用什么數(shù)據(jù)驗證模型。用你的模型估計廣泛使用電動汽車世界可節(jié)省多少石油提供為適應(yīng)你推薦的各種電動車數(shù)量所需各種發(fā)電站和各自發(fā)電量使環(huán)境、社會、商業(yè)、個人效益達到最大的數(shù)模2022/11/1要求（續(xù)）寫20頁的報告闡明你的模型及你對有關(guān)電動車和發(fā)電站的關(guān)鍵事項的分析注意要包括政府在保證安全、高效、充分交通中的重要作用。要討論電動汽車的廣泛應(yīng)用是一種值得的目標和面對石油供應(yīng)逐漸減少全球能源總政策的一個組成部分2022/11/1估計電動車數(shù)量的新技術(shù)模型2022/11/1競爭模型2022/11/1層次分析模型2022/11/1層次分析（健康)2022/11/1用高斯模型分析污染2022/11/12022/11/1不同電站配置(0.3044,0.2553,0.2555,0.1848)2022/11/1優(yōu)化模型2022/11/1評閱過程A題初選：Appalachian州立大學7人；分區(qū)評閱軍事科學院5人；終評10人B題初選：Carroll學院、國家安全局（NSA）人數(shù)不詳；分區(qū)評閱海軍研究生院8人；終評11人C題初選：軍事科學院30人其他1人；終評8人2022/11/1評閱過程初評（triage)是否回答解決問題，重點看摘要，綜述整篇文章，各節(jié)提供綜述有幫助甄別（screening)考察模型，清晰模型和堅實分析可得較高分，分析、結(jié)果和寫作的一致性是重要的。終評（final）目的挑選優(yōu)秀論文，細節(jié)比較，最后若干篇每個評委都要看，討論后遴選outstanding,finallist2022/11/1*ChrisArney對中國學生建議利用競賽機會充分發(fā)揮想象力和創(chuàng)造力不要過分簡化注意離散和隨機模型2022/11/12011CUMCMA

城市表層土壤重金屬污染分析

隨著城市經(jīng)濟的快速發(fā)展和城市人口的不斷增加，人類活動對城市環(huán)境質(zhì)量的影響日顯突出。對城市土壤地質(zhì)環(huán)境異常的查證，以及如何應(yīng)用查證獲得的海量數(shù)據(jù)資料開展城市環(huán)境質(zhì)量評價，研究人類活動影響下城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，日益成為人們關(guān)注的焦點。按照功能劃分，城區(qū)一般可分為生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主干道路區(qū)及公園綠地區(qū)等，分別記為1類區(qū)、2類區(qū)、……、5類區(qū)，不同的區(qū)域環(huán)境受人類活動影響的程度不同?，F(xiàn)對某城市城區(qū)土壤地質(zhì)環(huán)境進行調(diào)查。為此，將所考察的城區(qū)劃分為間距1公里左右的網(wǎng)格子區(qū)域，按照每平方公里1個采樣點對表層土（0~10厘米深度）進行取樣、編號，并用GPS記錄采樣點的位置。應(yīng)用專門儀器測試分析，獲得了每個樣本所含的多種化學元素的濃度數(shù)據(jù)。2011CUMCMA

