第4章平面問題的極坐標(biāo)解答5課件

第四章例題第四章例題1例題1（習(xí)題4-8）試考察應(yīng)力函數(shù)

能解決圖中所示彈性體的何種受力問題？

yxaa0例題1（習(xí)題4-8）試考察應(yīng)力函數(shù)yxaa2解：本題應(yīng)按逆解法求解。首先校核相容方程，是滿足的。

然后，代入應(yīng)力公式（4-5），求出應(yīng)力分量：解：本題應(yīng)按逆解法求解。首先校核相容方程3再求出邊界上的面力：讀者可由此畫出邊界上的面力分布。再求出邊界上的面力：讀者可由此畫出邊界上的面力分布。4

半平面體表面受有均布水平力q，試用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。例題2（習(xí)題4-9）例題2（習(xí)題4-9）5

解：首先檢驗(yàn)，已滿足。由求應(yīng)力，代入應(yīng)力公式得解：首先檢驗(yàn)，已滿足6再考察邊界條件。注意本題有兩個(gè)面,即，分別為面。在面上，應(yīng)力符號以正面正向、負(fù)面負(fù)向?yàn)檎?。因此，有代入公式，得?yīng)力解答，再考察邊界條件。注意本題有兩個(gè)面,即7設(shè)半平面體在直邊界上受有集中力偶，單位寬度上的力矩為M，試求應(yīng)力分量。例題3（習(xí)題4-18）設(shè)半平面體在直邊界上受有集中力偶，單位寬度上的力矩為M，試求8（1）按量綱分析方法，單位寬度上的力偶矩與力的量綱相同。應(yīng)力應(yīng)與有關(guān)，由于應(yīng)力的量綱是單位面積上的力，即，應(yīng)力只能以形式組合。解：應(yīng)用半逆解法求解。（1）按量綱分析方法，單位寬度上的力偶矩與力的9（2）應(yīng)比應(yīng)力的長度量綱高二次冪，可假設(shè)。刪去因子，得一個(gè)關(guān)于的常微分方程。令其解為，代入上式，可得到一個(gè)關(guān)于的特征方程，（3）將代入相容方程，得（2）應(yīng)比應(yīng)力的長度量綱高二次冪，可假設(shè)10其解為于是得的四個(gè)解

；前兩項(xiàng)又可以組合為正弦、余弦函數(shù)。由此得本題中結(jié)構(gòu)對稱于的軸，而是反對稱荷載，因此，應(yīng)力應(yīng)反對稱于軸，為的奇函數(shù)，從而得

其解為于是得11（5）考察邊界條件。由于原點(diǎn)o有集中力偶作用，應(yīng)分別考察大邊界上的條件和原點(diǎn)附近的條件。

在的邊界上，有（4）由求得應(yīng)力分量，（5）考察邊界條件。由于原點(diǎn)o有集中力偶（4）由12為了考慮原點(diǎn)o附近有集中力偶的作用，取出以o為中心，為半徑的一小部分脫離體，并列出其平衡條件，前一式自然滿足，而第二式成為(a)為了考慮原點(diǎn)o附近有集中力偶的作用，取出以o13上式中前兩式自然滿足，而第三式成為再由式（a）得出

代入應(yīng)力公式，得最后的應(yīng)力解答，(b)上式中前兩式自然滿足，而第三式成為再由式（a）得出

14設(shè)有厚度為1的無限大薄板，在板內(nèi)小孔中受集中力F，試用如下的應(yīng)力函數(shù)求解，例題4（習(xí)題4-19）

xy0F設(shè)有厚度為1的無限大薄板，在板內(nèi)小孔中受集中力F，試用如下15（1）經(jīng)校核，上述滿足相容方程。解：（2）代入應(yīng)力公式，得（1）經(jīng)校核，上述滿足相容方程。解：（2）代入應(yīng)16（3）考察邊界條件。本題只有原點(diǎn)o附近的小孔口上作用有集中力F，可取出包含小孔口在內(nèi)的、半徑為的脫離體，列出其三個(gè)平衡條件：（3）考察邊界條件。本題只有原點(diǎn)o附近的小孔口上17將應(yīng)力代入上式，其中第二、三式自然滿足，而第一式得出(a)將應(yīng)力代入上式，其中第二、三式自然滿足，而第一式得出(a)18（4）由此可見，考慮了邊界條件后還不足以確定待定常數(shù)。注意到本題是多連體，應(yīng)考慮位移的單值條件。因此，先求出應(yīng)變分量，再積分求出位移分量，然后再考慮單值條件。

