數(shù)字通信原理：第二章 信號(hào)分析基礎(chǔ)

第二章信號(hào)分析基礎(chǔ)學(xué)習(xí)內(nèi)容確定信號(hào)的分析方法回顧；能量譜密度和功率譜密度相關(guān)函數(shù)信號(hào)的矢量表示希爾伯特變換和解析信號(hào)隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)分析方法；高斯過(guò)程高斯白噪聲窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程信號(hào)的功率密度譜分析；匹配濾波器信號(hào)的帶寬確定信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)

確定信號(hào)：信號(hào)在任何時(shí)候的取值都是確定的；如：各種測(cè)試信號(hào)、訓(xùn)練序列信號(hào)等。

隨機(jī)信號(hào)：信號(hào)的取值具有不確定性。含有不可預(yù)知成分的信號(hào)。Matlab中函數(shù)rand生成[0,1]均勻分布的隨機(jī)變量。如：(1)攜帶信息的信號(hào)；對(duì)于數(shù)字通信，符號(hào)集是已知的，但當(dāng)前發(fā)送其中那一個(gè)符號(hào)是未知的；

(2)噪聲，通常噪聲是一種純隨機(jī)的信號(hào)；

(3)其他隨機(jī)信號(hào)，如干擾等。信號(hào)分類

周期信號(hào)和非周期信號(hào)

周期信號(hào)： 式中T0為周期，是滿足上式的最小常數(shù)；

非周期信號(hào)：沒(méi)有上述特性的信號(hào)。連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)

連續(xù)信號(hào)：x(t)－－是時(shí)間的連續(xù)信號(hào)；

離散信號(hào)：x[n]－－只在特定的時(shí)刻上取值的信號(hào)，k 是整數(shù)，T是固定的時(shí)間間隔。思考一下，連續(xù)周期信號(hào)抽樣后是離散周期信號(hào)么？能量信號(hào)和功率信號(hào)

能量信號(hào)：x(t)

在所有時(shí)間上的能量Ex不為零且有限

功率信號(hào)：x(t)的功率Px不為零且有限

雖然一般使用功率信號(hào)的數(shù)學(xué)模型來(lái)簡(jiǎn)化分析過(guò)程，但實(shí)際的信號(hào)都為能量信號(hào)。(CouchP26)思考一下，會(huì)不會(huì)有信號(hào)同時(shí)是能量和功率信號(hào)計(jì)算信號(hào)能量和功率的Matlab代碼dt=0.01;t=0:dt:5;

s1=exp(-5*t).*cos(20*pi*t);s2=cos(20*pi*t);E1=sum(s1.*s1)*dt;%s1(t)的信號(hào)能量P2=sum(s2.*s2)*dt/(length(t)*dt);%s2(t)的信號(hào)功率s[f1s1f]=T2F(t,s1);[f2s2f]=T2F(t,s2);

df=f1(2)-f1(1);E1_f=sum(abs(s1f).^2)*df;%s1(t)的能量,用頻域方式計(jì)算df=f2(2)-f2(1);T=t(end);P2_f=sum(abs(s2f).^2)*df/T;%s2(t)的功率，用頻域方式計(jì)算2.2確定信號(hào)分析方法回顧

2、確定信號(hào)

周期信號(hào)：滿足下列條件的信號(hào)稱之為周期信號(hào)周期信號(hào)的傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式為其中課本P9非周期信號(hào)：非周期信號(hào)可看成周期為無(wú)限大的信號(hào)若非周期信號(hào)滿足條件則存在如下傅氏變換和傅氏逆變換的關(guān)系式關(guān)系式也可表示為課本P9-10

頻譜密度：信號(hào)能量或功率在頻域上的分布特性1.能量譜密度對(duì)實(shí)能量信號(hào)x(t)

，其總能量Ex

利用Parseval定理，有：

定義信號(hào)x(t)的能量譜密度 單位為焦/赫茲。對(duì)實(shí)信號(hào)x(t)

，能量譜密度為偶函數(shù)。能量譜密度反映信號(hào)能量沿頻譜的分布。頻譜密度(1)能量譜密度2.實(shí)周期信號(hào)的功率譜密度

對(duì)實(shí)周期信號(hào)x(t)，其功率為

利用x(t)的Fourier級(jí)數(shù)展式和Parseval定理，得：

定義信號(hào)x(t)的功率譜密度 單位為瓦/赫茲。對(duì)實(shí)信號(hào)x(t)，功率譜密度為偶函數(shù)。頻譜密度(2)周期信號(hào)的功率譜密度一個(gè)正弦信號(hào)的功率譜周期方波的功率譜3.非周期信號(hào)的功率譜密度

對(duì)非周期信號(hào)x(t)，記其在間隔(-T/2,T/2)截?cái)嗪瘮?shù)為

xT(t)，其Fourier變換為XT(f)，若存在極限

定義信號(hào)x(t)的功率譜密度

單位為瓦/赫茲。頻譜密度(3)非周期信號(hào)的功率譜密度

相關(guān)函數(shù)：相關(guān)運(yùn)算在通信信號(hào)處理中常用于對(duì)特定的信號(hào)提取和識(shí)別。能量信號(hào)的互相關(guān)運(yùn)算定義為

功率信號(hào)的互相關(guān)運(yùn)算定義為

周期信號(hào)的互相關(guān)運(yùn)算定義為

T為信號(hào)的周期課本P11實(shí)相關(guān)函數(shù)的主要性質(zhì)：課本P11相關(guān)函數(shù)與信號(hào)的能量/功率密度譜間的關(guān)系：對(duì)于能量信號(hào)，信號(hào)能量譜密度與自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)傅立葉變換對(duì)對(duì)于功率信號(hào)，信號(hào)功率密度譜與自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)傅立葉變換對(duì)，

