新高考數(shù)學(xué)專題21 運用空間向量解決空間角（學(xué)生版）

專題21運用空間向量解決空間角一、題型選講題型一、異面直線所成的角以及研究異面直線所成的角首先要注意交的范圍，然后轉(zhuǎn)化為有直線的方向向量的夾角。例1、【2018年高考江蘇卷】如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AA1=2，點P，Q分別為A1B1，BC的中點．（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值．例2、(2019南京學(xué)情調(diào)研）如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知底面ABCD的邊長AB＝3，側(cè)棱AA1＝2，E是棱CC1的中點，點F滿足eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→)).(1)求異面直線FE和DB1所成角的余弦值；(2)記二面角EB1FA的大小為θ，求|cosθ|.題型二、直線與平面所成的角直線與平面所成的角是通過研究直線的方向向量和平面的法向量的所成的角，因此，要特別注意所求的角與已求的角之間的關(guān)系。例3、【2020年高考浙江】如圖，在三棱臺ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．（Ⅰ）證明：EF⊥DB；（Ⅱ）求直線DF與平面DBC所成角的正弦值．例4、【2020年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值．題型三、平面與平面所成的角利用平面的法向量求二面角的大小時，當(dāng)求出兩半平面α，β的法向量n1，n2時，要根據(jù)觀察判斷向量在圖形中的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等還是互補(bǔ)，這是利用向量求二面角的難點、易錯點例5、【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．例6、【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.例7、（2020屆山東省濰坊市高三上期中）如圖，在棱長均為的三棱柱中，平面平面，，為與的交點．（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、【2019年高考天津卷理數(shù)】如圖，平面，，．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）若二面角的余弦值為，求線段的長．2、【2019年高考浙江卷】如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是AC，A1B1的中點.（1）證明：；（2）求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.3、【2018年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】如圖，四邊形為正方形，分別為的中點，以為折痕把折起，使點到達(dá)點的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值.4、（2020屆山東省九校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知四棱柱的底面為菱形，，，，平面，.（1）證明：平面；（2）求鈍二面角的余弦值.5、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）在底面為正方形的四棱錐中，平面平面分別為棱和的中點.(1)求證:平面;(2)若直線與所成角的正切值為，求平面與平面所成銳二面角的大小.6、(2019南京、鹽城一模）如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD