八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)

八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)要點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)要點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)要點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)第一局部全等三角形一、全等三角形1、見(jiàn)解：可以完滿(mǎn)重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。一個(gè)三角形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)可以獲得它的全等形。2、全等三角形有哪些性質(zhì)〔理解熟習(xí)，并能嫻熟應(yīng)用〕〔1〕：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等?！?〕：全等三角形的周長(zhǎng)相等、面積相等?！?〕：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、角均分線(xiàn)、高線(xiàn)分別相等。3、全等三角形的判斷〔理解熟習(xí)，并能嫻熟應(yīng)用〕邊邊邊：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等〔可簡(jiǎn)寫(xiě)成“SSS〞)邊角邊:兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形全等〔可簡(jiǎn)寫(xiě)成“SAS〞)角邊角:兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等〔可簡(jiǎn)寫(xiě)成“ASA〞)角角邊:兩角和此中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等〔可簡(jiǎn)寫(xiě)成“AAS〞)方法引導(dǎo)斜邊.直角邊：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等〔可簡(jiǎn)寫(xiě)成“HL〞)證明兩個(gè)三角形全等的根本思路：4、證明兩個(gè)三角形全等的根本思路：〔歸納歸納，課梳理解題思路〕找第三邊(SSS)找?jiàn)A角〔SAS)〔1〕：兩邊----找能否有直角(HL)找這邊的另一個(gè)鄰角(ASA)找這個(gè)角的另一個(gè)邊(SAS)一邊和它的鄰角找這邊的對(duì)角(AAS)

(2):一邊一角---找一角(AAS)一邊和它的對(duì)角角是直角，找一邊(HL)找兩角的夾邊(ASA)(3):兩角---找?jiàn)A邊外的隨意邊(AAS)練習(xí)二、角的均分線(xiàn)：1、〔性質(zhì)〕角的均分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.2、〔判斷〕角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的均分線(xiàn)上。三、學(xué)習(xí)全等三角形應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：〔1):要正確劃分“對(duì)應(yīng)邊〞與“對(duì)邊〞，“對(duì)應(yīng)角〞與“對(duì)角〞的不同樣含義；〔2〕：表示兩個(gè)三角形全等時(shí)，表示對(duì)應(yīng)極點(diǎn)的字母要寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的地點(diǎn)上；〔3〕：“有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等〞或“有兩邊及此中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等〞的兩個(gè)三角形不一定全等；〔4〕：時(shí)辰注企圖形中的隱含條件，如“公共角〞、“公共邊〞、“對(duì)頂角〞二、經(jīng)典例題：例1、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，E、F分別在AC、BC上，且ED⊥FD．求證：．1分析：由D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)可知△ACD，△BCD的面積都等于△ABC的面積的一半．所以可采用割補(bǔ)法證明．證明：連結(jié)CD．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為AB的中點(diǎn)，∴△ACD≌△BCD∴∠ADC=∠BDC且∠A＝∠B＝45°又∵∠ADC＋∠BDC＝180°∴∠ADC=∠BDC=90°∴∠BCD＝90°－∠B＝45°＝∠B∴∠ACD＝90°－∠A＝45°＝∠A∴AD=BD=C，D又∵ED⊥FD，∴∠EDC＋∠CDF=90°∵∠ADE＋∠EDC=90°∴∠ADE=∠CDF．在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF∴S△ADE=S△CDF同理可證：S△CDE=S△BDF∴．例2、在△ABC中，請(qǐng)證明：〔1〕假定AD為角均分線(xiàn)，那么〔2〕設(shè)D是BC上一點(diǎn)，連結(jié)AD，假定，那么AD為角均分線(xiàn)．分析：如圖，2〔1〕由三角形的面積及底邊聯(lián)想到作三角形的高，作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，那么DE=DF，即結(jié)論①建立；②由①聯(lián)合△ABD與△ACD是共高三角形，即可獲得結(jié)論．〔2〕逆用上述的思路即可證明結(jié)論建立．證明：〔1〕①如圖，過(guò)D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F．∵AD為角均分線(xiàn)，∴DE=DF∴．