動點問題中的值、短路徑問題(解析版)

動點問題中的最值、最短路徑問題(解析版)動點問題中的最值、最短路徑問題(解析版)動點問題中的最值、最短路徑問題(解析版)xxx公司動點問題中的值、短路徑問題(解析版)文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計，管理制度專題01動點問題中的最值、最短路徑問題動點問題是初中數(shù)學(xué)階段的難點，它貫穿于整個初中數(shù)學(xué)，自數(shù)軸起始，至幾何圖形的存在性、幾何圖形的長度及面積的最值，函數(shù)的綜合類題目，無不包含其中.其中尤以幾何圖形的長度及面積的最值、最短路徑問題的求解最為繁瑣且靈活多變，而其中又有一些技巧性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)思想（轉(zhuǎn)化思想），本專題以幾個基本的知識點為經(jīng)，以歷年來中考真題為緯，由淺入深探討此類題目的求解技巧及方法.一、基礎(chǔ)知識點綜述1.兩點之間，線段最短；2.垂線段最短；3.若A、B是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩定點，P是某直線上一動點，當(dāng)P、A、B在一條直線上時，最大，最大值為線段AB的長（如下圖所示）；4.最短路徑模型（1）單動點模型作圖方法：作已知點關(guān)于動點所在直線的對稱點，連接成線段與動點所在直線的交點即為所求點的位置.如下圖所示，P是x軸上一動點，求PA+PB的最小值的作圖.（2）雙動點模型P是∠AOB內(nèi)一點，M、N分別是邊OA、OB上動點，求作△PMN周長最小值.作圖方法：作已知點P關(guān)于動點所在直線OA、OB的對稱點P’、P’’，連接P’P’’與動點所在直線的交點M、N即為所求.5.二次函數(shù)的最大（?。┲担?dāng)a>0時，y有最小值k；當(dāng)a<0時，y有最大值k.二、主要思想方法利用勾股定理、三角函數(shù)、相似性質(zhì)等轉(zhuǎn)化為以上基本圖形解答.（詳見精品例題解析）三、精品例題解析例1.（2019·涼山州）如圖，正方形ABCD中，AB=12，AE=3，點P在BC上運(yùn)動（不與B、C重合），過點P作PQ⊥EP，交CD于點Q，則CQ的最大值為 例2.（2019·涼山州）如圖，已知A、B兩點的坐標(biāo)分別為（8,0），（0,8）.點C、F分別是直線x=－5和x軸上的動點，CF=10，點D是線段CF的中點，連接AD交y軸于點E，當(dāng)△ABE面積取最小值時，tan∠BAD=（）A. B. C. D.例3.（2019·南充）如圖，矩形硬紙片ABCD的頂點A在軸的正半軸及原點上滑動，頂點B在軸的正半軸及原點上滑動，點E為AB的中點，AB=24,BC=5,給出結(jié)論：=1\*GB3①點A從點O出發(fā)，到點B運(yùn)動至點O為止，點E經(jīng)過的路徑長為12π；=2\*GB3②△OAB的面積的最大值為144；=3\*GB3③當(dāng)OD最大時，點D的坐標(biāo)為，其中正確的結(jié)論是（填寫序號）.例4.（2019·天津）已知拋物線（b、c為常數(shù)，b>0）經(jīng)過點A(－1,0)，點M(m,0)是x軸正半軸上的動點，若點Q（）在拋物線上，當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r，求b的值.例5.（2019·舟山）如圖，一副含30°和45°角的三角板和拼合在個平面上，邊與重合，．當(dāng)點從點出發(fā)沿方向滑動時，點同時從點出發(fā)沿射線方向滑動．