橢圓焦點三角形面積

焦點三角形面積（總5頁）--本頁僅作為文檔封面，使用時請直接刪除即可----內(nèi)頁可以根據(jù)需求調(diào)整合適字體及大小--

橢圓焦點三角形面積公式的應(yīng)用多年來，橢圓、雙曲線相關(guān)的焦點APF1F2(P為曲線上的任意一點，勺與F2為曲線的焦點)中的邊角關(guān)系是學(xué)生必須掌握的重點知識，也是高考的熱點內(nèi)容之一，尤其是近幾年的出題頻率呈上升趨勢.現(xiàn)列舉部分典型試題說明其應(yīng)用類型.TOC\o"1-5"\h\z定理在橢圓上+；=1(a>b>0)中，焦點分別為F、F，點P是橢圓上任意一a2b2 1 2點，/FPF=9，則S =b2tan—.12 AF,PF2 2證明：記?PFJ=.PF\=r2，由橢圓的第一定義得r+r=2a,A(r+r)2=4a2.在^FPF中，由余弦定理得：r2+r2-2rrcos9=(2c)2.1 2 1 2 12=4c2.配方得：([+r2)2-2r1r2-2r1=4c2.即4a2-2r1rJ1+cos9)=4c2....rr=2(a2-c2)= 2b212 1+cos9 1+cos9由任意三角形的面積公式得：S=S=—rrsin9=b2?―即^—AFpf2 212 1+cos90.9 92sin—cos—, 22 9=b2? =-b-=b2?tan—。9 22cos2—29AS=b2tan—.AF1PF2 2同理可證，在橢圓二十;=1(a>b>0)中，公式仍然成立.a2b2典題妙解例1若3橢圓高+5=1上的一點，F(xiàn)1、F2是其焦點,且平PF2=6。。，求

△△F\隼的面積.解法一：在橢圓三+二=1中10064a=1。,b二8,。=6,而。=6。。.記1解法一：在橢圓三+二=1中10064點P在橢圓上,???由橢圓的第一定義得：＜+丁2〃=2°.TOC\o"1-5"\h\z在^FPF中，由余弦定理得：r2+r2—2rrcos。=（2c）2.1 2 1 2 12配方，得：（r1+r2）2一3r1r2=144.,400一3rr=144.從而rr=^6.12 12 3。 1 . 1256v;3 64v3S=rrsin0=義 義——= .的PF2 212 2 3 2 3解法二：在橢圓盛+*=1中，b2=64，而0=60。.10064,S=b2tan—=64tan30°= .%PF 2 3解法一復(fù)雜繁冗，運算量大，解法二簡捷明了，兩個解法的優(yōu)劣立現(xiàn)!例2已知P是橢圓X2+蕓=1上的點，F(xiàn)、F分別是橢圓的左、右焦點，若25 9 1 22口工=1，則△FPF的面積為（）IPFI-IPFI2 121 2A.3v3 B.2V3 C.<3,0=60°.. ,0=60°.解：設(shè)/FPF=0,貝1Jcos0=—————=12 IPFI-IPFI2120ASAF1PF2=b"n廠9tan30°=3'3故選答案A.例3（04湖北）已知橢圓!|+m=1的左、右焦點分別是F1、勺，點P在橢圓上.若P、勺、「是一個直角三角形的三個頂點，則點響x軸的距離為（）C.4BC.4D. 7TOC\o"1-5"\h\zb2 9解：若F1或F2是直角頂點，則點修k軸的距離為半通徑的長丁4；若「是直角頂9 —點，設(shè)點便x軸的距離為h，則、"二b2tanI=93n45。二9,又1 -S=—?(2c)-h=v7h,的PF2 27hh=9,h=37.故答案選D..橢圓啜+X2=1上一點P與橢圓兩個焦點F、F的連線互相垂直，則△FPF的面4924 1 2 12積為（）A.20B.22 C.28 D.24.橢圓x2+y2=1的左右焦點為F、F，P是橢圓上一點，當^FPF的面積為14 1 2 1 2??1時，PF?PF2的值為（）A.0 B.1 C.3 D.63.橢圓x2+y2=1的左右焦點為F、F，P是橢圓上一點，當^FPF的面積最大4 1 2 1 2時，PF?PF的值為（）A.0 B.2 C.4 D.—2、F2、F2，P為橢圓上一點，且4.已知橢圓一+y2=1(a>1)的兩個焦點為Fa2 1/FPF=60。，則IPFI-IPFI的值為（）121B1B.34C.32D.35.已知橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸，5.已知橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸，F(xiàn)「F2為焦點，點「在橢圓上，直線PF1與PF2傾斜角的差為90。，△F1PF2的面積是20，離心率為一，求橢圓的標準方程.6?已知橢圓的中心在原點，F(xiàn)/F2為左右焦點，P為橢圓上一點，且PFjPF2IPFjPF2IPFI-IPFI1，△FPF的面積是、回，準線方程為x-土手，求橢圓的標準1方程.耕答案1.解：/1方程.耕答案1.解：/FPF2=9二90。力2:249=b2tan=24tan45。=24.2故答案選D.2.解：設(shè)/F2.解：設(shè)/F1PF2-9???S江1%-b2tan929「n——45。,9=90。,2PF?PF2=0.故答案選A.3.解：a3.解：a—2,b—1,c—■v,3設(shè)/F1尸\=9，tan—=tan—???當4F1PF2的面積最大時，9為最大，這時點P為橢圓短軸的端點，9=120。，PF-PF=IPFI-IPFIcos9=a2cos120。=-2.故答案選D.4.解：/FPF=9=60。，b=1，S=b2tan-=tan30°1 2 A々PF2 2-v33，又?：S江1%1 於=IPFI-IPFIsin9=—IPFI-IPFI從而IPFi故答案選C.5.解：設(shè)/F1P1=9的PF?9=b2tan—=b2tan45°=b2=20,2c又?:e=a<5T205即1-失=9解得：a2=45.，所求橢圓的標準方程為福+琶=1或g20=1.6.解：設(shè)/FPF2=9一?.cos9=PF]?PF2IPFI-IPFI1八--,9=