高數(shù)-第五章定積分有著廣泛用途

第四定積分的幾何應(yīng)第四Theapplicationofdefinite定積分有著廣泛的用途,本節(jié)介紹它在幾何,物理上的簡(jiǎn)單應(yīng)用,培養(yǎng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來先介紹建立定積分的一種適用的簡(jiǎn)便法

元素法(微元1第四定積分的幾何應(yīng)第四Theapplicationofdefinite定積分的元素法（微元法）平面圖形的面積

注意介紹極坐空間的體積平面曲線的弧長(zhǎng)小結(jié)思考題作2PAGEPAGE4一、定積分的元素法（微元法究竟哪些量可用定積分來計(jì)算呢.結(jié)合曲邊梯形面積的計(jì)算及定積分的定義可知,用定積分計(jì)算的量應(yīng)具有如兩個(gè)特點(diǎn):所求量I即與[ab]有關(guān)I在[a,b]上具有可加性.(即把[a,b]分成許多部分區(qū)間,則I相應(yīng)地分成許多部分量,而I等于所有部分量之和)按定義建立積分式有四步曲“分割取近似求和取極限”得nbIf(x)dxlimnb

f(i

i有了N--L公式后,這個(gè)復(fù)雜的極限運(yùn)算問題到了解決.對(duì)應(yīng)用問題來說關(guān)鍵就在于如何寫被積表達(dá)式fx)dx是所求I的微分dI

f(x)dx

Ii于是稱dI

fx)dxI的微元或方法簡(jiǎn)化步PAGEPAGE5簡(jiǎn)化步a,[x,

xdx]I(bb

f(x)dx,

I

f((2)

Ia

(這種簡(jiǎn)化了的建立積分式的方法稱元素法或微元法PAGEPAGE7y

fx)、直

與x軸圍成 a,上任取一小區(qū) [x,

這個(gè)小區(qū)間上 素對(duì)應(yīng)的小曲邊梯形面積近 地等于長(zhǎng)為f(x)、寬為dx f(小矩f(

y

(x)dAb

f(得A得

f(

xx

元素法使用的條PAGEPAGE8二、平面圖形的回b定積分回b

f(

的幾何意義ba,

(x)

則 f(xd的值y

f(x),曲邊梯形的面積 注下面曲線均假定是連續(xù)曲線注11.直角坐標(biāo)系中圖形的面

設(shè)在區(qū)間[a,b]上,曲線y

fx)位于曲ygx)的上,

f(x)

g(x),求這兩條曲及直

a,

b所圍成的區(qū)域的面積[a,b]

y

f(x)小區(qū)間xxdx它對(duì)的面積元素dA dAf(x)g(x)

xx bAa[f(x)g(b

yg(x)9由曲線x

f(y),x

g(y)(

f(y)

g(和直

c,

d所圍成的區(qū)域的面積[c,d] 小區(qū)間[

ydy它對(duì)

xy

g(y) 的面積元素dA

x

f(y)dA

(y)

g( A c

f(y)

g(1．計(jì)算由曲線

y2

2x和直線

x

4所方法y2

2y解方程y

x得兩曲線的交點(diǎn)

y為積分變量y[2dA

y4

222

A4

yxyxy2yxyxy2x為積分變量，則x2x面積元2x2x2x

(

x[0,2xdA22x

(

比較方法1和x[2,所求面 A2

2

以簡(jiǎn)化計(jì)算一般情況下,由曲線圍成的有界區(qū)域,總可以分成若干塊上面討論過的那兩種區(qū)域只要分別算出每塊的面積再相加xx例

設(shè)fx)、gx)在[a,b]上連則曲y

x)、y

gx)與直

a

xb所圍成平面圖形面積b(B)ba|f(x)g(x)|b(B)ba|f(x)g(x)|bb(C)a[f(x)g(b

(D)

f(x)|

g(x) y

f(

yg(x)x2 例3.y

,y 1

與直x 3,x2xx 圍成的圖形面 xy解.兩曲線交點(diǎn)

y

2

12

1x2 1由于圖形關(guān)于y軸對(duì)稱,11A21

2

)

x2

2)01

13 3 定積分在幾何學(xué)上的例x例求橢圓a2解由對(duì)稱性,

A

ydx,

其中y

a2

x2不易積分a0a曲線的參數(shù)方程為

yacosbsin 作變量代換

xacost,

asin

時(shí)t0

;當(dāng)x2

A2

bsintd(a

t)

