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雙基限時(shí)練(十七)1.滿足下列條件,能說(shuō)明空間不重合的三點(diǎn)A,B,C共線的是()\o(AB,\s\up16(→))+eq\o(BC,\s\up16(→))=eq\o(AC,\s\up16(→)) \o(AB,\s\up16(→))-eq\o(AB,\s\up16(→))=eq\o(BC,\s\up16(→))\o(AB,\s\up16(→))=eq\o(BC,\s\up16(→)) D.|eq\o(AB,\s\up16(→))|=|eq\o(BC,\s\up16(→))|答案C2.下列命題中正確的是()A.若a與b共線,b與c共線,則a與c共線B.向量a,b,c共面,即它們所在的直線共面C.零向量沒(méi)有確定的方向D.若a∥b,則存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使a=λb解析當(dāng)b=0時(shí),a與c不一定共線,所以A錯(cuò).由共面向量的定義知,B錯(cuò).當(dāng)a與b是非零向量時(shí),D正確,但命題中沒(méi)有非零向量這個(gè)條件,所以D錯(cuò).答案C3.下列條件中使點(diǎn)M與點(diǎn)A,B,C一定共面的是()\o(OM,\s\up16(→))=2eq\o(OA,\s\up16(→))-eq\o(OB,\s\up16(→))-eq\o(OC,\s\up16(→))\o(OM,\s\up16(→))=eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up16(→))+eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up16(→))+eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up16(→))\o(MA,\s\up16(→))+eq\o(MB,\s\up16(→))+eq\o(MC,\s\up16(→))=0\o(OM,\s\up16(→))+eq\o(OA,\s\up16(→))+eq\o(OB,\s\up16(→))+eq\o(OC,\s\up16(→))=0答案C4.下列結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)是()①若a,b,c共面,則存在實(shí)數(shù)x,y,使a=xb+yc②若a,b,c不共面,則不存在實(shí)數(shù)x,y,使a=xb+yc③若a,b,c共面,b,c不共線,則存在實(shí)數(shù)x,y,使a=xb+yc④若a=xb+yc,則a,b,c共面A.0 B.1C.2 D.3解析②③④正確,①錯(cuò)誤.答案D5.已知向量a,b,且eq\o(AB,\s\up16(→))=a+2b,eq\o(BC,\s\up16(→))=-5a+6b,eq\o(CD,\s\up16(→))=7a-2b,則一定共線的三點(diǎn)是()A.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D解析∵eq\o(AD,\s\up16(→))=eq\o(CD,\s\up16(→))-eq\o(CA,\s\up16(→))=eq\o(CD,\s\up16(→))+eq\o(AC,\s\up16(→))=eq\o(CD,\s\up16(→))+eq\o(AB,\s\up16(→))+eq\o(BC,\s\up16(→))=(7a-2b)+(a+2b)+(-5a+6=3a+6=3eq\o(AB,\s\up16(→))∴A,B,D三點(diǎn)共線.答案A6.在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中,E為矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn),則eq\o(A1E,\s\up16(→))=eq\o(A1A,\s\up16(→))+xeq\o(A1B1,\s\up16(→))+yeq\o(A1D1,\s\up16(→))中的x,y值應(yīng)為x=__________,y=__________.解析eq\o(A1E,\s\up16(→))=eq\o(A1A,\s\up16(→))+eq\o(AB,\s\up16(→))+eq\o(BC,\s\up16(→))+eq\o(CE,\s\up16(→))=eq\o(A1A,\s\up16(→))+eq\o(AB,\s\up16(→))+eq\o(BC,\s\up16(→))+eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up16(→))=eq\o(A1A,\s\up16(→))+eq\o(AB,\s\up16(→))+eq\o(BC,\s\up16(→))+eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up16(→))+eq\o(CD,\s\up16(→)))=eq\o(A1A,\s\up16(→))+eq\o(AB,\s\up16(→))-eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up16(→))+eq\o(BC,\s\up16(→))-eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up16(→))=eq\o(A1A,\s\up16(→))+eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))+eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up16(→))=eq\o(A1A,\s\up16(→))+eq\f(1,2)eq\o(A1B1,\s\up16(→))+eq\f(1,2)eq\o(A1D1,\s\up16(→)).∴x=eq\f(1,2),y=eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)eq\f(1,2)7.向量a與b不共線,存在唯一一對(duì)非零實(shí)數(shù)m,n,使c=ma+nb,則a,b,c__________共面向量.(填“是”或“不是”)答案是8.已知O是空間任一點(diǎn),A,B,C,D四點(diǎn)滿足任三點(diǎn)均不共線,但四點(diǎn)共面,且eq\o(OA,\s\up16(→))=2x·eq\o(BO,\s\up16(→))+3y·eq\o(CO,\s\up16(→))+4z·eq\o(DO,\s\up16(→)),則2x+3y+4z=__________.解析eq\o(OA,\s\up16(→))=2x·eq\o(BO,\s\up16(→))+3y·eq\o(CO,\s\up16(→))+4z·eq\o(DO,\s\up16(→))=-2x·eq\o(OB,\s\up16(→))-3y·eq\o(OC,\s\up16(→))-4z·eq\o(OD,\s\up16(→))由四點(diǎn)共面的充要條件知-2x-3y-4z=1,即2x+3y+4z=-1.答案-19.已知A,B,C,D四點(diǎn)共面,求證:對(duì)于空間任一點(diǎn)O,存在不全為零的實(shí)數(shù)k1,k2,k3,k4,使k1eq\o(OA,\s\up16(→))+k2eq\o(OB,\s\up16(→))+k3eq\o(OC,\s\up16(→))+k4eq\o(OD,\s\up16(→))=0.