誤差的合成與分配-(共49張PPT)精選

誤差的合成(héchéng)與分配第一頁，共49頁。2間接測量的概念(1)直接(zhíjiē)測量——無需對被測的量與其它實測的量進行函數關系的輔助計算，而直接(zhíjiē)得到被測量值的測量。

例如用游標卡尺測量零件直徑。(2)間接測量——實測的量與被測的量之間有已知函數關系，通過計算而得到被測量值的測量。例如通過測量圓柱體的圓周長度L，通過關系式D=L/π，得到所求的零件直徑D。間接測量誤差是各個直接(zhíjiē)測量值誤差的函數，稱這種誤差為函數誤差。第二頁，共49頁。3第一節(jié)函數誤差(wùchā)一、函數系統(tǒng)誤差(wùchā)計算設間接測量中間接測量值y是各個直接測量量xi的多元函數，其表達式為式中－間接測量值－各個(gègè)直接測量值?？芍?kězhī)第三頁，共49頁。4若已知各個直接(zhíjiē)測量值的系統(tǒng)誤差可近似(jìnsì)得到函數的系統(tǒng)誤差為稱為(chēnɡwéi)第i個直接測量值的誤差傳遞系數。

注意：這里講的是函數系統(tǒng)誤差計算，各個直接測量值的系統(tǒng)誤差對函數總誤差的貢獻基本是代數和的形式。第四頁，共49頁。5幾種(jǐzhǒnɡ)簡單函數的系統(tǒng)誤差1、線性函數(hánshù)2、三角函數(sānjiǎhánshù)形式系統(tǒng)誤差公式當

當函數為各測量值之和時，其函數系統(tǒng)誤差亦為各個測量值系統(tǒng)誤差之和第五頁，共49頁。6【例6-1】用弓高弦長法間接測量大工件直徑。如圖所示，車間工人用一把卡尺量得弓高，弦長，工廠檢驗部門又用高準確度等級的卡尺量得弓高，弦長試問車間工人測量該工件直徑的系統(tǒng)誤差，并求修正后的測量結果。

【解】建立間接測量大工件直徑的函數(hánshù)模型不考慮(kǎolǜ)測量值的系統(tǒng)誤差，可求出在處的直徑測量值第六頁，共49頁。7車間(chējiān)工人測量弓高、弦長的系統(tǒng)誤差直徑(zhíjìng)的系統(tǒng)誤差故修正(xiūzhèng)后的測量結果計算過程（求修正后的測量結果）：誤差傳播系數為若直接用h=50.1和L=499計算得：1292.62mm。第七頁，共49頁。8二、函數(hánshù)隨機誤差的計算設間接測量(cèliáng)中，間接測量(cèliáng)值y是各個直接測量(cèliáng)量xi的多元函數，其表達式為下面(xiàmian)來推導間接測量時函數隨機誤差的計算公式：

設對各個直接測量值xi皆進行了N次等精度測量，其相應的隨機誤差為第八頁，共49頁。9可得函數(hánshù)y的隨機誤差為將上式每個方程(fāngchéng)平方得:第九頁，共49頁。10將上式相加第十頁，共49頁。11上式各項除以N得:第十一頁，共49頁。12則可得：第十二頁，共49頁。13當各測量(cèliáng)值的隨機誤差是相互獨立的，且N適當大時，相關項即相關系數上式可化簡為第十三頁，共49頁。14所以,當各測量(cèliáng)值的隨機誤差相互獨立時，函數隨機誤差的計算式為：第十四頁，共49頁。15回到本章開始的例子用千分尺直接測量圓柱體的直徑d和高度h（d和h的基本(jīběn)尺寸均為10mm）各6次，測得值列于下表，求圓柱體體積V及標準差。直徑d10.08510.08510.09010.08010.08510.080高度h10.10510.11510.11510.11010.11010.105解：第十五頁，共49頁。16按貝塞爾式計算(jìsuàn)和的標準差分別為第十六頁，共49頁。17又例：系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法(fāngfǎ)中，