4ab0

一般地,當(dāng)曲線用參數(shù)方程表示時(shí),都可以類似的變量代換法處理x(ty如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方y(tǒng)

(t在[t1,t2或[t2,t1上x(t)y

(t)

0,

(t)連續(xù)b曲邊梯形的面積Ab

t2(t)(t（其中t1

練習(xí)

ya(1costyO2ayO2a

)與x軸所圍圖形的面面積A

0

作變量代xa(tsintdx

a(1

tx0

x2a

2A0

ydx2a(10

cost)a(1

cost)dt3a極坐標(biāo)下平面圖形的極坐標(biāo)下平面圖形的面由極坐標(biāo)方程rr(

rr(rr(Ox,(所圍成的面積面積元

dA

2

曲邊扇形的面A

[r(

dA [r()]A [r()]22例4求雙紐線r

a2

所圍平面圖形的面積yyx解由對(duì)yyx=4倍第一象限部A41A40

a2 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)

A

1[r()]22例 求心形2

1cos圓盤

cos的公共部分的面 由對(duì)稱r

r1

r求交點(diǎn)

1 rr30

1 1A2 712

(1cos)2d33

2cos2d3例 計(jì)算由曲(x2

y2

a2(x2

y2所圍成的A12A122)]

y2

a2的外面部分的面2x2

y2

a2(x2

y2)是雙紐線方程極坐標(biāo)方程:r

a

交x2y2

1a2

6

,r2 2極坐標(biāo)方程:r 2由對(duì)稱A

16a2

1a2

3a2 320

611由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓 圓 圓定積定積分在幾何學(xué)上的

如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線y

f(x),直線

a,

bx軸所圍成的曲邊x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,體積為多少采用元素 采用元素

f(x)取積分變量為a,上任

x[a,

x [x,

dx取以dx為底小曲邊梯形x軸旋轉(zhuǎn)成的薄片的體積元VbVb[f(x)]2a

dV

[f(定定積分在幾何學(xué)上的dV[f(例dV[f(取積分變量為x,

xy

yx2dV

y2dx V

1x4dx 定積定積分在幾何學(xué)上的

如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線

(y),直線

c,

dy軸所圍成的曲邊梯形y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的,體積為多少體積元 dV

x(y)旋轉(zhuǎn)體的體VV(y)]2cxyaax 求星形線x23y23a23(a0)繞y軸旋轉(zhuǎn)yaax體積元dV[x(x23a23

y2

x2(a2x2(a23y23)3V20

x2dy

a(a23y23)3dy32a3定定積分在幾何學(xué)上的aV2a

x

利用參數(shù)方 a用換元xacos用換元y asin3y

yasin3t,

dy3a

ty0a

ya

2V2x2dy2

t3a

t

求星形線求星形線x23y23a23(a0)繞y軸旋轉(zhuǎn)定定積分在幾何學(xué)上的yRyRr2x2r2x2rrx yRyRr2x2r2x2rrxR(R

解取坐標(biāo)如圖所示.圓的方程x2(y

r

yR所求圓環(huán)體可看成是上半圓下的曲邊梯形和下半圓下的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周.兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積之差V

r(R

r2xrrr2xrr

)22r2r2x定定積分在幾何學(xué)上的rrrr

r2r2

x2x2

四分之一圓面

r4

求拋y

x2和y

x所圍成圖形y旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體 解兩曲線的交點(diǎn)為(0,0)

y y1繞y軸旋y1

yx2V

0

)2dy

1(y2)2 O0O10(y1

y4310平行截面面平行截面面積為已知的立體的體如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體,但卻知道該立A(x表示過點(diǎn)且垂直于x軸

那么,這個(gè)立x截面面積

x)

xx為x的已知連續(xù)函數(shù)采用元素立采用元素

dVA(bV

Vba例10 一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角,Vba的體積解取坐標(biāo)系如 底圓方

x2

y2R2 y yR2x2R2xx垂直R2x2R2xx底y

,h

tan截面面

A(x)