②如圖，過(guò)A作AH⊥BC于H，那么S△ABD=BD·AH，S△ACD=CD·AH，∴聯(lián)合①有〔2〕作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∵．∴DE︰DF=1，即DE=DF∴AD為△ABC的角均分線(xiàn)．例3、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，E、F分別在AC、BC上，且ED⊥FD．求證：．3分析：由D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)可知△ACD，△BCD的面積都等于△ABC的面積的一半．所以可采用割補(bǔ)法證明．證明：連結(jié)CD．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為AB的中點(diǎn)，∴△ACD≌△BCD∴∠ADC=∠BDC且∠A＝∠B＝45°又∵∠ADC＋∠BDC＝180°∴∠ADC=∠BDC=90°∴∠BCD＝90°－∠B＝45°＝∠B∴∠ACD＝90°－∠A＝45°＝∠A∴AD=BD=C，D又∵ED⊥FD，∴∠EDC＋∠CDF=90°∵∠ADE＋∠EDC=90°∴∠ADE=∠CDF．在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF∴S△ADE=S△CDF同理可證：S△CDE=S△BDF∴．例4、在△ABC中，請(qǐng)證明：〔1〕假定AD為角均分線(xiàn)，那么〔2〕設(shè)D是BC上一點(diǎn)，連結(jié)AD，假定，那么AD為角均分線(xiàn)．分析：如圖，4〔1〕由三角形的面積及底邊聯(lián)想到作三角形的高，作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，那么DE=DF，即結(jié)論①建立；②由①聯(lián)合△ABD與△ACD是共高三角形，即可獲得結(jié)論．〔2〕逆用上述的思路即可證明結(jié)論建立．證明：〔1〕①如圖，過(guò)D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F．∵AD為角均分線(xiàn)，∴DE=DF∴．②如圖，過(guò)A作AH⊥BC于H，那么S△ABD=BD·AH，S△ACD=CD·AH，∴聯(lián)合①有〔2〕作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∵．∴DE︰DF=1，即DE=DF∴AD為△ABC的角均分線(xiàn)．三、練習(xí)題：選擇題１．如圖１，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ，ＡＢ＝６，ＢＤ＝４，ＡＤ＝３，那么ＣＤ等于〔〕5〔Ａ〕６〔Ｂ〕４〔Ｃ〕３〔Ｄ〕５２．如圖２，△ＡＢＣ≌△ＣＤＡ，∠ＢＡＣ＝８５°，∠Ｂ＝６５°，那么∠ＣＡＤ度數(shù)為〔〕〔Ａ〕８５°〔Ｂ〕６５°〔Ｃ〕４０°〔Ｄ〕３０°３．如圖３，ＡＣ、ＢＤ訂交于點(diǎn)Ｏ，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ，那么圖中全等三角形有〔〕〔Ａ〕２對(duì)〔Ｂ〕３對(duì)〔Ｃ〕４對(duì)〔Ｄ〕５對(duì)ＡＤAＡＤＯBD圖1CＢ圖2ＣＢＣ圖3４．如圖４，點(diǎn)Ｄ、Ｅ在線(xiàn)段ＢＣ上，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ，ＢＥ＝ＣＤ，要判斷△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ，較為快捷的方法為〔〕〔Ａ〕SSS〔Ｂ〕SAS〔Ｃ〕ASA〔Ｄ〕AAS５．依據(jù)以下條件，能獨(dú)一畫(huà)出△ＡＢＣ的是〔〕〔Ａ〕ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，ＡＣ＝８〔Ｂ〕ＡＢ＝４，ＢＣ＝３，∠Ａ＝３０°〔Ｃ〕∠Ａ＝６０°，∠Ｂ＝４５°，ＡＢ＝４〔Ｄ〕∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝６６．如圖５，等邊△ＡＢＣ中，ＢＤ=ＣＥ，ＡＤ與ＢＥ交于點(diǎn)Ｐ，那么∠ＡＰＥ的度數(shù)為〔〕．〔Ａ〕７０°〔Ｂ〕６０°〔Ｃ〕４０°〔Ｄ〕３０°參照答案：BDCACB填空題７．如圖６，ＡＣ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＢＤ，那么△ＡＢＣ≌；應(yīng)用的鑒識(shí)方法是．８．如圖７，△ＡＢＤ≌△ＢＡＣ，假定ＡＤ＝ＢＣ，那么∠ＢＡＤ的對(duì)應(yīng)角為．ＡＡＣＡＢ

ＥＢＤＥ圖4ＣＰＢＤＣ圖5圖6Ｄ９．ＡＤ是△ＡＢＣ的角均分線(xiàn)，ＤＥ⊥ＡＢ于Ｅ，且ＤＥ＝３cm，那么點(diǎn)Ｄ到ＡＣ的距離為．１０．如圖８，ＡＢ與ＣＤ交于點(diǎn)Ｏ，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＤ＝ＯＢ，∠ＡＯＤ＝，依據(jù)可得△ＡＯＤ≌△ＣＯＢ，進(jìn)而可以獲得ＡＤ＝．１１．如圖９，∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＣ＝ＤＢ，欲使ＯＢ＝ＯＣ，可以先利用“ＨＬ〞說(shuō)明≌獲得ＡＢ＝ＤＣ，再利用“〞證明△ＡＯＢ≌獲得ＯＢ＝ＯＣ．１２．假如兩個(gè)三角形的兩條邊和此中一邊上的高分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形的第三邊所對(duì)的角的關(guān)系是．AD6OB

C圖9DCD

AOCAB

