佳木斯大學(xué)授課教案

佳木斯大學(xué)授課教案（2009?2010學(xué)年第1學(xué)期）課程名稱：線性代數(shù)年級(jí)：2008級(jí)教研室大學(xué)數(shù)學(xué)第一教研室任課教師佳木斯大學(xué)教務(wù)處制使用說明一、從本學(xué)期起，一律使用電子教案并自行打印。字體一律使用“五號(hào)”字，用A4紙打印。授課教案書寫不得空項(xiàng)，每次課的授課教案按90分鐘設(shè)計(jì)。二、學(xué)生名單應(yīng)在上課前填寫任課班級(jí)學(xué)生姓名，在每次上課時(shí)記錄學(xué)生出席情況。三、課程授課情況及總結(jié)應(yīng)在課程全部結(jié)束后一周內(nèi)全部填寫完整。四、考勤符號(hào)：△事假 。病假 x曠課/遲到 ①早退五、課程教學(xué)評(píng)價(jià)是在完成全部教學(xué)任務(wù)及試卷分析基礎(chǔ)上，對(duì)本課程的教師水平、教學(xué)條件、教學(xué)效果、課內(nèi)外活動(dòng)等項(xiàng)內(nèi)容的全面分析，特別是要結(jié)合本門學(xué)科的新知識(shí)、新技術(shù)、新進(jìn)展及學(xué)生的智力水平進(jìn)行分析，以促進(jìn)本門課程的教學(xué)改革，提高教學(xué)質(zhì)量。

佳木斯大學(xué)授課教案課程名稱：線性代數(shù)授課教師邢志紅授課對(duì)象08級(jí)材料成型、鑄造專業(yè)授課時(shí)間09.8.263-4節(jié)（計(jì)90min）授課題目§1、1二階與三階行列式§1、2全排列及逆序數(shù)§1、3n階行列式定義課型理論課使用教具常規(guī)教學(xué)教學(xué)目的.會(huì)用對(duì)角藥.通過給nV濘去則計(jì)算2階和3階行列式r行列式定義，逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：n階行列式定義難點(diǎn)：n階行列式定義參考教材.《線性代數(shù)》，程銘東，舒和智編?？茖W(xué)出版社，2005年；.《線性代數(shù)同步測(cè)試》，謝延波主編，東北大學(xué)出版社。教學(xué)內(nèi)容 時(shí)間分配及備注一、引言（線性代數(shù)發(fā)展簡(jiǎn)介）2分鐘 、、二階與三階行列式定義對(duì)角線法則：只對(duì)2階和3階行列式適用5分鐘20分鐘四、—）二階:。=D=二）三階計(jì)算排列的逆J一）全排列：二）逆序和逆/三）奇排列和彳四）總結(jié)三階彳a\\ 。12a2\ a22a3Ia32字?jǐn)?shù)的方之于數(shù)；禺排列；亍列式的牛=〃13。23。33h手點(diǎn)）=。11422。33+012023a31+〃］3。21。32-%3022a31-%2a21a33-。］］。23。32F加以推廣3分鐘5分鐘2分鐘2分鐘五、n階行列式D=—）n階行3列式出％定義a\\ a\2 ??, a\na2\ a22 ,一 a2nan\ an2 *** ann可式定義是重點(diǎn)，也t,通過觀察與歸納=Z（T）'《f??明”（PW2…p”）是難點(diǎn)。其處理方法是：從二階與三階行利用全排列及逆序數(shù)，逐步引出n階行8分鐘5分鐘列式定義二）行列式的定義中應(yīng)注意兩點(diǎn)：5分鐘.和式中的任一項(xiàng)是取自。中不同行、不同列的〃個(gè)元素的乘積。由排列知識(shí)可知，。中這樣的乘積共有〃!項(xiàng)。.和式中的任一項(xiàng)都帶有符號(hào)f為排列（PR2…p"）的逆序數(shù)，即當(dāng)P/2…P”是偶排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取正號(hào)；當(dāng)P1P2…P“。

是奇排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號(hào)。六、例題講解及練習(xí)七、小結(jié)八、本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：—)作業(yè)：1(1),2(5)二)思考題：1.對(duì)角線法則適用于幾階行列式？2.怎樣理解n階行列式定義？28分鐘2分鐘1分鐘2分鐘課后小結(jié)

佳木斯大學(xué)授課教案課程名稱:線性代數(shù)授課教師邢志紅授課對(duì)象08級(jí)材料成型、鑄造專業(yè)授課時(shí)間09.8.283-4節(jié)授課題目§1、4對(duì)換§1,5行列式性質(zhì)課型理論課使用教具常規(guī)教學(xué)教學(xué)目的通過了解行列式性質(zhì)的證明過程，逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：行列式的性質(zhì)難點(diǎn)：行列式的性質(zhì)的證明過程參考教材.《線性代數(shù)》，程銘東，舒和智編。科學(xué)出版社，2005年：.《工程數(shù)學(xué)例題與習(xí)題》（上冊(cè)），工科數(shù)學(xué)課程數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)本科組編，北京：高等教育出版社，1996年；.《線性代數(shù)同步測(cè)試》，謝延波主編，東北大學(xué)出版社。教學(xué)內(nèi)容時(shí)間分配及備注一、復(fù)習(xí)行列式的定義二、對(duì)換定義一）排列經(jīng)一次對(duì)換改變一次奇偶性；二）、任意一個(gè)n元奇（偶）排列，總可經(jīng)奇（偶）數(shù)次對(duì)換變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)排列，三、行列式的性質(zhì)（掌握），處理方法是：從對(duì)換與排列的奇偶性間的關(guān)系及n階行列式的另一定義出發(fā)，了解行列式性質(zhì)的證明過程，從而逐步掌握行列式的性質(zhì)一）行列式。與它的轉(zhuǎn)置行列式相等?！┗Q行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。三）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一數(shù)人，等于用數(shù)k乘此行列式；或者行列式的某一行（列）的各元素有公因子k,則k可提到行列式記號(hào)之外。四）行列式中如果有兩行（列）元素完全相同或成比例，則此行列式為零。五）若行列式的某一列（行）中各元素均為兩項(xiàng)之和，則此行列式等于兩個(gè)行列式之和。六）把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，行列式的值不變。四、一些常見的行列式五、例題講解及練習(xí)六、小結(jié)七、本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：—）作業(yè)：5（2）,（5）二）思考題：1.行列式有哪些性質(zhì)？2分鐘3分鐘6分鐘6分鐘2分鐘5分鐘5分鐘5分鐘5分鐘5分鐘5分鐘8分鐘25分鐘5分鐘1分鐘2分鐘

課后小結(jié)佳木斯大學(xué)授課教案課程名稱：線性代數(shù)授課教師邢志紅授課對(duì)象08級(jí)材料成型、鑄造專業(yè)授課時(shí)間09.9.23-4節(jié)授課題目§1、6行列式按行（列）展開§1、7克拉默法則課型理論課使用教具常規(guī)教學(xué)教學(xué)目的通過掌握行列式按行（列）展開法則，簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算，同時(shí)會(huì)利用克拉默法則解決n元線性方程組的有關(guān)問題，初步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：行列式按行（列）展開法則及克拉默法則難點(diǎn)：行列式按任一行（列）展開公式及代數(shù)余子式的概念及重要性質(zhì)的證明參考教材.《線性代數(shù)》，程銘東，舒和智編?？茖W(xué)出版社，2005年；.《工程數(shù)學(xué)例題與習(xí)題》（上冊(cè)），工科數(shù)學(xué)課程數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)本科組編，北京：高等教育出版社，1996年；教學(xué)內(nèi)容 時(shí)間分配及備注

