壓桿的穩(wěn)定性課件

第11章壓桿的穩(wěn)定性§11-1關(guān)于穩(wěn)定性的概念§11-2細(xì)長中心壓桿的臨界荷載§11-4壓桿的穩(wěn)定條件和穩(wěn)定性計(jì)算§11-3歐拉公式的適用范圍·臨界應(yīng)力總圖1第11章壓桿的穩(wěn)定性§11-1關(guān)于穩(wěn)定性的概念§實(shí)際壓桿存在的情況：(1)本身不可能絕對地直；(2)材質(zhì)不可能絕對地均勻；(3)軸向壓力也會有偶然偏心。F§11-1關(guān)于穩(wěn)定性的概念壓桿是在壓縮與彎曲組合變形的狀態(tài)下工作的。2實(shí)際壓桿存在的情況：(1)本身不可能絕對地直；F§11-1桿的橫截面上的彎矩與桿的彎曲變形程度有關(guān)，所以即使在線彈性范圍內(nèi)工作，撓度也不與荷載成線性關(guān)系，撓度的增長要比荷載增長來得快。細(xì)長壓桿始終在線彈性范圍內(nèi)工作，當(dāng)F=Fu時，它便因撓度迅速增長而喪失繼續(xù)承受荷載的能力。3桿的橫截面上的彎矩與桿的彎曲變形程度有關(guān)，所中等長度壓桿當(dāng)撓度增大到一定值時，桿便在彎壓組合作用下因強(qiáng)度不足而喪失承載能力。求壓桿的承載力Fu，可采用兩種不同的計(jì)算圖式：(1)把實(shí)際的壓桿看作是荷載F有偶然偏心等的小剛度桿(2)把實(shí)際的壓桿看作是理想的中心壓桿。4中等長度壓桿當(dāng)撓度增大到一定值時，桿便在取第一種計(jì)算圖式，則得彎矩方程為：M(x)=F(d+e-n)代入撓曲線近似微分方程，利用邊界條件得到：如圖所示。無論初始偏心距e的大小如何變化，當(dāng)F→p2EIz/(2l)2時d

迅速增長，從而有極限荷載5取第一種計(jì)算圖式，則得彎矩方程為：M(x)=F根據(jù)上圖所示偏心距e為不同值時的F–d圖線可以推想：若將實(shí)際壓桿看作初始偏心距e為零的理想中心壓桿，則其F－d關(guān)系應(yīng)如下圖(a)、(b)所示。δFFuOAB(b)F－d關(guān)系當(dāng)F＜Fu時桿的直線狀態(tài)的平衡是穩(wěn)定的（不可能彎曲）；ylFcrFx(a)理想中心壓桿O6根據(jù)上圖所示偏心距e為不同值時的F–d圖線可以推想：δFFuOAB(b)F-d關(guān)系當(dāng)F=Fu時桿的直線狀態(tài)的平衡是不穩(wěn)定的，如果稍受干擾桿便將在任意微彎狀態(tài)下保持平衡。由上述分析可見，F(xiàn)達(dá)到Fu，桿便會失去原有直線狀態(tài)平衡的穩(wěn)定性——失穩(wěn)。把理想中心壓桿從直線狀態(tài)的穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡的那個荷載值稱之為臨界荷載Fcr（能保持微彎狀態(tài)的荷載值）。對于細(xì)長壓桿：Fcr=Fu7δFFuOAB(b)F-d關(guān)系當(dāng)F=注意：如果在理論分析中有若干個荷載值均能滿足桿保持微彎狀態(tài)的條件，那么有實(shí)際意義的應(yīng)該是其中的最小值。8注意：如果在理論分析中有若干個荷載值均能滿足桿§11-2細(xì)長中心壓桿的臨界荷載理想中心壓桿的臨界荷載Fcr即為桿能保持微彎狀態(tài)的荷載值。在理論分析中首先找出每一具體情況下桿的撓曲線方程，而方程成立時的荷載就是所求的臨界荷載。9§11-2細(xì)長中心壓桿的臨界荷載理想中心考慮下圖細(xì)長壓桿在線彈性、小變形情況下，且不考慮剪切對于變形的影響，則其撓曲線近似微分方程為yz得ylFcrxwδxo10考慮下圖細(xì)長壓桿在線彈性、小變形情況下，且不考慮剪切對于變形得撓曲線方程w=Asinkx+Bcoskx+d由邊界條件得A=0，B=－d則w=d(1-coskx)x=0,w=0x=0,w′=0顯然，當(dāng)方程成立時應(yīng)有ylFcrxwδxo11得撓曲線方程w=Asinkx+Bcoskx+即d=d(1-coskl)得coskl=0要滿足上面的方程，則kl=p/2,3p/2,5p/2,······取其最小值kl=p/2，代入k的表達(dá)式，得該壓桿的臨界荷載式中Iz是桿在Fcr作用下微彎時橫截面對于中性軸z的慣性矩。ylFcrxwδxo12即d=d(1-coskl)得coskl=0要若截面是下面這種形式，則yzylFcrxvδxo13若截面是下面這種形式，則yzylFcrxvδxo13下圖為一下端固定、上端鉸支、長度為l的等截面中心受壓直桿，桿橫截面對z軸的慣性矩為I。試推導(dǎo)其臨界力Fcr的公式，并求出壓桿的撓曲線方程。lAByxFcr例題11-114

解：在臨界力Fcr作用下，根據(jù)此壓桿支承處的約束情況，有ABFSFSFcrFcrMel-xxlAByxFcr例題11-115解：在臨界力Fcr作用下，根據(jù)此壓桿支承處的代入撓曲線近似微分方程，得則(2)式之通解為———(1)w=Asinkx+Bcoskx+FS(l-x)/Fcr———(3)———(2)例題11-1ABFSFSFcrFcrMel-xx16代入撓曲線近似微分方程，得則(2)式之通解為———(1)w由邊界條件x=0,w'=0再由x=0,w=0w′=Akcoskx-Bksinkx-FS/Fcr———(4)得———(5)得———(6)例題11-117由邊界條件x=0,w'=0再由x=0,w=將(5)、(6)式代入(3)式有由鉸支端處的邊界條件x=l,w=0，得桿在微彎狀態(tài)下平衡時FS不可能等于零，于是必須有———(7)———(8)———(9)例題11-118將(5)、(6)式代入(3)式有由鉸支端處的邊界條件x=l即———(10)由上式得kl=4.49———(11)從而有———(12)相應(yīng)地由(7)式得撓曲線微分方程——(13)例題11-119即———(10)由上式得kl=4.49———(11)幾種理想支端約束條件下的細(xì)長壓桿當(dāng)這些壓桿都是等截面桿,且均由同一材料制成時,其臨界荷載Fcr的計(jì)算公式可統(tǒng)一寫為lABFcrlFcrvlABFcrlAByxFcr20幾種理想支端約束條件下的細(xì)長壓桿當(dāng)這些壓桿都是等截面桿,且均式中m稱為長度系數(shù),隨桿端約束情況而異；ml則稱為相當(dāng)長度，即相當(dāng)于兩端球形鉸支壓桿的長度。上式稱為歐拉公式,如下各圖所示。lABFcrlAByxFcr21式中m稱為長度系數(shù),隨桿端約束情況而異；ml則稱為相當(dāng)lABFcrlFcrv從上述分析可知,中心受壓直桿的臨界力Fcr與桿端的約束情況有關(guān)，桿端的約束越強(qiáng)，臨界力越大。22lABFcrlFcrv從上述分析可知,中心受如下圖所示兩端固定但上端可有水平位移的等截面中心受壓直桿，其長度為l，橫截面對z軸的慣性矩為I。推導(dǎo)其臨界力Fcr的歐拉公式，并求出壓桿的撓曲線方程。lABFcr思考題11-123如下圖所示兩端固定但上端可有水平位移的等截面ABδyxFcrFcrMeMe思考題11-1參考答案：lABFcr24ABδyxFcrFcrMeMe思考題11-1參考答案：lAB撓曲線近似微分方程最后得kl=p撓曲線方程思考題11-1參考答案：ABδyxFcrFcrMeMe25撓曲線近似微分方程最后得kl=p撓曲線方程思考題11-1推導(dǎo)如圖變截面壓桿臨界力Fcr的歐拉公式。思考題11-226推導(dǎo)如圖變截面壓桿臨界力Fcr的歐拉公式。思考題11-2在臨界力作用下，此桿可在微彎狀態(tài)下維持平衡，其撓曲線由AD、DE、EB三段組成。由撓曲線光滑連續(xù)條件可知：在相鄰兩段撓曲線的交界點(diǎn)，撓度相等，轉(zhuǎn)角亦相等。此外中點(diǎn)C處的切線應(yīng)與x軸平行。分段列撓曲線近似微分方程，最后求解得到思考題11-2參考答案：27在臨界力作用下，此桿可在微彎狀態(tài)下維持平衡，其撓求壓桿臨界荷載的歐拉公式Fcr=p2EI/(ml)2只適用于壓桿失穩(wěn)時仍在線彈性范圍內(nèi)工作的情況。應(yīng)注意：按失穩(wěn)的概念，在臨界荷載作用下盡管壓桿的直線狀態(tài)的平衡是不穩(wěn)定的，但如果不受干擾，桿仍可在直線狀態(tài)下保持平衡?！?1-3歐拉公式的適用范圍·臨界應(yīng)力總圖28求壓桿臨界荷載的歐拉公式Fcr=p2EI可以把臨界狀態(tài)下按直桿算得的橫截面上的正應(yīng)力scr=Fcr/A不超過材料的比例極限sp作為歐拉公式適用范圍的判別條件，即式中的scr=Fcr/A稱為臨界應(yīng)力。引入Fcr的表達(dá)式，有式中I/A是一個只有截面形狀及尺寸有關(guān)的量，通常把它的方根用i表示，即———(1)———(2)29可以把臨界狀態(tài)下按直桿算得的橫截面上的正應(yīng)力稱i為截面慣性半徑。則(2)式可表示為式中l(wèi)=ml/i，為壓桿的柔度，亦稱長細(xì)比。將式(3)代入(1)式，則有或改寫為———(3)30稱i為截面慣性半徑。則(2)式可表示為式中l(wèi)=ml/i上式表明，如果壓桿的柔度l大于或等于只與材料性質(zhì)有關(guān)的一個量那么歐拉公式適用。對于Q235鋼，如取E=2.06×105MPa，比例極限sp=200MPa,則lp=100。31上式表明，如果壓桿的柔度l大于或等于只與材料性質(zhì)有關(guān)的一個量右圖示出了細(xì)長壓桿臨界應(yīng)力scr隨柔度l的變化情況，以及歐拉公式的適用范圍。splp歐拉公式可用雙曲線scrl應(yīng)該注意的是：“l(fā)≥lp時歐拉公式可用”系按理想中心壓桿得到的。事實(shí)上，對于l比lp大得不太多的實(shí)際壓桿，由于有偶然偏心等，就會在彎壓組合下因強(qiáng)度不足而喪失承載能力，因此歐拉公式不適用。32右圖示出了細(xì)長壓桿臨界應(yīng)力scr隨柔度l的變化我國鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中對于由Q235鋼制成的壓桿，根據(jù)試驗(yàn)資料規(guī)定，對于l≥lc，而不是l≥lp的壓桿才能用歐拉公式求臨界應(yīng)力，而該規(guī)范還規(guī)定，對于l＜lc的鋼壓桿，臨界應(yīng)力的計(jì)算式采用拋物線型的半經(jīng)驗(yàn)公式33我國鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中對于由Q235鋼制成的壓桿，對于Q235鋼制成的壓桿，a

=0.43。臨界應(yīng)力總圖（s

－l）l0.57sslclp雙曲線拋物線scrss34對于Q235鋼制成的壓桿，a=0.43。臨界應(yīng)力總圖（s幾個概念：(1)細(xì)長壓桿（大柔度壓桿）能應(yīng)用歐拉公式求臨界應(yīng)力的壓桿。(2)短壓桿是指柔度特別小的（其臨界應(yīng)力接近于材料的強(qiáng)度）桿。(3)中長壓桿是指柔度特別大的桿。35幾個概念：(1)細(xì)長壓桿（大柔度壓桿）能應(yīng)用歐拉公式求臨界§11-4壓桿的穩(wěn)定條件和穩(wěn)定性計(jì)算要保證壓桿在荷載作用下不致失穩(wěn)且有一定的安全儲備，其條件是式中的nw為穩(wěn)定的安全因數(shù)。相應(yīng)地有或式中[sw]穩(wěn)定容許應(yīng)力，它是隨壓桿柔度l變化的一個量。36§11-4壓桿的穩(wěn)定條件和穩(wěn)定性計(jì)算要保在有些工程計(jì)算中，更把穩(wěn)定容許應(yīng)力[sw]通過一個隨壓桿柔度l變化的穩(wěn)定系數(shù)j(l)與桿材料的強(qiáng)度容許應(yīng)力[s]加以聯(lián)系，即37在有