B圖7圖8參照答案：7.△ABDSSS8.∠ABC9.3cm10.∠COBSASBC11.△ACB,△DBCSAS△DOC12.相等解答題：13.如圖，AE⊥AD，AF⊥AB，AF=AB，AE=AD=B，CAD//BC.求證：〔1〕AC=EF，〔2〕AC⊥EF14.以以下列圖，BE、CF是△ABC的高，BE、CF訂交于O，且OA均分∠BAC.求證：OB=OC.參照答案：13解：分析：〔1〕要證AC=EF，可證△ABC≌△FAE，而B(niǎo)C=AE，AB=AF，所以只要證明∠B=∠EAF即可.〔2〕要證AC⊥EF，假定延伸CA交EF于G，可證∠2=90°，而∠3＋∠1=∠2＋∠F，而由〔1〕得∠1=∠F.所以∠2=∠3，而∠3=90°于是可證明∠2=90°證明：〔1〕∵AD//BC，∴∠B＋∠DAB=180°7又∵∠DAB＋∠4＋∠EAF＋∠3=360°，∠3=∠4=90°∴∠DAB＋∠EAF=180°∴∠B=∠EAF在△ABC和△FAE中∴△ABC≌△FAE〔SAS〕∴AC=EF〔2〕∵△ABC≌△FAE∴∠1=∠F又∵∠1＋∠3=∠2＋∠F∴∠2=∠3又∵∠3=90°∴∠2=90°∴AG⊥EF，即AC⊥EF14.解答，分析：要證OB=OC，需證△BOF≌△COE，條件有對(duì)頂角，直角，又OA是角均分線(xiàn)，不難證OF=OE，此問(wèn)題得證.證明：由于BE⊥AC，AB⊥CF〔〕，所以∠BFO=∠CEO=90°〔垂直定義〕.又由于BE、CF訂交于O，且OA均分∠BAC，所以O(shè)F=OE〔角均分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等〕.在△BOF和△COE中，所以△BOF≌△COE〔ASA〕，所以O(shè)B=OC〔全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等〕.第二局部軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)梳理一、軸對(duì)稱(chēng)圖形：〔理解掌握〕1.把一個(gè)圖形沿著一條直線(xiàn)折疊，假如直線(xiàn)兩旁的局部可以完滿(mǎn)重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形。這條直線(xiàn)就是它的對(duì)稱(chēng)軸。這時(shí)我們也說(shuō)這個(gè)圖形對(duì)于這條直線(xiàn)〔成軸〕對(duì)稱(chēng)。2.把一個(gè)圖形沿著某一條直線(xiàn)折疊，假如它能與另一個(gè)圖形完滿(mǎn)重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖對(duì)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸。折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn),叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn)3、軸對(duì)稱(chēng)圖形和軸對(duì)稱(chēng)的差別與聯(lián)系8知識(shí)回想：3、軸對(duì)稱(chēng)圖形和軸對(duì)稱(chēng)的差別與聯(lián)系軸對(duì)稱(chēng)圖形軸對(duì)稱(chēng)圖形差別(1)軸對(duì)稱(chēng)圖形是指( )一個(gè)擁有特別形狀的圖形,只對(duì)( )圖形而言;一個(gè)(2)對(duì)稱(chēng)軸( )只有一條不用然(1)軸對(duì)稱(chēng)是指( )圖形兩個(gè)的地點(diǎn)關(guān)系,必然波及( )圖形;兩個(gè)(2)只有( )對(duì)稱(chēng)軸.一條假如把軸對(duì)稱(chēng)圖形沿對(duì)稱(chēng)軸假如把兩個(gè)成軸對(duì)稱(chēng)的圖形聯(lián)系分紅兩局部,那么這兩個(gè)圖形就對(duì)于這條直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng).拼在一同看作一個(gè)整體,那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形.4.軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)①對(duì)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形。②假如兩個(gè)圖形對(duì)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直均分線(xiàn)。③軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直均分線(xiàn)。④假如兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)被同條直線(xiàn)垂直均分，那么這兩個(gè)圖形對(duì)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。二、線(xiàn)段的垂直均分線(xiàn)〔理解掌握，能嫻熟應(yīng)用〕1.經(jīng)過(guò)線(xiàn)段中點(diǎn)而且垂直于這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫做這條線(xiàn)段的垂直均分線(xiàn)，也叫中垂線(xiàn)。2.線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等3.與一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在線(xiàn)段的垂直均分線(xiàn)上三、用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱(chēng)小結(jié)：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)橫坐標(biāo)相等,縱坐標(biāo)互為相反數(shù).對(duì)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)相等.點(diǎn)〔x,y〕對(duì)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____.點(diǎn)〔x,y〕對(duì)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____.2.三角形三條邊的垂直均分線(xiàn)訂交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)極點(diǎn)的距離相等四、〔等腰三角形)知識(shí)點(diǎn)回想1.