城市表層土壤重金屬污染分析另一方面，按照2公里的間距在那些遠離人群及工業(yè)活動的自然區(qū)取樣，將其作為該城區(qū)表層土壤中元素的背景值。附件1列出了采樣點的位置、海拔高度及其所屬功能區(qū)等信息，附件2列出了8種主要重金屬元素在采樣點處的濃度，附件3列出了8種主要重金屬元素的背景值?，F(xiàn)要求你們通過數(shù)學建模來完成以下任務(wù)：(1)給出8種主要重金屬元素在該城區(qū)的空間分布，并分析該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬的污染程度。(2)通過數(shù)據(jù)分析，說明重金屬污染的主要原因。(3)分析重金屬污染物的傳播特征，由此建立模型，確定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的優(yōu)缺點，為更好地研究城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，還應(yīng)收集什么信息？有了這些信息，如何建立模型解決問題？問題（1）用插值給出8種污染物的2維分布并作圖克里金插值、用MATLAB等軟件作圖定義刻畫污染程度的定量指標（單參數(shù)和綜合污染參數(shù)）例內(nèi)梅羅指數(shù)等工業(yè)區(qū)〉交通區(qū)〉生活區(qū)〉園林綠化區(qū)〉山區(qū)問題（2）統(tǒng)計方法分析數(shù)據(jù)得到污染原因聚類分析、相關(guān)分析等得到工業(yè)區(qū)各種污染都較高、交通區(qū)鉛、銅、鋅污染較高、生活區(qū)鉻污染較高的合理結(jié)論及原因分析問題（3）對流擴散機理模型a)穩(wěn)定、不考慮對流、點源，可假設(shè)指數(shù)下降用數(shù)據(jù)擬合問題（3）缺點：適用于空氣中擴散，未考慮高度影響。b)忽略擴散，穩(wěn)定、點源給定可求出C在各點之值，從而可用最小二乘擬合c)在a)的基礎(chǔ)上考慮高度的影響注意到污染隨高度增加而減少，可建立污染擴散模型問題（3）或?qū)υ紨?shù)據(jù)進行適當處理后，擬合問題（4）增加不同時間的數(shù)據(jù)增加不同深度土壤中的數(shù)據(jù)，考慮污染物在土壤中的彌散2010年C題輸油管的布置某油田計劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時在鐵路線上增建一個車站，用來運送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設(shè)計院希望建立管線建設(shè)費用最省的一般數(shù)學模型與方法。1.針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出你的設(shè)計方案。在方案設(shè)計時，若有共用管線，應(yīng)考慮共用管線費用與非共用管線費用相同或不同的情形。2.設(shè)計院目前需對一更為復(fù)雜的情形進行具體的設(shè)計。兩煉油廠的具體位置由附圖所示，其中A廠位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域），B廠位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域），兩個區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為a=5，b=8，c=15，l=20。2010年C題輸油管的布置2010年C題輸油管的布置若所有管線的鋪設(shè)費用均為每千米7.2萬元。鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用，為對此項附加費用進行估計，聘請三家工程咨詢公司（其中公司一具有甲級資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級資質(zhì)）進行了估算。估算結(jié)果如下表所示：工程咨詢公司公司一公司二公司三附加費用（萬元/千米）212420請為設(shè)計院給出管線布置方案及相應(yīng)的費用。2010年C題輸油管的布置3.在該實際問題中，為進一步節(jié)省費用，可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。這時的管線鋪設(shè)費用將分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬元，共用管線費用為每千米7.2萬元，拆遷等附加費用同上。請給出管線最佳布置方案及相應(yīng)的費用。問題分析建立函數(shù)模型，尋找最值函數(shù)可能是分段的或根據(jù)參數(shù)不同具有不同形式用微積分多元函數(shù)求極值方法求解問題1：共用管道價同幾何模型費馬點：三角形中到三頂點距離和最小的點斯坦納結(jié)果：最大內(nèi)角小于120°，費馬點為與三頂點連線交角均為120°之點幾何模型為求費馬點，該點位于B點出發(fā)與BD夾角為60°的射線上當時可求得P幾何模型函數(shù)最值模型設(shè)油管交匯點P的坐標為，共用管道的費用為非共用管道的k倍，模型可歸結(jié)為：直接求解較繁鎖。要使費用達到最小，共用管道必然垂直于鐵路，可將模型化為一元函數(shù)的最值問題函數(shù)最值模型函數(shù)最值模型a)當b)當c)當問題2模型變更如下：(a)首先考慮城區(qū)拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用。根據(jù)三家評估公司的資質(zhì)，用加權(quán)平均的方法得出費用的估計值。例如用權(quán)2:1:1計算得到估計值21.5萬元/千米；或用4:3:3計算可得估計值21.6萬元/千米；等等。注意：公司一的權(quán)值應(yīng)大于公司二、三的權(quán)值。(b)假設(shè)管線布置在城鄉(xiāng)結(jié)合處的點為Q，Q到鐵路線的距離為z。模型連接煉油廠A和點Q到鐵路線的輸油管最優(yōu)布置應(yīng)取加上煉油廠B到點Q一段的管道費用t表示城鄉(xiāng)建設(shè)費用的比值，如數(shù)學模型成為求解以本題提供的數(shù)據(jù)以及計算，此時的

