2020高中數(shù)學(xué) 2 函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解（含解析）第一冊

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE8-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時(shí)分層作業(yè)(三十二）函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解(建議用時(shí)：60分鐘)［合格基礎(chǔ)練］一、選擇題1．函數(shù)y＝x2－bx＋1有一個(gè)零點(diǎn)，則b的值為(）A．2 B．－2C．±2 D．3C［因?yàn)楹瘮?shù)有一個(gè)零點(diǎn)，所以Δ＝b2－4＝0,所以b＝±2。］2．函數(shù)f（x)＝2x－eq\f（1，x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（)A．（1，＋∞） B。eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)，1）)C。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，3），\f（1,2）)） D.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,4），\f（1，3)))B［由f(x）＝2x－eq\f（1,x),得feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2)）)＝2eq\s\up5（\f（1，2))－2<0，f(1）＝2－1＝1>0，∴feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)）)·f(1)〈0。∴零點(diǎn)所在區(qū)間為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)，1)).]3．已知函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2x－1，x≤1，,1＋log2x，x〉1，））則函數(shù)f（x)的零點(diǎn)為（）A.eq\f(1，2)，0 B．－2，0C.eq\f（1，2) D．0D[當(dāng)x≤1時(shí),由f（x）＝0,得2x－1＝0，所以x＝0；當(dāng)x〉1時(shí)，由f（x）＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝eq\f(1,2）,不成立,所以函數(shù)的零點(diǎn)為0，故選D.]4．函數(shù)f(x）＝ax2＋bx＋c，若f(1)〉0，f(2)〈0，則f（x)在(1,2）上的零點(diǎn)()A．至多有一個(gè) B．有一個(gè)或兩個(gè)C．有且僅有一個(gè) D．一個(gè)也沒有C[若a＝0,則f(x)＝ax2＋bx＋c是一次函數(shù),由已知f(1）·f(2)<0,得只有一個(gè)零點(diǎn)；若a≠0，則f（x)＝ax2＋bx＋c為二次函數(shù)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則應(yīng)有f(1）·f（2)〉0，與已知矛盾．故僅有一個(gè)零點(diǎn)．]5．若a〈b<c，則函數(shù)f(x)＝（x－a)（x－b）＋(x－b）(x－c)＋（x－c）（x－a）的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(）A．(b,c)和(c,＋∞)內(nèi) B．（－∞，a）和(a，b）內(nèi)C．(a，b）和（b，c)內(nèi) D．（－∞,a）和（c，＋∞）內(nèi)C［∵a〈b〈c，∴f（a）＝（a－b)（a－c）>0，f(b)＝(b－c)(b－a）〈0，f(c）＝（c－a）(c－b)〉0，∴f（x）的零點(diǎn)分別位于(a，b）和（b，c)內(nèi)．］二、填空題6．函數(shù)f（x)＝eq\f(x－1lnx,x－3）的零點(diǎn)是________．1［令f(x)＝0，即eq\f(x－1lnx，x－3）＝0，即x－1＝0或lnx＝0，∴x＝1，故函數(shù)f(x）的零點(diǎn)為1.]7．設(shè)x0是方程lnx＋x＝4的根,且x0∈（k，k＋1），k∈Z，則k＝________.2［令f（x）＝lnx＋x－4，且f(x）在（0，＋∞）上遞增，∵f（2)＝ln2＋2－4〈0，f(3)＝ln3－1>0，∴f(x）在(2，3)內(nèi)有解，∴k＝2。]8．奇函數(shù)f（x），偶函數(shù)g（x）的圖象分別如圖(1)，(2）所示，函數(shù)f(g(x)），g（f(x))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為m，n，則m＋n＝________。圖（1）圖（2）10［由題中函數(shù)圖象知f(±1）＝0,f(0）＝0，geq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（±\f（3，2)))＝0,g（0）＝0，g(±2）＝1，g(±1）＝－1,所以f（g（±2）)＝f(1)＝0,f（g(±1)）＝f（－1）＝0,feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(g\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（±\f（3,2））））)＝f(0）＝0，f(g(0)）＝f(0)＝0，所以f(g（x))有7個(gè)零點(diǎn)，即m＝7.