，

課本P11

M進(jìn)制通信系統(tǒng)信號(hào)序列：信號(hào)設(shè)計(jì)時(shí)，一般盡量使得每個(gè)不同符號(hào)(信號(hào))間相關(guān)性盡可能小，以便于識(shí)別對(duì)信號(hào)檢測(cè)時(shí)，信號(hào)的相關(guān)運(yùn)算通常在一個(gè)符號(hào)周期內(nèi)進(jìn)行。課本P11

相關(guān)運(yùn)算示例：

(1)

兩個(gè)正交的脈沖信號(hào)

課本P12

相關(guān)運(yùn)算示例：

(2)

兩個(gè)正交的已調(diào)信號(hào)

課本P12

卷積運(yùn)算

時(shí)域卷積定理頻域卷積定理卷積運(yùn)算通常用于描述信號(hào)經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)的輸出

輸入信號(hào)：s(t)

信道沖激響應(yīng)：h(t)

輸出信號(hào)：so(t)

課本P122.3

信號(hào)的矢量表示

信號(hào)的矢量表示：多進(jìn)制的基帶和通帶信號(hào)往往可由一組基函數(shù)的線性組合來(lái)表示

內(nèi)積運(yùn)算：在符號(hào)集中，定義內(nèi)積運(yùn)算(相關(guān)運(yùn)算)

基函數(shù)：在一個(gè)N維的信號(hào)空間中，若N個(gè)函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)組滿足

(1)線性獨(dú)立性

k=1,2,…,N

每個(gè)都不是其他函數(shù)的線性組合；

(2)

完備性若k=1,2,…,N一定有s(t)=0則稱函數(shù)組為N維線性空間的一組基。課本P13正交基：滿足下列條件的一組基稱之標(biāo)準(zhǔn)正交基：特別地，滿足下列條件的一種基稱之課本P13信號(hào)的矢量表示

N個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的基函數(shù){k(t)}可構(gòu)成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的N維正交信號(hào)空間。在正交的信號(hào)空間中，基函數(shù)兩兩互不相關(guān)。

例：三維的正交空間

基于標(biāo)準(zhǔn)正交基的信號(hào)表示：對(duì)于M進(jìn)制系統(tǒng)中的信號(hào)集{Sm(t)}m=1,2,…,M信號(hào)Sm(t)與系數(shù)矢量間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系信號(hào)Sm(t)的能量與系數(shù)間的關(guān)系課本P13-14正交基示例：二維信號(hào)空間中的一組基函數(shù)

其中，k是整數(shù)。

例：由上述基函數(shù)構(gòu)成一個(gè)四進(jìn)制的符號(hào)空間例二維函數(shù)空間中的兩個(gè)函數(shù)f1(t)和f2(t)如圖所示。（1）證明這兩個(gè)函數(shù)是一組正交的基函數(shù)；（2）試用f1(t)和f2(t)，表示s1(t)。課本P14課本P142.4希爾伯特變換及應(yīng)用

希爾伯特變換

一種構(gòu)建某一已知函數(shù)的正交函數(shù)的變換

定義：實(shí)函數(shù)f(t)的希爾伯特變換希爾伯特變換的頻率特性等效于一個(gè)理想的相移器。課本P14

希爾伯特變換的傅氏變換對(duì)

故有：課本P15思考一下，HT和學(xué)過(guò)的FTLTZT有什么不同

希爾伯特反變換定義為

希爾伯特反變換的頻率特性課本P15由此得到

希爾伯特變換的性質(zhì)（1）

（2）

課本P15

希爾伯特變換的性質(zhì)(續(xù))（3）信號(hào)經(jīng)過(guò)希爾伯特變換后能量不變:課本P15

希爾伯特變換的性質(zhì)(續(xù))

（4）若f(t)為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)；

同理可證：若f(t)為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)。課本P15-16

希爾伯特變換的性質(zhì)(續(xù))

（5）信號(hào)與其希爾伯特變換生成的信號(hào)相互正交

因?yàn)?/p>

注意到是一個(gè)奇函數(shù)。課本P16

例：求函數(shù)cos(0t)的希爾伯特變換。課本P16例題單邊帶正弦幅度調(diào)制(SSB)SSB信號(hào)的產(chǎn)生:1.濾波法:

利用邊帶濾波器，濾除一個(gè)邊帶。Single-SidebandSinusoidalAmplitiudeModulation(1)(2)(3)(4)+(5)2.移相法:其中：(1)(5)(2)(3)(4)SSB調(diào)制Matlab代碼dt=0.001;%時(shí)間采樣間隔fm=1;%信源最高頻率fc=10;%載波中心頻率T=5;%信號(hào)時(shí)長(zhǎng)t=0:dt:T;mt=sqrt(2)*cos(2*pi*fm*t);%信源%N0=0.01;%白噪單邊功率譜密度

%SSBmodulations_ssb=real(hilbert(mt).*exp(j*2*pi*fc*t));B=fm;%noise=noise_nb(fc,B,N0,t);%s_ssb=s_ssb+noise;

%SSBdemodulationrt=s_ssb.*cos(2*pi*fc*t);rt=rt-mean(rt);[f,rf]=T2F(t,rt);[t,rt]=lpf(f,rf,2*fm);