總費用為282.6973萬元。如果各評估公司估價以權(quán)重4:3:3計算，則可得總費用283.2013萬元。對于本題提供的數(shù)據(jù)，當權(quán)重之比取為2:1:1時，P點坐標為(5.4494,1.8538)，Q點坐標為(15.0000,7.3678)。而當權(quán)重比取為4:3:3時，P和Q點的坐標分別為(5.4474,1.8549),和(15.0000,7.3701)。問題3：模型-----AP、BQ、PH、BQ段管道的費率PQ模型及求解最優(yōu)解為模型及求解由題設(shè)數(shù)據(jù)，當工程咨詢公司評估權(quán)重之比取為2:1:1時，最優(yōu)方案為P、Q兩點坐標分別為(6.7338,0.1389),(15.0000,7.2795),管道鋪設(shè)總費用251.9685萬元。當權(quán)重之比取為4:3:3時，最優(yōu)方案為P、Q兩點坐標分別為(6.7321,0.1401),(15.0000,7.2822),管道鋪設(shè)總費用252.4737萬元。2011C題企業(yè)退休職工養(yǎng)老金制度的改革

養(yǎng)老金也稱退休金，是一種根據(jù)勞動者對社會所作貢獻及其所具備享受養(yǎng)老保險的資格，以貨幣形式支付的保險待遇，用于保障職工退休后的基本生活需要。我國企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險實行“社會統(tǒng)籌”與“個人賬戶”相結(jié)合的模式，即企業(yè)把職工工資總額按一定比例（20%）繳納到社會統(tǒng)籌基金賬戶，再把職工個人工資按一定比例（8%）繳納到個人賬戶。這兩個賬戶我們合稱為養(yǎng)老保險基金。退休后，按職工在職期間每月（或年）的繳費工資與社會平均工資之比（繳費指數(shù)），再考慮到退休前一年的社會平均工資等因素，從社會統(tǒng)籌賬戶中撥出資金（基礎(chǔ)養(yǎng)老金），加上個人工資賬戶中一定比例的資金（個人賬戶養(yǎng)老金），作為退休后每個月的養(yǎng)老金。養(yǎng)老金會隨著社會平均工資的調(diào)整而調(diào)整。如果職工死亡，社會統(tǒng)籌賬戶中的資金不退給職工，個人賬戶中的余額可繼承。個人賬戶儲存額以銀行當時公布的一年期存款利率計息，為簡單起見，利率統(tǒng)一設(shè)定為3%。養(yǎng)老金的發(fā)放與職工在職時的工資及社會平均工資有著密切關(guān)系；工資的增長又與經(jīng)濟增長相關(guān)。近30年來我國經(jīng)濟發(fā)展迅速，工資增長率也較高；而發(fā)達國家的經(jīng)濟和工資增長率都較低。我國經(jīng)濟發(fā)展的戰(zhàn)略目標，是要在21世紀中葉使我國人均國民生產(chǎn)總值達到中等發(fā)達國家水平。現(xiàn)在我國養(yǎng)老保險改革正處于過渡期。養(yǎng)老保險管理的一個重要的目標是養(yǎng)老保險基金的收支平衡，它關(guān)系到社會穩(wěn)定和老齡化社會的順利過渡。影響?zhàn)B老保險基金收支平衡的一個重要因素是替代率。替代率是指職工剛退休時的養(yǎng)老金占退休前工資的比例。按照國家對基本養(yǎng)老保險制度的總體思路，未來基本養(yǎng)老保險的目標替代率確定為58.5%.替代率較低，退休職工的生活水準低，養(yǎng)老保險基金收支平衡容易維持；替代率較高退休職工的生活水準就高，養(yǎng)老保險基金收支平衡較難維持，可能出現(xiàn)缺口。所謂缺口，是指當養(yǎng)老保險基金入不敷出時出現(xiàn)的收支之差。附件1是山東省職工歷年平均工資數(shù)據(jù)；附件2是2009年山東省某企業(yè)各年齡段職工的工資分布情況，附件3是養(yǎng)老金的計算辦法。請建立數(shù)學模型，解決如下問題：問題一：對未來中國經(jīng)濟發(fā)展和工資增長的形勢做出你認為是簡化、合理的假設(shè)，并參考附件1，預(yù)測從2011年至2035年的山東省職工的年平均工資。問題二：根據(jù)附件2計算2009年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比。如果把這些比值看作職工繳費指數(shù)的參考值，考慮該企業(yè)職工自2000年起分別從30歲、40歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費到退休（55歲，60歲，65歲），計算各種情況下的養(yǎng)老金替代率。問題三：假設(shè)該企業(yè)某職工自2000年起從30歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費到退休（55歲，60歲，65歲），并從退休后一直領(lǐng)取養(yǎng)老金，至75歲死亡。計算養(yǎng)老保險基金的缺口情況，并計算該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到多少歲時，其繳存的養(yǎng)老保險基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達到收支平衡。問題四：如果既要達到目標替代率，又要維持養(yǎng)老保險基金收支平衡，你認為可以采取什么措施。請給出你的理由。養(yǎng)老金的計算辦法

