高數(shù)-第五章定積分有著廣泛用途

第四定積分的幾何應(yīng)第四Theapplicationofdefinite定積分有著廣泛的用途,本節(jié)介紹它在幾何,物理上的簡單應(yīng)用,培養(yǎng)用數(shù)學(xué)知識來先介紹建立定積分的一種適用的簡便法

元素法(微元1第四定積分的幾何應(yīng)第四Theapplicationofdefinite定積分的元素法（微元法）平面圖形的面積

注意介紹極坐空間的體積平面曲線的弧長小結(jié)思考題作2PAGEPAGE4一、定積分的元素法（微元法究竟哪些量可用定積分來計算呢.結(jié)合曲邊梯形面積的計算及定積分的定義可知,用定積分計算的量應(yīng)具有如兩個特點:所求量I即與[ab]有關(guān)I在[a,b]上具有可加性.(即把[a,b]分成許多部分區(qū)間,則I相應(yīng)地分成許多部分量,而I等于所有部分量之和)按定義建立積分式有四步曲“分割取近似求和取極限”得nbIf(x)dxlimnb

f(i

i有了N--L公式后,這個復(fù)雜的極限運算問題到了解決.對應(yīng)用問題來說關(guān)鍵就在于如何寫被積表達式fx)dx是所求I的微分dI

f(x)dx

Ii于是稱dI

fx)dxI的微元或方法簡化步PAGEPAGE5簡化步a,[x,

xdx]I(bb

f(x)dx,

I

f((2)

Ia

(這種簡化了的建立積分式的方法稱元素法或微元法PAGEPAGE7y

fx)、直

與x軸圍成 a,上任取一小區(qū) [x,

這個小區(qū)間上 素對應(yīng)的小曲邊梯形面積近 地等于長為f(x)、寬為dx f(小矩f(

y

(x)dAb

f(得A得

f(

xx

元素法使用的條PAGEPAGE8二、平面圖形的回b定積分回b

f(

的幾何意義ba,

(x)

則 f(xd的值y

f(x),曲邊梯形的面積 注下面曲線均假定是連續(xù)曲線注11.直角坐標(biāo)系中圖形的面

設(shè)在區(qū)間[a,b]上,曲線y

fx)位于曲ygx)的上,

f(x)

g(x),求這兩條曲及直

a,

b所圍成的區(qū)域的面積[a,b]

y

f(x)小區(qū)間xxdx它對的面積元素dA dAf(x)g(x)

xx bAa[f(x)g(b

yg(x)9由曲線x

f(y),x

g(y)(

f(y)

g(和直

c,

d所圍成的區(qū)域的面積[c,d] 小區(qū)間[

ydy它對

xy

g(y) 的面積元素dA

x

f(y)dA

(y)

g( A c

f(y)

g(1．計算由曲線

y2

2x和直線

x

4所方法y2

2y解方程y

x得兩曲線的交點

y為積分變量y[2dA

y4

222

A4

yxyxy2yxyxy2x為積分變量，則x2x面積元2x2x2x

(

x[0,2xdA22x

(

比較方法1和x[2,所求面 A2

2

以簡化計算一般情況下,由曲線圍成的有界區(qū)域,總可以分成若干塊上面討論過的那兩種區(qū)域只要分別算出每塊的面積再相加xx例

設(shè)fx)、gx)在[a,b]上連則曲y

x)、y

gx)與直

a

xb所圍成平面圖形面積b(B)ba|f(x)g(x)|b(B)ba|f(x)g(x)|bb(C)a[f(x)g(b

(D)

f(x)|

g(x) y

f(

yg(x)x2 例3.y

,y 1

與直x 3,x2xx 圍成的圖形面 xy解.兩曲線交點

y

2

12

1x2 1由于圖形關(guān)于y軸對稱,11A21

2

)

x2

2)01

13 3 定積分在幾何學(xué)上的例x例求橢圓a2解由對稱性,

A

ydx,

其中y

a2

x2不易積分a0a曲線的參數(shù)方程為

yacosbsin 作變量代換

xacost,

asin

時t0

;當(dāng)x2

A2

bsintd(a

t)

4ab0

一般地,當(dāng)曲線用參數(shù)方程表示時,都可以類似的變量代換法處理x(ty如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方y(tǒng)

(t在[t1,t2或[t2,t1上x(t)y

(t)