算術平均值的差值與標準差比較法中有計算公式，兩組算術(suànshù)平均值之差為：當時講：可以證明兩算術(suànshù)平均值之差的方差為：（現(xiàn)利用函數隨機誤差計算方法來證明）第十七頁，共49頁。各單項誤差的極限誤差這里講的是函數系統(tǒng)誤差計算，各個直接測量值的系統(tǒng)誤差對函數總誤差的貢獻基本是代數和的形式。第三十四頁，共49頁。或者，由各單項未定系統(tǒng)誤差極限誤差得到(dédào)的合成未定系統(tǒng)誤差極限誤差為：知道影響測量結果的誤差因素而不知道每個和此時測量直徑的極限誤差雖超出按等作用原則分配所得的允許誤差，但可從測量高度允許的多余部分得到補償。當各測量(cèliáng)值的隨機誤差是相互獨立的，且N適當大時，相關項一、已定系統(tǒng)誤差的合成(héchéng)同隨機誤差的合成類似，未定系統(tǒng)誤差合成時可以按照標準差合成，也可以按照極限誤差的形式合成。誤差的合成(héchéng)與分配用弓高弦長法間接測量大工件直徑。各單項誤差的極限誤差2、三角函數(sānjiǎhánshù)形式（1）選擇最佳函數誤差公式試問車間工人測量該工件直徑的系統(tǒng)誤差，并求修正后的測量結果。18三、相關系數（標準協(xié)方差）相關系數（標準協(xié)方差）是表達兩維隨機變量(suíjībiànliànɡ)（ξ,η）相互依賴性的數字特征，若ξ,η是不相互獨立的隨機變量(suíjībiànliànɡ)，定義：第十八頁，共49頁。19實際工作(gōngzuò)中相關系數的確定1.直接判斷法：根據專業(yè)知識來進行判斷；2.實驗觀察和簡略計算法：（1）觀察法第十九頁，共49頁。20（2）簡單(jiǎndān)計算法（3）直接(zhíjiē)計算法3.理論(lǐlùn)計算法第二十頁，共49頁。21第二節(jié)隨機誤差的合成(héchéng)誤差合成就是在正確地分析和綜合(zōnghé)誤差因素的基礎上，正確地表述這些誤差的綜合(zōnghé)影響。標準差合成(héchéng)

極限誤差合成隨機誤差的合成形式包括：第二十一頁，共49頁。22一、標準差合成(héchéng)合成(héchéng)標準差表達式:q個單項隨機誤差，標準差誤差(wùchā)傳播系數由間接測量的顯函數模型求得根據實際經驗給出知道影響測量結果的誤差因素而不知道每個和第二十二頁，共49頁。23二、極限誤差(wùchā)合成單項極限(jíxiàn)誤差:單項隨機誤差的標準差單項極限誤差的置信(zhìxìn)系數合成極限誤差:

合成標準差合成極限誤差的置信系數合成極限誤差計算公式第二十三頁，共49頁。24根據已知的各單項極限誤差和所選取(xuǎnqǔ)的各個置信系數，即可進行極限誤差的合成各個置信系數、不僅與置信概率有關，而且(érqiě)與隨機誤差的分布有關對于相同分布(fēnbù)的誤差，選定相同的置信概率，其相應的各個置信系數相同對于不同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應的各個置信系數也不相同ij為第i個和第j個誤差項之間的相關系數，可根據前一節(jié)的方法確定。應用極限誤差合成公式時，應注意：第二十四頁，共49頁。25當各個單項隨機誤差均服從正態(tài)分布時，各單項誤差的數目q較多、各項誤差大小相近和獨立時，此時合成(héchéng)的總誤差接近于正態(tài)分布合成極限(jíxiàn)誤差：若各單項誤差大多服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布，而且他們之間常是線性無關或近似線性無關，是較為廣泛使用的極限(jíxiàn)誤差合成公式此時第二十五頁，共49頁。26第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成(héchéng)一、已定系統(tǒng)誤差的合成(héchéng)系統(tǒng)誤差的分類(fēnlèi)：1）已定系統(tǒng)誤差2）未定系統(tǒng)誤差定義：誤差大小和方向均已確切掌握了的系統(tǒng)誤差表示符號：合成方法：按照代數和法進行合成i為第i個系統(tǒng)誤差，ai為其傳遞系數系統(tǒng)誤差可以在測量過程中消除，也可在合成后在測量結果中消除！第二十六頁，共49頁。27二、未定系統(tǒng)誤差的合成(héchéng)（一）未定系統(tǒng)誤差的特征(tèzhēng)及其評定定義：誤差大小和方向未能確切掌握，或者不須花費過多精力去掌握，而只能或者只需估計(gūjì)出其不致超過某一范圍e的系統(tǒng)誤差。特征：1）

