北師大版初二上-勾股定理講義

第一章：勾股定理◆1.1探索勾股定理1．勾股定理的探索如圖，在單位長度為1的方格紙中畫一等腰直角三角形，然后向外作三個外正方形：觀察圖形可知：(1)各正方形的面積：正方形①的面積S1為1，正方形②的面積S2為1，正方形③的面積S3為2；(2)各正方形面積之間的關系：S1＋S2＝S3；(3)由此得到等腰直角三角形兩直角邊與斜邊之間的關系是：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．【例1】如圖，Rt△ABC在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，它的外圍是以它的三條邊為邊長的正方形．回答下列問題：(1)a2＝__________，b2＝__________，c2＝__________；(2)a，b，c之間有什么關系？(用關系式表示)2．勾股定理(1)勾股定理的有關概念：如圖所示，我們用勾(a)和股(b)分別表示直角三角形的兩條直角邊，用弦(c)來表示斜邊．(2)勾股定理的內容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．即：勾2＋股2＝弦2.(3)勾股定理的表示方法：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，則a2＋b2＝c2.辨誤區(qū)應用勾股定理的幾個誤區(qū)(1)勾股定理的前提是直角三角形，對于非直角三角形的三邊之間則不存在此種關系．(2)利用勾股定理時，必須分清誰是直角邊，誰是斜邊．尤其在記憶a2＋b2＝c2時，此關系式只有當c是斜邊時才成立．若b是斜邊，則關系式是a2＋c2＝b2；若a是斜邊，則關系式是b2＋c2＝a2.(3)勾股定理有許多變形，如c是斜邊時，由a2＋b2＝c2，得a2＝c2－b2，b2＝c2－a2等．熟練掌握這些變形對我們解決問題有很大的幫助．【例2－1】在△ABC中，∠C＝90°，(1)若a＝3，b＝4，則c＝__________；(2)若a＝6，c＝10，則b＝__________；(3)若a∶b＝3∶4，c＝5，則a＝__________，b＝__________.【例2－2】有一飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂正上方4000m處，過了20s，飛機距離這個男孩頭頂5000m，那么飛機每時飛行多少千米？3．勾股定理的驗證方法1：用四個相同的直角三角形(直角邊為a，b，斜邊為c)構成如圖所示的正方形．由“大正方形的面積＝小正方形的面積＋4個直角三角形的面積”，得(a＋b)2＝c2＋4×eq\f(1,2)ab.化簡可得：a2＋b2＝c2.方法2：用四個相同的直角三角形(直角邊為a，b，斜邊為c)構成如圖所示的正方形．由“大正方形的面積＝小正方形的面積＋4個直角三角形的面積”，得c2＝(b－a)2＋4×eq\f(1,2)ab.化簡可得：a2＋b2＝c2.方法3：用兩個完全相同的直角三角形(直角邊為a，b，斜邊為c)構成如圖所示的梯形．由“梯形面積等于三個直角三角形面積之和”可得：eq\f(1,2)(a＋b)(a＋b)＝2×eq\f(1,2)ab＋eq\f(1,2)c2.化簡可得：a2＋b2＝c2.說明：勾股定理的驗證還有很多方法．在一些幾何問題中，利用圖形經(jīng)過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積就不會改變．利用拼圖來驗證勾股定理,就是根據(jù)同一種圖形(或兩個全等的圖形)面積的不同表示方法列出等式，從而推導出勾股定理.【例3】在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標取材于我國古代數(shù)學家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示)．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b，那么(a＋b)2的值為()．A．169 B．144 C．100 D．254．利用勾股定理求長度利用勾股定理求長度，關鍵是找出直角三角形或構造直角三角形，把實際問題轉化為直角三角形問題．常見的方法有：(1)利用高(作垂線)構造直角三角形；(2)利用已知直角構造直角三角形；(3)利用勾股定理構造直角三角形．已知直角三角形的兩邊，求第三邊，關鍵是弄清已知什么邊，求什么邊，用平方和還是用平方差．【例4】如圖，校園內有兩棵樹，相距12m，一棵樹高13m，另一棵樹高8m，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，至少要飛多少米？5.利用勾股定理求面積(1)利用勾股定理求面積，關鍵是注意轉化思想的應用．把所求的面積轉化到已知的數(shù)量關系中去．