軸對稱最值問題專項提升附答案解析

..授課教案學(xué)員姓名：________________學(xué)員年級：________________授課教師：_________________所授科目：_________上課時間：______年____月____日〔～；共_____課時〔以上信息請老師用正楷字手寫軸對稱最值問題專項提升[知識點]最短路徑兩點之間,線段最短例：四邊形ABCD中,BAD=,B=D=,在BC,CD上分別找一點M,N,使AMN周長最小,則AMN+ANM的度數(shù)是〔A.B.C.D.例：如圖,P,Q分別為ABC的邊AB,AC上的定點,在BC上求作一點M,使PQM周長最小。一．解答題〔共6小題1．已知：如圖所示,M〔3,2,N〔1,﹣1．點P在y軸上使PM+PN最短,求P點坐標(biāo)．2．如圖,△ABC的邊AB、AC上分別有定點M、N,請在BC邊上找一點P,使得△PMN的周長最短．保留作圖痕跡3．如圖△ABC是邊長為2的等邊三角形,D是AB邊的中點,P是BC邊上的動點,Q是AC邊上的動點,當(dāng)P、Q的位置在何處時,才能使△DPQ的周長最??？并求出這個最值．4．如圖,∠AOB=30°,∠AOB內(nèi)有一定點P,且OP=10,OA上有一點Q,OB上有一定點R．若△PQR周長最小,求它的最小值．5．如圖,已知A、B是銳角α的OM邊上的兩個定點,P在ON邊上運動．問P點在什么位置時,PA2+PB2的值最??？6．如圖,兩個生物制藥廠A與B座落于運河河岸的同一側(cè)．工廠A和B距離河岸l分別為4千米和2千米,兩個工廠的距離為6千米．現(xiàn)要在運河的工廠一側(cè)造一點C,在C處擬設(shè)立一個貨物運輸中轉(zhuǎn)站,并建設(shè)直線輸送帶分別到兩個工廠和河岸,使直線運送帶總長最?。鐖D建立直角坐標(biāo)系．〔1如果要求貨物運動中轉(zhuǎn)站C距離河岸l為a千米〔a為一個給定的數(shù),0≤a≤2,求C點設(shè)在何處時,直線輸送帶總長S最小,并給出S關(guān)于a的表達式．〔2在0≤a≤2范圍內(nèi),a取何值時直線輸送帶總長最小,并求其最小值．20XX09月09日752444625的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．解答題〔共6小題1．已知：如圖所示,M〔3,2,N〔1,﹣1．點P在y軸上使PM+PN最短,求P點坐標(biāo)．考點：軸對稱-最短路線問題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．專題：數(shù)形結(jié)合．分析：找出點N關(guān)于y軸的對稱點,連接M與對稱點,與y軸的交點為P點,根據(jù)兩點之間,線段最短得到此時點P在y軸上,且能使PM+PN最短．根據(jù)關(guān)于y軸對稱點的特點,找出N對稱點的坐標(biāo),設(shè)出直線MP的方程,把N的對稱點的坐標(biāo)和M的坐標(biāo)代入即可確定出直線MP的方程,然后令x=0求出直線與y軸的交點,寫出交點坐標(biāo)即為點P的坐標(biāo)．解答：解：根據(jù)題意畫出圖形,找出點N關(guān)于y軸的對稱點N′,連接MN′,與y軸交點為所求的點P,∵N〔1,﹣1,∴N′〔﹣1,﹣1,設(shè)直線MN′的解析式為y=kx+b,把M〔3,2,N′〔﹣1,﹣1代入得：,解得,所以y=x﹣,令x=0,求得y=﹣,則點P坐標(biāo)為〔0,．點評：此題考查了對稱的性質(zhì),以及利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．利用對稱的方法找出線段之和的最小值的步驟為：1、找出其中一個定點關(guān)于已知直線的對應(yīng)點；2、連接對應(yīng)點與另一個定點,求出與已知直線交點的坐標(biāo)；3、根據(jù)兩點之間,線段最短可知求出的交點坐標(biāo)即為滿足題意的點的坐標(biāo)．2．如圖,△ABC的邊AB、AC上分別有定點M、N,請在BC邊上找一點P,使得△PMN的周長最短．〔寫出作法,保留作圖痕跡考點：軸對稱-最短路線問題．專題：作圖題．分析：作點N關(guān)于BC的對稱點N′,連接MN′交BC于點P,由兩點之間線段最短可知P點即為所求點．解答：解：①作點N關(guān)于BC的對稱點N′,連接MN′交BC于點P,②由對稱的性質(zhì)可知PN=PN′,故PN+PM=MN′,③由兩點之間線段最短可知,△PMN的最短周長即為MN′+MN．點評：本題考查的是最短線路問題,根據(jù)兩點之間線段最短的知識作出N的對稱點是解答此題的關(guān)鍵．3．如圖△ABC是邊長為2的等邊三角形,D是AB邊的中點,P是BC邊上的動點,Q是AC邊上的動點,當(dāng)P、Q的位置在何處時,才能使△DPQ的周長最小？并求出這個最值．考點：軸對稱-最短路線問題；等邊三角形的性質(zhì)．專題：幾何圖形問題．