、復(fù)習(xí)行列式的性質(zhì)5分鐘二、行列式按行（列）展開一）把〃階行列式中（i,j）元為所在的第i行和第，列劃去后所成的〃-15分鐘階行列式稱為（i,j）元％的余子式，記作；記4=（T）'"Mu，則稱號(hào).為0,J）元％的代數(shù)余子式。二）〃階行列式等于它的任一行（列）的各元素與對(duì)應(yīng)于它們的代數(shù)余子10分鐘式的乘積的和。即可以按第i行展開：。= +q2A2+…+%A>(i=1,2,…；或可以按第，列展開：三）行列式中任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余8分鐘子式乘積之和等于零。即6%Aj|+%人刀+…+%&,=0,iwj,或G%A/+4,+…+%兒=0,iwj-、克拉默法則一）用克拉默法則解線性方程組的兩個(gè)條件：（1）方程個(gè)數(shù)等于未知元個(gè)12分鐘數(shù)：（2）系數(shù)行列式不等于零。二）克拉默法則的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)以及四、常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系.它主要適用于理論推導(dǎo).用克拉默法則求含有〃個(gè)未知元七,%,…七的〃個(gè)線性方程的方程組8分鐘五、六、七、例題講解及練習(xí)小結(jié)本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：34分鐘5分鐘一）作業(yè)：7(2),(5)(6),8(1),101分鐘2分鐘二）思考題：1.計(jì)算行列式通常采用的方法有哪些？2.克拉默法則的適用條件是什么？課后小結(jié)佳木斯大學(xué)授課教案課程名稱：線性代數(shù)授課教師邢志紅授課對(duì)象08級(jí)材料成型、鑄造專業(yè)授課時(shí)間09.9.43-4節(jié)授課題目第一章行列式課型習(xí)題課使用教具常規(guī)教學(xué)教學(xué)目的理解n階行列式的定義，掌握行列式的性質(zhì)，并利用行列式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、計(jì)算行列式。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：n階行列式的定義、性質(zhì)及行列式按行（列）展開法則，并利用這一法則并結(jié)合行列式的性質(zhì)計(jì)算一般難度的行列式；有關(guān)齊次線性方程組有非零解的必要條件。難點(diǎn)：n階行列式的性質(zhì)及其利用其性質(zhì)求基本或有一般難度的n階行列式。

參考教材1.《工程數(shù)學(xué)例題與習(xí)題》（上冊(cè)），工科數(shù)學(xué)課程數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)本科組編，北京：高等教育出版社，1996年；教學(xué)內(nèi)容時(shí)間分配及備注一、本章小結(jié)二、習(xí)題精講-)計(jì)算下列行列式：1234 1+x 1 1 12341 1 1-x 1 11. 2.412 1 1 l+y 1123 1 1 1 1-y1234522211二)已知31245,求：(1)Ai+&2+43'1Q)A34+4511122431502xt-x2+3x3+2x4=63x.-3x,+3x,+2x.=5三)用克萊姆法則解線性方程組：《12 3 4-x2-x3+2x4=33再一芍+3x3—x4=4(1+2)Xj+工？+無3+工4=1x.+(1+ +x-i+xA=2四)問4取何值時(shí)，方程組41 2 3 4 有唯一解Xj+x?+(1+A)Xj+乙=3X1+工2+X3+(1+4)^4=4五)其他習(xí)題六、作業(yè)：5(5),7(4),915分鐘20分鐘10分鐘10分鐘10分鐘24分鐘1分鐘課后小結(jié)佳木斯大學(xué)授課教案課程名稱：線性代數(shù)授課教師邢志紅授課對(duì)象08級(jí)材料成型、鑄造專業(yè)授課時(shí)間09.9.93-4v(計(jì)90min)授課題目§2、1矩陣§2、2矩陣的運(yùn)算課型理論課使用教具常規(guī)教學(xué)教學(xué)目的從矩陣應(yīng)用的廣泛性出發(fā)，使學(xué)生了解矩陣的概念；從矩陣與矩陣間的關(guān)系出發(fā)，掌握矩陣的運(yùn)算

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：矩陣及其運(yùn)算法則難點(diǎn)：矩陣與矩陣相乘1.《線性代數(shù)》，程銘東，舒和智編?？茖W(xué)出版社，2005年；參考教材2.《工程數(shù)學(xué)例題與習(xí)題》（上冊(cè)），工科數(shù)學(xué)課程數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)本科組編，北京：高等教育出版社，1996年：教學(xué)內(nèi)容 時(shí)間分配及備注一、矩陣的定義8分鐘二、矩陣的加法一）矩陣的加法定義 3分鐘二）矩陣加法運(yùn)算規(guī)律 '益神三、數(shù)與矩陣相乘-）數(shù)與矩陣相乘定義 3分鐘二）數(shù)乘矩陣運(yùn)算規(guī)律 5分鐘四、矩陣與矩陣相乘一）矩陣乘法定義 8分鐘二）矩陣乘法運(yùn)算規(guī)律 5分鐘三）矩陣乘矩陣:讓學(xué)生充分理解矩陣乘矩陣的定義，特別強(qiáng)調(diào)前面矩陣的2分鐘列等于后面矩陣的行的原因.說明矩陣乘法常態(tài)下不滿足消去率,通過練習(xí)提高學(xué)生的計(jì)算準(zhǔn)確率.四）特殊矩陣：（單位矩陣，數(shù)量矩陣，對(duì)角矩陣，三角矩陣） 7分鐘五）矩陣的募六、矩陣的轉(zhuǎn)置一）矩陣的轉(zhuǎn)置定義 “刀口二）矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算規(guī)律 6分鐘七、例題講解及練習(xí) 30分鐘八、小結(jié)2分鐘九、本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：—）作業(yè)：3,4(4),8,10 1分鐘二）思考題:1.為什么矩陣乘法不滿足交換律？ 3分鐘2.矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算有哪些規(guī)律？3.什么是對(duì)稱矩陣？4.方陣的行列式有哪些運(yùn)算規(guī)律？課后小結(jié)佳木斯大學(xué)授課教案課程名稱：線性代數(shù)授課教師邢志紅授課對(duì)象08級(jí)材料成型、鑄造專業(yè)授課時(shí)間09.9.113*4節(jié)授課題目§2、3逆矩陣§2、4矩陣分塊法課型理論課使用教具常規(guī)教學(xué)

教學(xué)目的.從線性變換的可逆性引出矩陣可逆的定義，使學(xué)生清楚可逆陣的概念及矩陣可逆的充要條件.使學(xué)生了解矩陣的分塊法，以簡(jiǎn)化矩陣的運(yùn)算教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：1.逆矩陣的概念及性質(zhì)和矩陣可逆的充要條件2.分塊矩陣的運(yùn)算及矩陣的按行和按列分塊法難點(diǎn)：1.逆矩陣的概念及性質(zhì)和矩陣可逆的充要條件2.分塊矩陣的運(yùn)算及矩陣的按行和按列分塊法參考教材1.《線性代數(shù)》，程銘東，舒和智編?？茖W(xué)位版社，2005年；教學(xué)內(nèi)容時(shí)間分配及備注一、復(fù)習(xí)矩陣概念及其運(yùn)算二、對(duì)于〃階矩陣A,如果有一個(gè)〃階矩陣B,使AB=BA=E說矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣，筒稱逆陣.記為A-1三、如果A可逆，則A的逆陣是唯一的四、矩陣A可逆，則色卜0五、若|?。?,則矩陣A可逆，且5分鐘8分鐘4分鐘5分鐘8分鐘=—A*|A|其中A*為A的伴隨矩陣.六、若A8=E(或BA=E),則5=七、逆陣性質(zhì)八、矩陣分塊法九、例題講解及練習(xí)十、小結(jié)十一、本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：一)作業(yè)：11(1)(3),12(2)(3),16二)思考題：1.判斷矩陣可逆的常用方法有哪些？2.怎樣解矩陣方程？4分鐘12分鐘25分鐘13分鐘3分鐘1分鐘2分鐘課后小結(jié)佳木斯大學(xué)授課教案課程名稱：線性代數(shù)授課教師邢志紅授課對(duì)象08級(jí)材料成型、鑄造專業(yè)