0,

(t)連續(xù)b曲邊梯形的面積Ab

t2(t)(t（其中t1

練習(xí)

ya(1costyO2ayO2a

)與x軸所圍圖形的面面積A

0

作變量代xa(tsintdx

a(1

tx0

x2a

2A0

ydx2a(10

cost)a(1

cost)dt3a極坐標(biāo)下平面圖形的極坐標(biāo)下平面圖形的面由極坐標(biāo)方程rr(

rr(rr(Ox,(所圍成的面積面積元

dA

2

曲邊扇形的面A

[r(

dA [r()]A [r()]22例4求雙紐線r

a2

所圍平面圖形的面積yyx解由對yyx=4倍第一象限部A41A40

a2 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)

A

1[r()]22例 求心形2

1cos圓盤

cos的公共部分的面 由對稱r

r1

r求交點

1 rr30

1 1A2 712

(1cos)2d33

2cos2d3例 計算由曲(x2

y2

a2(x2

y2所圍成的A12A122)]

y2

a2的外面部分的面2x2

y2

a2(x2

y2)是雙紐線方程極坐標(biāo)方程:r

a

交x2y2

1a2

6

,r2 2極坐標(biāo)方程:r 2由對稱A

16a2

1a2

3a2 320

611由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓 圓 圓定積定積分在幾何學(xué)上的

如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線y

f(x),直線

a,

bx軸所圍成的曲邊x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,體積為多少采用元素 采用元素

f(x)取積分變量為a,上任

x[a,

x [x,

dx取以dx為底小曲邊梯形x軸旋轉(zhuǎn)成的薄片的體積元VbVb[f(x)]2a

dV

[f(定定積分在幾何學(xué)上的dV[f(例dV[f(取積分變量為x,

xy

yx2dV

y2dx V

1x4dx 定積定積分在幾何學(xué)上的

如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線

(y),直線

c,

dy軸所圍成的曲邊梯形y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的,體積為多少體積元 dV

x(y)旋轉(zhuǎn)體的體VV(y)]2cxyaax 求星形線x23y23a23(a0)繞y軸旋轉(zhuǎn)yaax體積元dV[x(x23a23

y2

x2(a2x2(a23y23)3V20

x2dy

a(a23y23)3dy32a3定定積分在幾何學(xué)上的aV2a

x

利用參數(shù)方 a用換元xacos用換元y asin3y

yasin3t,

dy3a

ty0a

ya

2V2x2dy2

t3a

t

求星形線求星形線x23y23a23(a0)繞y軸旋轉(zhuǎn)定定積分在幾何學(xué)上的yRyRr2x2r2x2rrx yRyRr2x2r2x2rrxR(R

解取坐標(biāo)如圖所示.圓的方程x2(y

r

yR所求圓環(huán)體可看成是上半圓下的曲邊梯形和下半圓下的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周.兩個旋轉(zhuǎn)體的體積之差V

r(R

r2xrrr2xrr

)22r2r2x定定積分在幾何學(xué)上的rrrr

r2r2

x2x2

四分之一圓面

r4

求拋y

x2和y

x所圍成圖形y旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體 解兩曲線的交點為(0,0)

y y1繞y軸旋y1

yx2V

0

)2dy

1(y2)2 O0O10(y1

y4310平行截面面平行截面面積為已知的立體的體如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體,但卻知道該立A(x表示過點且垂直于x軸

那么,這個立x截面面積

x)

xx為x的已知連續(xù)函數(shù)采用元素立采用元素

dVA(bV

Vba例10 一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角,Vba的體積解取坐標(biāo)系如 底圓方

x2

y2R2 y yR2x2R2xx垂直R2x2R2xx底y

,h

tan截面面

A(x)

1(R2

x2)tan體積

R0

1(R22

x2)tandx

23

tan定積定積分在幾何學(xué)上的可否選擇y作積分變量 此時截面面積函數(shù)是什么如何用定積分表示體積

y (x,y)作一下垂直于y軸的截面是矩 截面長為2

寬為ytan截面面

A(y)R2yR2y2

V RA(0R 2 R2

y2tandy

23

tan例

yxRx取坐標(biāo)系如圖yxRxx2y2R2R2x2垂直于x軸的截R2x2R截面面R

hy體積

h

R2

x2dx

1R2haaa定積分在幾何學(xué)上的

2002年考研數(shù)學(xué)(三)7設(shè)D是由拋物線y

2x2和直線xax21y0所圍成的平面區(qū)域

D是由拋物線y2x2

0,

a所圍成的平面區(qū)域其中0a試求D1繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積試求D2繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積問當(dāng)a為何值時,V1+V2取得最大值?試求此最大值