等腰三角形的性質(zhì)①.等腰三角形的兩個(gè)底角相等?！驳冗呁瑯咏恰尝?等腰三角形的頂角均分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高相互重合?！踩€(xiàn)合一〕2、等腰三角形的判斷：假如一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等?！驳冉峭瑯舆叀澄?、〔等邊三角形〕知識(shí)點(diǎn)回想1.等邊三角形的性質(zhì)：0等邊三角形的三個(gè)角都相等，而且每一個(gè)角都等于60。2、等邊三角形的判斷：①三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。0②有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形。93.在直角三角形中，假如一個(gè)銳角等于300，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。經(jīng)典例題分析例1、如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE訂交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1．求AD的長(zhǎng)．分析：由條件易知△ABE≌△CAD，進(jìn)而AD=BE，只須求BP長(zhǎng)即可，由BQ⊥AD知，假定在Rt△BPQ中有∠PBQ＝30°，即可求出BP的長(zhǎng)，于是求證∠BPQ＝60°為問(wèn)題的打破口．證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC．又AE=CD，∴△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD，BE=AD，∴∠BPQ=∠BAP＋∠ABE=∠BAP＋∠PAE=∠BAC=60°，∴∠PBQ=30°．又BQ⊥PQ，∴PB=2PQ=，6∴BE=PB＋PE=7，∴AD=BE=7．例2、如圖，△ABC中，AB=AC，AB、AC的垂直均分線(xiàn)DF、EG分別交BC、CB的延伸線(xiàn)于F、G．求證：∠1=∠2．分析：碰到線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)和等腰三角形，第一考慮運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)的性質(zhì)，追求最簡(jiǎn)捷的解題門(mén)路．證明：由于AB=AC，所以∠4=∠5．由于DF、EG分別為AB、AC的垂直均分線(xiàn)，所以AF=BF，AG=CG，所以∠1＋∠3=∠5，∠2＋∠3=∠4．所以∠1＋∠3=∠2＋∠3．所以∠1=∠2．例3、如圖，在△ABC中，AB=AC，過(guò)BC上一點(diǎn)D作BC的垂線(xiàn)，交BA的延伸線(xiàn)于P，交AC10于Q．判斷△APQ的形狀，并證明你的結(jié)論．解：△APQ是等腰三角形．證明以下：由于AB=AC，所以∠B=∠C．由于PD⊥BC，所以∠P＋∠B=90°，∠2＋∠C=90°，所以∠P=∠2．又由于∠1=∠2，所以∠P=∠1．所以AP=AQ．所以△APQ為等腰三角形．三、練習(xí)題1.等腰三角形的一邊等于5，一邊等于12，那么它的周長(zhǎng)為( )A.22B.29C.22或2.如圖14－110所示，圖中不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是( )3.在△ABC中，∠A和∠B的度數(shù)以下，此中能判斷△ABC是等腰三角形的是( )A.∠A=50°，∠B=70°B.∠A=70°，∠B=40°C.∠A=30°，∠B=90°D.∠A=80°，∠B=60°4.如圖14-111所示，在△ABC中，AB=AC，BD是角均分線(xiàn)，假定∠BDC=69°，那么∠A等于( )A.32°B.36°°°115.成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段.6.等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有條對(duì)稱(chēng)軸.7.等腰三角形頂角的與底邊上的、重合，稱(chēng)三線(xiàn)合一.8.〔1〕等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角等于130°，那么其他兩個(gè)角分別為；〔2〕等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角等于70°，那么其他兩個(gè)角分別為.9.如圖14－112所示，△ABC是等邊三角形，∠1=∠2=∠3，求∠BEC的度數(shù).10.如圖14－113所示，在△ABC中，AB=AC，E在CA延伸線(xiàn)上，AE=AF，AD是高，試判斷EF與BC的地點(diǎn)關(guān)系，并說(shuō)明原因.11.如圖14－114所示，在△ABC中，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)N在BC上，在AB上找一點(diǎn)F，使△ENF的周長(zhǎng)最小，試說(shuō)明原因.12參照答案、1.B2.C3.B4.A［提示：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.又∵BD是∠ABC的均分線(xiàn)，1∴∠DBC=21∠ABC=2∠C.又∵∠BDC=69°，∴12∠C+∠C+∠BDC=180°，即32∠C+69°=180°，∴∠C=111°×23=74°.∴∠A=180°-74°×2=180°-148°=32°.∴∠A=32°.］5.相等相等6.37.均分線(xiàn)中線(xiàn)高8.(1)25°，25°(2)55°，55°或70°，40°9.解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=C，A∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°.