又g（f(0)）＝g（0）＝0,g(f（±1)）＝g（0）＝0，所以g(f（x））有3個(gè)零點(diǎn),即n＝3。所以m＋n＝10。］三、解答題9．判斷函數(shù)f（x）＝lnx＋x2－3的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．［解]法一（圖象法):函數(shù)對應(yīng)的方程為lnx＋x2－3＝0,所以原函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)y＝lnx與y＝3－x2的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．在同一坐標(biāo)系下，作出兩函數(shù)的圖象（如圖）．由圖象知，函數(shù)y＝3－x2與y＝lnx的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，從而lnx＋x2－3＝0有一個(gè)根，即函數(shù)y＝lnx＋x2－3有一個(gè)零點(diǎn)．法二(判定定理法)：由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2〈0，f（2)＝ln2＋22－3＝ln2＋1>0，∴f(1)·f（2）<0，又f(x）＝lnx＋x2－3的圖象在(1,2）上是不間斷的，所以f（x）在（1,2)上必有零點(diǎn),又f(x)在（0，＋∞)上是遞增的，所以零點(diǎn)只有一個(gè)．10．若函數(shù)f(x）＝ax2－x－1有且僅有一個(gè)負(fù)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．［解］①當(dāng)a＝0時(shí)，由f（x）＝－x－1＝0得x＝－1,符合題意；②當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f（x）＝ax2－x－1為開口向上的拋物線，且f（0）＝－1<0，對稱軸x＝eq\f（1,2a）>0，所以f(x)必有一個(gè)負(fù)實(shí)根,符合題意；③當(dāng)a〈0時(shí)，x＝eq\f（1,2a）〈0，f（0)＝－1〈0,所以Δ＝1＋4a＝0，即a＝－eq\f（1,4)，此時(shí)f（x)＝－eq\f(1，4）x2－x－1＝－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(x,2)＋1））2＝0，所以x＝－2，符合題意．綜上所述，a的取值范圍是a≥0或a＝－eq\f（1，4）.［等級過關(guān)練］1．若函數(shù)f(x）＝x2－ax＋b的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3，則函數(shù)g(x)＝bx2－ax－1的零點(diǎn)是（)A．－1和eq\f(1，6) B．1和－eq\f（1，6)C。eq\f(1，2）和eq\f（1，3) D．－eq\f(1,2）和eq\r(3)B［∵函數(shù)f(x)＝x2－ax＋b的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2＋3＝a，,2×3＝b，)）即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝5,,b＝6，))∴g(x)＝6x2－5x－1，∴g(x）的零點(diǎn)為1和－eq\f（1，6),故選B。]2．(2018·全國卷Ⅰ）已知函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（ex，x≤0，,lnx，x＞0，）)g（x）＝f(x）＋x＋a.若g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是(）A．[－1,0） B．［0,＋∞)C．［－1，＋∞） D．［1,＋∞)C[函數(shù)g(x）＝f(x）＋x＋a存在2個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程f(x)＝－x－a有2個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)f(x）的圖象與直線y＝－x－a有2個(gè)交點(diǎn)，作出直線y＝－x－a與函數(shù)f（x）的圖象,如圖所示,由圖可知，－a≤1，解得a≥－1，故選C。］3．若方程|x2－4x｜－a＝0有四個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．(0,4）[由｜x2－4x|－a＝0，得a＝｜x2－4x｜，作出函數(shù)y＝|x2－4x｜的圖象,則由圖象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四個(gè)不相等的實(shí)根，則0＜a＜4。]4．已知函數(shù)f(x)＝3x＋x,g（x）＝log3x＋2，h(x）＝log3x＋x的零點(diǎn)依次為a，b，c，則a,b，c的大小關(guān)系是________．a(chǎn)＜b＜c[畫出函數(shù)y＝3x，y＝log3x,y＝－x，y＝－2的圖象,如圖所示，觀察圖象可知，函數(shù)f（x)＝3x＋x，g（x）＝log3x＋2，h（x）＝log3x＋x的零點(diǎn)依次是點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo),由圖象可知a＜b＜c。]5．已知函數(shù)f(x）＝x2－bx＋3。（1）若f（0)＝f(4)，求函數(shù)f(x）的零點(diǎn)；(2）若函數(shù)f（x)一