向量的加法運(yùn)算及其幾何意義

向量的加法運(yùn)算及其幾何意義一、向量加法的兩個(gè)法則:(1)“三角形法則" (2)“平行四邊形法則”向量的加法的平行四邊形法則(共起點(diǎn))和三角形法則(首尾相接)。uuuruuurumrumruur2、化簡：AB+DF+CD+BC+FA=向量減法一一三角形法則uuruur uuurumr例.在平行四邊形ABCD中，AB=a，AD=b，用a、b表示向量AC、DB。共線向量定理向量a(a=0)與b共線時(shí)即a〃b,充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)九使得歸也..平面向量的基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)A1,入2，使a=41e1+4e2.其中，不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底..平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解..平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a=(x1,y1),b=(x2，y2)，則a+b=(x1+x2,y1+y2),a—b=(x1-x2,y1—y2),入a=(Ax1,入y1),Ial=\.；'xj+yj.⑵向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).②設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則A^B=(x2—x1,y2—y1),IABI=，J(x2—x1)2+(y?—y1)2..平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a〃bx1y2—x2y1=0.

.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念（1）向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a和b,記次=a,（OB=b,則NAOB=仇0°W9W180°）叫做向量a與b的夾角.⑵數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為0,則數(shù)量ailblcos.一。叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a-b,即a-b=allblcos.。，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0?a=0.⑶數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a-b等于a的長度al與b在a的方向上的投影l(fā)blcos少的乘積..平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a=（x產(chǎn)y1）,b=（x2，y2）,。為向量a,b的夾角.—*—I- -*—.兩個(gè)向量的數(shù)量積：a?b=1a11b1cose-.平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示:.向量平行與垂直的判定：.向量平行與垂直的判定：a//b=x1y2-x2y1=0..平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式：.求模：—fc- -?a±box1x2+y1y2=0.IAB1=((x1-x2)2+(y1-y2)2a=<a?a ai=\x22a=<a?a ai=\x22+y2 a=4(x1-x2)+(y1-y2)26,夾角：cos0=x1x2+y1y2lallbl \/x2+y1-x2x2+y2.熟練運(yùn)算2n 一一.一.已知平面向量a,b的夾角為~^~,lal=2,lbl=1,則la+bl=.已知1a1=2,1b1=1,日與b之間的夾角為亍，那么向量m=14芯的模為（A.2 B.2M3 C.6 D.12.已知b±b、b與b、b的夾角均為60°,且|b|=1,|b|=2,|b|=3,則(b+2b—b)2=.若b=(0,1),b=(1,1),且(b+xb)±b，則x的值是( )A.0 B.1 C.-1 D.2.設(shè)單位向量m=(x,y),b=(2,1),若m±b則|x+2y|= .6.已知Ia1=5,I加=4,a與b的夾角3=120°,則向量b在向量a方向上的投影為.TOC\o"1-5"\h\z7,已知向量a,b滿足a?(a—2b)=3,且IaI=1,b=(1,1),則a與b的夾角為( )n n 3n 2nA.彳 b.-3" C.^- D.3.向量a,b滿足ai=1,IbI=、.；'2,(a+b)±(2a—b)，則向量a與b的夾角為( ).已知9(—1,cos9),B(sin0,1),若IOA+OBI=IOA—OBI(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則銳角3=—F f -F--*10.已知向量a=(cosO,sin0)，向量b=(<3,-1)則I2a—bI的最大值，最小值分別是( )A.4<2,0 B.4,4<2C.16,0D.4,0.已知a=(2,1)與b=(1,2)，要使\s+tbb最小，則實(shí)數(shù)t的值為。uuuruuur.設(shè)點(diǎn)9(2,0),B(4,2)，若點(diǎn)P在直線AB上，且AB=2AP，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.(3,1) B.(1,-1)C.(3,1)或(1,-1) 口.無數(shù)多個(gè)13.若a=(2,3),石=(-4,7)，則a在石上的投影為14.15.已知向量a=(cosO,sin0)，向量b=g/3,-1)，則2ar-br的最大值是—.14.15.若向量IaI=1,IbI=2,Ia-bI=2,則Ia+bI=例1.設(shè)平面內(nèi)的向量OA=(1,7),OB=(5,1),OM=(2,1)，點(diǎn)P是直線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)PA-PB取最小值時(shí)，OP的坐標(biāo)及NAPB的余弦值.例2已知函數(shù)f(x)=a-b,其中a=(2cosx，——、J3sin2x),b=(cosx,1),x￡R.(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在4ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,f(A)=—1,a=??...",且向量m=(3,sinB)與n=(2,sinC)共線，求邊長b和c的值.例3,AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.向量m=(a,\；'3力與n=(cosA,sinB)平行.(1)求A；(2)若a=、",b=2,求^ABC的面積.例4,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m=［理,n (1)若m±n,求tanx的值；(2)若m與n的夾角為y,求x的值.1.排列與組合的概念名稱定義排列組合從n個(gè)不同兀素中取出m(mWn)個(gè)不同兀素按照一定的順序排成一列合成一組2.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式n!(1)Am=n(n1)(n2)-(nm+1)一(nm)!Amn(n_1)(n-2)一?(n-m+1)(2)CF= m!mn! _ =I( x((n,meN*,且mWn),特別地C0=1m!(n_m)! n性質(zhì)(1)0!=1；An=n!.(2)Cm=Cn_m；Cm=Cm+Cm_1\/n n n+1 -n n【例1】3名女生和5名男生排成一排.(1)如果女生全排在一起，有多少種不同排法?⑵如果女生都不相鄰，有多少種排法？⑶如果女生不站兩端，有多少種排法？1、四名優(yōu)等生保送到三所學(xué)校去，每所學(xué)校至少得一名，則不同的保送方案有種.2、由1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的數(shù)共有多少個(gè)？3、3名女生和4名男生，從中選2名男生1名女生分別參加3項(xiàng)比賽，每人一項(xiàng)，不同選法有多少種？4、從6名女生和4名男生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若這4人中既有男生又有女生，則不同的選法共有多少種？5、只球隊(duì)參加比賽，第一輪沒兩隊(duì)比賽一場，第二輪由第一輪前兩名決賽冠亞軍，三，四名決賽季軍，共進(jìn)行多少場比賽？1.二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理：(a+b)n=C0an+C1antb+…+C：*-rbr+…+Cnbn(n￡N*)；(2)通項(xiàng)公式：Tr^1=Cran-rbr，它表示第r+1項(xiàng)；(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)C0,Cn,…，Cn.2,二項(xiàng)式系數(shù)最大值當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)C；取得最大值當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng) 與取最大值3.各二項(xiàng)式系數(shù)和(1)(a+b)n展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)和：C0+Cn+CnH HCn=2n.⑵偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即c0+C2+C4+-=Cn+Cn+Cn+…=2n-1.1.在X(1+X)6的展開式中，含X3項(xiàng)的系數(shù)為()A.30 B.20 C.15 D.10(.X 1丫 一一^2.(2016-洛陽調(diào)研)在我一下)的展開式中，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256,則展開式中常數(shù)項(xiàng)是

【例】在(2—3x)10的展開式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)的和；⑵各項(xiàng)系數(shù)的和；⑶奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;⑷奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和；【訓(xùn)練】1, 若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2H Ha12x12,則a1+a2H Ha12= a2+a4H Ha12=.