張量初步及應(yīng)力、應(yīng)變基本方程

巖土塑塑性力力學(xué)參考文文獻(xiàn)：：龔曉南南：土土塑性性力學(xué)學(xué)徐秉業(yè)業(yè)：塑塑性理理論引引論陸明萬萬等：：彈性性理論論基礎(chǔ)礎(chǔ)孫炳楠楠等：：工程程彈塑塑性力力學(xué)鄭穎人人等：：巖土土塑性性力學(xué)學(xué)原理理教師：：徐平平下下載：：1:2007TEL一章章張張量初初步及及應(yīng)力力、應(yīng)應(yīng)變基基本方方程1.1張量初初步1.2一點的的應(yīng)力力狀態(tài)態(tài)1.3最大(最小)剪應(yīng)力力1.4應(yīng)力張張量的的分解解1.5八面體體應(yīng)力力、等等效應(yīng)應(yīng)力1.6應(yīng)力圓圓和洛洛德(Lode)參數(shù)1.7應(yīng)力空空間1.8應(yīng)力路路徑1.9應(yīng)變張張量的的分解解1.10應(yīng)變空空間與與應(yīng)變變π平面1.11各種剪剪切應(yīng)應(yīng)變間間的關(guān)關(guān)系1.12應(yīng)力和和應(yīng)變變的基基本方方程力學(xué)中中常用用的量量可以以分成成幾類類：只只有大大小沒沒有方方向性性的物物理量量稱為為標(biāo)量，通常常用一一個字字母來來表示示，例例如溫溫度T、密度度ρ、時間間t等。既既有大大小又又有方方向的的物理理量稱稱為矢量，常用用黑體體字母母(或字母母上加加一箭箭頭)來表示示，例例如矢矢徑r()和力F()等。具具有多多重方方向性性的的的更為為復(fù)雜雜的物物理量量稱為為張量，常用用黑體體字母母或字字母下下加一一橫表表示，，例如如一點點的應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)可可以用用應(yīng)力力張量量σ()表示，，它具具有二二重方方向性性，是是二階階張量量，而而標(biāo)量量和矢矢量分分別為為零階階和一一階張張量。。1.1張量初初步矢量可可以在在參考考直角角坐標(biāo)標(biāo)系下下分解解，以以位移移矢量量u為例，，它可可以表表示成成位移移分量量ux、uy、uz與基矢矢ex、ey、ez的乘積積之和和的形形式：：(1-1)x1=xuu2(uy)u3(uz)u1(ux)e2(j)e1(i)e3(k)x2=yx3=zo圖1.1位移矢矢量的的分解解指標(biāo)：對于于一組組性質(zhì)質(zhì)相同同的n個量可可以用用相同同的名名字加加不同同的指指標(biāo)來來表示示，例例如位位移u的分量量可用用ui(i=1,2,3)表示，，這里里的i就是指指標(biāo)。。今后后約定定，如如果不不標(biāo)明明取值值范圍圍，則則拉丁丁字母母i，j，k，····均表示示三維維指標(biāo)標(biāo)，取取值1，2，3，例如如，采采用ui可以表表示u1、u2和u3三個數(shù)數(shù)值，，這種名名字加加指標(biāo)標(biāo)的記記法稱稱為指標(biāo)符符號。指標(biāo)符符號的的正確確用法法：(1)三維空空間中中任意意點的的三個個直角角坐標(biāo)標(biāo)通常常記為為x，y和z。指標(biāo)標(biāo)符號號可縮縮寫成成xi，其中中x1=x，x2=y，x3=z。引入愛愛因斯斯坦求和約約定：如如果在在表達(dá)達(dá)式的的某項項中，，某指指標(biāo)重重復(fù)地地出現(xiàn)現(xiàn)兩次次，則則表示示要把把該項項在該該指標(biāo)標(biāo)的取取值范范圍內(nèi)內(nèi)遍歷歷求和和，該該重復(fù)復(fù)指標(biāo)標(biāo)稱為為啞指標(biāo)標(biāo)，或簡簡稱啞標(biāo)。用用啞標(biāo)標(biāo)代替替求和和符號號∑，則則位移移矢量量u和點積積a·b可表示示成：：u=uiei，a·b=aibi。顯然然，aibi=biai，即矢矢量點點積的的順序序可以以交換換：a·b=b·a；由于于啞標(biāo)僅表示示遍歷歷求和和，因因此可可以成成對地地任意意換標(biāo)標(biāo)，例例如a·b=aibi=ajbj=akbk。