又∵∠1=∠2=∠3，∴∠BAC-∠1=∠ABC-∠2=∠BCA-∠3，即∠CAF=∠ABD=∠BCE.在△ABD和△BCE和△CAF中，∴△ABD≌△BCE≌△CAF〔ASA〕.∴AD=BE=C，F(xiàn)BD=CE=AF∴.AD-AF=BE-BD=CF-C，E即FD=DE=EF.∴△DEF是等邊三角形.∴∠FED=60°.∴∠BEC=180°-∠FED=180°-60°=120°，∴∠BEC=120°.10.解：EF與BC的地點(diǎn)關(guān)系是：EF⊥BC.原因以下：131∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=2∠BAC.又∵AE=AF，∴∠E=∠AFE.12又∵∠BAC=∠E+∠AFE=2∠AFE，∠AFE=∠BAC.∴∠BAD=∠AFE.∴EF∥AD.又∵AD⊥BC，∴EF⊥BC.11.提示：圖略.由于欲使△ENF的周長(zhǎng)最小，即EN+NF+EF最小，而EN為定長(zhǎng)，那么必有NF+EF最小，又由于點(diǎn)F在AB上，且E，N在AB的同側(cè)，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，可作點(diǎn)E關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，連結(jié)E′N(xiāo)與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)F，此時(shí)，F(xiàn)E+FN最小，即△EFN的周長(zhǎng)最小.第三局部一次函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)梳理一.常量、變量：在一個(gè)變化過(guò)程中,數(shù)值發(fā)生變化的量叫做變量；數(shù)值素來(lái)不變的量叫做常量；二、函數(shù)的見(jiàn)解：函數(shù)的定義：一般的，在一個(gè)變化過(guò)程中,假如有兩個(gè)變量x與y，而且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有獨(dú)一確立的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)．三、函數(shù)中自變量取值范圍的求法：〔1〕.用整式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)?！?〕用分式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是使分母不為0的一確實(shí)數(shù)?！?〕用奇次根式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。用偶次根式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是使被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)的一確實(shí)數(shù)。〔4〕假定分析式由上述幾種形式綜合而成，須先求出各局部的取值范圍，此后再求其公共范圍，即為自變量的取值范圍?！?〕對(duì)于與實(shí)詰問(wèn)題相關(guān)系的，自變量的取值范圍應(yīng)使實(shí)詰問(wèn)題存心義。四、函數(shù)圖象的定義：一般的，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，假如把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么在座標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)構(gòu)成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象．五、用描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)的圖象的一般步驟〔解題中，要擅長(zhǎng)利用函數(shù)圖象〕1、列表〔表中給出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。〕注意：列表時(shí)自變量由小到大，相差同樣，有時(shí)需對(duì)稱(chēng)。2、描點(diǎn)：〔在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)。3、連線(xiàn)：〔依據(jù)橫坐標(biāo)由小到大的次序把所描的各點(diǎn)用圓滑的曲線(xiàn)連結(jié)起來(lái)〕。六、函數(shù)有三種表示形式：〔1〕列表法〔2〕圖像法〔3〕分析式法七、正比率函數(shù)與一次函數(shù)的見(jiàn)解：一般地，形如y=kx(k為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做正比率函數(shù).此中k叫做比率系數(shù)。一般地，形如y=kx+b(k,b為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù).14當(dāng)b=0時(shí),y=kx+b即為y=kx,所以正比率函數(shù)，是一次函數(shù)的特例.八、正比率函數(shù)的圖象與性質(zhì)：〔1)圖象:正比率函數(shù)y=kx(k是常數(shù)，k≠0))的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線(xiàn)，我們稱(chēng)它為直線(xiàn)y=kx。(2)性質(zhì):當(dāng)k>0時(shí),直線(xiàn)y=kx經(jīng)過(guò)第三，一象限，從左向右上漲，即跟著x的增大y也增大；當(dāng)k<0時(shí),直線(xiàn)y=kx經(jīng)過(guò)二,四象限，從左向右降落，即跟著x的增大y反而減小。九、求函數(shù)分析式的方法:待定系數(shù)法：先設(shè)出函數(shù)分析式，再依據(jù)條件確立分析式中未知的系數(shù)，進(jìn)而詳細(xì)寫(xiě)出這個(gè)式子的方法。1.