授課時(shí)間09.9.1634節(jié)(計(jì)90min)授課題目第二章矩陣及其運(yùn)算課型習(xí)題課使用教具常規(guī)教學(xué)教學(xué)目的1、掌握矩陣的概念2、掌握矩陣的運(yùn)算3、掌握逆矩陣的性質(zhì)及可逆矩陣的判定及其求法.掌握初等變換和初等矩陣.會(huì)用初等行變換求逆矩陣及矩陣的秩教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：矩陣的定義；一些特殊的矩陣；矩陣的運(yùn)算規(guī)律，特別是矩陣的乘法；方陣的伴隨陣的構(gòu)造及其性質(zhì)：逆陣存在的充要條件及求法。難點(diǎn)：逆陣存在的充要條件及求法。參考教材.《線性代數(shù)》，程銘東，舒和智編。科學(xué)出版社，2005年；.《工程數(shù)學(xué)例題與習(xí)題》（上冊(cè)），工科數(shù)學(xué)課程數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)本科組編，北京：高等教育出版社，1996年；.《線性代數(shù)同步測(cè)試》，謝延波主編，東北大學(xué)出版社。教學(xué)內(nèi)容時(shí)間分配及備注一、本章小結(jié)二、習(xí)題精講—)填空：'1 3] 「2-llr,(1)若A= ,B= ,貝ijA—28= [-14j 11-5j一12(2)設(shè) 21,貝必= ?30'123'(3)設(shè)A=012,貝必t= .001'o1r(4)設(shè)A=1 01,貝必的秩R(A)= 。11 0ax 0 ??? 00 g … 0(5)對(duì)角矩陣A=. .2 . .可逆的充分必要條件是? ? ?? ? ?0 0 …10分鐘20分鐘

二)計(jì)算：-2'⑴1[-210]-13(2)求矩陣A的秩，'1 0 0 0 -2 2 0 0A=3 3 3 04 4 48 9 12(3)求A的逆矩陣-3 0 8A=3 -1 6-2 0 -5'3 1 01F1 0 2(4)已知A=-l 2 1,B=-1 1 1 ,求滿足方程3 4 2_| |_2 1 13A-2X=8中的X。三)其他習(xí)題作業(yè)：17,23,2530分鐘29分鐘1分鐘

課后小結(jié)佳木斯大學(xué)授課教案課程名稱：線性代數(shù)授課教師邢志紅授課對(duì)象08級(jí)材料成型、鑄造專業(yè)授課時(shí)間09.9.1834節(jié)（計(jì)90min）授課題目§3、1矩陣的初等變換 §3、2初等矩陣課型理論課使用教具常規(guī)教學(xué)教學(xué)目的使學(xué)生能夠掌握矩陣的初等變力帙及用矩陣的初等變換求逆矩陣的方法教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)茶點(diǎn)：矩陣的初等變換和用矩陣的初等變換求逆矩陣的方法難點(diǎn)：初等矩陣的性質(zhì)參考教材.《線性代數(shù)》，程銘東，舒和智編。科學(xué)出版社，2005年；.《工程數(shù)學(xué)例題與習(xí)題》（上冊(cè)），工科數(shù)學(xué)課程數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)本科組編，北京：高等教育出版社，1996年；.《線性代數(shù)同步測(cè)試》，謝延波主編，東北大學(xué)出版社。教學(xué)內(nèi)容 時(shí)間分配及備注

一、矩陣的初等變換定義與記號(hào)—）初等行變換（1<->xk"+^^）,A與8行等價(jià)（A?8）;8分鐘二）初等列變換（qccj,qxk,q+kcj）,A與6列等價(jià)（A?5）;8分鐘三）初等變換,A與8等價(jià)（A?8）.6分鐘（E0）四）矩陣的行階梯形、行最簡(jiǎn)形、標(biāo)準(zhǔn)形尸=、0oj,10分鐘二、初等矩陣3分鐘一）定義單位陣經(jīng)一次初等變換所得矩陣稱為初等矩陣.二）對(duì)矩陣A作一次初等行（列）變換相當(dāng)于用對(duì)應(yīng)的初等矩陣左（右）乘A.10分鐘三）方陣4可逆u>A二E10分鐘04=片6…片（耳為初等矩陣）A?8。存在可逆矩陣P,。使5=PAQ.四)若(A,B):(E,X),則A可逆，且X=A%.特別地，若(A,E)~(￡,X),5分鐘則A可逆，且*=4-1三、例題講解及練習(xí)24分鐘四、小結(jié)3分鐘五、本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：1分鐘一）作業(yè)：2(2)(4),3,4(1)二）思考題：1.一個(gè)非零矩陣的行最筒形與行階梯形有什么區(qū)別和聯(lián)系？2分鐘.矩陣的初等變換與初等矩陣有什么關(guān)系？.矩陣的初等行（列）變換有哪些？課后小結(jié)佳木斯大學(xué)授課教案課程名稱：線性代數(shù)授課教師邢志紅授課對(duì)象08級(jí)材料成型、鑄造專業(yè)授課時(shí)間09.9.233-4節(jié)授課題目§3、3矩陣的秩 §3、4線性方程組的解課型理論課使用教具常規(guī)教學(xué)教學(xué)目的1.通過對(duì)矩陣的秩的定義及求法，使學(xué)生明白矩陣的秩在矩陣?yán)碚撝兄匾?.利用矩陣的秩，使學(xué)生清楚線性方程組的解Ax=b有解的充要條件，并能用行初等變換求解線性方程組的解。

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：1.矩陣的秩的概念和基本性質(zhì)及用矩陣的初等變換求矩陣的秩的方法2.齊次線性方程組的解有非零解的充要條件和非齊次線性方程組的解有解的充耍條件及用行初等變換求解線性方程組的解難點(diǎn)：1.理解矩陣的秩的概念和基本性質(zhì)2.理解齊次線性方程組的解有非零解的充要條件及非齊次線性方程組的解有解的充要條件參考教材.《線性代數(shù)》，程銘東，舒和智編。科學(xué)出版社，2005年；.《工程數(shù)學(xué)例題與習(xí)題》(上冊(cè))，工科數(shù)學(xué)課程數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)本科組編，北京：高等教育出版社，1996年：.《線性代數(shù)同步測(cè)試》，謝延波主編，東北大學(xué)出版社。教學(xué)內(nèi)容時(shí)間分配及備注一、復(fù)習(xí)1.初等變換和初等矩陣 2.用初等行變換求逆矩陣二、矩陣的秩-)定義矩陣的左階子式，矩陣的秩二)R(A)=rOA的行階梯形含r個(gè)非零彳JOA的標(biāo)準(zhǔn)形尸三)矩陣秩的性質(zhì)①0<R(A)<,min{m,n};②R(A，)=R(A);③若4?8,則R(A)=R(B);④若P,?？赡?，則R(PAQ)=R(A);⑤max{R(A),R(B)}<R(A,B)<R(A)+R(B);特別地，當(dāng)8為列向量b時(shí)，有R(A)<R(A,b)<R(A)+l;⑥R(A+B)<R(A)+R(B);⑦/?(AB)<min{7?(A),/?(B)};⑧若A,“*出,*尸0,則R(A)+R(8)W〃.三、線性方程組的解法一)〃元線性方程組=①無解的充分必要條件是R(A)<R(A,b);②有唯一解的充分必要條件是/?(A)=R(A,b)=〃；③有無限多解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)<n.二)求解線性方程組的步驟(見教材)四、線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是R(A)=R(A,b).5分鐘5分鐘15分鐘15分鐘10分鐘4分鐘3分鐘3分鐘