職工退休時的養(yǎng)老金由兩部分組成：養(yǎng)老金=基礎(chǔ)養(yǎng)老金+個人賬戶養(yǎng)老金個人賬戶養(yǎng)老金=個人賬戶儲存額÷計發(fā)月數(shù)（數(shù)據(jù)見表一）基礎(chǔ)養(yǎng)老金=（全省上年度在崗職工月平均工資+本人指數(shù)化月平均繳費工資）÷2×繳費年限×1%本人指數(shù)化月平均繳費工資=全省上年度在崗職工月平均工資×本人平均繳費指數(shù)能夠正確反映“本人指數(shù)化月平均繳費工資指標的計算公式為：退休前1、2、……、m年本人繳費工資額；退休前1、2、……、m年“職工平均工資”n為企業(yè)和職工實際繳納基本養(yǎng)老保險費的月數(shù)合計（可以簡單認為等于12m，m為企業(yè)和職工實際繳納基本養(yǎng)老保險費的年限）。退休前第i年的繳費指數(shù)，i=1,…,m.參保人員i年度的本人繳費工資通過工資指數(shù)得到指數(shù)化繳費工資，從而使各年度不可比的換算為相當于參保人員退休前1年社會平均工資水平的、可比的各年度指數(shù)化繳費工資，各年度指數(shù)化繳費工資加總再除以參保人員實際繳費月數(shù)和n，進而得到本人指數(shù)化月平均繳費工資S。由此，該指標能夠反映參保人員在整個繳費年限的繳費工資平均水平。表一：個人賬戶養(yǎng)老金計發(fā)月數(shù)表退休年齡計發(fā)月數(shù)退休年齡計發(fā)月數(shù)402335616441230571584222658152432235914544220601394521661132462126212547208631174820464109491996510150195669351190678452185687553180696554175705655170問題1：工資預(yù)測合理假設(shè)是關(guān)鍵一，工資趨于穩(wěn)定二，工資增長趨于穩(wěn)定三，工資增長與GDP增長緊密相關(guān)工資趨于穩(wěn)定Logistic模型工資上限K大約為2010年工資水平的3倍多。增速趨于穩(wěn)定Logistic模型模型更合理。

