（奧數(shù)）小升初數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總

（奧數(shù)）小升初數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總一、質(zhì)數(shù)、倍數(shù)、倍數(shù)、約數(shù)、整除問題1、質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）①只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)的整數(shù)稱為質(zhì)數(shù)；②100以內(nèi)質(zhì)數(shù)共25個(gè)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97；③最小的偶合數(shù)是4，最小的奇合數(shù)是9；④0、1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。⑤每一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)形式是唯一的。⑥公因數(shù)只有1的兩個(gè)非零自然數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。2、倍數(shù)、約數(shù)性質(zhì)①一個(gè)數(shù)最小的倍數(shù)是這個(gè)數(shù)本身，沒有最大的倍數(shù)；②“0”沒有約數(shù)和倍數(shù)，一般認(rèn)為“1”只有約數(shù)“1”；③假如幾個(gè)數(shù)都是某一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，那么這幾個(gè)數(shù)的組合也是某個(gè)數(shù)的倍數(shù)。例如：26、39是13的倍數(shù)，則2639也是13的倍數(shù)。④一般的數(shù)字的約數(shù)的個(gè)數(shù)都是偶數(shù)個(gè)，但是平方數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)。例如：“9”有3個(gè)約數(shù)（1、3、9），“16”有5個(gè)約數(shù)（1、二、4、8、16）。⑤約數(shù)和倍數(shù)必須強(qiáng)調(diào)出是哪個(gè)數(shù)字的約數(shù)和倍數(shù)。⑥一個(gè)數(shù)既是它本身的倍數(shù)又是它本身的約數(shù)。⑦一個(gè)數(shù)如果有偶約數(shù)，則這個(gè)數(shù)必為偶數(shù)。3、整除性質(zhì)①能被“2”整除的數(shù)的特點(diǎn)：末尾數(shù)字是“0、2、4、6、8”；②能被“3（9）”整除的數(shù)的特點(diǎn)：各位上數(shù)字和能被“3（9）”整除；③能被“4（25）”整除的數(shù)的特點(diǎn)：末尾兩位能被“4（25）”整除；④能被“5”整除的數(shù)的特點(diǎn)：末尾數(shù)字是“0或5”；⑤能被“8（125）”整除的數(shù)的特點(diǎn)：這個(gè)數(shù)末三位能被“8（125）”整除；⑥能被“7、11、13”整除的數(shù)的特點(diǎn)：這個(gè)數(shù)從右向左每三位分成一節(jié)，用奇數(shù)節(jié)的和減去偶數(shù)節(jié)的和，所得到的差能被“7、11、13”整除。如果求余數(shù)時(shí)，則奇數(shù)節(jié)和小于偶數(shù)節(jié)和時(shí)，需要將奇數(shù)節(jié)和加上若干個(gè)“7、11、13”，再相減。⑦能被“11”整除的數(shù)的另一個(gè)特點(diǎn)：這個(gè)數(shù)奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差能被11整除。例如：“”分析：奇數(shù)位數(shù)字和1+2+1=4，偶數(shù)位數(shù)字和2+5+8=15，差為11，說明這個(gè)數(shù)可以被11整除。如果求余數(shù)時(shí)，則奇數(shù)位數(shù)字和小于偶數(shù)位數(shù)字和時(shí)，需要將奇數(shù)位和加上若干個(gè)“11”，再相減。二、公約數(shù)、公倍數(shù)1、最大公約數(shù)：公有質(zhì)因數(shù)的乘積。通常用“（）”表示。2、最小公倍數(shù)：公有質(zhì)因數(shù)和獨(dú)有公因數(shù)的連乘積。用“[]”表示。3、兩個(gè)自然數(shù)的最小公約數(shù)和最大公倍數(shù)的乘積=兩個(gè)自然數(shù)的乘積4、如果兩個(gè)自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么它們的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的乘積。例如8和9，它們是互質(zhì)數(shù)，所以（8，9）=1，[8，9]=72。5、如果兩個(gè)自然數(shù)中，較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。例如18與3，18÷3=6，所以（18，3）=3，[18，3]=18。6、兩個(gè)整數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商是互質(zhì)數(shù)。例如8和14分別除以它們的最大公約數(shù)2，所得的商分別為4和7，那么4和7是互質(zhì)數(shù)。▲7、根據(jù)互質(zhì)數(shù)的意義，相鄰的自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)，互質(zhì)數(shù)的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積。