五、〃元齊次線性方程組Amxnx=0有非零解的充分必要條件是R(A)<n.六、矩陣方程AX=5有解的充要條件是R(A)=R(A,8).七、例題講解及練習(xí)八、小結(jié)九、本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：—)作業(yè)：9(1)(2),12(1),13(2)(3)二)思考題：1.什么是矩陣的秩？求矩陣的秩有幾種方法？2.用初等行變換法求解線性方程組的主要步驟是什么？6分鐘19分鐘2分鐘1分鐘2分鐘課后小結(jié)

佳木斯大學(xué)授課教案課程名稱:線性代數(shù)授課教師邢志紅授課對(duì)象08級(jí)材料成型、鑄造專業(yè)授課時(shí)間09.9.253-4節(jié)（計(jì)90min）授課題目第三章矩陣的初等變換與線性方程組課型習(xí)題課使用教具常規(guī)教學(xué)教學(xué)目的.掌握初等變換和初等矩陣.會(huì)用初等行變換求逆矩陣.理解矩陣秩的概念.利用初等變換求矩陣的秩教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：矩陣的秩的定義、性質(zhì)及求法，可逆陣的逆陣的求法以及解矩陣方程；n元齊次線性方程組和n元非齊性線性方程組有解的充要條件及其解法。難點(diǎn)：矩陣的秩的定義、性質(zhì)；n元非齊性線性方程組的解法。參考教材.《線性代數(shù)》，程銘東，舒和智編?？茖W(xué)出版社，2005年；.《工程數(shù)學(xué)例題與習(xí)題》（上冊(cè)），工科數(shù)學(xué)課程數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)本科組編，北京：高等教育出版社，1996年；.《線性代數(shù)同步測(cè)試》，謝延波主編，東北大學(xué)出版社。教學(xué)內(nèi)容時(shí)間分配及備注

一、本章小結(jié)二、習(xí)題精講—)填空：’12 -1 1、.設(shè)矩陣 A=2-1 3 1,則R(A)= 。131 2 2).設(shè)A為四階方陣，且R(A)=3,則有R(A*)= .”111、、…1&11,.設(shè)矩陣A= ,且R(A)=3,則k= o11k1J11的.設(shè)A是"解方陣，且R(A)=〃-1,則R(A*)= 。.設(shè)R(4)=r,,R(A)=r2,矩陣0=(' '則砥°)= °’231 7、二)設(shè)4=37-6-2,且R(A)=2,求x的值、581 x)10分鐘15分鐘8分鐘

三)試?yán)镁仃嚨某醯茸儞Q，求下列方陣的逆矩陣：‘1 3 2、A=2 6 5【一1一3J(\111A11-1-1A=1-11-1I1-1-11J+ax2+當(dāng)=3四)問取何值時(shí)線性方程組＜+2數(shù)2+七=4有唯一解、無解、無窮多尤1+彳2+bx3=4解？在有無窮多解時(shí)，求通解。五)其他習(xí)題六)作業(yè)：5,11,15,1730分鐘10分鐘16分鐘1分鐘課后小結(jié)

佳木斯大學(xué)授課教案課程名稱：線性代數(shù)授課教師邢志紅授課對(duì)象08級(jí)材料成型、鑄造專業(yè)授課時(shí)間45min授課題目§4.1向量組及其線性組合課型理論課使用教具常規(guī)教學(xué)教學(xué)目的理解向量組的線性組合及線性表示的定義；掌握向量能夠用向量組表示的方法；會(huì)利用矩陣的秩判斷向量組的等價(jià)；教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：向量的線性表示；向量組等價(jià)的判定：難點(diǎn)：線性表示與方程組有解得關(guān)系；向量組等價(jià)與矩陣的秩的關(guān)系參考教材.《線性代數(shù)》，程銘東，舒和智編?？茖W(xué)出版社，2005年；.《工程數(shù)學(xué)例題與習(xí)題》（上冊(cè)），工科數(shù)學(xué)課程數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)本科組編，北京：高等教育出版社，1996年；教學(xué)內(nèi)容 時(shí)間分配及備注

一、向量及其運(yùn)算1、向量："個(gè)有次序的數(shù)內(nèi),敢,…,冊(cè)所組成的數(shù)組稱為“維向量。分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量.2、線性運(yùn)算： (1)向量的加法： (2)向量的數(shù)乘二、向量組及其線性組合1、線性組合給定向量組A:4,…,金，對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)占，表達(dá)式 ki4+&/+…+匕”4”,稱為向量組A的一個(gè)線性組合，kx,—稱為這個(gè)線性組合的系數(shù).2、線性表示給定向量組a金，和向量仇如果存在一組數(shù)4，4,…，4“，使b=A]ai+A2a2+---Aniam則向量b是向量組A的一個(gè)線性組合,稱向量b能由向量組A線性表示。3、定理1向量b能由向量組A線性表示的充分必要條件是矩陣A=(《，的，…,勺)的秩等于8=(q,a2,-,am,b)的秩.…口口口.1 2 2 1 3 0 1U蜀U5證明：向量b能山向量組4,%,出線性表示，并求出表示式。4分鐘與矩陣的運(yùn)算相同3分鐘kiM，"為任意一組實(shí)數(shù)3分鐘存在一組實(shí)數(shù)4，九2,…，兒4分鐘利用方程組Ax=8有解的判別條件3分鐘

推論：向量組4嗎,。2,與向量組8屹也,…，，等價(jià)。R(A)=R(8)=R(A,B)，其中A=(%,勺,，B=(d,…，仇)4、向量組的等價(jià)：設(shè)有兩個(gè)向量組A:%,%"，及8:仇也，…曲，若B組中的每個(gè)向證：因A組與B組互相線性表示，故知R(A)=R(A,B),R(B)=R(B,A)而R(B,A)=R(A,B),故R(A)=R(B)=R(A,B)5、性質(zhì)：(1)自反性：(2)對(duì)稱性；(3)傳遞性結(jié)論：若矩陣A與矩陣B行(列)等價(jià)，則A的行(列)向量組與B的行(列)向量組等價(jià)。6、定理2向量組8:%名，…功能由向量組4嗎,。2,…,心線性表示O矩陣A=(《,。2,的秩等于矩陣(A,8)=(%,4,…,a,A也，…，4)的秩，即R(A)=R(A,8)推論：向量組A：q,。2,…,"m與向量組8：4也，…,乙等價(jià)。R(A)=R(B)=R(A,B),其中A=(%,%,…4)，3=他也,…曲)例2已知向量組A：?1=1,a2=1B：d=0,b2=2也=2UMb)U(-J證明：向量組A與向量組B等價(jià)。7、定理3設(shè)向量組B:"也，…,"能由向量組4:%,敢,線性表示，則R(仇也，…，仇)4三、小結(jié)1、n維向量 2、向量組3、線性組合 4、線性表示5,向量組等價(jià) 6、幾個(gè)結(jié)論四、練習(xí)五、本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：.一)作業(yè)：3.4.5二)思考題：2分鐘2分鐘2分鐘4分鐘利用矩陣方程AX=8有解的判別條件2分鐘2分鐘2分鐘3分鐘8分鐘1分鐘

課后小結(jié)佳木斯大學(xué)授課教案課程名稱:線性代數(shù)授課教師邢志紅授課對(duì)象08級(jí)材料成型、鑄造專業(yè)授課時(shí)間45min授課題目§4.2向量組的線性相關(guān)性課型理論課使用教具常規(guī)教學(xué)教學(xué)目的理解向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念；掌握向量組線性相關(guān)性的判別方法教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：向量組線性相關(guān)及線性無關(guān)定義；向量組線性相關(guān)性的判別方法；重要結(jié)論難點(diǎn)：線性無關(guān)的判別；線性相關(guān)的結(jié)論參考教材1.《線性代數(shù)》，程銘東，舒和智編?？茖W(xué)出版社，2005年；3.《線性代數(shù)同步測(cè)試》，謝延波主編，東北大學(xué)出版社。教學(xué)內(nèi)容 時(shí)間分配及備注

一、線性相關(guān)：4分鐘給定向量組A:%,力，…,若存在不全為零的數(shù)月,%2,…,，使3+ …=0則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱為線性無關(guān)的，即若k1%+k.,a2H Fkmam—0當(dāng)且僅當(dāng)占=0=???=￡”=0二、線性相關(guān)的判定1、定理1向量組4：%,。2,…,4,線性相關(guān)。向量組A中至少有一個(gè)向量能由其余%-1個(gè)向量線性表示。4分鐘充要性證明2、定理2向量組A:q”，…,。削線性相關(guān)O矩陣A=(%，。2,…，心)的秩小于向量個(gè)數(shù)加；向量組線性無關(guān)<=>R(A)=加。r-n⑶ (03分鐘例1已知〃］=3 ,a2=1,a3=4,試討論向量組a”%，力及11JHU向量組6,。2的線性相關(guān)性。3分鐘例2已知向量組a”由，內(nèi)線性無關(guān)，。］=。］+。2，%=〃2+。3，8分鐘by=a3+ ,試證向量組”,。2，/線性無關(guān)。三種證法3、定理3(1)向量組A:%,%,…,線性相關(guān)，則向量組8分鐘8:3,勺「?,%,,。”+1也線性相關(guān)。反之，若向量組8線性無關(guān)，則向量組A也線性無關(guān)。

（2）m個(gè)〃維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)〃小于向量個(gè)數(shù)m時(shí)一定線性相關(guān)。特別地，〃+1個(gè)〃維向量一定線性相關(guān)。（3）設(shè)向量組4:4,。2,…,a,”線性無關(guān)，而向量組…線性相關(guān)，則向量b必能由向量組A線性表示，且表示式是惟一的。三、小結(jié)：.線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念;線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用；（重點(diǎn)）.線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定方法：定義、幾個(gè)定理.（難點(diǎn)）四、練習(xí)五、本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：.一）作業(yè)：6.8.11.12二）思考題：3分鐘11分鐘1分鐘課后小結(jié)

佳木斯大學(xué)授課教案課程名稱：線性代數(shù)授課教師邢志紅授課對(duì)象08級(jí)材料成型、鑄造專業(yè)授課時(shí)間45min授課題目§4.3向量組的秩課型理論課使用教具常規(guī)教學(xué)教學(xué)目的掌握最大無關(guān)組的定義及向量組秩的定義；會(huì)求向量組的最大無關(guān)組；掌握關(guān)于最大無關(guān)組的幾個(gè)性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：向量組的最大線性無關(guān)向量組；向量組的秩的結(jié)論：求向量組的最大無關(guān)組難點(diǎn)：求向量組的最大無關(guān)組參考教材《線性代數(shù)》，程銘東，舒和智編?？茖W(xué)出版社，2005年；教學(xué)內(nèi)容 時(shí)間分配及備注

一、復(fù)習(xí)：矩陣的秩：矩陣A中有一個(gè)不等于0的r階子式D,且所有r+1階子式(如果存在的話)全等于0,則D稱為矩陣A的最高階非零子式，而數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作：R(A)二、向量組的秩1、最大無關(guān)組：設(shè)向量組A,若能在A中能選出r個(gè)向量％,%,…,見，滿足(i)向量組人 …,凡線性表示;(ii)向量組A中任意HI向量(若A中存在r+1個(gè)向量的話)線性相關(guān)則稱向量組A。是向量組A的一個(gè)最大線性無關(guān)向量組。例1討論向量組A：%=0,%=1，生=1的線性相關(guān)性。INNH2、性質(zhì)：(1)最大無關(guān)組不一定惟一；(2)線性無關(guān)的向量組的最大無關(guān)組是其本身；(3)向量組與它的最大無關(guān)組等價(jià)；(4)兩個(gè)最大無關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)相同。3、向量組的秩：最大無關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)r稱為向量組的秩。記作：ra5分鐘3分鐘3分鐘4分鐘2分鐘

4、最大無關(guān)組的等價(jià)定義：設(shè)向量組A。：卬,。2,…，生是向量組A的一個(gè)部分組，且滿足：(i)向量組A。線性無關(guān)；(ii)向量組A的任一向量都能由向量組為:4,心，…,勺現(xiàn)行表示；則向量組4:6,。2,…,勺便是向量組A的一個(gè)最大無關(guān)組。5、矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩。例2設(shè)矩陣(2 -1 -1 1 2)4_1 1 -2 1 4a—4 -6 2 -2 4,、3 6 -9 7 9,求矩陣A的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組的列向量組用最大無關(guān)組現(xiàn)行表示三、小結(jié)1、向量組的最大無關(guān)組；2、最大無關(guān)組的性質(zhì)；3、向量組的秩；4、最大無關(guān)組的等價(jià)定義；5、向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系四、練習(xí)五、本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：.—)作業(yè)：13.15.17二)思考題：5分鐘2分鐘3分鐘3分鐘14分鐘1分鐘

課后小結(jié)佳木斯大學(xué)授課教案課程名稱：線性代數(shù)授課教師邢志紅授課對(duì)象08級(jí)材料成型、鑄造專業(yè)授課時(shí)間45min授課題目§4.線性方程組的解的結(jié)構(gòu)課型理論課使用教具常規(guī)教學(xué)教學(xué)目的.理解基礎(chǔ)解系的概念。.掌握齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法。.掌握非齊次線性方程組解的求法教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用；難點(diǎn)：基礎(chǔ)解系的求法參考教材.《線性代數(shù)》，程銘東，舒和智編。科學(xué)出版社，2005年；.《工程數(shù)學(xué)例題與習(xí)題》（上冊(cè)），工科數(shù)學(xué)課程數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)本科組編，北京：高等教育出版社，1996年；教學(xué)內(nèi)容 時(shí)間分配及備注

一、齊次線性方程組解的性質(zhì)（性質(zhì)1、性質(zhì)2、定理7）線性齊次方程組AX=O（4是矩陣）解的性質(zhì)：（1）設(shè)X”X2是AX=O的兩個(gè)解，則kiXi+BX?也是AX=O的解，其中島，及2為兩個(gè)任意數(shù)：（2）零解X=0總是AX=O的解；AX=O有非零解=秩（A）<〃：AX=0只有零解=秩（4）=〃=A的列數(shù)；若A是〃階矩陣，則AX=O有非零解o|A|=0,AX=0只有零解|W0；二、基礎(chǔ)解系及其求法（1）基礎(chǔ)解系定義；掌握判斷一組向量a”a2,…，ap是AX=0的基礎(chǔ)解系的三點(diǎn)；（2）設(shè)秩（A）=r,則①AX=0的基礎(chǔ)解系中含有〃-r個(gè)向量X],X2, X『r；②AX=0的通解（一般解）是+k2X2+…+&iXn-r其中41，后,…,熊-r是任意常數(shù)：③AX=0的任何〃-r個(gè)線性無關(guān)的解都是AX=0的基礎(chǔ)解系.三、非齊次線性方程組解的性質(zhì)及求法線性非齊次方程組AX=A（夕#0）7分鐘9分鐘8分鐘

