3章連續(xù)時間系統(tǒng)頻域分析第一部分

3章連續(xù)時間系統(tǒng)頻域分析第一部分頻域分析的特點和優(yōu)點：

１、分析信號的頻域特點：如信號的帶寬，信號的譜含量等等，物理概念清晰。２、系統(tǒng)頻域分析方法：給定頻率正弦信號的零狀態(tài)響應(yīng)是同樣頻率的正弦信號，系統(tǒng)的作用只體現(xiàn)在振幅和相位上，數(shù)學上簡單。３、信號頻譜函數(shù)和系統(tǒng)的頻域傳輸函數(shù)：包含了信號和系統(tǒng)的全部信息，雖然數(shù)學形式變化，但信息不丟失。1768年，科學史有“牛頓第二”之稱的傅立葉出生在法國的奧塞爾城一個裁縫之家；1789年，參加過革命軍，反對路易斯王朝。后退出軍隊，教會學校教數(shù)學，提出“數(shù)值分析”求得多項式根的方法。1794年拿破侖任命為巴黎師范大學首席數(shù)學教授，27歲。1801年，傅立葉被任命為法國格勒諾布爾的行政長宮。1807年發(fā)表了《熱的傳播》，傅立葉級數(shù)（即三角級數(shù)）、傅立葉分析等理論均由此創(chuàng)始.1814年拿破侖戰(zhàn)敗，被流放。1815年拿破侖偷渡回國，受到全國熱烈的歡迎。傅立葉卻公開反對拿破侖，后被捕，拿破侖親自審問。1815年拿破侖兵敗滑鐵盧，傅立葉從監(jiān)獄中放出。傅立葉繼續(xù)研究熱的理論數(shù)學，并發(fā)表以邊界條件解微分方程式的方法。1830年，因心臟病去世。傅里葉：1807年提出“任何周期信號都可用正弦函數(shù)級數(shù)表示”1829年狄里赫利第一個給出收斂條件拉格朗日反對發(fā)表1822年首次發(fā)表在“熱的分析理論”一書中法國數(shù)學家傅里葉發(fā)現(xiàn)，任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級數(shù)來表示（選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基函數(shù)是因為它們是正交的），后世稱傅里葉級數(shù)為一種特殊的三角級數(shù)。

傅里葉的兩個最主要的貢獻“周期信號都可表示為成諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和”——傅里葉的第一個主要論點“非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示”——傅里葉的第二個主要論點3.1

復(fù)指數(shù)函數(shù)的正交性與傅里葉級數(shù)

3.1.1復(fù)指數(shù)的正交時域分析，以沖激函數(shù)為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數(shù)；而yf(t)=f(t)*h(t)。本章將以正弦信號和虛指數(shù)信號ejωt為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數(shù)信號之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是頻率。故稱為頻域分析。歐拉公式：所以，在分析周期和非周期信號時，通常把ejwt作為基本信號將任意周期和非周期信號分解為一系列虛指數(shù)函數(shù)的離散和或連續(xù)和。由兩兩正交的矢量組成的矢量集合---稱為正交矢量集如三維空間中，以矢量（長，寬，高）vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所組成的集合就是一個正交矢量集。

例如對于一個三維空間的矢量A=(2，5，8)，可以用一個三維正交矢量集{vx，vy，vz}分量的線性組合表示。即A=vx+2.5vy+4vz

矢量空間正交分解的概念可推廣到信號空間，在信號空間找到若干個相互正交的信號作為基本信號，使得信號空間中任意信號均可表示成它們的線性組合。一、信號分解為正交函數(shù)1.矢量正交與正交分解矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)與Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定義：其內(nèi)積為0。即

定義：假設(shè)有n個函數(shù)g1(t)，g2(t)，…，gn(t)構(gòu)成的一個函數(shù)集，這些函數(shù)在區(qū)間[t1，t2]內(nèi)滿足如下的正交特性其中ki為常數(shù)，則函數(shù)序列g(shù)1(t),g2(t),g3(t),…,gn(t)是[t1，t2]區(qū)間上的正交函數(shù)集。三角函數(shù)序列{1，cosω1t,cos2ω1t,cos3ω1t,…,cosnω1t,…，sinω1t,sin2ω1t,sin3ω1t,…,sinnω1t,…為區(qū)間[t0,t0+T]