證明由A,B,C,D四點(diǎn)共面,知eq\o(AB,\s\up16(→)),eq\o(AC,\s\up16(→)),eq\o(AD,\s\up16(→))共面,由平面向量基本定理知,存在實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),使eq\o(AB,\s\up16(→))=xeq\o(AC,\s\up16(→))+yeq\o(AD,\s\up16(→)),即eq\o(OB,\s\up16(→))-eq\o(OA,\s\up16(→))=x(eq\o(OC,\s\up16(→))-eq\o(OA,\s\up16(→)))+y(eq\o(OD,\s\up16(→))-eq\o(OA,\s\up16(→))).∴(1-x-y)eq\o(OA,\s\up16(→))-eq\o(OB,\s\up16(→))+xeq\o(OC,\s\up16(→))+yeq\o(OD,\s\up16(→))=0,令k1=1-x-y,k2=-1,k3=x,k4=y(tǒng),即得k1eq\o(OA,\s\up16(→))+k2eq\o(OB,\s\up16(→))+k3eq\o(OC,\s\up16(→))+k4eq\o(OD,\s\up16(→))=0.10.設(shè)e1,e2是平面上不共線的向量,已知eq\o(AB,\s\up16(→))=2e1+ke2,eq\o(CB,\s\up16(→))=e1+3e2,eq\o(CD,\s\up16(→))=2e1-e2,若A,B,D三點(diǎn)共線,試求實(shí)數(shù)k的值.解∵eq\o(BD,\s\up16(→))=eq\o(BC,\s\up16(→))+eq\o(CD,\s\up16(→))=eq\o(CD,\s\up16(→))-eq\o(CB,\s\up16(→))=2e1-e2-(e1+3e2)=e1-4e2.eq\o(AB,\s\up16(→))=2e1+ke2,又A,B,D三點(diǎn)共線,由共線向量定理得eq\f(1,2)=eq\f(-4,k),∴k=-8.11.已知A,B,C三點(diǎn)不共線,對(duì)平面ABC外一點(diǎn)O,有eq\o(OP,\s\up16(→))=eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up16(→))+eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up16(→))+eq\f(2,5)eq\o(OC,\s\up16(→)).求證:P,A,B,C四點(diǎn)共面.證明∵eq\o(OP,\s\up16(→))=eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up16(→))+eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up16(→))+eq\f(2,5)eq\o(OC,\s\up16(→)),∴eq\o(OP,\s\up16(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,5)-\f(2,5)))eq\o(OA,\s\up16(→))+eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up16(→))+eq\f(2,5)eq\o(OC,\s\up16(→))=eq\o(OA,\s\up16(→))+eq\f(1,5)(eq\o(OB,\s\up16(→))-eq\o(OA,\s\up16(→)))+eq\f(2,5)(eq\o(OC,\s\up16(→))-eq\o(OA,\s\up16(→)))=eq\o(OA,\s\up16(→))+eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up16(→))+eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up16(→)),∴eq\o(OP,\s\up16(→))-eq\o(OA,\s\up16(→))=eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up16(→))+eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up16(→)).∴eq\o(AP,\s\up16(→))=eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up16(→))+eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up16(→)).∴向量eq\o(AP,\s\up16(→)),eq\o(AB,\s\up16(→)),eq\o(AC,\s\up16(→))共面,而線AP,AB,AC有公共點(diǎn),∴P,A,B,C四點(diǎn)共面.12.已知A,B,C三點(diǎn)不共線,對(duì)平面ABC外一點(diǎn)O,當(dāng)eq\o(OP,\s\up16(→))=2eq\o(OA,\s\up16(→))-eq\o(OB,\s\up16(→))-eq\o(OC,\s\up16(→))時(shí),點(diǎn)P是否與A,B,C共面.解假設(shè)P與A,B,C共面,則存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),使eq\o(AP,\s\up16(→))=xeq\o(AB,\s\up16(→))+yeq\o(AC,\s\up16(→)),于是對(duì)平面ABC外一點(diǎn)O,有eq\o(OP,\s\up16(→))-eq\o(OA,\s\up16(→))=x(eq\o(OB,\s\up16(→))-eq\o(OA,\s\up16(→)))+y(eq\o(OC,\s\up16(→))-eq\o(OA,\s\up16(→))),∴eq\o(OP,\s\up16(→))=(1-x-y)eq\o(OA,\s\up16(→))+xeq\o(OB,\s\up16(→))+yeq\o(OC,\s\up16(→)).又eq\o(OP,\s\up16(→))=2eq\o(OA,\s\up16(→))-eq\o(OB,\s\up16(→))-eq\o(OC,\s\up16(→)),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1-x-y=2,,x=-1,,y=-1.))此方程組無(wú)解,這樣的x,y不存在,故點(diǎn)P與A,B,C不共面.13.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中點(diǎn),求證:B1C∥平面ODC證明eq\o(B1C,\s\up16(→))=eq\o(B1O,\s\up16(→))+eq\o(OC1,\s\up16(→))+eq\o(C1C,\s\up16(→))=eq\o(B1O,\s\up16(→))+eq\o(OC1,\s\up16(→))+eq\o(D1D,\s\up16(→))=eq\o(B1O,\s\up16(→
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