在測量條件不變時為一恒定值，多次重復測量時其值固定不變，因而單項系統(tǒng)誤差在重復測量中不具有低償性。2）隨機性。當測量條件改變時，未定系統(tǒng)誤差的取值在某極限范圍內具有隨機性，且服從一定的概論分布，具有隨機誤差的特性。第二十七頁，共49頁。281、標準差合成(héchéng)（二）未定系統(tǒng)誤差的合成(héchéng)未定系統(tǒng)誤差的取值具有一定的隨機性，服從一定的概率分布，因而若干項未定系統(tǒng)誤差綜合作用時，它們之間就具有一定的抵償作用。這種抵償作用與隨機誤差的抵償作用相似，因而未定系統(tǒng)誤差的合成，完全可以采用隨機誤差的合成公式(gōngshì)。同隨機誤差的合成類似，未定系統(tǒng)誤差合成時可以按照標準差合成，也可以按照極限誤差的形式合成。若測量過程中有s

個單項未定系統(tǒng)誤差，它們的標準差分別為u1，u2，……，us，其相應的誤差傳遞系數為a1，a2，……，as

，則合成后未定系統(tǒng)誤差的總標準差u

為:第二十八頁，共49頁。29則由各單項未定系統(tǒng)誤差標準差得到的合成(héchéng)未定系統(tǒng)誤差極限誤差為：式中，ij為第i個和第j個誤差(wùchā)項的相關系數當ij=0時2、極限誤差(wùchā)的合成因為各個單項未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為:若總的未定系統(tǒng)誤差極限誤差表示為：則有：第二十九頁，共49頁。30或者，由各單項未定系統(tǒng)誤差極限誤差得到(dédào)的合成未定系統(tǒng)誤差極限誤差為：第三十頁，共49頁。31第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成(héchéng)一、按極限誤差(wùchā)合成誤差(wùchā)的合成可按照兩種形式合成：按極限誤差(wùchā)誤差(wùchā)形式合成、按標準差形式合成。測量過程中，假定有r

個單項已定系統(tǒng)誤差，s

個單項未定系統(tǒng)誤差，q

個單項隨機誤差。它們的誤差值或極限誤差分別為：1、單次測量情況若各個誤差的傳遞系數取1，則測量結果總的極限誤差為：式中，R為各個誤差之間的協(xié)方差之和。第三十一頁，共49頁。32當各個(gègè)誤差均服從正態(tài)分布，且各個(gègè)誤差間互不相關時，測量結果總的極限誤差可簡化為：一般情況下，已定系統(tǒng)誤差(wùchā)經修正后，測量結果總的極限誤差(wùchā)就是總的未定系統(tǒng)誤差(wùchā)與總的隨機誤差(wùchā)的均方根值，即：2、n次重復測量(cèliáng)情況當每項誤差都進行n次重復測量時，由于隨機誤差間具有低償性、系統(tǒng)誤差（包括未定系統(tǒng)誤差）不存在低償性，總誤差合成公式中的隨機誤差項應除以重復測量次數n?？倶O限誤差變?yōu)椋旱谌?，?9頁。33【例】用TC328B型天平，配用三等(sānděnɡ)標準砝碼稱一不銹鋼球質量，一次稱量得鋼球質量，求測量結果的標準差。(1)隨機誤差:天平示值變動性所引起的誤差(wùchā)為隨機誤差(wùchā)。多次重復稱量同一球的質量的天平標準差為(2)未定系統(tǒng)誤差:標準砝碼誤差和天平示值誤差，在給定條件下為確定值，但又不知道具體誤差數值(shùzí)，而只知道誤差范圍（或標準差），故這兩項誤差均屬未定系統(tǒng)誤差。①砝碼誤差:天平稱量時所用的標準砝碼有三個，即10g的一個，2g的兩個，標準差分別為:故三個砝碼組合使用時，質量的標準差為根據TC328B型天平的稱重方法，其測量結果的主要誤差如下：第三十三頁，共49頁。34②天平(tiānpíng)示值誤差該項標準差為:最后測量結果(jiēguǒ)應表示為（１倍標準差）：第三十四頁，共49頁。35第五節(jié)誤差(wùchā)分配誤差(wùchā)分配給定(ɡěidìnɡ)測量結果允許的總誤差，合理確定各個單項誤差。在誤差分配時，隨機誤差和未定系統(tǒng)誤差同等看待。假設各誤差因素皆為隨機誤差，且互不相關，有：若已經給定，如何確定Di