（4）由此可見，考慮了邊界條件后還不足以確定待定常數(shù)19由物理方程求出應(yīng)變分量，由物理方程求出應(yīng)變分量，20代入幾何方程，得由前兩式積分，得代入幾何方程，得由前兩式積分，得21將代入第三式，并分開變量，得將代入第三式，并分開變量，得22為了使上式在區(qū)域內(nèi)任意的都成立，兩邊都必須等于同一常數(shù)G。這樣，得到兩個(gè)常微分方程，由式（b）解出(b)為了使上式在區(qū)域內(nèi)任意的都成立23將式（c）對求導(dǎo)一次，再求出再將上式的代入，得顯然，式（d）中第二項(xiàng)是多值項(xiàng)。為了保證位移的單值性，必須(d)(e)將式（c）對求導(dǎo)一次，再求出再將上式的24將式（a）代入上式，得將式（a）、（f）代入應(yīng)力公式，得無限大薄板在小孔口受集中力F的解答：將式（a）代入上式，得將式（a）、（f）代25試由書中式（4-21）的解答，導(dǎo)出半平面體（平面應(yīng)力問題）在邊界上受一水平集中力F作用下的應(yīng)力和位移的解答。例題5試由書中式（4-21）的解答，導(dǎo)出半平面體（平面應(yīng)力問題）26解：由書中式（4-21），當(dāng)時(shí)，用直角坐標(biāo)系的應(yīng)力分量表示，解：用直角坐標(biāo)系的應(yīng)力分量表示，27第4章平面問題的極坐標(biāo)解答5課件28以下來求位移解答。將應(yīng)力代入物理方程得應(yīng)變分量，再代入幾何方程，分別積分求出位移分量：第四章例題以下來求位移解答。將應(yīng)力代入物理方程得應(yīng)變分29兩邊對積分，得得由幾何方程第一式，由幾何方程第二式，兩邊對積分，得得由幾何方程第一式，由幾何方程第二式，30再將式（a）和（b）代入幾何方程的第三式，分開變量后，兩邊分別為的函數(shù)，各應(yīng)等于同一常數(shù)G，即兩邊對積分，得再將式（a）和（b）代入幾何方程的第三式，分開變量后，兩邊分31于是得兩個(gè)常微分方程。式（c）中的前一式為對式（c）的后一式再求一次導(dǎo)數(shù)，得于是得兩個(gè)常微分方程。式（c）中的前一式為對式（c）的后一式32將和代入的表達(dá)式；并由式（c）得得解為將和代33代入后，得出位移的解答如下，代入后，得出位移的解答如下，34由反對稱條件，當(dāng)時(shí)，而另兩個(gè)剛體位移分量H和K，因未有約束條件不能求出。

代入，得最后的位移解，由反對稱條件，當(dāng)時(shí)，而另兩個(gè)剛體位移分量H35水平位移是在半平面體的左半表面，鉛直沉陷是取B點(diǎn)為參考點(diǎn)，則M點(diǎn)的相對水平位移是水平位移是在半平面體的左半表面，鉛直沉陷是取B點(diǎn)36圓盤的直徑為d，在一直徑AB的兩端點(diǎn)受到一對大小相同，方向相反的集中力F的作用，試求其應(yīng)力。例題6圓盤的直徑為d，在一直徑AB的兩端點(diǎn)受到一對大小相同，方向相37解：本題可應(yīng)用半平面體受鉛直集中力的解答，進(jìn)行疊加而得出。

（a）假設(shè)GH以下為半平面體，在A點(diǎn)的F作用下，引用書中式（4-22）之解，解：本題可應(yīng)用半平面體受鉛直集中力的解答，進(jìn)行疊加而得出。

38（b）假設(shè)IJ以上為半平面體，在B點(diǎn)的F作用下，類似地得出（c）對于圓周上的點(diǎn)M，分別作用且，并有顯然，在圓周上有（b）假設(shè)IJ以上為半平面體，在B點(diǎn)的F作用下，類39因此，圓盤在對徑受壓時(shí)，其應(yīng)力解是

(a),(b),(c)三部分解答之和。

兩者合成為圓周上的法向分布壓力為了消除圓周上的分布壓力，應(yīng)在圓周上施加分布拉力其對應(yīng)的應(yīng)力分量為因此，圓盤在對徑受壓時(shí)，其應(yīng)力解是40由于最大壓應(yīng)力發(fā)生在圓盤的中心，得到CD線上的應(yīng)力分量