T=2π/ω上的正交函數(shù)集。2、信號正交與正交函數(shù)集函數(shù)集中任意兩個不同函數(shù)在[t1，t2]區(qū)間的內(nèi)積為零常用的完備正交函數(shù)集有（1）三角函數(shù)1，cos1t，cos21t，…，cosn1t

…sin1t，sin21t，…，sinn1t

…（2）復(fù)指數(shù)函數(shù)ejn1t,n=0,1,2,……（3）沃爾什函數(shù)Wal(k,t)沃爾什函數(shù)系是函數(shù)值僅取“+1”、“-1”兩值的非正弦型的標準正交完備函數(shù)系。3.完備正交函數(shù)集：如果在正交函數(shù)集{1(t)，

2(t)，…，

n(t)}之外，不存在函數(shù)φ(t)(≠0）滿足(i=1，2，…，n)則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。例如，函數(shù)集合的標準正交集是：sin(NX),cos(NX),N取整數(shù)。這樣就可以說這組函數(shù)是完備正交的。（因為任何一個函數(shù)都可以由他們通過線性疊加而構(gòu)成）f(t)可用傅立葉級數(shù)表示為：（三角級數(shù)）3.1.2傅立葉級數(shù)f(t)=a0+a1cosω1t+

b1sinω1t

+

a2cos2ω1t+b2sin2ω1t+…+ancosnω1t

+bnsinnω1t

+…2/T1=ω1

稱為

f(t)的基波頻率；nω1稱為n次諧波；

a0為f(t)的直流分量，an和bn為各余弦分量和正弦分量的幅度。（an和bn又稱為傅里葉系數(shù)）注：三角函數(shù)是完備的正交函數(shù)集，不同頻率的三角函數(shù)之間的內(nèi)積為零，只有頻率相等的三角函數(shù)做內(nèi)積時才不為0.3、傅里葉級數(shù)展開的充分條件

通常所遇到的周期性信號都能滿足此條件，因此，以后除非特殊需要，一般不再考慮這一條件。對于任意周期信號f(t)=f(t+nT),在滿足狄里赫利條件下，可展成傅里葉級數(shù)。1：基波角頻率a0：直流分量，an：余弦幅度，bn：正弦幅度，An：諧波幅度，周期信號分解為三角級數(shù)（三角函數(shù)集是一組完備函數(shù)集）周期信號的分解與合成注：an為n的偶函數(shù)bn

為n的奇函數(shù)為了積分方便，通常取積分區(qū)間為：基波、諧波

通常把頻率為：稱為基波。頻率為：稱為二次諧波。頻率為：稱為三次諧波。

可見，直流分量的大小以及基波與各次諧波的幅度、相位取決于周期信號的波形。圖1鋸齒波的三角級數(shù)合成例3-1

如圖所示的周期矩形波，試求其傅里葉級數(shù)。

解由于這里f(t)是奇函數(shù)，故有

所以f(t)的傅里葉級數(shù)為

圖2周期矩形波的分解與合成：

圖3當選取傅里葉有限級數(shù)的項數(shù)N很大時，該峰起值趨于一個常數(shù)，它大約等于總跳變值的9%，并從不連續(xù)點開始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去。此現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。吉布斯（Gibbs）現(xiàn)象周期三角波的分解與合成：圖4其他形式余弦形式正弦形式即把周期信號分解為各次諧波之和正弦級數(shù)與余弦級數(shù)有關(guān)結(jié)論：一般說來,一個函數(shù)的傅里葉級數(shù)既含有正弦項,又含有余弦項.但是,也有一些函數(shù)的傅里葉級數(shù)只含有正弦項或者只含有常數(shù)項和余弦項.(1)當周期為2π的奇函數(shù)f(t)展開成傅里葉級數(shù)時,它的傅里葉系數(shù)為2、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù)的關(guān)系（例3-1）注：周期奇函數(shù)只含正弦項定義稱為