一次函數(shù)與一元一次方程：從“數(shù)〞的角度看x為什么值時(shí)函數(shù)y=ax+b的值為0．2.求ax+b=0(a,b是常數(shù)，a≠0)的解，從“形〞的角度看，求直線(xiàn)y=ax+b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)3.一次函數(shù)與一元一次不等式：解不等式ax+b＞0(a，b是常數(shù)，a≠0)．從“數(shù)〞的角度看，x為什么值時(shí)函數(shù)y=ax+b的值大于0．4.解不等式ax+b＞0(a，b是常數(shù)，a≠0)．從“形〞的角度看，求直線(xiàn)y=ax+b在x軸上方的局部〔射線(xiàn)〕所對(duì)應(yīng)的的橫坐標(biāo)的取值范圍．十、一次函數(shù)與正比率函數(shù)的圖象與性質(zhì)一次函數(shù)假如y=kx+b〔k、b是常數(shù)，k≠0〕，那么y叫x的一次函數(shù).當(dāng)b=0觀點(diǎn)時(shí)，一次函數(shù)y=kx〔k≠0〕也叫正比率函數(shù).圖像一條直線(xiàn)性質(zhì)k＞0時(shí)，y隨x的增大(或減小)而增大(或減小)；“撇〞增k＜0時(shí)，y隨x的增大(或減小)而減小(或增大).“捺〞減直線(xiàn)y=kx+b〔k≠0〕〔1〕k>0，b＞0；〔2〕k>0，b＜0；的地點(diǎn)與k、b符號(hào)〔3〕k>0，b＝0〔4〕k＜0，b＞0；之間的關(guān)系.〔5〕k＜0，b＜0〔6〕k＜0，b＝0一次函數(shù)表達(dá)式的求一次函數(shù)y=kx+b〔k、b是常數(shù)，k≠0〕時(shí)，需要由兩個(gè)點(diǎn)來(lái)確立；確立求正比率函數(shù)y=kx〔k≠0〕時(shí)，只要一個(gè)點(diǎn)即可.5.一次函數(shù)與二元一次方程組：解方程組求出這a1a2xxb1b2yyc1從“數(shù)〞的角度看，自變量〔x〕為什么值時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值相等．并c2個(gè)函數(shù)值15解方程組a1xb1yc1a2xb2yc2從“形〞的角度看，確立兩直線(xiàn)交點(diǎn)的坐標(biāo)經(jīng)典例題分析|k|－4例1、函數(shù)y=(k－5)x＋2是一次函數(shù)，求此函數(shù)的分析式.解：由一次函數(shù)的定義，知自變量x的指數(shù)等于1，系數(shù)不為零，即解得k=－5.所以此函數(shù)的分析式為y=－10x＋2.例2、一次函數(shù)y=kx＋1(k≠0)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，那么一次函數(shù)y=x＋k的圖象大概是圖中的〔〕解：由一次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)y隨x的增大而減小時(shí)，k<0；由1>0，k<0，可知y=x＋k的圖象交于y軸的負(fù)半軸上，應(yīng)選B.例3、作出函數(shù)y=3x＋1的圖象，依據(jù)圖象，回復(fù)：〔1〕x取什么值時(shí)，函數(shù)值y大于零？〔2〕x取什么值時(shí)，函數(shù)值y小于零？〔3〕x取什么值時(shí)，函數(shù)值y小于－2？解：函數(shù)y=3x＋1的圖象以以下列圖，由圖象可知〔1〕當(dāng)時(shí)，y>0；〔2〕當(dāng)時(shí)，y<0；〔3〕當(dāng)x<－1時(shí)，y<－2.例4、直線(xiàn)y=kx＋b過(guò)點(diǎn)A〔－1，5〕，且平行于直線(xiàn)y=－x＋2.〔1〕求直線(xiàn)的分析式；〔2〕B〔m，－5〕在這條直線(xiàn)上，O為原點(diǎn)，求m的值及S△AOB.解：〔1〕由兩直線(xiàn)平行，得k=－1.易求b=4.所以y=－x＋4；16〔2〕把B〔m，－5〕代入y=－x＋4，得m=9.可求y=－x＋4與y軸的交點(diǎn)為C〔0，4〕，那么S△AOB=S△ACO＋S△BCO.所以S=×|－1|×4＋×9×4=20.以以下列圖.例5、某市電力企業(yè)為了激勵(lì)居民用電，采納分段計(jì)費(fèi)的方法計(jì)算電費(fèi)：每個(gè)月用電不超出100度，按每度0.57元計(jì)費(fèi)；每個(gè)月用電超出100度，前100度仍按原標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi)，超出局部按每度元計(jì)費(fèi).〔1〕設(shè)月用x度電時(shí)，應(yīng)交電費(fèi)y元，當(dāng)x≤100和x>100時(shí)，分別寫(xiě)出y(元)對(duì)于x(度)的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕小王家第一季度繳納電費(fèi)狀況以下：月份一月份二月份三月份共計(jì)交費(fèi)金額76元63元45元6角184元6角問(wèn)：小王家第一季度用電多少度？分析：〔1〕當(dāng)x≤100時(shí)，開(kāi)銷(xiāo)為0.57x元，當(dāng)x>100時(shí)，前100度應(yīng)交電費(fèi)100×0.57=57元，剩下的(x－100)度應(yīng)交電費(fèi)0.50(x－100).〔2〕從交費(fèi)狀況看，一、二月份用電均超出100度，三月份用電缺少100度.解：〔1〕當(dāng)x≤100時(shí)，y=0.57x，當(dāng)x>100時(shí)，y=0.5x＋7.〔2〕明顯一、二月份用電超出100度，三月份用電缺少100度，故將y=76代入y=0.5x＋7中得x=138〔度〕將y=63代入y=0.5x＋7中，得x=112〔度〕將y=45.6代入y=0.57x中，得x=80〔度〕故小王家第一季度用電138＋112＋80=330〔度〕.練習(xí)題1．以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是〔〕A．正比率函數(shù)是一次函數(shù)B．一次函數(shù)是正比率函數(shù)C．正比率函數(shù)不是一次函數(shù)D．不是正比率函數(shù)就不是一次函數(shù)2．