可靠性概論-統(tǒng)計(jì)算例

統(tǒng)計(jì)的算例華東理工大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力一、英國(guó)數(shù)學(xué)家

·在1763年（Thomas

Bayes）的一篇論文中，首先提出了這個(gè)定理。實(shí)際上就是計(jì)算"條件概率"的公式。所謂"條件概率"（Conditional

probability），就是指在事件B發(fā)生的情況下，事件A發(fā)生的概率，用P(A|B)來(lái)表示。定理根據(jù)文氏圖，可以很清楚地看到在事件B

發(fā)生的情況下，事件A發(fā)生的概率就是P(A∩B)除以二、全概率公式全概率公式它的含義是，如果A和A'構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分，那么事件B的概率，就等于A和A'的概率分別乘以B對(duì)這兩個(gè)事件的條件概率之和。推斷的含義把P(A)稱(chēng)為"先驗(yàn)概率"（Priorprobability），即在B事件發(fā)生之前，

對(duì)A事件概率的一個(gè)判斷。P(A|B)稱(chēng)為"后驗(yàn)概率"（Posterior

probability），即在B事件發(fā)生之后，

對(duì)A事件概率的重新評(píng)估。P(B|A)/P(B)稱(chēng)為"可能性函數(shù)"（Likelyhood），這是一個(gè)調(diào)整因子，使得預(yù)估概率更接近真實(shí)概率。所以，條件概率可以理解成下面的式子：后驗(yàn)概率

＝

先驗(yàn)概率

ｘ調(diào)整因子這就是

推斷的含義。

先預(yù)估一個(gè)"先驗(yàn)概率"，然后加入實(shí)驗(yàn)結(jié)果，看這個(gè)實(shí)驗(yàn)到底是增強(qiáng)還是削弱了"先驗(yàn)概率"，由此得到更接近事實(shí)的"后驗(yàn)概率"。【例子】水果糖問(wèn)題第一個(gè)例子。兩個(gè)一模一樣的碗，一號(hào)碗有

30顆水果糖和10顆巧克力糖，二號(hào)碗有水果糖和巧克力糖各20顆?，F(xiàn)在隨機(jī)選擇一個(gè)碗，從中摸出一顆糖，發(fā)現(xiàn)是水果糖。請(qǐng)問(wèn)這顆水果糖來(lái)自一號(hào)碗的概率有多大？解

水果糖問(wèn)題假定，H1表示一號(hào)碗，H2表示二號(hào)碗。由于這兩個(gè)碗是一樣的，所以P(H1)=P(H2)，也就是說(shuō)，在取出水果糖之前，這兩個(gè)碗被選中的概率相同。因此，P(H1)=0.5，

把這個(gè)概率就叫做"先驗(yàn)概率"，即沒(méi)有做實(shí)驗(yàn)之前，來(lái)自一號(hào)碗的概率是0.5。解

水果糖問(wèn)題再假定，E表示水果糖，所以問(wèn)題就變成了在已知

E的情況下，來(lái)自一號(hào)碗的概率有多大，即求P(H1|E)。

把這個(gè)概率叫做"后驗(yàn)概率"，即在E事件發(fā)生之后，對(duì)P(H1)的修正。根據(jù)條件概率公式，得到解

水果糖問(wèn)題已知，P(H1)等于0.5，P(E|H1)為一號(hào)碗中取出水果糖的概率，等于0.75，那么求出P(E)就可以得到答案。根據(jù)全概率公式，【例】水果糖問(wèn)題

這表明，來(lái)自一號(hào)碗的概率是0.6。也就是說(shuō)，取出水果糖之后，H1事件的可能性得到了增強(qiáng)。公式考慮一個(gè)實(shí)驗(yàn)樣本，由相互獨(dú)立的子集Bj所組成；其中對(duì)于任意一個(gè)事件A，包含有事件Bj

。P

Bi

Aj

jP

A

Bi

P(Bi

)

P

A

Bi

P(Bi)P

AP

A

B

P

B

nj

1例1一種某如下記錄：概率為95%，非問(wèn)題的試劑，經(jīng)臨床試驗(yàn)有試驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性的試驗(yàn)結(jié)果是的概率為95%?，F(xiàn)用這種試劑在某社區(qū)進(jìn)行

普查，設(shè)該社區(qū)為0.5%，問(wèn)斷他是否患有反應(yīng)為陽(yáng)性時(shí)，該如何判？例1

解設(shè)A表示“反應(yīng)為陽(yáng)性”的事件，B表示“被者患

”的事件，則B1

B

,

B2

B構(gòu)成一個(gè)完備事件群，由題意知P

A

B1

0.95,P

A

B2

1

P

A

B2

1

0.95

0.05,P

B1

0.005,P

B2

0.995.例1

解由公式易得：類(lèi)似可得：的可能性很小，需要到由上可知，

患醫(yī)院做進(jìn)一步檢查。1

111

1

2

2P

A

B

P

B

P

B

A

P

A

B

P

B

P

A

B

P

B

0.95

0.0050.95

0.005

0.05

0.995

0.087

8.7%.P

B2

A

0.913

91.3%.例題2

在兒童智商（IQ）測(cè)驗(yàn)在兒童智商（IQ）測(cè)驗(yàn)中，假定智商

X～N(θ,100)，其中θ為被測(cè)試兒童智商的真值（換而言之，如果對(duì)這個(gè)兒童做大量類(lèi)似而又獨(dú)立的這種測(cè)試，他的平均分?jǐn)?shù)為θ）；例題2

在兒童智商（IQ）測(cè)驗(yàn)又假設(shè)θ的先驗(yàn)分布為N(100,225)，易知其

x

~

N

x,

2

,后驗(yàn)分布其中（n=1）；

x

r

2

2

2

2

2

x

r

2

4

100

9

x13

13

100

225

8,322

,

400

9x

,213

8,32.100

225例題2

在兒童智商（IQ）測(cè)驗(yàn)若這個(gè)兒童測(cè)試的得分為x=115，則由上述公式算的μ(x)=110.39，故此兒童智商的真值θ的后驗(yàn)分布

x

~

N

110.39,8,392

,從而θ的95%

區(qū)間為(

x1.96,

x1.96)

94.07,

126.69.例題2如果不用先驗(yàn)信息，僅用抽樣信息，則按照經(jīng)典方法，由X~N(θ,100)和該兒童測(cè)試得分

x=115，求得θ的置信水平為0.95的置信區(qū)間為，115

10

1.96

,

115

10

1.96

95.4

,

134.6.兩個(gè)方法計(jì)算區(qū)間不同，而且意義不同，經(jīng)典方法不能說(shuō)“θ落入?yún)^(qū)間（95.4,

134.6）中

的概率為0.95”，也不能說(shuō)“此區(qū)間蓋住θ的概率為0.95”，在

下，這個(gè)區(qū)間還能有什么用？這就是經(jīng)典置信區(qū)間常受到批評(píng)的原因。例題

3

食物一次郊游活動(dòng)中發(fā)生食物的研究數(shù)據(jù)，參加郊游的320人中有304個(gè)回答了問(wèn)卷。在食用的食物中，土豆沙拉和蟹肉被懷疑有問(wèn)題（表3）。僅考慮懷疑最有問(wèn)題的土豆沙拉。希望檢驗(yàn)假設(shè)土豆沙拉和得病沒(méi)有關(guān)系。食物配置吃蟹肉沒(méi)有吃蟹肉土豆沙拉吃了沒(méi)有吃吃了沒(méi)有吃得病1204220沒(méi)得病80312423例題

3

解：記p1=P（得病|吃了土豆沙拉）和p2=P（得病|沒(méi)有吃了土豆沙拉）。X1表示在n1個(gè)吃土豆沙拉中得病的人數(shù)，X2

表示

n2

個(gè)沒(méi)有吃土豆沙拉的人中得病的人數(shù)，則可認(rèn)為X1和X2服從二項(xiàng)分布：X

i

~

B

ni

,

pi

i

1,

2

.例題

3

解：檢驗(yàn)土豆沙拉和得病沒(méi)有沒(méi)有關(guān)系等價(jià)檢驗(yàn)假設(shè)H0：p1=p2.取p1和p2的先驗(yàn)分布為Be