[f,sf]=T2F(t,s_ssb);psf=(abs(sf).^2)/T;

解析信號(hào)

定義實(shí)信號(hào)f(t)的信號(hào)的解析信號(hào)為：

其中為該實(shí)信號(hào)的希爾伯特變換，。

解析信號(hào)的應(yīng)用：利用解析信號(hào)，可把帶通信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)榈屯ㄐ盘?hào)進(jìn)行分析。課本P16

解析信號(hào)的性質(zhì)（1）f(t)=Re[z(t)]

由定義，結(jié)論為顯然。（2）

課本P16

解析信號(hào)的性質(zhì)(續(xù))

（3）

因?yàn)橛校赫n本P16

解析信號(hào)的性質(zhì)(續(xù))

（4）

課本P16

解析信號(hào)的性質(zhì)(續(xù))

（5）

課本P16-17

解析信號(hào)的性質(zhì)(續(xù))

（6）若z1(t),z2(t)分別為f1(t),f2(t)的解析信號(hào)，則

兩信號(hào)的頻譜分布在不同的區(qū)域。同理，有：

課本P17

解析信號(hào)的性質(zhì)(續(xù))（7）解析信號(hào)z(t)的能量EZ等于原實(shí)信號(hào)f(t)能量的2倍

課本P17已知實(shí)函數(shù)f(t)，求其解析信號(hào)的方法(1)求出f(t)的希爾伯特變換，再構(gòu)成其解析信號(hào)：（2）由f(t)求其傅里葉變換F()，再由公式求f(t)的解析信號(hào)。

頻帶信號(hào)與窄帶信號(hào)

頻帶信號(hào)(帶通信號(hào))，信號(hào)的頻率分布集中在某一中心頻率0附近的信號(hào)稱之；窄帶信號(hào)，頻帶信號(hào)帶寬為2W，若滿足0

>>2W

，則又稱此信號(hào)為窄帶信號(hào)。

頻帶信號(hào)(帶通信號(hào))f(t)的解析信號(hào)

解析信號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu)

頻帶信號(hào)的復(fù)包絡(luò)表示

稱

為函數(shù)f(t)的復(fù)包絡(luò)（等效低通信號(hào)），顯然有：頻帶信號(hào)的復(fù)包絡(luò)的頻譜結(jié)構(gòu)課本P17稱為f(t)的復(fù)包絡(luò)稱為f(t)的復(fù)載波稱作f(t)的載波稱作同相分量稱作正交分量f(t)的包絡(luò)f(t)的相位f(t)的載波角頻率同相分量、正交分量與包絡(luò)和相位的關(guān)系

帶通系統(tǒng)

帶通系統(tǒng)：通頻帶位于頻譜的某一區(qū)域范圍內(nèi)的系統(tǒng)稱之。

系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和傳遞函數(shù)記為：

帶通系統(tǒng)的解析函數(shù)及等效低通傳遞函數(shù)定義：

HL()稱為帶通系統(tǒng)的等效低通傳遞函數(shù)。課本P18帶通系統(tǒng)的傳遞函數(shù)帶通系統(tǒng)的等效低通傳遞函數(shù)

帶通信號(hào)通過(guò)帶通系統(tǒng)的（低通）分析方法

由可得課本P18

帶通信號(hào)通過(guò)帶通系統(tǒng)的（低通）分析方法（續(xù)）課本P18

帶通信號(hào)通過(guò)帶通系統(tǒng)的（低通）分析方法（續(xù)）整理可得：比較：最后可得

信號(hào)復(fù)包絡(luò)之間的關(guān)系復(fù)包絡(luò)信號(hào)與原信號(hào)間的關(guān)系課本P18

例：設(shè)帶通系統(tǒng)沖激相應(yīng)若輸入窄帶信號(hào):f(t)=m(t)cos(0t),求輸出y(t)解：該沖激響應(yīng)相當(dāng)于持續(xù)時(shí)間寬度為T(mén)的脈沖調(diào)制頻率為o的余弦信號(hào)，oT>>1，等效于o>>1/T，這意味著寬度為T(mén)的脈沖主要的成分集中在o附近，寬度遠(yuǎn)小于o的區(qū)域，為窄帶系統(tǒng)。課本P19

例（續(xù)）：輸入信號(hào)的解析信號(hào)和低通信號(hào)分別為課本P19

例（續(xù)）：相應(yīng)的輸出等效低通信號(hào)為最后的輸出信號(hào)為可見(jiàn)分析過(guò)程大為簡(jiǎn)化。課本P19等效基帶系統(tǒng)的Matlab代碼dt=0.01;t=0:dt:5;

s1=exp(-t).*cos(20*pi*t);%輸入信號(hào)[f1s1f]=T2F(t,s1);%輸入信號(hào)的頻譜s1_lowpass=hilbert(s1).*exp(-j*2*pi*10*t);%輸入信號(hào)的等效基帶信號(hào)[f2s2f]=T2F(t,s1_lowpass);%輸入等效基帶信號(hào)的頻譜

h2f=zeros(1,length(s2f));[ab]=find(abs(s1f)==max(abs(s1f)));%找到帶通信號(hào)的中心頻率h2f(201-25:201+25)=1;h2f(301-25:301+25)=1;h2f=h2f.*exp(-j*2*pi*f2);%加入線性相位，

[t1h1]=F2T(f2,h2f);%帶通系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h1_lowpass=hilbert(h1).*exp(-j*2*pi*10*t1);%等效基帶系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