或相應的i,使其滿足式中，稱為部分誤差，或局部誤差第三十五頁，共49頁。36一、按等影響(yǐngxiǎng)原則分配誤差等作用(zuòyòng)原則：各分項誤差對函數(hánshù)誤差的影響相等，即由此可得：或用極限誤差表示：函數的總極限誤差各單項誤差的極限誤差進行誤差分配時，一般應按照下述步驟：第三十六頁，共49頁。37(1)造成對部分測量誤差的需求實現(xiàn)(shíxiàn)頗感容易，而對令一些測量誤差的要求難以達到。按等影響原則(yuánzé)分配誤差的不合理性(2)所以各個部分誤差相等，相應測量值的誤差并不相等，有時可能相差(xiānɡchà)較大。在等影響原則分配誤差的基礎上，根據具體情況進行適當調整。對難以實現(xiàn)測量的誤差項適當擴大，對容易實現(xiàn)的誤差項盡可能縮小，其余誤差項不予調整。第三十七頁，共49頁。38測量一圓柱體的體積時，可間接測量圓柱直徑D及高度h，根據(gēnjù)函數式誤差按等影響原理確定后，應按照誤差合成公式計算實際總誤差，若超出給定的允許誤差范圍(fànwéi)，應選擇可能縮小的誤差項再進行縮小。若實際總誤差較小，可適當擴大難以實現(xiàn)的誤差項的誤差，合成后與要求的總誤差進行比較，直到滿足要求為止。【例】求得體積V，若要求測量體積的相對誤差為1％，已知直徑(zhíjìng)和高度的公稱值分別為，，試確定直徑(zhíjìng)D及高度h的測量精度。三、驗算調整后的總誤差

第三十八頁，共49頁。39一、按等影響分配原則分配誤差(wùchā)得到測量直徑D與高度h的極限誤差(wùchā):【解】計算(jìsuàn)體積體積(tǐjī)的絕對誤差:第三十九頁，共49頁。40用這兩種量具(liángjù)測量的體積極限誤差為因為(yīnwèi)查資料，可用分度值為0.1mm的游標卡尺測高，在50mm測量范圍內的極限誤差為，用0.02mm的游標卡尺測直徑(zhíjìng)，在20mm范圍內的極限誤差為。二、調整后的測量極限誤差

顯然采用的量具準確度偏高，選得不合理，應作適當調整。若改用分度值為0.05mm的游標卡尺來測量直徑和高度，在50mm測量范圍內的極限誤差為。此時測量直徑的極限誤差雖超出按等作用原則分配所得的允許誤差，但可從測量高度允許的多余部分得到補償。第四十頁，共49頁。41調整后的實際(shíjì)測量極限誤差為因為(yīnwèi)因此調整后用一把游標卡尺測量直徑和高度(gāodù)即能保證測量準確度。第四十一頁，共49頁。42第六節(jié)微小誤差的取舍(qǔshě)原則將其中的部分(bùfen)誤差Dk取出后，則得若有則稱部分誤差Dk為微小(wēixiǎo)誤差，可以舍去。

有的誤差對測量結果總誤差影響很小。當這種誤差小到一定程度，計算測量結果總誤差時可舍去。什么程度可以舍去？第四十二頁，共49頁。43根據有效數字運算準則，對一般測量，測量誤差取一位有效數字，若舍去某誤差后，它的影響達到以下要