可用數(shù)據(jù)差分求得問題2

替代率計算2000年起繳費30(40)→55(60,65)替代率各年平均工資已由問題1得到，需計算不同年齡段職工平均工資年齡段（歲）20-2425-2930-3435-3940-4445-4950-5455-59個人工資與企業(yè)平均工資之比0.6690.8050.9831.0671.1731.2671.2091.115到退休時職工個人賬戶中的金額的計算模型如下：∑某年繳費額本息=∑當年繳費工資×繳費率×社會統(tǒng)籌基金賬戶中的儲存額不計利息，計算模型為：∑某年繳費額=∑當年繳費工資×繳費率養(yǎng)老金計算退休后第一個月領(lǐng)取的養(yǎng)老金=基礎(chǔ)養(yǎng)老金+個人賬戶養(yǎng)老金基礎(chǔ)養(yǎng)老金=（退休前一年社會平均工資+本人指數(shù)化月平均繳費工資）/2×繳費年限×1%；個人賬戶養(yǎng)老金=個人賬戶儲存額÷計發(fā)月數(shù)本人指數(shù)化月平均繳費工資=退休前1、2、……、m年本人繳費工資額；退休前1、2、……、m年職工平均工資替代率計算職工退休時實際替代率=退休后第一個月領(lǐng)取的養(yǎng)老金/退休前一個月該職工的月工資參加工作年齡304055歲退休時的替代率<0.35<0.260歲退休時的替代率>0.4>0.2565歲退休時的替代率>0.7>0.45問題3何時收支平衡2000年30→55（60，65）→75現(xiàn)值方法：轉(zhuǎn)化為剛退休時的現(xiàn)值職工到去世時領(lǐng)取的基礎(chǔ)養(yǎng)老金總和職工到去世時個人賬戶養(yǎng)老金總和在剛退休時的現(xiàn)值結(jié)果：在55歲退休，67歲左右出現(xiàn)缺口；60歲退休，75歲左右出現(xiàn)缺口，65歲退休75歲左右出現(xiàn)缺口。問題4措施推遲退休年齡盡早開始繳納養(yǎng)老保險提高個人賬戶繳費率；提高社會統(tǒng)籌基金賬戶繳費率要有計算結(jié)果的支持自己的建議2011D題天然腸衣搭配問題

天然腸衣（以下簡稱腸衣）制作加工是我國的一個傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)，出口量占世界首位。腸衣經(jīng)過清洗整理后被分割成長度不等的小段（原料），進入組裝工序。傳統(tǒng)的生產(chǎn)方式依靠人工，邊丈量原料長度邊心算，將原材料按指定根數(shù)和總長度組裝出成品（捆）。原料按長度分檔，通常以0.5米為一檔，如：3-3.4米按3米計算，3.5米-3.9米按3.5米計算，其余的依此類推。表1是幾種常見成品的規(guī)格，長度單位為米，∞表示沒有上限，但實際長度小于26米。表1成品規(guī)格表最短長度最大長度根數(shù)總長度36.52089713.588914∞589為了提高生產(chǎn)效率，公司計劃改變組裝工藝，先丈量所有原料，建立一個原料表。表2為某批次原料描述。表2原料描述表長度3-3.43.5-3.94-4.44.5-4.95-5.45.5-5.96-6.46.5-6.9根數(shù)4359394127283421長度7-7.47.5-7.98-8.48.5-8.99-9.49.5-9.910-10.410.5-10.9根數(shù)2424202521232118長度11-11.411.5-11.912-12.412.5-12.913-13.413.5-13.914-14.414.5-14.9根數(shù)3123225918253529長度15-15.415.5-15.916-16.416.5-16.917-17.417.5-17.918-18.418.5-18.9根數(shù)3042284245495064長度19-19.419.5-19.920-20.420.5-20.921-21.421.5-21.922-22.422.5-22.9根數(shù)526349352716122長度23-23.423.5-23.924-24.424.5-24.925-25.425.5-25.9根數(shù)060001根據(jù)以上成品和原料描述，設(shè)計一個原料搭配方案，工人根據(jù)這個方案“照方抓藥”進行生產(chǎn)。公司對搭配方案有以下具體要求：(1)對于給定的一批原料，裝出的成品捆數(shù)越多越好；(2)對于成品捆數(shù)相同的方案，最短長度最長的成品越多，方案越好；(3)為提高原料使用率，總長度允許有±0.5米的誤差，總根數(shù)允許比標準少1根；(4)某種規(guī)格對應(yīng)原料如果出現(xiàn)剩余，可以降級使用。如長度為14米的原料可以和長度介于7-13.5米的進行捆扎，成品屬于7-13.5米的規(guī)格；(5)為了食品保鮮,要求在30分鐘內(nèi)產(chǎn)生方案。請建立上述問題的數(shù)學模型，給出求解方法，并對表1、表2給出的實際數(shù)據(jù)進行求解，給出搭配方案。問題的提出腸衣加工企業(yè)希望開發(fā)一套計算機軟件，只需一線工人將測量所得原料數(shù)據(jù)輸入電腦，就能自動生成經(jīng)過優(yōu)化后的滿足成品規(guī)格要求的搭配方案，這樣既可以減少勞動強度、又能提高原料使用率問題的提出原料信息：企業(yè)的測量以0.5米為一檔，如：3.1-3.5米按3米計算，3.6米-4米按3.5米計算，其余的依此類推；成品描述：一般分成三種規(guī)格每種規(guī)格用（最短原料長度，最長原料長度，原料根數(shù)，總長度）加以描述問題的提出目標對于給定的一批原料，裝出的成品捆數(shù)越多，方案越好。對于成品捆數(shù)相同的方案，最短長度最長的成品越多，方案越好。要在30分鐘內(nèi)產(chǎn)生方案。問題的提出條件總長度允許誤差范圍為[-0.5，0.5]，總根數(shù)允許誤差范圍為[-1，0]。剩余原料可以降級使用。問題的分析目標2是難點最小最大問題解決難度高和目標1可能是相互矛盾的辦法把成品規(guī)格分成大、中、小三擋，其實質(zhì)是將“最短長度最長的成品最多”的要求轉(zhuǎn)化為“最短長度在某個值以上的成品最多”將一個從理論上完美但難以實現(xiàn)的最優(yōu)目標轉(zhuǎn)化為可行的優(yōu)化目標。問題的分析受目標2的限制，無法依據(jù)目標1建立關(guān)于全部原料的優(yōu)化裝配模型辦法結(jié)合條件1按照三種不同規(guī)格分步進行優(yōu)化。結(jié)合條件2，擴大每種規(guī)格最大長度的上限，提高原料使用率問題的分析總體方案根據(jù)大規(guī)格要求，求最優(yōu)解；將第1步優(yōu)化后多余的原料納入中規(guī)格，求最優(yōu)解；將第2步優(yōu)化后多余的原料納入小規(guī)格求最優(yōu)解。如果多余的原料總長小于88.5米或者接近于理論最優(yōu)值，則優(yōu)化成功。模型一落料問題回顧套裁方案。。。。。。。。方案板材圓片1圓片2余料112622443201641012::::::::::k::::::::::m線性規(guī)劃模型

