分布函數(shù)與函數(shù)的分布

經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)10章隨機變量與數(shù)字特征第五單元分布函數(shù)與函數(shù)的分布一、學(xué)習目標通過本節(jié)課的學(xué)習，認識分布函數(shù)的概念，會求簡單的分布函數(shù).知道隨機變量的函數(shù)仍是隨機變量，因此知道該函數(shù)有分布.二、內(nèi)容講解.分布函數(shù)設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，密度函數(shù)為f(x)，則事｛X<x｝的概率，即P(X<x)」；")dd=F(x)稱為隨機變量X的分布函數(shù).有F(x)=f(x)(在f(x)的連續(xù)點)幾何上看： 了十AF(x)V_f(x)0x x事件｛X<x｝的概率，等于由一8至x，密度f(x)與x軸圍成的面積..隨機變量函數(shù)的分布設(shè)X是隨機變量，廠屋x)是一個函數(shù)，如果當隨機變量X取值x時，隨機變量y按廠屋x)取值，則稱y為隨機變量X的函數(shù)，記作y=g(X)如果X是離散型隨機變量，其概率分布為P(X=xk)=pk(k=1,2,…)，則隨機變量y的概率分布為p(y=yk)=p(y=g(xk))=pk(k=1,2，…)問題思考：連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)=If(x)dx，其中密度函數(shù)f(x)可以大于1,那么F(x)可以大于1嗎？312經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 10章隨機變量與數(shù)字特征答案不可以.因為分布函數(shù)是事件｛X＜燈的概率，概率顯然只能是大于或等于0,小于或等1的數(shù)值.三、例題講解例1：求二點分布的分布函數(shù).解:二點分布的概率分布為工P(X=x)k刀布函數(shù)F(x)=P(X<x)—xk<x .當x<0時，事件｛X=0｝不包含在事件｛X<x｝內(nèi).F(x)=P(X<x)=0當0<x<1時，事件｛X<x｝=｛—8<X<0uX=0u0<X<x｝，所以F(x)=P(X<x)=P(—s<X<0)+P(X=0)+P(0<X<x)=0+1—p+0=1-p當x>1時，有F(x)=P(X<x)=P(—8<X<0)+P(X=0)+P(0<X<1)+P(X=1)+P(1<X<x)=0+1—p+0+p=1‘0 x<0<1—p 0<x<1于是二點分布的分布函數(shù)為F(x)=1 x>1二點分布的分布函數(shù)F(x)圖形如下：313

經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)10章隨機變量與數(shù)字特征二點分布的分布函數(shù)圖經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)10章隨機變量與數(shù)字特征二點分布的分布函數(shù)圖可見，二點分布的分布函數(shù)是一個右連續(xù)的曲線.任何離散型隨機變量的分布函數(shù)都是右連續(xù)的分段函數(shù).例2:求均勻分布的分布函數(shù).解:均勻分布的密度函數(shù)為f解:均勻分布的密度函數(shù)為f(x)=1其他分布函數(shù)F(x)=P(X<x).當x<當x<a時，f(x)=0,F(x)=P(X<x)Jxf(x)dxJx0dx=0=-81當a<x<b時，f(x)=b-a，事件{X<x}={—8<X<a}u{a<X<x}=-8F(x)=P(X<x)=P(—8<X<a)+P(a<X<x)Jaf(x)dx+Jxf(x)d=-8a x1 x-a0dx+ dx=一=-8 ab一a b一a當x>b時，F(xiàn)(x)=P(X<x)=P(—8<X<a)+P(a<X<b)+P(b<X<x)Ja0dx+Jb--—dx+Jx0dx=-8ab-ab=1314

,F(x)的圖形如下:經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ) ,F(x)的圖形如下:]F(x)=所有連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)都是一個連續(xù)曲線.例3：已知隨機變量X的概率分布X025p111pk424求Y=2X+1的概率分布.分析：按照隨機變量函數(shù)的定義，已知X的概率分布P(X=xk)=pk.那么Y的取值正是yk=g(xk)，而P(Y=yk)與P(X=xk)是相同的.kk k k解：已知隨機變量X的概率分布，求隨機變量函數(shù)Y的概率分布.按所給公式，y=2x+1,于是P(Y=yk)=P(Y=g(x))=P(Y=2xk+1)=pk因為X025pk111424當x=0,2,5時，y=2x+1=1,5,11,于是得到Y(jié)的概率分布為(已知函數(shù)為y=g(x)=2x+1,故Y的取值就是X的取值的兩倍加1,即Y=1,5,11.概率值與X的取值概率一樣.)Y1511P(Y=y)111k424四、課堂練習315經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 10章隨機變量與數(shù)字特征練習1袋中裝有分別寫上1,2,3,4,5的球.從中一次任取3球，所取3球中最大數(shù)字是一隨機變量，求該隨機變量的分布函數(shù).求分布函數(shù)，首先求出X的概率分布.為此先確定X的可能取值，再用分布函數(shù)定義求分布函數(shù).一次取3個球，所以球上數(shù)字不重復(fù)，X為3球中最大數(shù)字，故X最小是3.X表示所取3球中最大數(shù)字，X最小取3,還可以取4,5.故X可能取值為3,4,5.2%,0<%<1《―練習2設(shè)x是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為f(x)=n其匕求隨機變量X的分布函數(shù).求分布函數(shù)就是按分布函數(shù)的定義，求事件｛X<%｝的概率，即事件｛—8<X<%｝的概率.對于連續(xù)型隨機變量，它的分布函數(shù)是密度函數(shù)的一個變上限的定積分，所以求分布函數(shù)主要是計算定積分的問題.但是不少的密度函數(shù)是分段函數(shù)，要注意密度函數(shù)的變化.此時，密度函數(shù)f%)=0,故F(%)=0五、課后作業(yè).設(shè)隨機變量X的概率分布為X一101Pk111632求隨機變量X的分布函數(shù). <%<一 <%<一2其他.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(%)=10求隨機變量X的分布函數(shù)..設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為316

經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 10章隨機變量與數(shù)字特征x〈一a<A+Barcsin—

a求：⑴系數(shù)a,b；（2）x取值在（-建）內(nèi)的概率；⑶x的密度函數(shù)..已知隨機變量X的概率分布為X101234pk111111126312412求：(1)Y==1-X；(2)Z=(X—1)2的概率分布.1.0161211.016121x<一