2.5隨機(jī)信號(hào)的基本概念與特點(diǎn)隨機(jī)信號(hào)分析方法隨機(jī)過(guò)程/隨機(jī)信號(hào)的基本概念確定信號(hào)：變化特性完全確知的信號(hào)如：當(dāng)幅度、頻率和相位為常數(shù)的余弦信號(hào)：

隨機(jī)信號(hào)：變化特性不能完全預(yù)知的信號(hào)如：其中

幅度A、頻率

和相位

三個(gè)參量中有一個(gè)或多個(gè)是隨機(jī)變量的余弦信號(hào)。通信系統(tǒng)中的隨機(jī)信號(hào)傳輸?shù)男畔⑹请S機(jī)信號(hào)（如果是確定信號(hào)則不必傳輸）；各種自然界的干擾和噪聲通常是隨機(jī)信號(hào)。課本P19隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性：隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性可由其分布函數(shù)、概率密度函數(shù)或其各階矩的數(shù)字特征描述。隨機(jī)過(guò)程的概念：隨機(jī)過(guò)程可由有限各或無(wú)限多個(gè)實(shí)現(xiàn)構(gòu)成，其每個(gè)實(shí)現(xiàn)可看作某一時(shí)間信號(hào)，如下圖所示：

隨機(jī)過(guò)程可表示：{X(t),t∈T}

隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)記為：Xn(t),n=1,2,…在某一時(shí)刻ti，隨機(jī)過(guò)程實(shí)現(xiàn)的樣值Xn(ti),n=1,2,…

為隨機(jī)變量。課本P202.6

隨機(jī)過(guò)程的主要統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)過(guò)程的常用統(tǒng)計(jì)值稱作隨機(jī)過(guò)程X(t)的一維分布函數(shù)。如果存在則稱其為X(t)的一維概率密度。課本P20

隨機(jī)過(guò)程的多維分布函數(shù)和概率密度函數(shù)：

n維分布函數(shù)：

n維概率密度函數(shù)：

課本P21

[n+m]

維隨機(jī)向量的聯(lián)合分布函數(shù)定義為兩隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布函數(shù)和數(shù)字特征課本P21若存在則稱為X(t)和Y(t)的n+m維聯(lián)合概率密度課本P21

兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程獨(dú)立的充要條件

對(duì)任意的n，m，有

或有：

課本P21隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)值數(shù)學(xué)期望（均值）：

方差：

自相關(guān)函數(shù)：

注意：隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)是在定義在統(tǒng)計(jì)平均意義的。

隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)值通常是時(shí)間的函數(shù)課本P21-22隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)值(續(xù))互相關(guān)函數(shù)：

自協(xié)方差函數(shù)：

互協(xié)方差函數(shù)：

課本P22復(fù)隨機(jī)過(guò)程課本P22-232.7

隨機(jī)函數(shù)的分布及數(shù)字特征

隨機(jī)變量函數(shù)的分布及數(shù)字特征

一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布

(1)

若

y=f(x)嚴(yán)格單調(diào)變化反函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)則課本P23

一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布(續(xù))

(2)

若y=f(x)在不重疊的區(qū)域逐段嚴(yán)格單調(diào)變化其相應(yīng)的反函數(shù)、、…

有連續(xù)導(dǎo)數(shù)則課本P23

隨機(jī)變量函數(shù)的分布

隨機(jī)向量函數(shù)的分布函數(shù)

若概率密度函數(shù)為則

的分布函數(shù)

課本P23

隨機(jī)變量函數(shù)的統(tǒng)計(jì)值(數(shù)字特征)

隨機(jī)向量函數(shù)的均值

可直接由自變量X的概率密度函數(shù)計(jì)算。同理可得隨機(jī)變量函數(shù)的其他統(tǒng)計(jì)特性值。

課本P23

隨機(jī)變量函數(shù)的統(tǒng)計(jì)值(數(shù)字特征)(續(xù))

示例已知隨機(jī)變量函數(shù)

X在（-,）上均勻分布則有

課本P232.8

平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程嚴(yán)（狹義）平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：

對(duì)任意n和τ

滿足如下關(guān)系式的隨機(jī)過(guò)程

稱之為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。

嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的平移而改變。課本P24平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程（續(xù)）寬（廣義）平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：

滿足如下關(guān)系式的隨機(jī)過(guò)程

為寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一階矩為常數(shù)，二階矩只與時(shí)間差有關(guān)。（注：寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程只涉及了其一階、二階的統(tǒng)計(jì)特性）課本P24寬（廣義）平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：

平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)一階、二階矩的統(tǒng)計(jì)特性的物理意義(1)均值E[X(t)]：信號(hào)的直流成分；(2)均值的平方{E[X(t)]}2：信號(hào)直流部分的歸一化功率；(3)二階距E[X2(t)]：總的歸一化信號(hào)功率；(4)方差：信號(hào)時(shí)變部分總的歸一化功率。

歸一化：負(fù)載為1

歐姆電阻。課本P24聯(lián)合寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程若X(t)，Y(t)是寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且其中則稱X(t)，Y(t)為聯(lián)合寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)課本P24課本P24

隨機(jī)信號(hào)時(shí)間平均和各態(tài)歷經(jīng)性

各態(tài)歷經(jīng)性：從隨機(jī)過(guò)程的任何一個(gè)樣本(實(shí)現(xiàn))就可以得出隨機(jī)過(guò)程的全部統(tǒng)計(jì)信息?；? 一個(gè)樣本按時(shí)間的平均可以近似地替代隨機(jī)過(guò)程在固定時(shí)刻取值的統(tǒng)計(jì)平均。各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過(guò)程是嚴(yán)平穩(wěn)的，反之不然。