1(R2

x2)tan體積

R0

1(R22

x2)tandx

23

tan定積定積分在幾何學(xué)上的可否選擇y作積分變量 此時(shí)截面面積函數(shù)是什么如何用定積分表示體積

y (x,y)作一下垂直于y軸的截面是矩 截面長(zhǎng)為2

寬為ytan截面面

A(y)R2yR2y2

V RA(0R 2 R2

y2tandy

23

tan例

yxRx取坐標(biāo)系如圖yxRxx2y2R2R2x2垂直于x軸的截R2x2R截面面R

hy體積

h

R2

x2dx

1R2haaa定積分在幾何學(xué)上的

2002年考研數(shù)學(xué)(三)7設(shè)D是由拋物線y

2x2和直線xax21y0所圍成的平面區(qū)域

D是由拋物線y2x2

0,

a所圍成的平面區(qū)域其中0a試求D1繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積試求D2繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積問當(dāng)a為何值時(shí),V1+V2取得最大值?試求此最大值

2(2x2

)2dx

4(32a5

y2x2V2a2

2a20

ydy2

a41D1(2)V

V2

4(32a5) 5最大值

(0,2) 2V45

a)

a

(唯一駐點(diǎn)1.平面曲線弧長(zhǎng)的概三、平面曲線的弧長(zhǎng)（圓的周長(zhǎng)與內(nèi)接正多邊形1.平面曲線弧長(zhǎng)的概iMiM2MBM2MBA的兩個(gè)端點(diǎn)分

在弧AM0,M1,Mi,Mn1,Mn 并依次連接相鄰分點(diǎn)得一內(nèi)接折線,當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)無限增加且每個(gè)小弧段都縮向一點(diǎn)時(shí),此折線的n|i

Mi1Mi

|的極限存在,則稱此極限為曲線弧定理光滑曲線弧是可求長(zhǎng)定理光滑曲線弧是可求長(zhǎng)應(yīng)用定積分的元素法來計(jì)算光滑曲線弧設(shè)曲線弧為y

f(

y

(x)(axb),

f(x) 取積分變量為x,任取小區(qū)間x,

以對(duì)應(yīng)小切線段的長(zhǎng)代替小弧段的 x xdxx(dx)2弧長(zhǎng)元素（弧微分公式）ds

1y21y2bsb

1y2 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)

s

1y2例12懸鏈線方y(tǒng)

a(ex2

e

a)

achbab計(jì)算介于

b與

b之間一段弧長(zhǎng)度解y

achxa11(

y

sha

1sh1shax2a

xab所求弧長(zhǎng)xabbbs chbb

dx

ch

dx

2ash 33曲線弧

x(t

(ty y

(t其中(t),(t)[ab]具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)(dx)2(dx)2

2(t)2s

2(t)2(t)dt例 求星形

x23

y2

3(a

0)的全長(zhǎng)星形線的參數(shù)方程為

acos3asin3

(0

對(duì)稱s對(duì)稱2(2(x)2(0

第一象限部分的ss2(t)20

3asintcostdt6a.例

證明正弦

(0

x

)的弧長(zhǎng)等橢證設(shè)正弦線的弧長(zhǎng)

(0txxcosy 1a2sinyasin

)的周長(zhǎng) y2dx

1a

cos2 1acos 設(shè)橢圓的周長(zhǎng)為

橢圓的對(duì)稱s (x)2(y)2dt2

t)2

a2)(cost)2dt

1a2

tdt

1a2

xdx44極坐標(biāo)情曲線弧為r

r(

(

其中r(

[上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)

rr

xyy

)sin

(

(dx)2(dx)2s

r2()

r2

)d

r2(ssr2()r2(14求極坐標(biāo)系下曲線

asin

的長(zhǎng)33(a

(0

2 2

2

3asin 3

cos

asin 3

cos3s

r2()

r26

a2sin 32

a2sin 3

cos 3a3sin

d

3a. 3 定定積分在幾何學(xué)上的例15求螺線r

(a

0)上相應(yīng)于從0到

的弧長(zhǎng)解 ra,s

r2()

r2

11

2112

ln(2

四、小分平面圖形的方法有分豎條,分橫條,分成扇形,分成圓環(huán)旋轉(zhuǎn)體的

x軸旋轉(zhuǎn)一y軸旋轉(zhuǎn)一平行截面面積為已知的的體平面曲線弧長(zhǎng)的直角坐標(biāo)系求弧長(zhǎng)的

參數(shù)方程情形極坐標(biāo)系思考題從拋物線y

x21上的點(diǎn)P引拋物線y

切線

y

x2P點(diǎn)位置無關(guān)

yx2

(x2

y2)分別表

yx2

Px0

y0)向拋物yx2引出的兩條切線的切點(diǎn)