(i

,i

)(i

1,2),

11

122

22

21222220pdp

.則θ=p1-p2的后驗(yàn)密度為

X1

,

X

2

1

1X

1n

X

1n

X

1X

1

p1

p1

p例題

3

解：在本例中，樣本量比較大，用近法計(jì)算后驗(yàn)分布。易知θ的后驗(yàn)分布漸進(jìn)趨于正態(tài)分布N(a,b2)，其中1212,n1

n2nna

p

1

p2

,b2

p1(1

p1

)

p2

(1

p2

)p

X1

,p

X

2

.區(qū)間為：因此θ的100（1-α）%的a

bz

a

bz22例題

3

解：其中，zα/2位標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的上α/2分位數(shù)。對(duì)于食用了蟹肉的人來(lái)說(shuō)，X1=120,

n1=200,X2=4,

n2=35,因此99%

區(qū)間為（0.337,

0.635）。而對(duì)沒(méi)有食用蟹肉的人來(lái)說(shuō)，X1=22,

n2=46,X2=0,

n2=23，因此99%

區(qū)間為（0.307,

0.650）。在這兩種情況下，假設(shè)θ=0都是落在99%區(qū)間外面，因此有很強(qiáng)的

否定了零假設(shè)。例題4

彩電彩色電視機(jī)密度函數(shù)為其中：θ〉0是彩電的平均

。服從指數(shù)分布Exp(1/θ)，其f

x

1e

x

I

(x)(0,)例題4

彩電現(xiàn)從一批彩電中隨機(jī)抽取n臺(tái)進(jìn)行

試驗(yàn)，試驗(yàn)到第r（1≤r≤n）臺(tái)失效時(shí)為止，其失效時(shí)間為t1≤t2≤

…≤tn,

其它n-r臺(tái)彩電直至試驗(yàn)停止（tr）時(shí)還沒(méi)有失效，這樣的試驗(yàn)稱(chēng)為定數(shù)截尾

試驗(yàn)，所得樣本（t1,…,tr

）稱(chēng)為截尾樣本。例題4

解假定θ的先驗(yàn)分布為逆伽瑪分布г-1(α,β)，求這批彩電的平均

及其解設(shè)被抽取的n臺(tái)彩電的下限。為X1,…,Xn,令X(1)≤…

≤X(n)為其次序統(tǒng)計(jì)量，記rt1=X(1),…,tr=X(r),可知T

tj

(n

r)trj

1是θ的充分統(tǒng)計(jì)量，例題4

解且給定θ時(shí)，2T/θ~χ2r

,故T的密度函數(shù)為2θ的先驗(yàn)密度和后驗(yàn)密度如下：g

t

ttr

1e(0,)

,

I

(t)

, (

0).

rr

t

(),0,

1e

I(t

)

r

(r

)r

1e

I0,

(

).

例題4

解顯然，θ的后驗(yàn)分布為逆伽瑪分布г-1(r+α,t+β).若取后驗(yàn)期望估計(jì)作為θ的

估計(jì)，則有

E

t

tr

1例4

具體算例設(shè)有13142臺(tái)彩電

試驗(yàn)的數(shù)據(jù)，共計(jì)5369812臺(tái)時(shí)，此外還有9240臺(tái)彩電進(jìn)行了三年現(xiàn)場(chǎng)

試驗(yàn)?？偣策M(jìn)行了5547810臺(tái)時(shí)試驗(yàn)。這些試驗(yàn)整理，彩電平均有250臺(tái)失效，由先驗(yàn)數(shù)據(jù)不低于30000小時(shí)，它的10%的分位數(shù)θ0。1，大約11250小時(shí)。例4

具體算例其中第一個(gè)方程式由先驗(yàn)分布為逆伽馬分布的數(shù)學(xué)期望E(θ)=β/(α-1)確定。

11250由此列出如下的兩個(gè)方程：

1

30000.

d

0.1.

0例4

具體算例在計(jì)算機(jī)上解方程組，得α=1.956,

β=2.868。得到先驗(yàn)分布θ~г-1(1.956,2.868),后驗(yàn)分布θ|t~г-1(r+1.956,t+2.868)。例4

具體算例現(xiàn)隨機(jī)抽取100臺(tái)彩電，在規(guī)定條件下進(jìn)行400小時(shí)

試驗(yàn)，沒(méi)有一臺(tái)失效，這時(shí)總的試驗(yàn)時(shí)間為t=100*400=40000（小時(shí)），r=0。可知彩電的平均

的

估計(jì)為2868

40000

44841(h)

tr

11.956

1例4

具體算例θ的1-η=0.9，

下限為

2,f

2t

L

1.956,

2868,t

40000,

r

0,

f

2r

3.912.例4

具體算例

2f2

t

2

40000

2868

7.645L

11215

小時(shí).接近45000小時(shí)