現(xiàn)在來計(jì)算水平直徑CD線上的值。對于N點(diǎn)，設(shè)則有由于最大壓應(yīng)力發(fā)生在圓盤的中心，得到CD線上的應(yīng)力分量41讀者試求出CD線和AB線上的水平正應(yīng)力值，并證明在中心線AB上，為常量的拉應(yīng)力。AB線上的常量拉應(yīng)力，便是劈裂試驗(yàn)的參考解答。第四章例題讀者試求出CD線和AB線上的水平正應(yīng)力42

圖示的曲桿，其截面為狹矩形，內(nèi)外半徑分別為r和R，在兩端受有力矩M的作用，試求其應(yīng)力。例題7例題743解：本題中每一個(gè)截面上，內(nèi)力都是M，因而也屬于軸對稱問題，可以引用軸對稱應(yīng)力解：解：本題中每一個(gè)截面上，內(nèi)力都是M，因而也屬于軸對稱問題，可44在主要邊界上，邊界條件是由于，后兩式自然滿足，而其余兩式為在兩端部，或者任一截面上，有邊界條件在主要邊界上，邊界45上式中第一式自然滿足。對于后兩式，注意有積分式得到上式中第一式自然滿足。對于后兩式，注意有積分式得到46注意式(c)實(shí)際上是式(a)和(b)的組合。由式(a)、(b)、(d)解出注意式(c)實(shí)際上是式(a)和(b)的組合。由式(a)47其中曲桿中的應(yīng)力分量為其中曲桿中的應(yīng)力分量為48

例題8圖示的三角形懸臂梁，在上邊界受到均布壓力q的作用，試用下列應(yīng)力的函數(shù)求出其應(yīng)力分量。例題8圖示的三角形懸臂梁，在上邊界49解：應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足相容方程和邊界條件，從中可解出常數(shù)解：應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足相容方程和邊界條件，從中可解出常50得出的應(yīng)力解答是第四章例題得出的應(yīng)力解答是第四章例題51在截面mn上，正應(yīng)力和切應(yīng)力為在截面mn上，正應(yīng)力和切應(yīng)力為52

例題9

圖中所示的半平面體，在的邊界上受到均布壓力q的作用，也可以應(yīng)用下列用極坐標(biāo)表示的應(yīng)力函數(shù)進(jìn)行求解，試求其應(yīng)力分量。例題9進(jìn)行求解，試求其應(yīng)力分量。53解：將上述的應(yīng)力函數(shù)代入相容方程，并校核邊界條件，若兩者均滿足，就可以求出應(yīng)力分量。解：將上述的應(yīng)力函數(shù)代入相容方程，并校核邊界條件，若兩者均54本題的應(yīng)力分量用極坐標(biāo)表示的解答為本題的應(yīng)力分量用極坐標(biāo)表示的解答為55圖中所示的半平面體，在的邊界上受到均布切力q的作用，也可以應(yīng)用下列用極坐標(biāo)表示的應(yīng)力函數(shù)進(jìn)行求解，試求其應(yīng)力分量。例題10圖中所示的半平面體，在的邊界上受到均布56

解：校核相容方程和邊界條件，若上述應(yīng)力函數(shù)均能滿足，就可以求出應(yīng)力分量。解：校核相容方程和邊界條件，若上述應(yīng)力函數(shù)均能滿足，就可以57本題的應(yīng)力解答是本題的應(yīng)力解答是58第四章例題第四章例題59例題1（習(xí)題4-8）試考察應(yīng)力函數(shù)

能解決圖中所示彈性體的何種受力問題？

yxaa0例題1（習(xí)題4-8）試考察應(yīng)力函數(shù)yxaa60解：本題應(yīng)按逆解法求解。首先校核相容方程，是滿足的。

然后，代入應(yīng)力公式（4-5），求出應(yīng)力分量：解：本題應(yīng)按逆解法求解。首先校核相容方程61再求出邊界上的面力：讀者可由此畫出邊界上的面力分布。再求出邊界上的面力：讀者可由此畫出邊界上的面力分布。62

半平面體表面受有均布水平力q，試用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。例題2（習(xí)題4-9）例題2（習(xí)題4-9）63