AX=夕的導(dǎo)出組AX=O兩者之間關(guān)系：若4X=/3有惟一解，則AX=O只有零解(惟一解)；若AX=/3有無窮多組解，則4X=0有非零解(無窮多組解).若4X=0只有零解(有非零解)，不能簡(jiǎn)單地判斷AX=?有惟一解(有無窮多組解)，而需要其它條件才能判斷.設(shè)Xi，X2是AX=#的解，則X1-X2是導(dǎo)出組AX=O的解；設(shè)秩(A)=秩(4夕)=r,貝l]4X="的通解：k2X2+…+kn.rXn.r,其中X|,X2，…，Xi是導(dǎo)出組AX=O的基礎(chǔ)解系，4是AX=/3的一個(gè)特解.設(shè)Xi，X?是AX=0的兩個(gè)解，則X1+X2,AXi(2^1)肯定不是AX=/?的解.四、例題講解及練習(xí)五、小結(jié)六、本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：.—)作業(yè)：22(1).29.32二)思考題：16分鐘4分鐘1分鐘課后小結(jié)

佳木斯大學(xué)授課教案課程名稱：線性代數(shù)授課教師邢志紅授課對(duì)象08級(jí)材料成型、鑄造專業(yè)授課時(shí)間90min授課題目§4.5向量空間； 第四章習(xí)題課課型理論課使用教具常規(guī)教學(xué)教學(xué)目的.掌握向量空間（基和維數(shù)）的概念..掌握子空間的概念..掌握由向量組生成的向量空間..對(duì)第四章內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)鞏固與復(fù)習(xí).教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：向量空間的概念：向量的集合對(duì)加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉；山向量組生成的向量空間;子空間的概念；難點(diǎn)：向量空間的基和維數(shù)：求向量空間基和維數(shù)的方法參考教材《工程數(shù)學(xué)例題與習(xí)題》（上冊(cè)），工科數(shù)學(xué)課程數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)本科組編，北京：高等教育出版社，1996年；教學(xué)內(nèi)容 時(shí)間分配及備注

一、§4.5向量空間定義6設(shè)v為〃維向量的非空集合，若V對(duì)向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算封閉，即滿足(1)對(duì)任a,夕eV,有a+/7eV：(2)對(duì)任一aeV及力eR,有3分鐘AaeV.則稱丫為向量空間.例1全體〃維實(shí)向量集合所作成的集合R"=｛(七,々,％)|x,.eR,i=1,2,…,〃｝是一向量空間，其中R3分鐘為全體實(shí)數(shù)所作成的集合.例23維向量的全體R3,就是一個(gè)向量空間.3分鐘類似地,n維向量的全體Rn,也是一個(gè)向量空間.不過當(dāng)n>3時(shí)，它沒有直觀的幾何意義.2分鐘例3集合丫=國(guó)》=(0,m.：,,,心)7,M,.：、x”eR｝是一向量空間.3分鐘例4集合V={x|X=(l,X2,.：“,X/y,X2,.：“,X”eR}不是向量空間.2分鐘3分鐘例5齊次線性方程組的解集5=國(guó)Ax=0｝是一個(gè)向量空間例6非齊次線性方程組的解集5=｛x|A*4｝不是向量空間.例7設(shè)為已知的〃維向量，集合L=｛x|x=a+b,/i,〃€R｝是一個(gè)向量空間.2分鐘例8設(shè)向量組41,。2,…,0,"與向量組團(tuán),岳,…，瓦等林，記4分鐘L[={X|X=2ifli+4/2+'''+ 41,兒2,.：“，兒￡用，乙2={*|X=〃lE+〃2岳+''?+〃也,〃sWR},試證定義7設(shè)有向量空間V,及V2,若V,<=V2,就稱V,是V2的子空間.6分鐘定義8設(shè)V為向量空間，如果r個(gè)向量卬,。2,?一,4€匕且滿足“1,02,??線性無關(guān)；丫中任一向量都可由。|,畋,???,4線性表示，那么，向量組外,畋,??明就稱為向量空間丫的一個(gè)基,r稱為向量空間V的維數(shù)，并稱丫為r維向量空間.如果向量空間V沒有基，那么V的維數(shù)為0.0維向量空間只含一個(gè)向量0.若把向量空間V看作向量組，則由最大無關(guān)組的等價(jià)定義可知，丫的基就是向量組的最大無關(guān)組,V的維數(shù)就是向量組的秩.

(22-11 (14)例9設(shè)4=(%,。2，。3)=2-12,8=(仿也)=03.驗(yàn)證ai,a2,田-122 -42是R3的一個(gè)基，并求仇在這個(gè)基中的坐標(biāo).例10設(shè)4:ai=(2,2,-I),,02=(2,T,21,a3=(-l,2,2)r;B:"=(1,0,-4)r,岳=(4,3,2)，驗(yàn)證的是R，的一個(gè)基，并求仇，岳在這基中的坐標(biāo).例11在R，中取定一個(gè)基。2,。3,再取一個(gè)新基仇，如仇，設(shè)4=(「1,02,03),B=(bi,b2,b3).求用5,。2,43表示仇，歷，仇的表示式(基變換公式)，并求向量在兩個(gè)基中的坐標(biāo)之間的關(guān)系式(坐標(biāo)變換公式).二、本章節(jié)習(xí)題課1、本章小節(jié)2、習(xí)題精講4分鐘5分鐘5分鐘8分鐘37分鐘課后小結(jié)

佳木斯大學(xué)授課教案課程名稱：線性代數(shù)授課教師邢志紅授課對(duì)象08級(jí)材料成型、鑄造專業(yè)授課時(shí)間90min授課題目§5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性課型理論課使用教具常規(guī)教學(xué)教學(xué)目的掌握向量?jī)?nèi)積的定義，會(huì)利用施密特正交化過程將向量正交化。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)利用施密特正交化過程將向量正交化參考教材.《線性代數(shù)》，程銘東，舒和智編。科學(xué)出版社，2005年；.《工程數(shù)學(xué)例題與習(xí)題》（上冊(cè)），工科數(shù)學(xué)課程數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)本科組編，北京：高等教育出版社，1996年；教學(xué)內(nèi)容 時(shí)間分配及備注

一、內(nèi)積1、定義1:卜‘1任〕, X, y, r1設(shè)有n維列向量*=.,y=.，令[x,y]=X]y[+x2y2+…+*環(huán)，<Xn) <yny[x,y]稱為向量x與y的內(nèi)積。2、性質(zhì)：⑴[x,y]=[y,x];[2x,y]=[y,Ax]=2[x,y];[x+y,z]=[x,z]+[y,z].(iv)當(dāng)x=0時(shí)，[x,x]=O：當(dāng)xwO時(shí)，[x,x]>0；(v)施瓦茨不等式[x,y]2<[x,x“y,y]。二、向量x的長(zhǎng)度1、定義2：令||x||= =Jx：+x；+…+x；,國(guó)稱為n維向量x的長(zhǎng)度(或范數(shù))。注：(1)兩"維向量的距離為d,則d=lk-y|=Ja一3產(chǎn)+小一為了+…+6一心了(2)若兩非零n維向量x,y間夾角為。，則定義6=arccosFilbll2、性質(zhì)：⑴非負(fù)性：當(dāng)x#0時(shí),卜|>0;當(dāng)x=O時(shí)卜|=0；10分鐘內(nèi)積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算，其結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，用矩陣記號(hào)表示，當(dāng)X與y都是列向量時(shí)，有[x,y]=xTy4分鐘長(zhǎng)度又叫范數(shù)⑴當(dāng)卜|=1時(shí)，稱X為單位向量。4分鐘（ii）齊次性：限司|=阿|N|（iii）三角不等式:lk+y||力[+帆3、正交：定義3：（ii）齊次性：限司|=阿|N|（iii）三角不等式:lk+y||力[+帆3、正交：定義3：當(dāng)[x,y]=O,稱向量x與y正交。注：（1）兩非零向量正交的充要條件是卜,習(xí)=0,（2）若不含零向量的向量組中的向量?jī)蓛烧唬瑒t稱其為正交向量組。4、定理1：若n維向量a^a2,…,a,是一組兩兩正交的非零向量，則a2,…,線性無關(guān)。例1：已知3維向量空間R3中兩個(gè)向量a】=1,a2=-2正交，試求一1G>個(gè)非零向量23,使a”a2，a3兩兩正交。5、規(guī)范正交基定義4：設(shè)n維向量e”e2,…,e1是向量空間V（VuR）的一個(gè)基，如果e1,e2,…,兩兩正交，且都是單位向量，則稱e.e2,…，?r是V的一個(gè)規(guī)范正交基。oo_Lf&