均值的各態(tài)歷經(jīng)性：

相關(guān)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)性：平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性）：

若平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的均值、相關(guān)函數(shù)等統(tǒng)計(jì)特性可用其時(shí)間平均來(lái)計(jì)算的隨機(jī)過(guò)程稱之（常數(shù)）

對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均等價(jià)課本P24

隨機(jī)信號(hào)時(shí)間平均和各態(tài)歷經(jīng)性在對(duì)通信系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，通常假定隨機(jī)信號(hào)具有各態(tài)歷經(jīng)性。

各態(tài)歷經(jīng)信號(hào)的二階統(tǒng)計(jì)特性與其電參數(shù)的關(guān)系：

a.均值等于信號(hào)的直流電平；

b.均值的平方等于信號(hào)直流分量的歸一化功率；

c.二階矩等于歸一化總平均功率；

d.方差等于信號(hào)時(shí)變分量的歸一化平均功率；若X(t)的均值和自相關(guān)均為歷經(jīng)的，則X(t)為寬歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程。若X(t)的所有統(tǒng)計(jì)平均特性和其樣函數(shù)所有相應(yīng)的時(shí)間平均特性以概率為1相等，則X(t)為嚴(yán)歷經(jīng)過(guò)程。若X(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且則X(t)是歷經(jīng)過(guò)程。例

分析隨機(jī)過(guò)程

X在（-,）上服從均勻分布。

的平穩(wěn)性和各態(tài)歷經(jīng)性。因?yàn)?/p>

所以該隨機(jī)過(guò)程是廣義平穩(wěn)的。課本P25例(續(xù))又因?yàn)橛校罕容^前面的結(jié)果，可見(jiàn)該隨機(jī)過(guò)程具有各態(tài)歷經(jīng)性。課本P252.9信號(hào)的功率密度譜平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度X(t)的功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率密度譜

平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)與功率密度譜是一傅氏變換對(duì)

平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率課本P26平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程功率譜密度的性質(zhì)

隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度

課本P272.10通信系統(tǒng)中幾種常用的隨機(jī)過(guò)程高斯隨機(jī)過(guò)程（正態(tài)）

若一隨機(jī)過(guò)程的任意n維(n=1,2,…)概率密度是正態(tài)分布式,則稱此隨機(jī)過(guò)程為高斯隨機(jī)過(guò)程。定義通信系統(tǒng)中幾種常用的隨機(jī)過(guò)程(1)高斯隨機(jī)過(guò)程，其概率密度函數(shù)其中：自協(xié)方差矩陣

課本P27

高斯隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性完全由其一階和二階數(shù)字特征完全確定；如果高斯過(guò)程是寬平穩(wěn)過(guò)程，則其均值、方差與時(shí)刻無(wú)關(guān)，是常數(shù)；其n維概率密度滿足嚴(yán)平穩(wěn)條件，所以寬平穩(wěn)的高斯過(guò)程就是嚴(yán)平穩(wěn)的高斯過(guò)程。對(duì)于正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的任何兩個(gè)時(shí)刻的隨機(jī)變量，不相關(guān)也就是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。性質(zhì)一維正態(tài)分布一維正態(tài)概率密度表示式為

正態(tài)概率密度曲線（1）性質(zhì)若a=0，σ=1，則稱為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布，即（2）對(duì)稱于aΦ(x)為概率積分函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率積分誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)

其值通過(guò)查表可得三者關(guān)系：

線性系統(tǒng)的信號(hào)傳輸頻域傳遞函數(shù)

隨機(jī)信號(hào)有多個(gè)甚至無(wú)窮多個(gè)樣本函數(shù)，隨機(jī)信號(hào)經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)通常只能用輸入輸出信號(hào)的功率譜密度關(guān)系來(lái)描述：

高斯隨機(jī)過(guò)程的特點(diǎn)： 高斯過(guò)程經(jīng)線性時(shí)不變系統(tǒng)后仍為高斯過(guò)程，其幅度取值分布特性可由均值和方差唯一確定；高斯信號(hào)經(jīng)線性系統(tǒng)后方差可能會(huì)發(fā)生變化。熱噪聲的雙邊功率譜密度為當(dāng)負(fù)載電阻與熱噪聲源電阻匹配相聯(lián)時(shí)，在匹配負(fù)載電阻上得到的可獲熱噪聲雙邊功率譜密度為通信系統(tǒng)中的噪聲

自然噪聲：熱噪聲，來(lái)自大氣、太陽(yáng)和宇宙的噪聲等；

人為噪聲：火花塞點(diǎn)火噪聲、開(kāi)關(guān)脈沖噪聲和電磁輻射干擾等。通信系統(tǒng)中典型的噪聲模型：白噪聲

白噪聲：功率密度譜為常數(shù)的一類噪聲。通常認(rèn)為白噪聲的幅度取值為高斯分布，所以也稱為高斯白噪聲。熱噪聲其功率密度譜在0～1012Hz范圍內(nèi)是平坦的，可視為是一種白噪聲。對(duì)帶寬有限的通信系統(tǒng)，若干擾噪聲在帶內(nèi)是平坦的時(shí)，可認(rèn)為噪聲是白噪聲。

通信系統(tǒng)中幾種常用的隨機(jī)過(guò)程(續(xù))(2)

