【數(shù)學(xué)文化】“數(shù)學(xué)悖論”-辛普森悖論

數(shù)學(xué)悖論Simpson'sParadox辛普森悖論加州伯克利分校UCBerkeley美國最自由、最包容的大學(xué)之一，世界著名公立研究型大學(xué)；該校學(xué)生于1964年發(fā)起的“言論自由運(yùn)動(dòng)”在美國社會(huì)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響，改變了幾代人對政治和道德的看法.某年加州伯克利分校的新生錄取率中是否含有性別歧視?舉例1：性別申請錄取錄取率男1004040%女1003030%某年加州伯克利分校的新生錄取率中是否含有性別歧視?舉例1：性別申請錄取錄取率男1004040%女1003030%性別（男）申請錄取錄取率總計(jì)1004040%物理學(xué)院803847.5%文學(xué)院20210%性別（女）申請錄取錄取率總計(jì)1003030%物理學(xué)院201470%文學(xué)院801620%無論是物理學(xué)院還是文學(xué)院，男生的錄取率都小于女生，但是總計(jì)錄取率男生卻遠(yuǎn)大于女生.辛普森悖論（Simpson‘sParadox）是英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家E.H.辛普森（E.H.Simpson）于1951年提出的悖論，即在某個(gè)條件下的兩組數(shù)據(jù)，分別討論時(shí)都會(huì)滿足某種性質(zhì)，可是一旦合并考慮，卻可能導(dǎo)致相反的結(jié)論.E.H.Simpson(1922-2019)WHY？性別（男）申請錄取錄取率總計(jì)1004040%物理學(xué)院803847.5%文學(xué)院20210%性別（女）申請錄取錄取率總計(jì)1003030%物理學(xué)院201470%文學(xué)院801620%錄取率數(shù)據(jù)中，無論是男生還是女生，物理學(xué)院的錄取率都遠(yuǎn)高于文學(xué)院.WHY？性別（男）申請錄取錄取率總計(jì)1004040%物理學(xué)院803847.5%文學(xué)院20210%性別（女）申請錄取錄取率總計(jì)1003030%物理學(xué)院201470%文學(xué)院801620%更多男生申請了更容易考的物理學(xué)院，導(dǎo)致最終總錄取率高于女生．醫(yī)學(xué)院提出A、B兩種療法治療腎結(jié)石疾病的成功率.舉例2：腎結(jié)石A開放式療法B封閉式療法小型81/87=93%234/270=87%大型192/263=73%55/80=69%醫(yī)學(xué)院提出A、B兩種療法治療腎結(jié)石疾病的成功率.舉例2：腎結(jié)石A開放式療法B封閉式療法小型81/87=93%234/270=87%大型192/263=73%55/80=69%總計(jì)273/350=78%289/350=83%同理，A療法的成功率都大于B療法，但是計(jì)算總計(jì)時(shí)卻是B療法的成功率比較大.籃球喬丹詹姆斯二分球12192/24537=49.7%12424/24654=50.4%三分球581/1778=32.7%1860/5409=34.4%勒布朗·雷蒙·詹姆斯（LeBronRaymoneJames）被哈佛大學(xué)商學(xué)院某教授寫入課件，作為教學(xué)案例.舉例3：無論是在二分球還是三分球的命中率，喬丹都要低于詹姆斯，但在總計(jì)時(shí)喬丹卻領(lǐng)先詹姆斯一個(gè)百分點(diǎn).籃球喬丹詹姆斯二分球12192/24537=49.7%12424/24654=50.4%三分球581/1778=32.7%1860/5409=34.4%總計(jì)12773/26315=48.5%14284/30063=47.5%勒布朗·雷蒙·詹姆斯（LeBronRaymoneJames）被哈佛大學(xué)商學(xué)院某教授寫入課件，作為教學(xué)案例.舉例3：腎結(jié)石A開放式療法B封閉式療法小型81/87=93%234/270=87%大型192/263=73%55/80=69%總計(jì)273/350=78%289/350=83%治療成功率中，小型腎結(jié)石的治療成功率遠(yuǎn)大于大型腎結(jié)石.投籃命中率中，二分球的命中率也遠(yuǎn)大于三分球的命中率.WHY？籃球喬丹詹姆斯二分球12192/24537=49.7%12424/24654=50.4%三分球581/1778=32.7%1860/5409=34.4%總計(jì)12773/26315=48.5%14284/30063=47.5%WHY？腎結(jié)石A開放式療法B封閉式療法小型81/87=93%234/270=87%大型192/263=73%55/80=69%總計(jì)273/350=78%289/350=83%人們使用A療法做了更多大型結(jié)石(困難)的治療；詹姆斯相比喬丹投了更多的三分球，拉低了他的整體進(jìn)球率.籃球喬丹詹姆斯二分球12192/24537=49.7%12424/24654=50.4%三分球581/1778=32.7%1860/5409=34.4%總計(jì)12773/26315=48.5%14284/30063=47.5%IMAGE幾何的方式來解釋辛普森悖論，y軸表示成功次數(shù)，x軸表示嘗試次數(shù)，斜率k表示成功百分比.y(成功)x(次數(shù))性別（男）申請錄取錄取率總計(jì)1004040%物理學(xué)院803847.5%文學(xué)院20210%性別（女）申請錄取錄取率總計(jì)1003030%物理學(xué)院201470%文學(xué)院801620%P男47.5%P：物理學(xué)院錄L：文學(xué)院P女70%L男10%L女20%P男：物理學(xué)院錄取男生率L女：文學(xué)院錄取女生率男40%總錄取率女30%總錄取率雖然在每一項(xiàng)男生比女生數(shù)據(jù)偏低，但是男生在成功率較高的地方投入量較大，最終導(dǎo)致成功率大于女生．IMAGE幾何的方式來解釋辛普森悖論，y軸表示成功次數(shù)，x軸表示嘗試次數(shù)，斜率k表示成功百分比.y(成功)x(次數(shù))B小87%A：開放式療法B：封閉式療法A小93%B大69%A大73%B大：大型結(jié)石封閉式成功率A小：小型結(jié)石開放式成功率封閉式83%總成功率開放式78%總成功率腎結(jié)石A開放式療法B封閉式療法小型81/87=93%234/270=87%大型192/263=73%55/80=69%總計(jì)273/350=78%289/350=83%例子說明，簡單的將分組資料相加匯總，是不一定能反映真實(shí)情況的．IMAGE幾何的方式來解釋辛普森悖論，y軸表示成功次數(shù)，x軸表示嘗試次數(shù)，斜率k表示成功百分比.y(成功)x(次數(shù))J：喬丹數(shù)據(jù)L：詹姆斯數(shù)據(jù)J二：喬丹二分球數(shù)據(jù)L三：詹姆斯三分球數(shù)據(jù)籃球喬丹詹姆斯二分球12192/24537=49.7%12424/24654=50.4%三分球581/1778=32.7%1860/5409=34.4%總計(jì)12773/26315=48.5%14284/30063=47.5%J二49.7%L二50.4%J三32.7%L三34.4%J48.5%總數(shù)據(jù)