如求圖中陰影部分的面積，可轉化為中間正方形的面積，而中間正方形的面積等于右側直角三角形短直角邊的平方，借助于右側的直角三角形，利用勾股定理解答即可．(2)利用勾股定理求面積，還要注意整體思想的應用．【例5】如圖，小李準備建一個蔬菜大棚，棚寬4m，高3m，長20m，棚的斜面用塑料薄膜遮蓋，不計墻的厚度，請計算陽光透過的最大面積．6．勾股定理與方程相結合的應用(1)在進行直角三角形的有關計算時，一般要運用勾股定理，在運用過程中，有時直接運用，有時是通過勾股定理來列方程求解．具體問題如下：①已知直角三角形的兩邊，求第三邊的長；②說明線段的平方關系；③判斷三角形的形狀或求角的大?。虎芙鉀Q實際問題．(2)利用勾股定理解決生活中的實際問題時，關鍵是利用轉化的思想把實際問題轉化為數(shù)學模型(直角三角形)，利用列方程或方程組來解決．(3)勾股定理與代數(shù)中的平方差公式相結合，解決此類問題可以先根據(jù)勾股定理列出關于兩直角邊的數(shù)量關系式，再通過恒等變形巧妙求解．【例6】如圖，滑桿在機械槽內運動，∠ACB為直角，已知滑桿AB長2.5m，頂端A在AC上運動，量得滑桿下端B距C點的距離為1.5m，當端點B向右移動0.5m時，求滑桿頂端A下滑了多少米？◆中考實戰(zhàn)演練1、（山東聊城中考）河壩橫斷面如右上圖所示，堤高，則。2、（四川達州中考）如圖是一株美麗的勾股數(shù)，其中所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的邊長分別是3，5，2，3，則最大正方形E的面積是3、（貴州安順中考）下圖中左圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC=6，BC=5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長（右圖的實線部分）是4、（湖北孝感）[問題情境]勾股定理是一條古老的數(shù)學定理，它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進行證明，著名數(shù)學家華羅庚曾提出把“數(shù)形關系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進行第一次“談話”的語言。[定理表述]請你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號語言敘述）；[嘗試證明]以圖1中的直角三角形為基礎，可以構造出以a、b為底，以為高的直角梯形（如圖2），請你利用圖2，驗證勾股定理；[知識拓展]利用圖2中的直角梯形，我們可以證明其證明步驟如下：。又∵在直角梯形ABCD中有BCAD（填大小關系），即，………………◆1.2一定是直角三角形嗎1．勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理的內容：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．(2)勾股定理的逆定理的釋疑：不少的同學對知道三角形三邊滿足a2＋b2＝c2能得到直角三角形這樣的一種結論持有懷疑的態(tài)度，其實通過三角形的全等可以很簡單地證明出來．比如：如果在△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，并且滿足a2＋b2＝c2(如圖所示)，那么∠C＝90°.作△A1B1C1，使∠C1＝90°，B1C1＝a，C1A1＝b，則A1Beq\o\al(2,1)＝a2＋b2.∵a2＋b2＝c2，∴A1B1＝c(A1B1＞0)．在△ABC和△A1B1C1∵BC＝a＝B1C1，CA＝b＝C1A1，AB＝c＝A1B1，∴△ABC≌△A1B1C1.∴∠C＝∠辨誤區(qū)勾股定理的逆定理的條件(1)不能說成在直角三角形中，因為還沒有確定直角三角形，當然也不能說“斜邊”和“直角邊”．(2)當滿足a2＋b2＝c2時，c是斜邊，∠C是直角．利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否為直角三角形的思路是：先確定最長邊，算出最長邊的平方及另兩邊的平方和，如果最長邊的平方與另兩邊的平方和相等，則此三角形為直角三角形．對??！到目前為止判定直角三角形的方法有：①說明三角形中有一個直角；②說明三角形中有兩邊互相垂直；③勾股定理的逆定理.【例1】如圖所示，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13，問：AD⊥AB嗎？試說明理由．2．勾股定理的逆定理與勾股定理的關系勾股定理是通過“形”的狀態(tài)來反映“數(shù)”的關系的，而勾股定理的逆定理是通過“數(shù)”的關系來反映“形”的狀態(tài)的．(1)勾股定理是直角三角形的性質定理，勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，二者是互逆的．