如果)(tf為奇函數(shù)，傅立葉級數(shù)正弦級數(shù)。

ntbnnsin1?￥=

ω1

定義如果分f(t)為偶函數(shù)，傅立葉級數(shù)稱為余弦級數(shù).（2）當周期為2π的偶函數(shù)f(t)展開成傅里葉級數(shù)時,它的傅里葉系數(shù)為注：周期偶函數(shù)僅含直流項和余弦項（3）奇諧函數(shù)若周期信號f(t)波形沿時間軸平移半個周期后與原波形相對于時間軸鏡像對稱，即滿足：（半周期對稱）（4）偶諧函數(shù)周期信號f(t)波形沿時間軸平移半個周期后與原波形完全重疊，即滿足：f(t)稱奇諧函數(shù)或半波對稱函數(shù)，傅立葉展開式中只含有正弦和余弦項的奇次諧波分量，不含偶次項。f(t)稱偶諧函數(shù)或半周期重疊函數(shù)，傅立葉展開式中只含有正弦和余弦項的偶次諧波分量，不含奇次項。*周期偶函數(shù)、奇諧函數(shù)：只含基波和奇次諧波的余弦分量；*周期奇函數(shù)、奇諧函數(shù)：只含基波和奇次諧波的正弦分量；*周期奇函數(shù)只含正弦分量；*周期偶函數(shù)含有直流分量和余弦分量?？偨Y(jié)：從上面例子看出：（1）n愈大，則愈逼近原信號f(t)。(2)當信號f(t)是脈沖信號時，其高頻分量主要影響脈沖的跳變沿；低頻分量影響脈沖的頂部。f(t)波形變化愈劇烈，所含的高頻分量愈豐富；f(t)變化愈緩慢，所含的低頻分量愈豐富。(3)當信號中任一頻譜分量的幅度或相位發(fā)生相對變化時，輸出波形一般要發(fā)生失真。取基波分量和三次諧波分量取基波、三次諧波分量和五次諧波分量有限級數(shù)對原函數(shù)的逼近情況周期信號的復(fù)指數(shù)表示設(shè)

由于

則

歐拉公式：{所以

由

令

，則

Fn為傅立葉系數(shù)周期信號f(t)的指數(shù)形式傅立葉展開式又稱復(fù)系數(shù)形式傅立葉級數(shù)展開式例1

對于周期矩形波，試求其指數(shù)表示式。

解所以

圖5例2

設(shè)有周期沖激信號T(t)，求其指數(shù)表示式。

解因則

所以

即T(t)是無窮多個復(fù)指數(shù)的累加和。

圖6總結(jié)：（1）周期信號的三角級數(shù)和復(fù)指數(shù)表示形式只是同一信號的兩種不同表示方法。前者為實數(shù)級數(shù)，后者為復(fù)數(shù)級數(shù)，均是把周期信號表示為不同頻率的各分量之和。（2）任意周期函數(shù)可分解為偶函數(shù)fod(t)與奇函數(shù)fev(t)之和。

單邊頻譜圖例：矩形波3.2周期信號的頻譜圖2圖11.頻譜：將周期信號各頻率分量的振幅和相位隨頻率變化的關(guān)系用圖形描繪出來，稱之為“頻譜圖”。（頻譜圖：包括振幅頻譜和相位頻譜兩部分）幅度譜、相位譜

單邊頻譜An：振幅頻譜相位頻譜：φn雙邊頻譜│Fn│與nω所描述的振幅頻譜與Fn的相位Φn與nω所描述的相位頻譜Fn一般是復(fù)函數(shù)，所以稱這種頻譜為復(fù)數(shù)頻譜。2.周期信號頻譜的特點：離散性：離散譜線諧波性：基波1的整數(shù)倍頻率收斂性：高次諧波幅度漸小（隨諧波次數(shù)增高而逐漸減?。┓茸V與相位譜合并正、負頻率相應(yīng)項成對合并，才是實際頻譜函數(shù)。Fn一般為復(fù)數(shù)，引入了負頻率變量F-n周期復(fù)指數(shù)信號的頻譜圖的特點引入了負頻率變量，沒有物理意義，只是數(shù)學推導；An是實函數(shù)，F(xiàn)n一般是復(fù)函數(shù)；

當Fn是實函數(shù)時，可用Fn的正負表示0和π相位，幅度譜和相位譜合一；3.頻譜與信號的帶寬對于周期矩形脈沖，在一個周期內(nèi)為

則復(fù)系數(shù)

圖4其中Sa()形式如下。

抽樣函數(shù)：是偶函數(shù)當時，Sa(t)=0圖51.抽樣函數(shù)Sa(x)的特點：（1）偶函數(shù)（2）正負軸（對稱）呈衰減的正弦振蕩

f(t)的幅度譜和相位譜圖70→只可用一個頻譜圖表示2.頻帶寬度由周期矩形脈沖信號的頻譜可以看出：振幅相對減小。能量主要集中在第一個零點以內(nèi)。信號一般主要集中在低頻段。