白噪聲

滿足如下特性隨機(jī)信號(hào)稱之。（一種純隨機(jī)過(guò)程）

高斯白噪聲:噪聲的功率密度譜為常數(shù)，幅度取值服從高斯分布。課本P28通信系統(tǒng)中的噪聲

白噪聲功率密度譜：

白噪聲的自相關(guān)函數(shù)：課本P28通信系統(tǒng)中的噪聲高斯分布隨機(jī)變量特點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)特性由均值和方差唯一確定。高斯白噪聲的分布特性：均值為0，方差為，分布密度函數(shù)： P(-3<3)＝0.997Matlab函數(shù)randn產(chǎn)生高斯分布的隨機(jī)變量1、若為確定函數(shù)，則X為高斯隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望為0，方差等于高斯白噪聲性質(zhì)2、若其中則若正交，則X1與X2統(tǒng)計(jì)獨(dú)立3、限帶高斯白噪聲，功率譜密度

通信系統(tǒng)中幾種常用的隨機(jī)過(guò)程(續(xù))(3)

窄帶隨機(jī)過(guò)程

信號(hào)帶寬?f遠(yuǎn)小于其中心頻率fc的隨機(jī)信號(hào)稱之。

課本P28(3)

窄帶隨機(jī)過(guò)程(續(xù))

ac(t)和as(t)相對(duì)載波f來(lái)說(shuō)是低頻信號(hào)。

課本P28窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的表示式解析信號(hào)窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度(1)Z(t)的自相關(guān)函數(shù)功率譜密度(2)

復(fù)包絡(luò)XL(t)的相關(guān)函數(shù)解析信號(hào)和復(fù)包絡(luò)的功率譜密度功率譜密度(3)Xc(t)，Xs(t)的統(tǒng)計(jì)特性Xc(t)，Xs(t)，a(t)，φ(t)的概率密度（1）Xc(t)，Xs(t)的聯(lián)合概率密度(2)a(t)和φ(t)的聯(lián)合概率密度

通信系統(tǒng)中幾種常用的隨機(jī)過(guò)程(續(xù))(4)

窄帶高斯隨機(jī)過(guò)程

是均值為0，方差為2的高斯隨機(jī)過(guò)程。其中和也為均值為0，方差為2的高斯過(guò)程。

課本P28-29(4)

窄帶高斯隨機(jī)過(guò)程(續(xù))

窄帶高斯過(guò)程的幅度與相位分布特性

幅度分布特性：瑞利分布相位分布特性：均勻分布

幅度的分布與相位的分布統(tǒng)計(jì)獨(dú)立：課本P29(4)

窄帶高斯隨機(jī)過(guò)程(續(xù))

其幅度(包絡(luò))分布特性：瑞利分布

課本P30

窄帶高斯過(guò)程描述了窄帶信號(hào)經(jīng)過(guò)多個(gè)不可分辨的多徑反射(散射)后到達(dá)接收端的信號(hào)特性。

通信系統(tǒng)中幾種常用的隨機(jī)過(guò)程(續(xù))(5)

正弦(余弦)信號(hào)加窄帶高斯隨機(jī)過(guò)程

其中和為均值為0，方差為的高斯過(guò)程。其分布特性：課本P30

令，則有（1），均為高斯過(guò)程且在同時(shí)刻相互獨(dú)立；（2）的均值為A,的均值為0；（3）和的方差均為。(5)

正弦(余弦)信號(hào)加窄帶高斯隨機(jī)過(guò)程(續(xù))

其幅度(包絡(luò))與相位的其分布特性：

其中幅度

相位課本P31(5)

正弦(余弦)信號(hào)加窄帶高斯隨機(jī)過(guò)程(續(xù))

其幅度(包絡(luò))分布特性：萊斯分布

其中稱為零階修正的貝塞爾函數(shù)，該函數(shù)的取值可通過(guò)查找貝塞爾函數(shù)表得到。課本P31(5)

正弦(余弦)信號(hào)加窄帶高斯隨機(jī)過(guò)程(續(xù))

其幅度(包絡(luò))分布特性：萊斯分布

當(dāng)A＝0，萊斯分布退化為瑞利分布。課本P31(5)

正弦(余弦)信號(hào)加窄帶高斯隨機(jī)過(guò)程(續(xù))

其相位分布特性：若其相位退化為均勻分布

若，其均值由正弦(余弦)信號(hào)決定。課本P31-32(5)

正弦(余弦)信號(hào)加窄帶高斯隨機(jī)過(guò)程(續(xù))

不同的信噪比下的相位分布特性：

信噪比很大時(shí)，相位基本由正弦(余弦)信號(hào)決定；

信噪比變小時(shí)，相位分布趨于隨機(jī)的均勻分布。課本P32(5)

正弦(余弦)信號(hào)加窄帶高斯隨機(jī)過(guò)程(續(xù))

正弦(余弦)信號(hào)加窄帶高斯過(guò)程描述了窄帶信號(hào)經(jīng)過(guò)多個(gè)不可分辨的多徑反射過(guò)程到達(dá)接收端時(shí)的信號(hào)特性，在這些信號(hào)中，有其中一徑特別強(qiáng)的信號(hào)。該特別強(qiáng)的信號(hào)通常是信號(hào)中直達(dá)的視距信號(hào)。