解：首先檢驗(yàn)，已滿足。由求應(yīng)力，代入應(yīng)力公式得解：首先檢驗(yàn)，已滿足64再考察邊界條件。注意本題有兩個(gè)面,即，分別為面。在面上，應(yīng)力符號以正面正向、負(fù)面負(fù)向?yàn)檎?。因此，有代入公式，得?yīng)力解答，再考察邊界條件。注意本題有兩個(gè)面,即65設(shè)半平面體在直邊界上受有集中力偶，單位寬度上的力矩為M，試求應(yīng)力分量。例題3（習(xí)題4-18）設(shè)半平面體在直邊界上受有集中力偶，單位寬度上的力矩為M，試求66（1）按量綱分析方法，單位寬度上的力偶矩與力的量綱相同。應(yīng)力應(yīng)與有關(guān)，由于應(yīng)力的量綱是單位面積上的力，即，應(yīng)力只能以形式組合。解：應(yīng)用半逆解法求解。（1）按量綱分析方法，單位寬度上的力偶矩與力的67（2）應(yīng)比應(yīng)力的長度量綱高二次冪，可假設(shè)。刪去因子，得一個(gè)關(guān)于的常微分方程。令其解為，代入上式，可得到一個(gè)關(guān)于的特征方程，（3）將代入相容方程，得（2）應(yīng)比應(yīng)力的長度量綱高二次冪，可假設(shè)68其解為于是得的四個(gè)解

；前兩項(xiàng)又可以組合為正弦、余弦函數(shù)。由此得本題中結(jié)構(gòu)對稱于的軸，而是反對稱荷載，因此，應(yīng)力應(yīng)反對稱于軸，為的奇函數(shù)，從而得

其解為于是得69（5）考察邊界條件。由于原點(diǎn)o有集中力偶作用，應(yīng)分別考察大邊界上的條件和原點(diǎn)附近的條件。

在的邊界上，有（4）由求得應(yīng)力分量，（5）考察邊界條件。由于原點(diǎn)o有集中力偶（4）由70為了考慮原點(diǎn)o附近有集中力偶的作用，取出以o為中心，為半徑的一小部分脫離體，并列出其平衡條件，前一式自然滿足，而第二式成為(a)為了考慮原點(diǎn)o附近有集中力偶的作用，取出以o71上式中前兩式自然滿足，而第三式成為再由式（a）得出

代入應(yīng)力公式，得最后的應(yīng)力解答，(b)上式中前兩式自然滿足，而第三式成為再由式（a）得出

72設(shè)有厚度為1的無限大薄板，在板內(nèi)小孔中受集中力F，試用如下的應(yīng)力函數(shù)求解，例題4（習(xí)題4-19）

xy0F設(shè)有厚度為1的無限大薄板，在板內(nèi)小孔中受集中力F，試用如下73（1）經(jīng)校核，上述滿足相容方程。解：（2）代入應(yīng)力公式，得（1）經(jīng)校核，上述滿足相容方程。解：（2）代入應(yīng)74（3）考察邊界條件。本題只有原點(diǎn)o附近的小孔口上作用有集中力F，可取出包含小孔口在內(nèi)的、半徑為的脫離體，列出其三個(gè)平衡條件：（3）考察邊界條件。本題只有原點(diǎn)o附近的小孔口上75將應(yīng)力代入上式，其中第二、三式自然滿足，而第一式得出(a)將應(yīng)力代入上式，其中第二、三式自然滿足，而第一式得出(a)76（4）由此可見，考慮了邊界條件后還不足以確定待定常數(shù)。注意到本題是多連體，應(yīng)考慮位移的單值條件。因此，先求出應(yīng)變分量，再積分求出位移分量，然后再考慮單值條件。