(2)矢量a和b的分量量可分分別記記為ai和bi，它們們的點積為：(1-2)(3)對于各各向同同性的的均質(zhì)質(zhì)彈性性體，，物理理方程程可描描述為為：采用張張量，，則物物理方方程可可表示示：(1-3)i和j為自由指指標(biāo)，表示示輪流流取該該指標(biāo)標(biāo)范圍圍內(nèi)的的任何何值，，關(guān)系系式將將始終終成立立，式式中σij和εij分別表表示9個應(yīng)力力和應(yīng)應(yīng)變分分量：：k為啞標(biāo)標(biāo)，δij為Kronecher符號：：δij=1(i=j)，δij=0(i≠j)，根據(jù)據(jù)場論論，δij可以表表示兩兩個基基矢的的點積積：δij=ei·ej注意：：aibj表示9個數(shù)，，而aibi則只是是一個個數(shù)。。自由指指標(biāo)和和啞標(biāo)標(biāo)舉例例：的應(yīng)用用與計計算示示例如如下：：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(4)指標(biāo)符符號同同樣適適用于于微分分關(guān)系系。例例如，，三維維空間間中線線元長長ds和其分分量dxi之間的的關(guān)系系：(ds)2=(dx1)2+(dx2)2+(dx3)2可以寫寫成：：(ds)2=dxidxi。再如如多變變量函函數(shù)f(x1,x2,x3)的全微微分可可寫成成。。對于不不計體體力的的平衡衡微分分方程程，則則可表表示成成：(1-4)更進(jìn)一一步可可表示示為：：，，這這里下下標(biāo)““,j”表示對對xj求偏導(dǎo)導(dǎo)。則幾何何方程程可表表示成成：更進(jìn)一一步得得可表表示成成：在幾何何方程程中，，為了了表示示方便便，在在這里里及以以后的的討論論中，，統(tǒng)統(tǒng)統(tǒng)采用用ux、uy和uz來分別別表示示u、v和w。對于體體積應(yīng)應(yīng)變e：則可可表示示成：：(1-6)(1-5)(5)啞標(biāo)只只能成成對地地出現(xiàn)現(xiàn)，若若要對對在同同項內(nèi)內(nèi)出現(xiàn)現(xiàn)兩次次以上上的指指標(biāo)遍遍歷求求和，，必須須：綜上所所述，，能過過啞標(biāo)標(biāo)可把把許多多項縮縮成一一項，，通過過自由由指標(biāo)標(biāo)又可可把許許多方方程縮縮成一一個方方程。。一般般來講講，在在一個個用指指標(biāo)符符號寫寫出的的方程程中，，若有有k個自由由指標(biāo)標(biāo)，它它們的的取值值范圍圍都是是1~n，則更更有nk個分量量方程程；在在方程程的某某項中中若現(xiàn)現(xiàn)時出出現(xiàn)m對取范范圍為為1~n的啞指指標(biāo)，，則此此項表表示了了互相相疊加加的nm項。(6)一般來來講，，由aibi=aici并不能能推導(dǎo)導(dǎo)得出出bi=ci。1.2一點的的應(yīng)力力狀態(tài)態(tài)圖1.2一點的的應(yīng)力力狀態(tài)態(tài)yxz圖1.3傾斜面面上的的應(yīng)力力xyzNτzyτzxσzσxτxzτxyσyτyxτyzo應(yīng)力張張量：：或：傾斜面面上沿沿x方向的的力為為yxznτzxσxτyxpxγβα同理，，可以以得到到張量量方程程：如果作作用在在這個個傾斜面上只只有正正應(yīng)力力，而而沒有有(1-8)(1-7)剪應(yīng)力力，則則傾斜面上的的總應(yīng)應(yīng)力就就是主應(yīng)力力，傾斜面的方方向就就是主應(yīng)力力方向向，用σ表示，，它在在各坐坐標(biāo)軸軸上的的投影影為：：式(1-9)有零解解的條條件是是：(1-10)將代代入入，可得得：(1-9)(1-11)(1-12)方程稱稱為為應(yīng)力狀狀態(tài)的的特征征方程程，它它有三三個實實根，并規(guī)規(guī)定，當(dāng)坐坐標(biāo)方方向改改變時時，應(yīng)應(yīng)力分分量將將改變變，但但主應(yīng)應(yīng)力的的數(shù)值值不變變，故故I1、I2和I3又稱為為應(yīng)力張張量不不變量量，I1、I2和I3通常又又分別別叫做做應(yīng)力力張量量第一一不變變量、、第二二不變變量和和第三三不變變量，，另外外還可可以證證明三三個主主應(yīng)力力方向向是相相互垂垂直的的。