Q2(x2,y2y

在點(diǎn)Qx

的切線方程 2

P(x0,y0y12x1(x

即y

2x(xxx2x20

1,

x0定定積分在幾何學(xué)上的于是切線PQ1,PQ2的方程分別y2(y2(

1)x

((

yx2

x2Q1(x1,y1由yx2PQ及

所圍圖形 面積

Q2(

,y2A

[

2(

(

P(

0,y00x0 x01[

2(

(

2

A與

無關(guān)A與點(diǎn)Px

)位置無關(guān)yyy12x1(xx1),x1x01,x1x0 思考題A由x2

y2

2x與y

x求圖形A繞直線體積

2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體xxx(y)1111y2解dV

1r1

r

y 2r2(2x)2dy

V

10

dy

0(1

y)dy 定積定積分在幾何學(xué)上的思考題閉區(qū)間[ab]上的連y=f(x)是否解不一定僅僅有曲線連續(xù)還不夠必須保證曲線光滑才可求長(zhǎng)定積定積分在幾何學(xué)上的xx 設(shè)fx)、gx)在[a,b]上連則曲y

x)、y

gx)與直

a

xb所圍成平面圖形面積(B)(B)ba|f(x)g(x)|b(A)a[f(x)g(bb(C)a[f(x)g(b

(D)

f(x)|

g(x) y

f(

yg(x)畫草圖兩曲線的交

ycosyyy

sincos

(4

),(5 22 22

42A

xcos

dx

4(cos

ysin 4422

x

x)dx

5(cos4

定定積分在幾何學(xué)上的例求心形線

a(1

所圍平面圖形的AA2[r()]2面積(a0).

ra(1cos解利用對(duì)稱性A2

1a2

cos)2d2a20

a2

3a2定積定積分在幾何學(xué)上的求曲y

x在區(qū)使得該切線與所圍成的面積最小

6

答

y4

x1

ln(ab

0)之間圖形面積答案ax2 y2 x2 y2求界于二橢圓a2

b2

a2

b之間圖形面積對(duì)稱 所求面積A為在第一象對(duì)稱由直線yxx軸及橢

x2 y2 b2 a2

2 y22所圍圖形面積的8倍

y

a2 將橢

x2y2b2 a2

1化為極坐標(biāo)方程 將xr

代入橢圓

y

a2 22y 22y

b2 a2 a2b2

12 a22

cos2

sin2

A8 222

(θ)dθ定積分應(yīng)用定積分應(yīng)用A8

a2b2r2a2cos2a2b2r2a2cos2b2sin2120 4a2b2 0

a2cos2

sin2θπ4b24

0cos2θ(12 2

btan2θ)a2b4ab01

btan2

tanθ)a2a224abarctan(ba例求擺

x

sint),

a(1

t的一與y=0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)體的體積 解x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體

0

(

變量代

a(

sint22 a

cost)2a(1

cost0a 0

t

2a3y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積分別y軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體的體積之差

擺線擺線ya(1costxa(tsintx

B(

xx2(y)A

1

y

x2(

0(O)

( a2(t

sint)2asintdt

2a20

sint)2a令令ut (t2sin0

2tsin2

t)

a3AA122)]利用對(duì)稱性

y6A4146

4

12cos10 632 33sba1y2sba1y2x例計(jì)算曲線y 0

sin

的弧長(zhǎng)(0

xn y

1 sinnsinnsinn

xdx

1sin dx 1sin t2

t2

sin2cos2

nsintcostdt

0 2第五節(jié)定積分在物理學(xué)上的應(yīng)變力沿直線所作的功水壓力引力小結(jié)思考題作業(yè)一、變力沿直線所作的動(dòng)了距離s,那么就說力對(duì)這一物體作了功,且所作