(2)聯(lián)系：①兩者都與a2＋b2＝c2有關，②兩者所討論的問題都是直角三角形問題．(3)區(qū)別：勾股定理是以“一個三角形是直角三角形”為條件，進而得到這個直角三角形三邊的數(shù)量關系“a2＋b2＝c2”；勾股定理的逆定理則是以“一個三角形的三邊滿足a2＋b2＝c2(4)二者關系可列表如下：定理勾股定理勾股定理的逆定理內容如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形題設直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2結論a2＋b2＝c2三角形是直角三角形用途是直角三角形的一個性質判定直角三角形的一種方法【例2】如圖，在△ABC中，D為BC邊上的點，已知：AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC.3．勾股數(shù)勾股數(shù)：滿足a2＋b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．(1)由定義可知，一組數(shù)是勾股數(shù)必須滿足兩個條件：①滿足a2＋b2＝c2；②都是正整數(shù)．缺一不可．(2)將一組勾股數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù)所得的數(shù)仍滿足a2＋b2＝c2(但不一定是勾股數(shù))，以它們?yōu)檫呴L的三角形是直角三角形，比如以0.3cm,0.4cm,0.5cm為邊長的三角形是直角三角形．【例3】①7,24,25；②8,15,19；③0.6,0.8,1.0；④3n,4n,5n(n＞1，且為自然數(shù))．上面各組數(shù)中，勾股數(shù)有______組．()．A．1 B．2 C．3 D．4【例4】如圖是一農民建房時挖地基的平面圖，按標準應為長方形，他在挖完后測量了一下，發(fā)現(xiàn)AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，請你幫他看一下，挖的地基是否合格？5．利用非負數(shù)的性質判定三角形的形狀在由一個等式求三角形的三邊長時，往往先把等式化為a2＋b2＋c2＝0的形式，再由a＝0，b＝0，c＝0，求得三角形三邊之長，利用計算來判斷△ABC是否是直角三角形．談重點判定三角形的形狀由條件等式來判斷三角形的形狀，就是將已知的條件等式變形，再根據(jù)它的結構特點，得出a，b，c的關系，從而判斷三角形的形狀．【例5】如果一個三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋266．勾股定理及其逆定理的綜合應用(1)利用勾股定理解決生活中的實際問題時，關鍵是利用轉化的思想把實際問題轉化為數(shù)學模型(直角三角形)來解決．(2)綜合運用勾股定理及其逆定理，將不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形是常用的數(shù)學方法，在這里，一方面要熟記常用的勾股數(shù)；另一方面要注意到：如果一個三角形的三邊長已知或具有某些比例關系，那么就可以用勾股定理的逆定理去驗證其是否是直角三角形．【例6】如圖所示，在四邊形ABCD中，AD＝3cm，AB＝4cm，∠BAD＝90°，BC＝12cm，CD＝13cm.求四邊形ABCD的面積．◆中考實戰(zhàn)演練1、（廣東湛江中考）下列四組線段中，可以構成直角三角形的是（）A.1,2,3B.2,3,4C.6,8,10D.4,5,62、（山東濱州中考）在△ABC中，AB=17，AC=10，BC邊上的高AD=8（AD在△ABC內），則BC=3、（遼寧丹東市）已知△ABC是邊長為1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰Rt△ADE，…，依此類推，第n個等腰直角三角形的斜邊長是．4、（廣西南寧）如圖，每個小正方形的邊長為1，的三邊的大小關系式（）A.B.C.D.………………◆1.3勾股定理的應用1．長方體(或正方體)面上的兩點間的最短距離長方體(或正方體)是立體圖形，但它的每個面都是平面．若計算同一個面上的兩點之間的距離比較容易，若計算不同面上的兩點之間的距離，就必須把它們轉化到同一個平面內，即把長方體(或正方體)設法展開成為一個平面，使計算距離的兩個點處在同一個平面中，這樣就可以利用勾股定理加以解決了．所以立體圖形中求兩點之間的最短距離，一定要審清題意，弄清楚到底是同一平面中兩點間的距離問題還是異面上兩點間的距離問題．談重點長方體表面上兩點間最短距離因為長方體的展開圖不止一種情況，故對長方體相鄰的兩個面展開時，考慮要全面，不要有所遺漏．不過要留意展開時的多種情況，雖然看似很多，但由于長方體的對面是相同的，所以歸納起來只需討論三種情況——前面和右面展開，前面和上面展開，左面和上面展開，從而比較取其最小值即可．