瑞利分布與萊斯分布的比較

瑞利分布：σ=1

萊斯分布：σ=1，A＝4窄帶平穩(wěn)高斯噪聲通過(guò)相干解調(diào)器窄帶濾波器的傳遞函數(shù)低通濾波器的傳遞函數(shù)通過(guò)窄帶濾波器及相干解調(diào)窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程Matlab代碼N0=1;%雙邊功率譜密度f(wàn)c=10;%中心頻率B=1;%帶寬

dt=0.01;T=100;t=0:dt:T-dt;%產(chǎn)生功率為N0*B的高斯白噪聲P=N0*B;st=sqrt(P)*randn(1,length(t));%將上述白噪聲經(jīng)過(guò)窄帶帶通系統(tǒng)，[f,sf]=T2F(t,st);%高斯信號(hào)頻譜figure(1)plot(f,abs(sf));%高斯信號(hào)的幅頻特性

[ttgt]=bpf(f,sf,fc-B/2,fc+B/2);%高斯信號(hào)經(jīng)過(guò)帶通系統(tǒng)

glt=hilbert(real(gt));%窄帶信號(hào)的解析信號(hào)，調(diào)用hilbert函數(shù)得到解析信號(hào)glt=glt.*exp(-j*2*pi*fc*tt);

[ff,glf]=T2F(tt,glt);2.11平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程與時(shí)不變線性系統(tǒng)

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程與線性時(shí)不變系統(tǒng)

線性時(shí)不變系統(tǒng)：課本P32

線性系統(tǒng)的信號(hào)傳輸

圖中h(t)是線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，y(t)是輸出。 一般地，有： 對(duì)因果系統(tǒng)：

線性系統(tǒng)的信號(hào)傳輸1.頻域傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)可表示為：其中：幅頻特性

相頻特性對(duì)輸入的單頻信號(hào)有：可見(jiàn)，傳遞函數(shù)的幅頻與相頻特性的物理意義明顯。

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)1.隨機(jī)過(guò)程Y(t)的均值(統(tǒng)計(jì)平均)與t無(wú)關(guān)。其中:課本P332.隨機(jī)過(guò)程Y(t)的自相關(guān)函數(shù)與t無(wú)關(guān)?？梢?jiàn)，Y(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。課本P33

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程與線性時(shí)不變系統(tǒng)

平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)經(jīng)線性系統(tǒng)輸出的統(tǒng)計(jì)特性：均值：相關(guān)函數(shù)

平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)經(jīng)線性系統(tǒng)后保持其平穩(wěn)特性。課本P333.X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度X(t)和Y(t)的互功率譜密度4.Y(t)的功率譜密度

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程與線性時(shí)不變系統(tǒng)(續(xù))

平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)經(jīng)線性系統(tǒng)輸出的信號(hào)功率譜密度：

示例：高斯白噪聲經(jīng)線性系統(tǒng)后的功率密度譜：

一般不再具備白噪聲的特性。課本P33-34(1)若X(t)是正態(tài)隨機(jī)過(guò)程，則Y(t)也是正態(tài)隨機(jī)過(guò)程。(2)若過(guò)程X(t)帶寬(系統(tǒng)帶寬)，則：Y(t)趨于高斯過(guò)程(正態(tài)過(guò)程)。Y(t)的概率密度

信號(hào)經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)后輸出不失真的條件

信號(hào)不失真的含義：信號(hào)經(jīng)過(guò)系統(tǒng)后只有幅度和時(shí)延的變化

原信號(hào)經(jīng)線性系統(tǒng)后沒(méi)有失真的信號(hào)(只有倍數(shù)的變化和時(shí)延)無(wú)失真線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和頻率特性

課本P34無(wú)失真線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和頻率特性

幅頻特性相頻特性課本P34

信號(hào)經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)后的群時(shí)延特性

群時(shí)延特性：信號(hào)經(jīng)過(guò)系統(tǒng)后不同頻率成分的時(shí)延特性

線性無(wú)失真系統(tǒng)的群時(shí)延特性各種頻率成分經(jīng)過(guò)系統(tǒng)后時(shí)延相同。課本P34實(shí)際系統(tǒng)的幅-頻特性實(shí)際系統(tǒng)的相-頻特性由于系統(tǒng)特性H()不理想引起的信號(hào)失真稱為線性失真。線性失真包括幅度失真和相位失真。由于系統(tǒng)的幅-頻特性不理想引起的信號(hào)失真稱為幅度失真。由于系統(tǒng)的相-頻特性不理想引起的信號(hào)失真稱為相位失真。

信號(hào)經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)后的群時(shí)延特性

不同頻率成分傳輸時(shí)延不同的系統(tǒng)示例1基波與二次諧波時(shí)延相同情形基波與二次諧波時(shí)延不同時(shí)情形

同樣頻率成分、不同相位的信號(hào)組合獲得的波形顯著不同。示例2課本P35示例3課本P35

高斯隨機(jī)信號(hào)經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)后的統(tǒng)計(jì)特性

高斯隨機(jī)信號(hào)經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)后仍為高斯隨機(jī)信號(hào)；可根據(jù)高斯隨機(jī)信號(hào)的均值和方差可確定其全部統(tǒng)計(jì)特性；高斯隨機(jī)信號(hào)經(jīng)線性系統(tǒng)后一般均值和方差會(huì)發(fā)生變化。

2.12循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程若隨機(jī)過(guò)程X(t)的統(tǒng)計(jì)平均值(數(shù)學(xué)期望)和自相關(guān)函數(shù)是時(shí)間的周期函數(shù)，則X(t)稱作周期平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程或循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程（CyclostationaryProcesses）。

循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

對(duì)于廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列：均值相關(guān)函數(shù)

廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列對(duì)特定脈沖波形加權(quán)后形成的信號(hào)：