8、解題思路和方法（1）求公約數(shù)和公倍數(shù)一般采用短除法。（2）對(duì)于比較大的兩個(gè)數(shù)求最大公約數(shù)（最大公約數(shù)一般大于11），也可以采用輾轉(zhuǎn)相除法。輾轉(zhuǎn)相除法步驟：用大數(shù)（被除數(shù)）除以小數(shù)（除數(shù)）得到余數(shù)，所求最大公約數(shù)就是除數(shù)與余數(shù)的最大公約數(shù)，再次相除，依次類推，直到余數(shù)為0，最后一個(gè)除數(shù)既是所求的最大公約數(shù)。注意：用輾轉(zhuǎn)相除法求幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，可以先求出其中任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，再求這個(gè)最大公約數(shù)與第三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，依次求下去，直到最后一個(gè)數(shù)為止。最后所得的那個(gè)最大公約數(shù)，就是所有這些數(shù)的最大公約數(shù)。例：求319、377的最大公約數(shù)，即求（319，377）。解：利用輾轉(zhuǎn)相除法（319,377）=（377,319）377÷319=1余58（377,319）=（319,58）319÷58=5余29（319,58）=（58,29）58÷29=2余0（58,29）=29所以（319,377）=29三、和差、和倍1、和差：已知兩個(gè)數(shù)的和與差，求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問題（已知順?biāo)湍嫠俣惹蟠俸退伲?。?shù)量關(guān)系：大數(shù)=（和+差）÷2；小數(shù)=（和-差）÷22、和倍：有兩個(gè)數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或者小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問題。數(shù)量關(guān)系：兩個(gè)數(shù)的和÷（幾倍+1）=較小的數(shù)；較小的數(shù)×倍數(shù)=較大的數(shù)四、差倍、倍比1、差倍：有兩個(gè)數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或者小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問題。數(shù)量關(guān)系：兩個(gè)數(shù)的差÷（幾倍-1）=較小的數(shù)；較小的數(shù)×倍數(shù)=較大的數(shù)2、倍比：有兩個(gè)已知的同類量，其中一個(gè)量是另一個(gè)量的若干倍，先求出這個(gè)倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問題。數(shù)量關(guān)系：總量÷一個(gè)數(shù)量=倍數(shù)；另一個(gè)數(shù)量×倍數(shù)=另一總量五、方程求解問題1、定義：把應(yīng)用題中的未知數(shù)用字母x代替，根據(jù)等量關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式（方程），通過解這個(gè)方程而得到的答案，這個(gè)過程叫做列方程解應(yīng)用題。2、數(shù)量關(guān)系：方程等號(hào)兩邊數(shù)量相等。3、解題過程可以概括為“審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答”六字法①審：認(rèn)真審題，弄清應(yīng)用題中的已知量和未知量各是什么，問題中的等量關(guān)系是什么。②設(shè)：把應(yīng)用題中的未知數(shù)設(shè)為x。③列：根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)和題目中的已知條件，按照等量關(guān)系列出方程。④解：求出所列方程的解。⑤驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的解是否正確，是否符合題意。⑥答：回答題目所問，也就是寫出答問的話。在列方程解應(yīng)用題是，一般設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、答語。必須檢驗(yàn)。注意：設(shè)未知數(shù)時(shí)要在X后面寫上單位名稱，在方程中已知數(shù)和未知數(shù)都不帶單位名稱，求出的X值也不帶單位名稱，在答語中要寫出單位名稱。六、年齡問題解題關(guān)鍵：緊緊抓住兩人的年齡差不變，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長(zhǎng)在發(fā)生變化。七、雞兔同籠1、一般用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞。如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設(shè)，再置換，使問題解決。2、如果能用方程x，y二元一次方程求解，最好使用方程求解。八、相遇問題1、“相遇”廣義上講，只要兩人在同一地點(diǎn)就算相遇。分兩種情況：（1）迎遇（即我們平時(shí)說的相遇問題）（2）追及相遇（即我們平時(shí)所說的追及問題）。一般題目說的相遇，我們默認(rèn)是迎遇，若題目說只要兩人在同一地點(diǎn)就算作一次相遇，那么兩種情況都要算。2、數(shù)量關(guān)系：①總路程=（甲速+乙速）×相遇時(shí)間②甲乙兩人從同一起點(diǎn)出發(fā)往返運(yùn)動(dòng)多次相遇問題，每迎遇一次，兩人一起走了2個(gè)全程。