當(dāng)點從點滑動到點時，點運(yùn)動的路徑長為；連接，則△的面積最大值為．例6.（2019·巴中）如圖，在菱形ABCD中，連接BD、AC交于點O，過點O作OH⊥BC于點H，以O(shè)為圓心，OH為半徑的半圓交AC于點M.（1）求證：DC是圓O的切線；（2）若AC=4MC，且AC=8，求圖中陰影部分面積；（3）在（2）的前提下，P是線段BD上的一動點，當(dāng)PD為何值時，PH+PM的值最小，并求出最小值.專題01動點問題中的最值、最短路徑問題（解析）例1.（2019·涼山州）如圖，正方形ABCD中，AB=12，AE=3，點P在BC上運(yùn)動（不與B、C重合），過點P作PQ⊥EP，交CD于點Q，則CQ的最大值為 【答案】4.【解析】解：∵PQ⊥EP，∴∠EPQ=90°，即∠EPB+∠QPC=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∠EPB+∠BEP=90°，∴∠BEP=∠QPC，∴△BEP∽△CPQ，∴，∵AB=12，AE=3，∴BE=9，設(shè)CQ=y，BP=x，CP=12－x，（0<x<12）∴，即，∴當(dāng)x=6時，y有最大值為4，即CQ的最大值為4.【點睛】此題為“一線三直角模型”，解題方法為相似三角形性質(zhì)求解，綜合利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值問題.例2.（2019·自貢）如圖，已知A、B兩點的坐標(biāo)分別為（8,0），（0,8）.點C、F分別是直線x=－5和x軸上的動點，CF=10，點D是線段CF的中點，連接AD交y軸于點E，當(dāng)△ABE面積取最小值時，tan∠BAD=（）A. B. C. D.【答案】B.【解析】解：S△ABE=,當(dāng)BE取最小值時，△ABE面積為最小值.設(shè)x=－5與x軸交于點G，連接DG，因為D為CF中點，△CFG為直角三角形，所以DG=,∴D點的運(yùn)動軌跡為以G為圓心，以5半徑的圓上，如圖所示由圖可知：當(dāng)AD與圓G相切時，BE的長度最小，如下圖，過點E作EH⊥AB于H，∵OG=5，OA=8，DG=5，在Rt△ADG中，由勾股定理得：AD=12，△AOE∽△ADG，∴,求得：OE=，由OB=OA=8，得：BE=，∠B=45°，AB=∴EH=BH=,AH=AB-BH=，∴tan∠BAD=,故答案為B.【點睛】此題解題的關(guān)鍵是找到△ABE面積最小時即是AD與D的遠(yuǎn)動軌跡圓相切的時刻.進(jìn)而構(gòu)造以∠BAD為內(nèi)角的直角三角形，利用勾股定理求出邊長，代入三角函數(shù)定義求解.例3.（2019·南充）如圖，矩形硬紙片ABCD的頂點A在軸的正半軸及原點上滑動，頂點B在軸的正半軸及原點上滑動，點E為AB的中點，AB=24,BC=5,給出結(jié)論：=1\*GB3①點A從點O出發(fā)，到點B運(yùn)動至點O為止，點E經(jīng)過的路徑長為12π；=2\*GB3②△OAB的面積的最大值為144；=3\*GB3③當(dāng)OD最大時，點D的坐標(biāo)為，其中正確的結(jié)論是（填寫序號）.【答案】=2\*GB3②=3\*GB3③.【解析】解：根據(jù)題意可知：OE==12,即E的軌跡為以O(shè)為圓心以12為半徑的四分之一圓（第一象限的部分），根據(jù)弧長公式，得點E的路徑長為：=6π，故①錯誤；因為AB=24,當(dāng)斜邊AB上的高取最大值時，△OAB的面積取最大值，點O在以AB為直徑的圓上（圓心為E），當(dāng)OE⊥AB時，斜邊AB上的高最大，所以△OAB的面積取最大值為：=144，故②正確；連接OE、DE，得：OD≤OE+DE，當(dāng)O、E、D三點共線時取等號，即OD的最大值為25，如圖，過點D作DF⊥y軸于F，過點E作EG⊥y軸于G,可得：,即：，,即：,設(shè)DF=x，在Rt△ADF中，由勾股定理得：，解得：x=，在Rt△ODF中，由勾股定理得：OF=，即點D的坐標(biāo)為，故③正確.