【例1－1】如圖①是一個棱長為3cm的正方體，它的6個表面都分別被分成了3×3的小正方形，其邊長為1cm.現(xiàn)在有一只爬行速度為2cm/s的螞蟻，從下底面的A點沿著正方體的表面爬行到右側表面上的B點，小明把螞蟻爬行的時間記錄了下來，是2.5s．經(jīng)過簡短的思考，小明先是臉上露出了驚訝的表情，然后又露出了欣賞的目光．你知道小明為什么會佩服這只螞蟻的舉動嗎？【例1－2】如圖，一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點C1處(三條棱長如圖所示)，問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？2．圓柱體(或圓錐體)面上的兩點間的最短距離圓柱體(或圓錐體)是立體圖形，從其表面看兩點之間的連線絕大部分是曲線，那么怎樣確定哪一條是最短的呢？解決問題的方法是將圓柱(或圓錐)的側面展開，轉化為平面圖形，應用勾股定理解決，而不能盲目地憑感覺來確定．【例2】如圖①所示，一只螞蟻在底面半徑為20cm，高為30πcm的圓柱下底的點A處，發(fā)現(xiàn)自己正上方圓柱上邊緣的B處有一只小昆蟲，便決定捕捉這只小昆蟲，為了不引起這只小昆蟲的注意，它故意不走直線，而繞著圓柱，沿一條螺旋路線，從背后對小昆蟲進行突然襲擊，結果螞蟻偷襲成功，得到了一頓美餐．根據(jù)上述信息，請問螞蟻至少爬行多少路程才能捕捉到小昆蟲？3．生活中兩點間的最短距離用勾股定理解決實際問題的關鍵是從實際問題中構建數(shù)學模型——直角三角形，再正確利用兩點之間線段最短解答．【例3】如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為5dm,3dm和1dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物．請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點的最短路程是多少？4．如何正確利用勾股定理及其逆定理解決生活中的問題利用勾股定理及其逆定理解決生活中的實際問題，重要的是將實際問題轉化成數(shù)學模型(直角三角形模型)，將實際問題中的“數(shù)”轉化為定理中的“形”，再轉化為“數(shù)”．解題的關鍵是深刻理解題意，并畫出符合條件的圖形．解決幾何體表面上兩點之間的最短距離問題的關鍵是要設法把立體圖形轉化為平面圖形，具體步驟是：(1)把立體圖形展成平面圖形；(2)確定點的位置；(3)確定直角三角形；(4)分析直角三角形的邊長，用勾股定理求解．【例4】如圖①，圓柱形玻璃容器的高為18cm，底面周長為60cm，在外側距下底1cm的點S處有一只蜘蛛，在與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側距上口1cm的點F處有一只蒼蠅，急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛需要爬行的最短距離是__________cm.5．勾股定理與方程相結合的應用方程思想是一種重要的數(shù)學思想．所謂方程思想是指從分析問題的數(shù)量關系入手，將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關系通過適當設元建立起方程(組)，然后通過解方程(組)使問題得到解決的思維方式．而勾股定理反映的直角三角形三邊的關系正是構建方程的基礎．故勾股定理的許多問題的解決都要跟方程相結合．方程思想是勾股定理中的重要思想．【例5】如圖，有一張直角三角形狀紙片ABC，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長嗎？◆中考實戰(zhàn)演練（廣西南寧中考）在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于點D，且AB=4，BD=5，則點D到BC的距離是………………︿﹀︿﹀︿﹀︿﹀︿﹀︿﹀︿﹀︿﹀︿﹀︿﹀︿﹀︿﹀︿﹀︿﹀︿﹀………………第一章：勾股定理章末總結【基礎知識】1、勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別是，斜邊長為，那么；2、勾股定理的證明方法：一般是通過剪拼，借助面積進行證明，其中依據(jù)的是圖形經(jīng)過割補拼接后，只要沒有重疊、沒有空隙，面積不變；3、勾股定理的應用條件：勾股定理只適用于直角三角形，所以常作輔助線高，構造直角三角形；4、勾股定理的應用：①已知直角三角形的兩邊，求第三邊；②表示長度為無理數(shù)的線段；③在數(shù)軸上作出表示無理數(shù)的點；5、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長滿足，那么這個三角形是直角三角形；點撥：①能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。若是一組勾股數(shù)，則（是正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)；②若為一直角三角形的三邊長，則以（）為三邊的三角形也是直角三角形；6、互逆命題：一般地，如果兩個命題的題設、結論正好相反，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題；點撥：①每個命題都有逆命題，說逆命題時只需將題設和結論調換即可，但要分清題設和結論，并注意語言的運用；②原命題有真有假，逆命題也有真有假，它們可能都真，也可能一真一假，還可能都假；【解題方法總結】方法1：矩形折疊問題：利用勾股定理求得相關的邊長，從而得到所求結論，求解的基本步驟是：①分析題意，確定相關的等量關系以及可求出的量；②設出未知數(shù)，找到其所在的直角三角形，利用勾股定理列出方程；③解方程，求得未知線段，得出結論。方法2：利用勾股定理證明線段間的關系。解決三角形中線段平方關系的證明問題，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理進行轉化，求解的基本步驟是：①找直角三角形，利用勾股定理列出線段平方的關系式，若沒有直角三角形，常常通過作垂線來構造直角三角形；②根據(jù)所列線段平方的關系式，尋找關系式中線段與待求結論中的線段之間的等量關系；③將待求線段代入所列線段平方關系式中，化簡即可得出結論。方法3：利用勾股定理求面積，其基本步驟是：①分析題意，將已知各正方形邊長分別看作是一個直角三角形的邊長或逐漸向一個直角三角形靠攏；②利用勾股定理將直角三角形三邊長的關系式與正方形的面積聯(lián)系起來；③根據(jù)直角三角形三邊長的關系求得正方形的面積的值或其和差關系；方法4：求立體圖形上的最短距離，其基本步驟是：①將幾何體展開，確定所要求的是哪兩點之間的距離；②根據(jù)兩點之間線段最短的原理，在展開圖上確定最短距離；③利用勾股定理列式求解?！洇濡洇濡洇濡洇濡洇濡洇濡洇濡洇濡洇濡洇濡洇濡洇濡洇濡洇濡洇濉艄垂啥ɡ砼鄡?yōu)【例1】已知一直角三角形的斜邊長是2（斜邊上的中線為1），周長是2+，求這個三角形的面積．【練習1】已知：如圖，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，求圖形中陰影部分的面積．【練習2】已知：長方形ABCD，AB∥CD，AD∥BC，AB=2，AD≠DC，長方形ABCD的面積為S，沿長方形的對稱軸折疊一次得到一個新長方形，求這個新長方形的對角線的長．【練習3】若線段a、b、c能組成直角三角形，則它們的比值可以是（）A．1：2：4B．1：3：5C．3：4：7D．5：12：13【例2】如圖，把一張長方形紙片ABCD折疊起來，使其對角頂點A、C重合，若其長BC為a，寬AB為b，則折疊后不重合部分的面積是多少？【練習4】如圖，把矩形ABCD沿直線BD向上折疊，使點C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分△EBD的面積為________．【練習5】如圖，一架長2.5m的梯子，斜放在墻上，梯子的底部B離墻腳O的距離是0.7m，當梯子的頂部A向下滑0.4m到A′時，梯子的底部向外移動多少米？【練習6】如圖，長方形ABCD中，AB=3，BC=4，若將該矩形折疊，使C點與A點重合，則折疊后痕跡EF的長為（）A．3.74B．3.75C．3.76D．3.77AEBCDF【練習7】如圖折疊長方形的一邊BC，使點B落在AD邊的FAEBCDF求折痕EF的長．【例3】試判斷，三邊長分別為2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n為正整數(shù)）的三角形是否是直角三角形？【練習8】若△ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，則△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形【練習9】如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點，E為BC上一點，且EC=BC，猜想AF與EF的位置關系，并說明理由．【練習10】△ABC中的三邊分別是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（）A．△ABC是直角三角形，且斜邊長為m2+1．B．△ABC是直角三角形，且斜邊長為2m．C．△ABC是直角三角形，但斜邊長由m的大小而定．D．△ABC不是直角三角形．【例4】已知：如圖所示，△ABC中，D是AB的中點，若AC=12，BC=5，CD=6.5．求證：△ABC是直角三角形．【