WF如果計(jì)算功時(shí)力或距離是變化的則需要在某一變量的小區(qū)間上求出功元素,然后求定設(shè)物體在變力F(x)作用下沿x

xa移動(dòng)x

(a

b),力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平求變力做的功在[a,b]上任取小區(qū)間x,功元

dx],在其上所作dW

F(x)dx

x b因此變力F(x)在區(qū)間[a,b]上所作的功bW F(x)dxa例在一個(gè)帶+q電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)作用下,一個(gè)單位正電荷沿直線從距離點(diǎn)電荷a處移動(dòng)b(ab,求電場(chǎng)力所作的

庫(kù)侖定解當(dāng)單位正電荷距離原點(diǎn)

電場(chǎng)力為Fkr取r為積分變量 r[ab取任一小區(qū)間

rdr [r,

功元

dW

kqdr,rb

1b

1所求功W

dr2a2

r

.abab說a電場(chǎng)說a

r

處的電位

kqdrk r 例一長(zhǎng)為28m,質(zhì)量為20kg的均勻鏈條被懸于筑物頂部(如圖),問需要作多大的功才能xxyxxyx鏈條

2028

5(kg7

m).

頂部

dx,功元dW功元

5g7

285gxdx

2744(J

J是焦耳 例3米,高為5存滿水,要把桶內(nèi)的水全部吸出,求所作的功解建立坐標(biāo)系

1000

x米3 xx5設(shè)想水分層x5任取小區(qū)間x,

dx],與之對(duì)x的水層

把它提到桶口所近似地等功元功元

(g32dx)x

g

5g0

x離桶邊1米處x

到桶口距o x法 x

dW xW 5x5

xoy法 dWxoy

(

x x x

二、水壓 當(dāng)壓強(qiáng)為常數(shù)時(shí),壓力=壓強(qiáng)×面積,當(dāng)物體表面位于液體中時(shí),不同深度所受的不同的,故往往需要用定積分計(jì)算液體對(duì)表的側(cè)壓力

因而采用“元素法”思想桶內(nèi)盛滿水例一個(gè)橫放著的圓柱形水桶,桶內(nèi)盛有半桶水設(shè)桶的底半徑為R,水的 解在端面建立坐標(biāo)系.如圖取x為積分變量x[0

,計(jì)算桶的一端取任一小區(qū)間[

xo小矩形片上各處的壓 近似相

p

xxRx小矩形片的面積為

R2

x2dx小矩形片的壓力元素為

x

R2

x2dx端面上所受的壓力

R20

x2dx3

R3例設(shè)某水渠的與水面垂直,水渠的橫截是等腰梯形.2米,6米,10米當(dāng)水灌 在水下兩米解建立坐標(biāo)系

C(0,3)

y5

x

xxdP

2x

x3dx

P210x1x3dx

1633( 三、引質(zhì)量分別為M二者間的

的質(zhì)點(diǎn),相距大小

kM r方向沿兩質(zhì)點(diǎn)的連 M且各點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的引力方向也是變化的,故不采用“元素法”想用上述公式計(jì)算.則采用“元素法”想 有一長(zhǎng)度為l,線密度為

的均勻細(xì)棒,在l2yoyyraM(mx2中垂線上距棒a單位處有一質(zhì)量為m的l2yoyyraM(mx2建立坐標(biāo)系取y為積分變量

y

l,l取任一小區(qū)間[

y

小段的質(zhì)量為dy,a2y2小段與質(zhì)點(diǎn)a2y2dFkdFka2y2

cosaa2cosaa2y2Fkr 水平方向的分力

(m l33

dFcos()

k ,1a2y21

(a2y2)2l 2

2

2(a2y22

a(4a2l2)2對(duì)稱引力在鉛直方向分力為對(duì)稱

FFkr例 桿一的 是否可建立其它坐標(biāo)系

該端距離為a.計(jì)算細(xì)桿對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引

al

建立坐標(biāo)系

l[0l][x,

xdx],長(zhǎng)為dx的細(xì)桿引力元可近似地看成質(zhì),其質(zhì)量dx它與引力元引力近似地等于

dF

m(alx)2F l

kml0(alx)2

a(al例為a.例為a.有桿一該端距離

x .mdF

m

xdx FkrFkrl kmlF 0(x