根根據(jù)方方程，，I1、I2和I3又可以以寫成成：(1-13)1.4主應(yīng)力力分布布圖例題：：已知知已知一一點的的應(yīng)力力狀態(tài)態(tài)為以以下一一組應(yīng)應(yīng)力分分量所所確定定：σx=3，σy=0，σz=0，τxy=1，τyz=2，τzx=1，應(yīng)力單單位為為MPa。試求求該點點的主主應(yīng)力力值。。1.3最大(最小)剪應(yīng)力根據(jù)，，以及關(guān)關(guān)系式可可得傾斜斜面上的剪剪切應(yīng)力：：zyxnσ3σ1σ2pxγβα要使取取得極值值，則須：：和和(1-14)于是有：同理：(1-14a)(1-14b)n1n2n3±1000000±1±1000000(1-14)表1.1最大(最小)剪應(yīng)力及方方向主剪應(yīng)力圖1.5主剪應(yīng)力的的方向最大和最小小的剪應(yīng)力力，在數(shù)值值上等于最最大主應(yīng)力力與最小主主應(yīng)力之差差的一半，，作用在通通過中間主主應(yīng)力并且且“平分最最大主應(yīng)力力與最小主主應(yīng)力夾角角”的平面面上。(1-15)1.4應(yīng)力張量的的分解圖1.6應(yīng)力張量的的分解(1-16)◆巖土材料在在球應(yīng)力張張量作用下下，一般也也會出現(xiàn)塑性體變變，從而出出現(xiàn)奇異屈屈服面。球應(yīng)力張量體變：只是彈性變形畸變：首先產(chǎn)生彈性畸變，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到一定的極值時，將產(chǎn)生塑性的畸變。偏斜應(yīng)力張量這里，，，我們定義義為為球應(yīng)力張量量，又稱球形應(yīng)力張量，簡稱為球張量，球形應(yīng)力力張量表示示各向均勻勻受力狀態(tài)，有有時也稱靜水壓力狀狀態(tài)，又又常寫作作。。而則稱為偏斜應(yīng)力張張量，簡稱為應(yīng)力偏量。將原應(yīng)力力狀態(tài)減去靜水壓力力即可得到到應(yīng)力偏量量狀態(tài)。球張量引起起物體的體體積改變，而而應(yīng)力偏量量則引起物物體的形狀狀改變。1.4.1主偏應(yīng)力(1-17)1.4.2應(yīng)力偏量不不變量(1-18)(1-13)1.5八面體應(yīng)力力、等效應(yīng)應(yīng)力132等斜面正八面體圖1.7應(yīng)力張量的的分解1.5.1八面體應(yīng)力力(1-19a)(1-19b)(1-19c)(1-19d)1.5.2八面體剪應(yīng)應(yīng)力的方位位角1八面體剪應(yīng)應(yīng)力的方位位可以通過過它的方位位來來確定定。設(shè)應(yīng)力力主軸1、2、3在正八面體體上的投影影O'A、O'B、O'C，則便便是是八面體剪剪應(yīng)力與O'C的反方向O'D之間的夾角角。23OABCO'D圖1.8八面體剪應(yīng)應(yīng)力方位角角O3CO'γ同理：；；由于(1-20)O'，故于是，由式式(1-20)可得：即：(1-21)一點的應(yīng)力力狀態(tài)可以以用主應(yīng)力力來來表示示，也可以以用另外三三個量來表表示，即八八面體正應(yīng)應(yīng)力，，八八面體剪應(yīng)應(yīng)力以及八面體體剪應(yīng)力的的方位角。。（1-22）1.5.3應(yīng)力強(qiáng)度(1)應(yīng)力強(qiáng)度又稱等效應(yīng)力或廣義剪應(yīng)力力，用表表示示。材料處于單單向拉伸應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)時時，，，；；常規(guī)三軸試試驗，，，；；純剪作用用時，(2)純剪應(yīng)力又稱剪應(yīng)力強(qiáng)度度，用表表示示。（1-23）純剪時：1.5.4應(yīng)力的求解解1.6應(yīng)力圓和洛洛德(Lode)參數(shù)通過某點各各個微分面面上的法向向應(yīng)力和和剪應(yīng)力力都可可以由應(yīng)力力摩爾圓相相應(yīng)點的坐坐標(biāo)來表示示。