以下函數(shù)中，y是x的一次函數(shù)的是〔〕A．y=-3x+5B．y=-3x2C．y=1xD．y=2x173．等腰三角形的周長(zhǎng)為20cm，將底邊〔ycm〕表示成腰長(zhǎng)x〔cm〕?的函數(shù)關(guān)系式是y=20-2x，那么其自變量的取值范圍是〔〕A．0<x<10B．5<x<10C．x>0D．一確實(shí)數(shù)4．一次函數(shù)y=kx+b知足x=0時(shí)，y=-1；x=1時(shí)，y=1，那么這個(gè)一次函數(shù)是〔?〕A．y=2x+1B．y=-2x+1C．y=2x-1D．y=-2x-15.一次函數(shù)y=mx+│m+1│的圖象與y軸交于〔0，3〕，且y隨x?值的增大而增大，那么m的值為〔〕A．2B．-4C．-2或-4D．2或-46．一次函數(shù)y=mx-〔m-2〕過(guò)原點(diǎn)，那么m的值為〔〕A．m>2B．m<2C．m=2D．不可以確立7.一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔-2，-1〕，且與直線(xiàn)y=2x-3平行，?那么此函數(shù)的分析式為〔〕A．y=x+1B．y=2x+3C．y=2x-1D．y=-2x-58．一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)x=1時(shí)，y=2，且它的圖象與y?軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3，那么此函數(shù)的分析式為〔〕A．0≤x≤3B．-3≤x≤0C．-3≤x≤D．不可以確立參照答案：1．A．2．A3．B4．C5.A6．9.假如一次函數(shù)y=〔m-3〕x+m2-9是正比率函數(shù)，那么m的值為_(kāi)________．10.函數(shù)y=kx+b的圖象平行于直線(xiàn)y=-2x，且與y軸交于點(diǎn)〔0，3〕，那么k=______，b=_______．11．函數(shù)y=〔k-1〕x+k2-1，當(dāng)k________時(shí)，它是一次函數(shù)，當(dāng)k=_______?時(shí)，它是正比率函數(shù)．12．從甲地向乙地打長(zhǎng)途，準(zhǔn)時(shí)間收費(fèi)，3分鐘內(nèi)收費(fèi)2.4元，每加1分鐘加收1元，假準(zhǔn)時(shí)間t≥3〔分〕時(shí)，費(fèi)y〔元〕與t之間的函數(shù)關(guān)系式是_________．13．A、B、C是一條鐵路線(xiàn)〔直線(xiàn)〕上挨次三個(gè)站，A、B兩站相距100?千米，現(xiàn)有一列火車(chē)從B站出發(fā)，以75千米/時(shí)的速度向C站駛?cè)?，設(shè)x〔?時(shí)〕表示火車(chē)行駛的時(shí)間，y〔千米〕表示火車(chē)與A站的距離，那么y與x的關(guān)系式是_________．參照答案9．-310.-2,311.≠1；-112.y=t-0.6〔t≥3〕13．y=75x+10014．某電信企業(yè)的一種通話(huà)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：不論通話(huà)時(shí)間多長(zhǎng)，?每部每個(gè)月必然繳月租費(fèi)50元，其他，每通話(huà)1分繳費(fèi)0.25元．〔1〕寫(xiě)出每個(gè)月應(yīng)繳開(kāi)銷(xiāo)y〔元〕與通話(huà)時(shí)間x〔分〕之間的關(guān)系式；〔2〕某用戶(hù)本月通話(huà)120分鐘，他的開(kāi)銷(xiāo)是多少元？?〔3〕假定某用戶(hù)本月預(yù)交了200元，那么該用戶(hù)本月可以通話(huà)多長(zhǎng)時(shí)間？15．小明用的練習(xí)本可在甲、乙兩個(gè)商鋪內(nèi)買(mǎi)到，?兩個(gè)商鋪的標(biāo)價(jià)都是每個(gè)練習(xí)本1元，但甲商鋪的優(yōu)惠條件是：購(gòu)買(mǎi)10?本以上，?從第11?本開(kāi)始按標(biāo)價(jià)的70%賣(mài)；乙商鋪的優(yōu)惠條件是：從第1本開(kāi)始就按標(biāo)價(jià)的85%賣(mài)．〔1〕小明要買(mǎi)20個(gè)練習(xí)本，到哪個(gè)商鋪購(gòu)買(mǎi)較省錢(qián)？〔2〕寫(xiě)出甲、乙兩個(gè)商鋪中，收款y〔元〕對(duì)于購(gòu)買(mǎi)本數(shù)x〔本〕〔x>10〕的關(guān)系式，它們都是正比率函數(shù)嗎？〔3〕小明現(xiàn)有24元錢(qián)，最多可買(mǎi)多少個(gè)簿本？一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸交于點(diǎn)A〔-6，0〕，與y軸交于點(diǎn)B?，?假定△AOB的面18積是12，且y隨x的增大而減小，你能確立這個(gè)一次函數(shù)的關(guān)系式嗎？16．某一次函數(shù)的圖象與直線(xiàn)y=6-x交于點(diǎn)A〔5，k〕，且與直線(xiàn)y=2x-3無(wú)交點(diǎn)，?求此函數(shù)的關(guān)系式．參照答案14.y=4x-315．①y=x+5；②16.y=2x-9第四局部整式乘除與因式分解一．回想知識(shí)點(diǎn)1、主要知識(shí)回想：冪的運(yùn)算性質(zhì)：mnm＋na·a＝a〔m、n為正整數(shù)〕同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．nma＝amn〔m、n為正整數(shù)〕冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．nnnab〔n為正整數(shù)〕ab積的乘方等于各因式乘方的積．mana＝am－n〔a≠0，m、n都是正整數(shù)，且m＞n〕同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．零指數(shù)冪的見(jiàn)解：a0＝1〔a≠0〕任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)冪都等于l．