綜上所述，答案為：②③.例4.（2019·天津）已知拋物線（b、c為常數(shù)，b>0）經(jīng)過點A(－1,0)，點M(m,0)是x軸正半軸上的動點.若點Q（）在拋物線上，當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r，求b的值.【答案】見解析.【解析】解：∵經(jīng)過點A(－1,0)，∴1+b+c=0，即∵點Q（）在拋物線上，∴，即，∵b>0，∴Q點在第四象限，所以只要構(gòu)造出即可得到的最小值取N（1,0），連接AN，過M作MG⊥AN于G，連接QM，如圖所示，△AGM為等腰直角三角形，GM=，即當(dāng)G、M、Q三點共線時，GM+MQ取最小值，即取最小值，此時△MQH為等腰直角三角形，∴QM==，GM==∴①∵QH=MH，∴=，解得：m=②聯(lián)立①②得：m=，b=4.即當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r，b=4.【點睛】此題需要利用等腰直角三角形將轉(zhuǎn)化為2，進(jìn)而根據(jù)兩點之間線段最短及等腰三角形性質(zhì)求解.例5.（2019·舟山）如圖，一副含30°和45°角的三角板和拼合在個平面上，邊與重合，．當(dāng)點從點出發(fā)沿方向滑動時，點同時從點出發(fā)沿射線方向滑動．當(dāng)點從點滑動到點時，點運(yùn)動的路徑長為；連接，則△的面積最大值為．【答案】【解析】解：如圖1所示，當(dāng)E運(yùn)動至E’，F(xiàn)滑動到F’時，圖1過D’作D’G⊥AC于G，D’H⊥BC交BC延長線于點H，可得∠E’D’G=∠F’D’H，D’E’=D’F’，∴Rt△E’D’G≌Rt△F’D’H，∴D’G=G’H,∴D’在∠ACH的角平分線上，即C，D，D’三點共線.通過分析可知，當(dāng)D’E’⊥AC時，DD’的長度最大，隨后返回初始D點，如圖2所示，D點的運(yùn)動路徑為D→D’→D，行走路線長度為2DD’；圖2∵∠BAC=30°，AC=12，DE=CD∴BC=，CD=DE=，由圖知：四邊形E’CF’D’為正方形，CD’=EF=12，∴DD’=CD’-CD=12-,D點運(yùn)動路程為2DD’=24-；圖3如圖3所示，當(dāng)點D運(yùn)動至D’時，△ABD’的面積最大，最大面積為：==【點睛】準(zhǔn)確利用全等、角平分線判定得到D點的運(yùn)動軌跡是關(guān)鍵，利用三角函數(shù)及勾股定理求解，計算較為繁瑣，尤其是利用割補(bǔ)法求解三角形的面積時對學(xué)生計算能力要求較高，此題難度較大，新穎不失難度.例6.（2019·巴中）如圖，在菱形ABCD中，連接BD、AC交于點O，過點O作OH⊥BC于點H，以O(shè)為圓心，OH為半徑的半圓交AC于點M.（1）求證：DC是圓O的切線；（2）若AC=4MC，且AC=8，求圖中陰影部分面積；（3）在（2）的前提下，P是線段BD上的一動點，當(dāng)PD為何值時，PH+PM的值最小，并求出最小值.【答案】見解析.【解析】（1）證明：過點O作ON⊥CD于N，AC是菱形ABCD的對角線，∴AC平分∠BCD，∵OH⊥BC，ON⊥CD，∴OH=ON，又OH為圓O的半徑，∴ON為圓O的半徑，即CD是圓O的切線.（2）由題意知：OC=2MC=4，MC=OM=2，即OH=2，在R