③甲乙兩人從兩端點(diǎn)出發(fā)往返運(yùn)動(dòng)多次相遇問題，第一次迎遇時(shí)，兩人走了1個(gè)全程，之后沒迎遇一次，兩人一起走了2個(gè)全程。3、柳卡圖（了解）：柳卡圖也叫折線圖，解決復(fù)雜的行程問題（多次相遇問題）的有效方法。折線圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)過程中的“相遇次數(shù)”，“相遇地點(diǎn)”，以及“由相遇的地點(diǎn)求出全程”。使用折線示意圖法一般需要我們知道每個(gè)物體走完全程所用的時(shí)間是多少。九、追及問題數(shù)量關(guān)系：①追及時(shí)間=追及路程÷（快速-慢速）②追及路程=（快速-乙速）×追及時(shí)間十、列車問題1、火車過橋：過橋時(shí)間=（車長(zhǎng)+橋長(zhǎng)）÷車速2、火車追及：追及時(shí)間=（甲車長(zhǎng)+乙車長(zhǎng)+距離）÷（甲車速-乙車速）3、火車相遇：相遇時(shí)間=（甲車長(zhǎng)+乙車長(zhǎng)+距離）÷（甲車速+乙車速）十一、行船問題1、定義：行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度；船只順?biāo)叫械乃俣龋標(biāo)俣龋┦谴俸退僦?；船只逆水航行的速度（逆水速度）是船速和水速之差?、數(shù)量關(guān)系：①船速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2②水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2十二、盈虧問題1、定義：根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，依次有余（盈），依次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題。2、數(shù)量關(guān)系：①兩次分配中，如果一次盈一次虧，則有：參加分配總?cè)藬?shù)=（盈+虧）÷分配差②兩次分配都是盈或都是虧，則有：參加分配總?cè)藬?shù)=（大盈-小盈）÷分配差參加分配總?cè)藬?shù)=（大虧-小虧）÷分配差十三、工程問題1、定義：工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項(xiàng)工程”、“一塊土地”、“一件工作”等，在解題時(shí)候，常常用單位“1”表示工作總量。2、數(shù)量關(guān)系：解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)（它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時(shí)間三者之間關(guān)系列出算式。①工作量=工作效率×工作時(shí)間②工作時(shí)間=工作量÷工作效率③工作時(shí)間=總工作量÷（甲工作效率+乙工作效率）十四、正反比例問題1、正比例關(guān)系：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種輛也隨著變化，如果這兩種量中向?qū)?yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值，即商一定，那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。2、反比例關(guān)系：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。十五、按比例分配問題比的前后項(xiàng)相加求出總份數(shù)，各部分占總份數(shù)的幾分之幾，再用總量乘以幾分之幾即得各部分量的值。十六、百分比問題1、定義：百分?jǐn)?shù)又叫百分率。是表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常?？梢酝ǚ?、約分，而百分?jǐn)?shù)則無需約分。分?jǐn)?shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一個(gè)專門的記號(hào)“%”2、數(shù)量關(guān)系：①百分?jǐn)?shù)=比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量②標(biāo)準(zhǔn)量=比較量÷百分?jǐn)?shù)十七、商品利潤(rùn)問題1、定義：在生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)中，銷售價(jià)格高于進(jìn)貨價(jià)的叫盈利，低于進(jìn)貨價(jià)的叫虧本，主要包括成本、利潤(rùn)、利潤(rùn)率和虧損、虧損率等方面的問題。2、數(shù)量關(guān)系：①利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)貨價(jià)②利潤(rùn)率=（售價(jià)-進(jìn)貨價(jià)）÷進(jìn)貨價(jià)×100%③售價(jià)=進(jìn)貨價(jià)×（1+利潤(rùn)率）④虧損=進(jìn)貨價(jià)-售價(jià)⑤虧損率=（進(jìn)貨價(jià)-售價(jià)）÷進(jìn)貨價(jià)×100%十八、存款利率問題1、定義：把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個(gè)因素有關(guān)。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)。2、數(shù)量關(guān)系：①年（月）利率=利息÷本金÷存款年（月）數(shù)×100%②利息=本金×存款年（月）數(shù)×年（月）利率③本利和=本金+利息=本金×[1+年（月）利率×存款年（月）數(shù)]十九、溶液濃度問題1、定義：這類問題研究的主要是溶劑（水或其它液體）、溶質(zhì)、溶液這幾個(gè)量的關(guān)系。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。溶質(zhì)的量在溶液中的量占百分比叫濃度，也叫百分比濃度。2、數(shù)量關(guān)系：①溶液=溶劑+溶質(zhì)②濃度=溶質(zhì)÷溶液×100%3、一般隨外界因素的變化，溶液的溶劑發(fā)生變化，溶質(zhì)的量不變。二十、牛吃草問題1、“牛吃草”問題是大科學(xué)家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊增加（或邊吃邊減少）這個(gè)因素。2、數(shù)量關(guān)系：①草總量=原有草量+草每天增加量×天數(shù)②草總量=原有草量-草每天減少量×天數(shù)二十一、植樹問題1、定義：按相等的距離植樹，在距離、棵樹、棵距這3個(gè)量之間，已知其中兩個(gè)量，求第三個(gè)量，這類應(yīng)用題叫做植樹問題。2、數(shù)量關(guān)系：①線形植樹棵樹=距離÷棵距+1②環(huán)形植樹棵樹=距離÷棵距③方形植樹棵樹=每邊棵樹×4-4④三角形植樹棵樹=每邊棵樹×3-3⑤面積植樹棵樹=面積÷（棵距×行距）二十二、方陣問題1、定義：將若干人或物依一定條件排成正方形（簡(jiǎn)稱方陣），根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類應(yīng)用題叫做方陣問題。2、數(shù)量關(guān)系：①方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)關(guān)系：四周人數(shù)=（每邊人數(shù)-1）×4每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1②方陣總?cè)藬?shù)的求法：實(shí)心方陣：總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)×每邊人數(shù)空心方陣：總?cè)藬?shù)=（外邊人數(shù)）2-（內(nèi)邊人數(shù)）2內(nèi)邊人數(shù)=外邊人數(shù)-層數(shù)×2（實(shí)際無人）內(nèi)層每邊人數(shù)=內(nèi)層人數(shù)÷4-1（實(shí)際無人）③若將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算，則：總?cè)藬?shù)=（每邊人數(shù)-層數(shù)）×層數(shù)×43、方陣問題有實(shí)心和空心兩種。實(shí)心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。二十三、時(shí)鐘問題1、定義：時(shí)鐘問題就是研究鐘面上時(shí)針和分針關(guān)系的問題，如兩針重合（0度）、兩針垂直（15格）、兩針成一線（0格或30格）、兩針夾角成60度（10格）、120度（20格）等。時(shí)鐘問題可與追及問題相類比。2、數(shù)量關(guān)系：分針?biāo)俣仁菚r(shí)針的12倍①鐘面的一周為60格，每格6°；每個(gè)數(shù)字間隔為5格，為30°。②分針每分鐘走1格，為6°；時(shí)針每分鐘走1格，為0.5°。12二十四、幻方問題1、定義：把n×n個(gè)自然數(shù)排在正方形的格子中，使各行、各列以及對(duì)角線上的各數(shù)之和都相等，這樣的圖叫幻方。最簡(jiǎn)單的幻方是三階幻方。2、數(shù)量關(guān)系：每行、每列、每條對(duì)角線上的各數(shù)和都相等，這個(gè)和叫做“幻和”。①三階幻方的幻和中間數(shù)的3倍；②五階幻方的幻和中間數(shù)的5倍。二十五、概率和頻率1、頻率：在一次試驗(yàn)中某一事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗(yàn)總數(shù)的比值。2、概率：某一事件所固有的性質(zhì)。3、頻率是變化的，每次試驗(yàn)可能不同，概率是穩(wěn)定值不變。4、在一定條件下頻率可以近似代替概率。二十六、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算1、定義①真分子小于分母的分?jǐn)?shù)；②假分子大于或者等于分母的分?jǐn)?shù)；③帶是假分?jǐn)?shù)的另一種形式，由整數(shù)和真分?jǐn)?shù)組成；④最簡(jiǎn)比：是最簡(jiǎn)單的整數(shù)比，前項(xiàng)和后項(xiàng)都是整數(shù)而且互質(zhì)；⑤比值：是一個(gè)數(shù)，可以是整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)。2、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算①分?jǐn)?shù)加減：a.同分母分母不變，分子相加減b.異分母同分（找分母的最小公倍數(shù)）c.帶分?jǐn)?shù)加減：整數(shù)+/-整數(shù)，分?jǐn)?shù)+/-分?jǐn)?shù)②分?jǐn)?shù)乘除：a.乘法：分子×分子，分母×分母，能約分的先在過程中約分b.除法：除以一個(gè)數(shù)等于乘以它的倒數(shù)3、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)的互化①分?jǐn)?shù)化為小數(shù)：用分子除以分母；②小數(shù)化為小數(shù)數(shù)字不變，有幾位小數(shù)分母就添幾個(gè)“0”，最后化簡(jiǎn)；③小數(shù)與百分?jǐn)?shù)