--第i種圓片需求量，--第j種板材庫存量建模兩個主要步驟：生成套裁方案；尋求最佳方案組合模型一搭配方式模型記號：

：材料的最短長度

：材料的最大長度

：材料根數(shù)

：成品總長度。

種不同長度的材料：各種材料的長度

：材料根數(shù)

：某種搭配方式中各檔材料的根數(shù)模型一搭配方式模型模型上述不等式組的解表示所有可能的搭配方式

模型一最優(yōu)搭配模型記號：不等式組解的個數(shù)為M，第j個解(第j種搭配方式)為搭配方案表示為(x1,x2,…,xM)xj表示第j種搭配方式對應(yīng)的捆數(shù)(j=1,…,M)，模型一最優(yōu)搭配模型模型：約束條件目標

模型一求解：搭配方式模型自編程序多重循環(huán)簡單循環(huán)層次不變遞推方式循環(huán)層次可變

復(fù)雜模型一求解：最優(yōu)搭配模型結(jié)果分析大規(guī)格：捆扎方式=2862種，最多捆數(shù)=137，

原料長度捆數(shù)1414.51515.51616.51717.51818.51919.52020.52121.52222.52323.52424.52525.5搭配方式110000000001110000000000410001000101000010000000011000011000000200000000002100001000020100000000000710000001011100000000000080100000110110000000000001501000000040000000000000010剩余18米一根模型一求解：最優(yōu)搭配模型結(jié)果分析中規(guī)格：M=19635種，最優(yōu)捆數(shù)=37捆

原料長度捆數(shù)77.588.599.51010.51111.51212.51313.518捆扎方式0011000030003002001100000303000200103000000013030010004000000301001000012040000400021000002201020001100202000205000102001004