（4）由此可見，考慮了邊界條件后還不足以確定待定常數(shù)77由物理方程求出應(yīng)變分量，由物理方程求出應(yīng)變分量，78代入幾何方程，得由前兩式積分，得代入幾何方程，得由前兩式積分，得79將代入第三式，并分開變量，得將代入第三式，并分開變量，得80為了使上式在區(qū)域內(nèi)任意的都成立，兩邊都必須等于同一常數(shù)G。這樣，得到兩個(gè)常微分方程，由式（b）解出(b)為了使上式在區(qū)域內(nèi)任意的都成立81將式（c）對求導(dǎo)一次，再求出再將上式的代入，得顯然，式（d）中第二項(xiàng)是多值項(xiàng)。為了保證位移的單值性，必須(d)(e)將式（c）對求導(dǎo)一次，再求出再將上式的82將式（a）代入上式，得將式（a）、（f）代入應(yīng)力公式，得無限大薄板在小孔口受集中力F的解答：將式（a）代入上式，得將式（a）、（f）代83試由書中式（4-21）的解答，導(dǎo)出半平面體（平面應(yīng)力問題）在邊界上受一水平集中力F作用下的應(yīng)力和位移的解答。例題5試由書中式（4-21）的解答，導(dǎo)出半平面體（平面應(yīng)力問題）84解：由書中式（4-21），當(dāng)時(shí)，用直角坐標(biāo)系的應(yīng)力分量表示，解：用直角坐標(biāo)系的應(yīng)力分量表示，85第4章平面問題的極坐標(biāo)解答5課件86以下來求位移解答。將應(yīng)力代入物理方程得應(yīng)變分量，再代入幾何方程，分別積分求出位移分量：第四章例題以下來求位移解答。將應(yīng)力代入物理方程得應(yīng)變分87兩邊對積分，得得由幾何方程第一式，由幾何方程第二式，兩邊對積分，得得由幾何方程第一式，由幾何方程第二式，88再將式（a）和（b）代入幾何方程的第三式，分開變量后，兩邊分別為的函數(shù)，各應(yīng)等于同一常數(shù)G，即兩邊對積分，得再將式（a）和（b）代入幾何方程的第三式，分開變量后，兩邊分89于是得兩個(gè)常微分方程。式（c）中的前一式為對式（c）的后一式再求一次導(dǎo)數(shù)，得于是得兩個(gè)常微分方程。式（c）中的前一式為對式（c）的后一式90將和代入的表達(dá)式；并由式（c）得得解為將和代91代入后，得出位移的解答如下，代入后，得出位移的解答如下，92由反對稱條件，當(dāng)時(shí)，而另兩個(gè)剛體位移分量H和K，因未有約束條件不能求出。

代入，得最后的位移解，由反對稱條件，當(dāng)時(shí)，而另兩個(gè)剛體位移分量H93水平位移是在半平面體的左半表面，鉛直沉陷是取B點(diǎn)為參考點(diǎn)，則M點(diǎn)的相對水平位移是水平位移是在半平面體的左半表面，鉛直沉陷是取B點(diǎn)94圓盤的直徑為d，在一直徑AB的兩端點(diǎn)受到一對大小相同，方向相反的集中力F的作用，試求其應(yīng)力。例題6圓盤的直徑為d，在一直徑AB的兩端點(diǎn)受到一對大小相同，方向相95解：本題可應(yīng)用半平面體受鉛直集中力的解答，進(jìn)行疊加而得出。

（a）假設(shè)GH以下為半平面體，在A點(diǎn)的F作用下，引用書中式（4-22）之解，解：本題可應(yīng)用半平面體受鉛直集中力的解答，進(jìn)行疊加而得出。

96（b）假設(shè)IJ以上為半平面體，在B點(diǎn)的F作用下，類似地得出（c）對于圓周上的點(diǎn)M，分別作用且，并有顯然，在圓周上有（b）假設(shè)IJ以上為半平面體，在B點(diǎn)的F作用下，類97因此，圓盤在對徑受壓時(shí)，其應(yīng)力解是

(a),(b),(c)三部分解答之和。

兩者合成為圓周上的法向分布壓力為了消除圓周上的分布壓力，應(yīng)在圓周上施加分布拉力其對應(yīng)的應(yīng)力分量為因此，圓盤在對徑受壓時(shí)，其應(yīng)力解是98由于最大壓應(yīng)力發(fā)生在圓盤的中心，得到CD線上的應(yīng)力分量

現(xiàn)在來計(jì)算水平直徑CD線上的值。對于N點(diǎn)，設(shè)則有由于最大壓應(yīng)力發(fā)生在圓盤的中心，得到CD線上的應(yīng)力分量99讀者試求出CD線和AB線上的水平正應(yīng)力值，并證明在中心線AB上，為常量的拉應(yīng)力。AB線上的常量拉應(yīng)力，便是劈裂試驗(yàn)的參考解答。第四章例題讀者試求出CD線和AB線上的水平正應(yīng)力100

圖示的曲桿，其截面為狹矩形，內(nèi)外半徑分別為r和R，在兩端受有力矩M的作用，試求其應(yīng)力。例題7例題7101解：