負(fù)指數(shù)冪的見(jiàn)解：1a－p＝－p＝pa〔a≠0，p是正整數(shù)〕任何一個(gè)不等于零的數(shù)的－p〔p是正整數(shù)〕指數(shù)冪，等于這個(gè)數(shù)的p指數(shù)冪的倒數(shù)．ppnmmn也可表示為：〔m≠0，n≠0，p為正整數(shù)〕單項(xiàng)式的乘法法那么：?jiǎn)雾?xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，那么連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法那么：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法那么：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加．單項(xiàng)式的除法法那么：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式：對(duì)于只在被除式里含有的字母，那么連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法那么：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加．2、乘法公式：22①平方差公式：〔a＋b〕〔a－b〕＝a－b19文字語(yǔ)言表達(dá)：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．222②完滿(mǎn)平方公式：〔a＋b〕＝a＋2ab＋b222〔a－b〕＝a－2ab＋b文字語(yǔ)言表達(dá)：兩個(gè)數(shù)的和〔或差〕的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加上〔或減去〕這兩個(gè)數(shù)的積的2倍．3、因式分解：因式分解的定義．把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這類(lèi)變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解．掌握其定義應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：〔1〕分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必然是積的形式，且積的因式必然是整式，這三個(gè)因素缺一不可以；〔2〕因式分解必然是恒等變形；〔3〕因式分解必然分解到每個(gè)因式都不可以分解為止．弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系．因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．二、嫻熟掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法〔1〕掌握提公因式法的見(jiàn)解；〔2〕提公因式法的要點(diǎn)是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般狀況下有三局部：①系數(shù)一各項(xiàng)系數(shù)的最大合約數(shù)；②字母——各項(xiàng)含有的同樣字母；③指數(shù)——同樣字母的最低次數(shù)；〔3〕提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確立另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來(lái)查驗(yàn)?zāi)芊衤╉?xiàng)．〔4〕注意點(diǎn)：①提取公因式后各因式應(yīng)當(dāng)是最簡(jiǎn)形式，即分解到“底〞；②假如多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“－〞號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的．2、公式法運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過(guò)來(lái)使用；常用的公式：22①平方差公式：a－b＝〔a＋b〕〔a－b〕222②完滿(mǎn)平方公式：a＋2ab＋b＝〔a＋b〕222a－2ab＋b＝〔a－b〕經(jīng)典例題分析：例1、計(jì)算以下各式〔1〕〔－x〕2n＋1n＋1·〔－x〕2004〔2〕〔－2〕＋〔－2〕200520例2、假定(x2＋px＋q)(x2－3x＋2)的乘積中不含x2和x3項(xiàng)，求p、q的值.分析：2323缺項(xiàng)就是多項(xiàng)式中此項(xiàng)的系數(shù)為零，本題中不含x和x項(xiàng)，也就是x和x項(xiàng)的系數(shù)為0.解：∵(x2＋px＋q)(x2－3x＋2)中2x項(xiàng)的系數(shù)為2－3p＋q=0x3項(xiàng)的系數(shù)為p－3=0例3、計(jì)算：(1)98×102；(2)99×101×10001.解：(1)98×102＝(100－2)(100＋2)＝10000－4＝9996(2)99×101×10001＝(100－1)(100＋1)×10001＝(10000－1)(10000＋1)＝100000000－1＝99999999計(jì)算：(1)32a6÷4a2；(2)6x7y5z÷16x4y3；；245(4)－3axy÷(axy2)2計(jì)算：(1)32a62÷4a；(2)6x7y5z÷16x4y3；(4)－3a÷(axy2x4y2x4y52)2：(1)原式=(32÷4)(a62)÷a=8a4；(2)原式=(6÷16)(x74)(y÷x53)z÷y212x4y2x2y54(4)原式=－3a÷a=－3(a22÷a)(x42÷x)(y54÷y)=－3x2y達(dá)成以下各題：(1)xm=8，xn=5，求xm－n的值；(2)xm=a，xn=b，求x2m－3nm=a，xn=b，求x2m－3n的值；(3)3的值.m=6，9n=2，求32m－4n＋1解：(1)∵xm=8，xn=5，∴xm－n=xm－n=xmn=8÷5=÷xmn(2)∵x=a，x=b∴x2m－3n=x2m－3n