-3

e

17T17TOo

-2

e

一正_LI及oo,

rkv

-如

例'0、0，e4=1正就是R4的一1)3分鐘若x=0,貝！]x與任何向量正交8分鐘7分鐘個(gè)規(guī)范正交基。注：向量在規(guī)范正交基中的坐標(biāo)的計(jì)算公式:設(shè)e”e2,…,e,是向量空間V的一個(gè)規(guī)范正交基，那么V中任一向量a應(yīng)能由4,?2,/線性表示，該表示式為a=44+4?2+…+4，〃。為求其中的系數(shù)4（i=L可用e：左乘上式，有e：a=4e*=49分鐘即4=e：a=[a,ej9分鐘6、把%,a2,…,a,這個(gè)基規(guī)范正交化:設(shè)為田2,…,a,是向量空間V的一個(gè)基，要求V的一個(gè)規(guī)范正交基。這也是拽蛆網(wǎng)時(shí)||.史的單向」"J限E],E,使,d,,…，11?，a,,…，

等價(jià)這樣一個(gè)問題，稱為把為/2,…,a,這個(gè)基規(guī)范正交化。我們利用施密特(Schimidt)正交化過程把a(bǔ)”a2,…,規(guī)范正交化：取bi, 也必]b?=a2-1~~—rb.;[b?b,]Pb=a-Mb 一…一[%,a』brr[b.,b.]bl[b2,b2]b2 [Hz此時(shí)…,b,兩兩正交，且匕為2,…,b,與a”a2,…,a=等價(jià)。然后，把它們單位化，即€]='；]—rb1,e2=；]—…,—就是VllbillIIMI IIM的一個(gè)規(guī)范正交基，此過程稱為施密特正交化過程。，1) (—1) (4、例2：設(shè)跖=2,a2=3,a3=-1,試用施密特正交化過程把這、1,、。，組向量規(guī)范正交化。fl例3：已知a]=|l],求一組非零向量az/?,使2]聲2/3兩兩正交。三、正交矩陣：1、定義5:若n階方陣A滿足：AtA=E，(即A-1=AT),那么稱A為正交矩陣，簡(jiǎn)稱正交陣。注：(1)方陣A為正交陣的充分必要條件是A的列向量都是單位向量，且兩兩正交。(2)上述結(jié)論對(duì)A的行向量也成立。(3)n階正交陣A的n個(gè)列(行)向量構(gòu)成向量空間R”的一個(gè)規(guī)范正交基。例如，下面的矩陣都是正交陣：施密特正交化過程不僅滿足“為2,…,r與a”a2,…,等價(jià)，還滿足：對(duì)任何k(l<k<r),向量組與力?,…,bk與a1,a2,"?',ak等價(jià)4分鐘3分鐘5分鐘

112一~2112一~227X1j_0-1-T22A=-10121~2_J_21±11_1-222~2_(1_]_2一52~2￡J_例4：驗(yàn)證矩陣P=21一51一52是正交陣。正正001100正7L2分鐘⑴若A為正交陣，則A〈=AT也是正交陣,且|A|=1或(-1)；(ii)若A和B都是正交陣，則AB也是正交陣。3、正交變換：定義6：若P為正交矩陣，則線性變換y=Px稱為正交變換。例5:設(shè)P為正交矩陣，且|P|<0,計(jì)算|尸+用。四、練習(xí)五、本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：.—)作業(yè)：1.3.42分鐘52分鐘5分鐘正交變換的優(yōu)良特性：正交變換不改變線段長(zhǎng)度，從而三角形的形狀保持不變。21分鐘1分鐘2分鐘課后小結(jié)佳木斯大學(xué)授課教案課程名稱：線性代數(shù)授課教師邢志紅授課對(duì)象08級(jí)材料成型、鑄造專業(yè)授課時(shí)間90min授課題目§5.2方陣的特征值與特征向量§5.3相似矩陣課型理論課使用教具常規(guī)教學(xué)教學(xué)目的掌握方陣的特征值及特征向量的計(jì)算方法，掌握相似矩陣的定義，且會(huì)判斷矩陣是否可對(duì)角化教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn):掌握方陣的特征值及特征向量的計(jì)算方法難點(diǎn):掌握方陣的特征值及特征向量的計(jì)算方法，判斷矩陣是否可對(duì)角化參考教材.《線性代數(shù)》，程銘東，舒和智編。科學(xué)出版社，2005年；.《線性代數(shù)同步測(cè)試》，謝延波主編，東北大學(xué)出版社。教學(xué)內(nèi)容 時(shí)間分配及備注

§5.2方陣的特征值與特征向量1、特征值與特征向量定義6:設(shè)A是n階矩陣，如果數(shù)4和n維非零列向量x使關(guān)系式Ax=Ax成立，那么，這樣的數(shù)之稱為方陣A的特征值，非零向量x稱為A的對(duì)應(yīng)特征值九的特征向量。2、因?yàn)锳x= 。（A=0或者（4E-A）x=0（4-義￡口=0有非零解0,-/1￡；|=0<=>|A￡-?1|=O^A-AE或者/IE-A為特征矩陣，4“-4 a\2 a\na、、—A,,??^（2）=det（A-AE）=: 22. .. ;為特征多項(xiàng)式，ac …ann-2（A—；lE）x=O為特征方程。（3例5：求矩陣A= 的特征值和特征向量。3）‘-110、例6：求矩陣A=-430的特征值和特征向量。1102）5分鐘掌握特征值及特征向量的求法。5分鐘4分鐘5分鐘，-21r例7：，-21r例7：求矩陣A=020的特征值和特征向量?！?13；3、特征值與特征向量的性質(zhì)：設(shè)n階矩陣A=（aJ的特征值為4,…,4,則4分鐘11分鐘要會(huì)利用性質(zhì)求相關(guān)矩陣的特征值。3分鐘4分鐘4分鐘3分鐘4分鐘3分鐘2分鐘^+^+---+2n=an+a22+---+ann；44…4=|a]。設(shè)4是方陣A的一個(gè)特征值，則3）方是A11的特征值（k為正整數(shù)）；4）f（/l）是多項(xiàng)式f（A）的特征值；5）當(dāng)A可逆時(shí)，!是人一1的特征值；均是A*的特征值；A A例9：設(shè)3階矩陣A的特征值為1,-1,2,求|A*+3A-2E|。4、定理2：設(shè)4,4,…,乙是方程A的m個(gè)特征值,p”p2,…,p?,依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，如果A,,A2,111,Am各不相同，則P],「2,…，p,n線性相關(guān)。例10：4和;12是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量依次為Pi和p2，證明Pl+P2不是A的特征向量。3相似矩陣.相似矩陣定義：定義7:設(shè)A,B都是階矩陣，若有可逆矩陣P,使pTap=8,則稱B是A的相似矩陣，或說矩陣A與B相似。對(duì)A進(jìn)行運(yùn)算稱為對(duì)A進(jìn)行相似變換，可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣..定理3：若n階矩陣A與B相似，則A與B的特征多項(xiàng)式相同，從而A與B的特征值亦相同。N、.推論：若n階矩陣A與對(duì)角陣2..相似，則…4,即是A的n個(gè)特征值?！Y(jié)論！&/（見）見如蚱Afl州制啰項(xiàng)式，則/（從）—0。

4.定義：對(duì)n階矩陣A,若存在相似變換矩陣P,使？tAP=A為對(duì)角陣，稱為把方陣A對(duì)角化。3分鐘5.定理4：n階矩陣A與對(duì)角陣相似（即A能對(duì)角化）的充分必要條件是A有4分鐘n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。6.推論：如果n階矩陣A的n個(gè)特征值互不相等，則A與對(duì)角陣相似。3分鐘僅01]例11：設(shè)A=11x,問x為何值時(shí)，矩陣A能對(duì)角化？6分鐘booj練習(xí)14分鐘本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：.一）作業(yè)：5.7.11.121分鐘二）思考題2分鐘

課后小結(jié)佳木斯大學(xué)授課教案課程名稱：線性代數(shù)授課教師邢志紅授課對(duì)象08級(jí)材料成型、鑄造專業(yè)授課時(shí)間90min授課題目§5.4對(duì)稱矩陣的對(duì)角化課型理論課使用教具常規(guī)教學(xué)教學(xué)目的了解對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)；會(huì)求正交相似變換矩陣將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn):實(shí)對(duì)稱陣對(duì)角化的具體步驟難點(diǎn):實(shí)對(duì)稱陣對(duì)角化的方法參考教材.《線性代數(shù)》，程銘東，舒和智編?？茖W(xué)出版社，2005年：.《工程數(shù)學(xué)例題與習(xí)題》（上冊(cè)），工科數(shù)學(xué)課程數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)本科組編，北京：高等教育出版社，1996年；.《線性代數(shù)同步測(cè)試》，謝延波主編，東北大學(xué)出版社。教學(xué)內(nèi)容時(shí)間分配及備注6分鐘6分鐘6分鐘5分鐘解題關(guān)鍵：定理6的應(yīng)用8分鐘4分鐘8分鐘8分鐘「500、例2設(shè)A=021,求一個(gè)正交矩陣P，使P'AP=A為對(duì)角矩陣、012,<111、例3設(shè)A=111,求一個(gè)正交矩陣P，使P'AP=A為對(duì)角矩陣.J1一、實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)定理5實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).定理6設(shè)4,4是實(shí)對(duì)稱矩陣A的兩個(gè)特征值,P//2依次是它們對(duì)應(yīng)的特征向量.若4H4,則Pi與P2正交.例1設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣43x3的特征值4=1,4=3,4=-3,屬于的特征向量依次為Pi=-1,P2=[l[求A.二、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化定理7設(shè)A為〃階對(duì)稱矩陣，則必有正交矩陣尸，使p-)P=A,其中A是以A的〃個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣.推論設(shè)A為"階對(duì)稱矩陣，A是A的特征方程的r重根，則矩陣A-/IE的秩R(A-4E)=n-r,從而特征值4恰有，個(gè)線性無關(guān)特征向量.用正交陣將實(shí)對(duì)稱矩陣A用正交陣將實(shí)對(duì)稱矩陣A化為對(duì)角陣的步驟:13分鐘0）求出A的所有相異的特征值4,4,…，4”；（"）對(duì)每一個(gè)匕重特征值4,求出對(duì)應(yīng)的4個(gè)線性無關(guān)的特征向量曷?2,…，氤（沆）用施密特正交化方法將每一個(gè)重特征值4所對(duì)應(yīng)的k.個(gè)線性無關(guān)的特征向量舞，。2,…,加先正交化再單位化為P“，P，2,…，曝它們?nèi)詫儆?的特征向量.（/V）將上面求得的正交單位向量作為列向量，排成一個(gè)〃階方陣P,則P即為所求的正交方陣.此時(shí)=PtAP=A為對(duì)角陣.29分鐘129分鐘1分鐘2分鐘四、本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：.—）作業(yè)：14.16.18-）思考題課后小結(jié)佳木斯大學(xué)授課教案課程名稱：線性代數(shù)授課教師邢志紅授課對(duì)象08級(jí)材料成型、鑄造專業(yè)授課時(shí)間90min授課題目§5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形-§5.7正定二次型課型理論課使用教具常規(guī)教學(xué)教學(xué)目的掌握二次型、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形等概念：會(huì)用正交變換法及配方法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形；掌握正定二次型與正定矩陣的概念并能夠判斷二次型、實(shí)對(duì)稱陣是否為正定的.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型；用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型；判定二次型的正定性難點(diǎn)：將二次型問題轉(zhuǎn)化為實(shí)對(duì)稱陣對(duì)角化問題參考教材.《工程數(shù)學(xué)例題與習(xí)題》（上冊(cè)），工科數(shù)學(xué)課程數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)本科組編，北京：高等教育出版社，1996年；.《線性代數(shù)同步測(cè)試》，謝延波主編，東北大學(xué)出版社。教學(xué)內(nèi)容時(shí)間分配及備注2分鐘2分鐘引入:對(duì)二次曲線做變化8分鐘對(duì)于n元的二次齊次多項(xiàng)式,能否存在一個(gè)線性變換將其變?yōu)橹缓椒巾?xiàng)的二次齊次多項(xiàng)式§5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形一、概念1、定義"個(gè)變量%,,々,…,x?，的二次齊次函數(shù)，(不外，…，/)=%方+TOC\o"1-5"\h\za22X24 ("annXn+^a\2XlX2+2。13*/3+…+2?！癬］,“工“_內(nèi) (1)稱為二次型.2,二次型的矩陣表示法若取勺=%,則=%*曰+a/tjXi于是(1)式可寫成f(xt,x2,...,xn)=Za/jXj (2)i,j=】“fa n ... nA /Y、w12 u\n 人］a、1 a、、 ??? ci^對(duì)二次型(1),記4=? ?2 ；，％=.^an\ an2 …ann) ［乙/則二次型(1)又表示為F(X/,X2 X”尸xTAx其中A為對(duì)稱矩陣，叫做二次型f(X1,x2,……，xn)的矩陣，也把/(七,％2,…,X”)叫做對(duì)稱矩陣A的二次型.對(duì)稱矩陣A的秩，叫做二次型/(七/2,…,x")=fA無的秩.思考：那么新二次型的矩陣與原二次型的矩陣A的關(guān)系是什么？2分鐘4分鐘思考：那么新二次型的矩陣與原二次型的矩陣A的關(guān)系是什么？2分鐘4分鐘2分鐘2分鐘3分鐘7分鐘5分鐘10分鐘總結(jié)步驟二次型/(x，9,…,x“)經(jīng)過可逆的線性變換=cuyi+cl2y2+-+cl?yn々flM+C22y2+…小1 (3).%=%必+32+~+%/1”即用(3)代入(1),還是變成二次型.可逆線性變換(3),記作x=Cy,其中矩陣C=(q。.把可逆的線性變換x=Cy代入二次型/=—4x,得二次型f=xtAx^(Cy)rA(Cy)=yT(CTAC)y就是說，若原二次型的矩陣為4,那么新二次型的矩陣為C)C,其中C是所用可逆線性變換的矩陣.例1用矩陣記號(hào)表示二次型f=-xj2+2x}x2-4x2x3+2xj定理有可逆矩陣C,使B=C)C,如果A為對(duì)稱矩陣，則B也為對(duì)稱矩陣，且R(A)=R(B).二、將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形主要問題：求可逆的線性變換‘王=。|必+。12y2+…+4“％尤2=。2舊+。22y2+…+。2"以 小〔X”=giM+c“2y2+…+%”尤將二次型(/)化為只含平方項(xiàng)，即用(3)代入(1),能使f(.x',X2 xn)=&y；+3；+ + k“y； (4)稱(4)為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.(二次型的標(biāo)準(zhǔn)型不唯一)也就是