因?yàn)?/p>

所以X(t)一般不再具有廣義平穩(wěn)性。課本P35廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列經(jīng)特定脈沖波形加權(quán)后形成的信號(hào)(續(xù))：假定脈沖信號(hào)的波形為

均值E[X(t)]和相關(guān)函數(shù)均是一周期信號(hào)，稱其為循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程該信號(hào)不滿足平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)對(duì)均值和相關(guān)函數(shù)所要求的條件。課本P35-36循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性X(t)的均值E[X(t)]是t的周期函數(shù)，周期等于T。X(t)的自相關(guān)函數(shù)Rx(t,t+)是t的周期函數(shù)，周期等于T。X(t)的平均功率譜密度

證明數(shù)字PAM信號(hào)是循環(huán)平穩(wěn)過(guò)程S(t)的均值S(t)的自相關(guān)函數(shù)課本P36廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列經(jīng)特定脈沖波形加權(quán)后形成的信號(hào)(續(xù))：定義循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的平均自相關(guān)函數(shù)

由此可估計(jì)信號(hào)的平均功率密度譜

通信系統(tǒng)中大多數(shù)信號(hào)都可看作為循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。課本P36求循環(huán)平穩(wěn)過(guò)程s(t)的功率譜密度平均自相關(guān)函數(shù)

課本P36課本P37廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列經(jīng)特定脈沖波形加權(quán)后形成的信號(hào)(續(xù))：循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的平均功率密度譜計(jì)算

其中：

課本P37在隨機(jī)序列{an}是實(shí)的，且符號(hào)之間互不相關(guān)的情況下Pa(f)的計(jì)算:課本P37在隨機(jī)序列{an}的各符號(hào)之間互不相關(guān)的條件下發(fā)送MPAM信號(hào)的功率譜密度為課本P372.13

匹配濾波器

匹配濾波器

信號(hào)的最佳接收問(wèn)題

接收信號(hào)：x(t)=s(t)+n(t)

其中有用信號(hào)：s(t)噪聲：n(t)

接收濾波器輸出信號(hào)形式

接收濾波器

h(t)

應(yīng)該具有何種形式對(duì)信號(hào)接收最有利？課本P38

信號(hào)的最佳接收：

使判決時(shí)刻信噪比達(dá)到最大意義上的上的最佳接收由輸出信號(hào)部分輸出噪聲部分（噪聲功率）課本P38

信號(hào)的最佳接收(續(xù))：時(shí)刻，濾波器輸出信噪比由數(shù)學(xué)上的許瓦茲不等式

僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。課本P39

信號(hào)的最佳接收(續(xù))：利用許瓦茲不等式，當(dāng)匹配濾波器具有形式：時(shí)，輸出信噪比達(dá)到最大其中是一個(gè)碼元的能量。課本P39匹配濾波器當(dāng)采用匹配濾波器時(shí)，判決時(shí)刻濾波器輸出信噪比的大?。ā芭c波形的形狀無(wú)關(guān)”）取決于輸入信號(hào)的能量E與噪聲功率密度譜N0/2。

信號(hào)的最佳接收(續(xù))：匹配濾波器的時(shí)域表達(dá)形式對(duì)于實(shí)信號(hào)s(t)

，其匹配濾波器的沖激響應(yīng)課本P39

信號(hào)的最佳接收(續(xù))：匹配濾波器的時(shí)域沖激響應(yīng)與輸入信號(hào)間的關(guān)系

示例1：信號(hào)匹配濾波器沖激響應(yīng)課本P39

信號(hào)的最佳接收(續(xù))：匹配濾波器時(shí)間參數(shù)的選擇

(a)物理不可實(shí)現(xiàn)；

(b)恰好全部信號(hào)能量到達(dá)；

(c)

影響下一個(gè)符號(hào)信號(hào)的接收。因此通常?。?，為一個(gè)碼元的周期。課本P40匹配濾波器

匹配濾波器的“匹配”有如下的涵義：

a.|H(f)|正比與|S(f)|，在信號(hào)頻率分量較小的區(qū)域，濾波器的幅頻特性也較小，因此有較好的抑制噪聲的作用；

b.在各頻率成分上，濾波器可對(duì)信號(hào)分量的相位進(jìn)行調(diào)整，使信號(hào)分量在t＝T時(shí)達(dá)到最大；

c.若噪聲功率密度譜是非均勻分布的，則有： 匹配濾波器的幅頻特性與此噪聲功率密度譜成反比，有利于抑制噪聲。

信號(hào)的最佳接收(續(xù))：匹配濾波器

示例2：已知輸入信號(hào)分別為和求其匹配濾波器的輸出

(a)某基帶信號(hào)的符號(hào)波形；

(b)

某已調(diào)信號(hào)的符號(hào)波形。課本P40

信號(hào)的最佳接收(續(xù))：匹配濾波器示例：

基帶信號(hào)(a)的沖激響應(yīng)波形和匹配濾波器輸出波形：

已調(diào)信號(hào)(b)的沖激響應(yīng)波形和匹配濾波器輸出波形：

課本P40-41匹配濾波器

匹配濾波器的概念可用于基帶與通帶信號(hào)例求余弦脈沖（通帶）信號(hào)匹配濾波器的沖激響應(yīng)及匹配濾波輸出。

沖激響應(yīng)：

匹配濾波輸出：

在t=Ts

時(shí)刻

ys(t)達(dá)到最大

SNR達(dá)最大值。

匹配濾波器

匹配濾波器的的相關(guān)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)

信號(hào)S(t)經(jīng)其匹配濾波器的輸出： 等于輸入信號(hào)s(t)