設(shè)該點點坐標(biāo)軸方方向與主應(yīng)應(yīng)力方向一一致，微分分面法線方方向余弦為為，，于是有有：1.6.1應(yīng)力圓（1-24）于是有：因為，，而且且這些等式式的左邊部部分皆為正正，所以應(yīng)應(yīng)該有：（1-25）經(jīng)過化簡后后得：（1-26）圖1.9應(yīng)力摩爾圓圓1.6.2應(yīng)力橢球圖1.10應(yīng)力橢球取坐標(biāo)軸方方向與主應(yīng)應(yīng)力方向一一致，微分分面法線方方向余弦為為，，于是,進(jìn)一步有：：（1-27）1.6.3Lode(羅德)系數(shù)和Lode角oAo1o2o3CB（1-28）圖1.11應(yīng)力摩爾圓圓如果一點的的主應(yīng)力之之間的比值值有了改變變，則應(yīng)力力摩爾圓的的三個直徑徑之間的比比例也隨之之改變。這這種情況相相當(dāng)于應(yīng)力力偏張量的的形式有了了改變。為為了描述應(yīng)應(yīng)力偏張量量的形式，，可以應(yīng)用用Lode(1925)提出的系數(shù)數(shù)，通常稱稱為Lode參數(shù)。即圖中的O2C與O2B之比。（1-29）Lode參數(shù)界于-1和1之間，即純拉時，純剪時，純壓時，O'（1-30）圖1.12注意，均均為負(fù)值，，常規(guī)三軸壓壓縮試驗時時，常規(guī)三軸伸伸長(拉伸)試驗時，在巖土塑性性理論中，，常以或或()來表示應(yīng)力力狀態(tài)。常規(guī)三軸壓壓縮()常規(guī)三軸拉拉伸()在巖土相關(guān)關(guān)的課程中中，往往以以壓為正。。(1-32)(1-31)主應(yīng)力空間間與平面等頃線平面應(yīng)力點等傾線：在主應(yīng)力力空間，通通過原點與與三條坐標(biāo)標(biāo)軸成相同同夾角的直直線，又稱稱主對角線線。1.7應(yīng)力空間π平面：與等傾線線垂直的平平面，其方方程為(1-33)子午面：在主應(yīng)力力空間，包包括等傾線線的平面。。一個應(yīng)力狀狀態(tài)可以用用應(yīng)力空間間中的一個個點表示，，或用該點點與坐標(biāo)原原點形成的的矢量來表表示，該點點叫應(yīng)力點，該矢量叫叫應(yīng)力矢量。圖1.13應(yīng)力空間OP在應(yīng)力空間間等傾線上上的投影為為OQ，則平面上剪應(yīng)應(yīng)力：(1-34)平面上主應(yīng)應(yīng)力：(1-35)由于平面上只有有，，而且且本本身身只與應(yīng)力力偏量有關(guān)關(guān)，因此平面又叫作作偏量平面面。圖1.15主應(yīng)力在平面上的投投影圖1.14的模與方位位角(Lode角)如圖1.15所示，將應(yīng)應(yīng)力向向平面作投影影，相應(yīng)地地得到，，在平面內(nèi)取坐坐標(biāo)系oxy，其中y軸方向與在在平面上的投投影一致，，如圖1.14所示。O'P'與x軸的夾角就就是Lode角。(1-36a)(1-36b)(1-36c)(1-36d)(1-36e)由于，，所以，，，即前面已經(jīng)提提到，物體體中一點的的應(yīng)力狀態(tài)態(tài)可以用應(yīng)應(yīng)力空間中中的一點(應(yīng)力點)來表示，一一點應(yīng)力狀狀態(tài)的變化化可以用應(yīng)應(yīng)力點在應(yīng)應(yīng)力空間的的運(yùn)動軌跡跡來描述，，應(yīng)力點的的運(yùn)動軌跡跡稱為應(yīng)力路徑。在有效主主應(yīng)力空間間中，可得得到有效應(yīng)力路路徑，簡稱ESP(EffectiveStressPath)，在主應(yīng)力力空間可得得到總應(yīng)力路徑徑，簡稱TSP(TotalStressPath)。1.8應(yīng)力路徑圖1.16有效應(yīng)力路路徑各正應(yīng)力與與I1平均應(yīng)力八面體正應(yīng)應(yīng)力π平面上的正正應(yīng)力分量量應(yīng)力張量第第一不變量表1.2各正應(yīng)力與與應(yīng)力張量量第一不變變量I1之間的關(guān)系系各剪應(yīng)力與與J2廣義剪應(yīng)力力八面體剪應(yīng)應(yīng)力π平面上的剪剪應(yīng)力分量量應(yīng)力偏量第第二不變量表1.3各剪應(yīng)力與與應(yīng)力偏量量第二不變變量J2之間的關(guān)系系純剪應(yīng)力不同加荷方方式的應(yīng)力力路徑等壓固結(jié)K0固結(jié)三軸壓縮剪剪切三軸伸長剪剪切圖1.17三軸儀上的的應(yīng)力條件件圖1.18各向等壓力力固結(jié)排水水三軸試驗驗在p