傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換

傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉積分變換整理1基本概念首先理清下面的概念：三角函數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)(系數(shù)含1/T)三角函數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)改寫為復(fù)指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)(系數(shù)含1/T)復(fù)指數(shù)形式傅里葉積分，系數(shù)1/T變?yōu)?/(2n)三角函數(shù)形式傅里葉積分(將復(fù)指數(shù)核函數(shù)改寫為三角函數(shù)形式，利用奇偶性變?yōu)橛嘞液撕瘮?shù)).復(fù)指數(shù)形式傅里葉積分與更一般的積分變換：象函數(shù)，象原函數(shù)和核: 三角函數(shù)形式傅里: 三角函數(shù)形式傅里; 葉級(jí)數(shù)，! 系數(shù)1/T復(fù)指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)，系數(shù)1/T1 )111\(\1三角函數(shù)形式傅里葉積分，系數(shù)1/(2n)L Jf \復(fù)指數(shù)形式傅里葉積分，系數(shù)1/(2n)L )11: 上述四種形式都包括了傅里葉正變換和逆變換的過程為)=F-1(F(知)))； 更一般的積分變換形式2基本公式和變換過程歐拉公式，是連接復(fù)指數(shù)和三角函數(shù)，頻域和時(shí)域的橋梁e慮=cos(①t)+isin(①t)三角函數(shù)改寫為復(fù)指數(shù)形式：ei^+e-冷 . eio-e-iocos0= ，sin0= 2 2i2.1三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)“級(jí)數(shù)”就是對數(shù)列求和。

fT⑴=號(hào)+*"cosg.+bsin〃g)n=1其中2兀①=——Tf(x)dx2tf(x)dx-T/2a=—Jf(x)cosn①xdxnTT-T/2b=—Jf(x)sinn①xdxnTT-T/2注意這里的系數(shù)含1/T2.2復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)我們可以把三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)改寫為復(fù)指數(shù)形式，最后甚至合并成一個(gè)簡單的式子：切(a切(ann=1On?x+e-in^x2ein?x—e-in?x2i=%+切(O^bnen?x+O^be-n?x)22 2n=1=co+乙嚴(yán)x+乙嚴(yán)x，其中n=1 n=1a1t/2=-2=TJfT(x)e*xdx-T/2a一ib1Cn—n2"=a一ib1Cn—n2"=Tc-na+ib=―n n2乎f(x)cosn?dx-iTJT=1TJ2Tf(x)ein?xdxTf(x)sinn?dx=1TJ2T-T/2f(x)e-i?n??xdxT-T/2最后f(x)=￡cei?nx-31T/2其中c=—Jf(x)e-i?ffdx，?=n?nTT n-T/2即f(x即f(x)=-3￡LTf(x)e-i?nxdxei?,Tt-T/22.3復(fù)指數(shù)形式的傅里葉積分要知道傅里葉級(jí)數(shù)最初是用于周期函數(shù)的。對于非周期函數(shù)工程中通過延拓非周期函數(shù)/W得到周期函數(shù)fWo而當(dāng)T趨于+00時(shí)，非周期函數(shù)可視為周期函數(shù)。T271 r271對于（0=一，①=〃CD,當(dāng)Ttco時(shí)，改寫為』C0=——，①=〃dCD=CD（成為變量）T昨 Tn那么累加形式改寫為積分形式：y1r[2=J一Jf(x)e-i^dxe^x=T-y1r[2=J一Jf(x)e-i^dxe^x=T-T-TI2-If

2兀-co—00LT(2Jf(x)e-^dxTL-T/2 」—00271 -T一772由于T*,lim/(x)=/(x),并結(jié)合一定的書寫習(xí)慣，上式表示為—8T/W=T^-fff(C打Lco/dCO2冗[' '—00—co2.4三角函數(shù)形式的傅里葉積分利用歐拉公式，上式也可以改寫為三角函數(shù)形式—00 —0012k12k/(t)eis(x-tds—CO—GO12n/—CO—GO12n/(T)COS(B(x-T)tZT<ico+i—2ky(T)sin<B(X-T)(yTtZco—00 —00考慮到函數(shù)奇偶性，可以簡化為:_GO ―CO——00 —00考慮到函數(shù)奇偶性，可以簡化為:_GO ―CO—GO —GO/(t)cosCO(X-T)tZTd(J)=—J710/(T)COS(O(X-T)€Zt日CD-002.5傅里葉變換過程傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉積分都可以看作一個(gè)函數(shù)歷經(jīng)一次傅里葉正變換加一次逆變換的過程。

Xfff(T)e&T&eEd①=F-1s-s即：F(①)=ff(t)e-&dT-sf(t)=[fF?)e%d①2兀-s2.6更一般的積分變換形式無論正變換還是逆變換，都可以用更一般的形式來表示:F(s)=ff(x)k(x,s)dxF(s)稱為象函數(shù)，f(x)稱為象原函數(shù)，二元函數(shù)k(x,s)稱為積分變換的核函數(shù)。常用的核函數(shù)：k(x,s)=e-ix^，積分域［a,b］,如果是［-8,8］稱為傅氏變換，如果是［0,8］，并且將切視為變量，則稱為拉氏變換。3框圖概要三角函數(shù)形式傅里

葉級(jí)數(shù)，三角函數(shù)形式傅里

葉級(jí)數(shù)，系數(shù)含有積分運(yùn)算

和1/T三角函數(shù)形式傅里葉

積分，兩重積分，系數(shù)1/(2n)A一般的積分變換形式傅氏變換：正變換：核函數(shù)為e-?逆變換：核函數(shù)為e如并且乘上1/(2n)拉氏變換：正變換：核函數(shù)為e-st逆變換：核函數(shù)為est并且乘上1/