分析：作出D關(guān)于BC、AC的對稱點D'、D'',連接D'D'',DQ,DP,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)將三角形的周長最值問題轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短的問題,利用等邊三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)即可解答．解答：解：作D關(guān)于BC、AC的對稱點D'、D'',連接D'D'',DQ,DP．∵DQ=D''Q,DP=D'P,∴△DPQ的周長為PQ+DQ+DP=PQ+D''Q+D'P=D'D'',根據(jù)兩點之間線段最短,D'D''的長即為三角形周長的最小值．∵∠A=∠B=60°,∠BED=∠AFD=90°,∴∠α=∠β=90°﹣60°=30°,∠D'DD''=180°﹣30°﹣30°=120°,∵D為AB的中點,∴DF=AD?cos30°=1×=,AF=,易得△ADF≌△QD''F,∴QF=AF=,∴AQ=1,BP=1,Q、P為AC、BC的中點．∴DD''=×2=,同理,DD'=×2=,∴△DD'D''為直角三角形,∴∠D'=∠D''==30°,∴D''D'=2DD'?cos30°=2××=3．點評：此題考查了軸對稱﹣﹣最短路徑問題,涉及正三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)、三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識,有一定難度．4．如圖,∠AOB=30°,∠AOB內(nèi)有一定點P,且OP=10,OA上有一點Q,OB上有一定點R．若△PQR周長最小,求它的最小值．考點：軸對稱-最短路線問題．專題：計算題．分析：先畫出圖形,作PM⊥OA與OA相交于M,并將PM延長一倍到E,即ME=PM．作PN⊥OB與OB相交于N,并將PN延長一倍到F,即NF=PN．連接EF與OA相交于Q,與OB相交于R,再連接PQ,PR,則△PQR即為周長最短的三角形．再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出△PQR=EF,再根據(jù)三角形各角之間的關(guān)系判斷出△EOF的形狀即可求解．解答：解：設(shè)∠POA=θ,則∠POB=30°﹣θ,作PM⊥OA與OA相交于M,并將PM延長一倍到E,即ME=PM．作PN⊥OB與OB相交于N,并將PN延長一倍到F,即NF=PN．連接EF與OA相交于Q,與OB相交于R,再連接PQ,PR,則△PQR即為周長最短的三角形．∵OA是PE的垂直平分線,∴EQ=QP；同理,OB是PF的垂直平分線,∴FR=RP,∴△PQR的周長=EF．∵OE=OF=OP=10,且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2〔30°﹣θ=60°,∴△EOF是正三角形,∴EF=10,即在保持OP=10的條件下△PQR的最小周長為10．故答案為：10．點評：本題考查的是最短距離問題,解答此類題目的關(guān)鍵根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出各點的對稱點,即把求三角形周長的問題轉(zhuǎn)化為求線段的長解答．5．如圖,已知A、B是銳角α的OM邊上的兩個定點,P在ON邊上運動．問P點在什么位置時,PA2+PB2的值最小？考點：軸對稱-最短路線問題．專題：動點型；探究型；存在型．分析：由余弦定理,可得二次函數(shù),然后可求最值．解答：解：設(shè)OA=a,OB=b,OP=x,∵PA2=a2+x2﹣2axcosα,PB2=b2+x2﹣2bxcosα,∴PA2+PB2=a2+x2﹣2axcosα+b2+x2﹣2bxcosα=2x2﹣2〔a+bcosαx+a2+b2,∴當(dāng)x=cosα?xí)r,PA2+PB2的值最小．點評：本題考查的是最短路線問題,熟知兩點之間線段最短的知識是解答此題的關(guān)鍵．6．如圖,兩個生物制藥廠A與B座落于運河河岸的同一側(cè)．工廠A和B距離河岸l分別為4千米和2千米,兩個工廠的距離為6千米．現(xiàn)要在運河的工廠一側(cè)造一點C,在C處擬設(shè)立一個貨物運輸中轉(zhuǎn)站,并建設(shè)直線輸送帶分別到兩個工廠和河岸,使直線運送帶總長最?。鐖D建立直角坐標(biāo)系．〔1如果要求貨物運動中轉(zhuǎn)站C距離河岸l為a千米〔a為一個給定的數(shù),0≤a≤2,求C點設(shè)在何處時,直線輸送帶總長S最小,并給出S關(guān)于a的表達式．〔2在0≤a≤2范圍內(nèi),a取何值時直線輸送帶總長最小,并求其最小值．考點：軸對稱-最短路線問題；直角梯形．專題：探究型．分析：〔1過B作直線BE⊥y軸于E點,再根據(jù)所建直角坐標(biāo)系及A和B距離河岸l分別為4千米和2千米求出A、B兩點的坐標(biāo),再用a表示出B′點的坐標(biāo),再用兩點間的距離公式即可求解；〔2根據(jù)〔1中S的表達式及a的取值范圍進行解答即可．解答：解：〔1如圖所示：過B作直線BE⊥y軸于E點,∵A和B距離河岸l分別為4千米和2千米,AB=6千米,∴AE=4﹣2=2千米,∴BE===,/r/