2(2x2

)2dx

4(32a5

y2x2V2a2

2a20

ydy2

a41D1(2)V

V2

4(32a5) 5最大值

(0,2) 2V45

a)

a

(唯一駐點1.平面曲線弧長的概三、平面曲線的弧長（圓的周長與內(nèi)接正多邊形1.平面曲線弧長的概iMiM2MBM2MBA的兩個端點分

在弧AM0,M1,Mi,Mn1,Mn 并依次連接相鄰分點得一內(nèi)接折線,當(dāng)分點的數(shù)無限增加且每個小弧段都縮向一點時,此折線的n|i

Mi1Mi

|的極限存在,則稱此極限為曲線弧定理光滑曲線弧是可求長定理光滑曲線弧是可求長應(yīng)用定積分的元素法來計算光滑曲線弧設(shè)曲線弧為y

f(

y

(x)(axb),

f(x) 取積分變量為x,任取小區(qū)間x,

以對應(yīng)小切線段的長代替小弧段的 x xdxx(dx)2弧長元素（弧微分公式）ds

1y21y2bsb

1y2 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)

s

1y2例12懸鏈線方y(tǒng)

a(ex2

e

a)

achbab計算介于

b與

b之間一段弧長度解y

achxa11(

y

sha

1sh1shax2a

xab所求弧長xabbbs chbb

dx

ch

dx

2ash 33曲線弧

x(t

(ty y

(t其中(t),(t)[ab]具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)(dx)2(dx)2

2(t)2s

2(t)2(t)dt例 求星形

x23

y2

3(a

0)的全長星形線的參數(shù)方程為

acos3asin3

(0

對稱s對稱2(2(x)2(0

第一象限部分的ss2(t)20

3asintcostdt6a.例

證明正弦

(0

x

)的弧長等橢證設(shè)正弦線的弧長

(0txxcosy 1a2sinyasin

)的周長 y2dx

1a

cos2 1acos 設(shè)橢圓的周長為

橢圓的對稱s (x)2(y)2dt2

t)2

a2)(cost)2dt

1a2

tdt

1a2

xdx44極坐標(biāo)情曲線弧為r

r(

(

其中r(

[上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)

rr

xyy

)sin

(

(dx)2(dx)2s

r2()

r2

)d

r2(ssr2()r2(14求極坐標(biāo)系下曲線

asin

的長33(a

(0

2 2

2

3asin 3

cos

asin 3

cos3s

r2()

r26

a2sin 32

a2sin 3

cos 3a3sin

d

3a. 3 定定積分在幾何學(xué)上的例15求螺線r

(a

0)上相應(yīng)于從0到

的弧長解 ra,s

r2()

r2

11

2112

ln(2

四、小分平面圖形的方法有分豎條,分橫條,分成扇形,分成圓環(huán)旋轉(zhuǎn)體的

x軸旋轉(zhuǎn)一y軸旋轉(zhuǎn)一平行截面面積為已知的的體平面曲線弧長的直角坐標(biāo)系求弧長的

參數(shù)方程情形極坐標(biāo)系思考題從拋物線y

x21上的點P引拋物線y

切線

y

x2P點位置無關(guān)

yx2

(x2

y2)分別表

yx2

Px0

y0)向拋物yx2引出的兩條切線的切點

Q2(x2,y2y

在點Qx

的切線方程 2

P(x0,y0y12x1(x

即y

2x(xxx2x20

1,

x0定定積分在幾何學(xué)上的于是切線PQ1,PQ2的方程分別y2(y2(

1)x

((

yx2

x2Q1(x1,y1由yx2PQ及

所圍圖形 面積

Q2(

,y2A

[

2(

(

P(

0,y00x0 x01[

2(

(

2

A與

無關(guān)A與點Px

)位置無關(guān)yyy12x1(xx1),x1x01,x1x0 思考題A由x2

y2

2x與y

x求圖形A繞直線體積

2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體xxx(y)1111y2解dV

1r1

r

y 2r2(2x)2dy

V

10

dy

0(1

y)dy 定積定積分在幾何學(xué)上的思考題閉區(qū)間[ab]上的連y=f(x)是否解不一定僅僅有曲線連續(xù)還不夠必須保證曲線光滑才可求長定積定積分在幾何學(xué)上的xx 設(shè)fx)、gx)在[a,b]上連則曲y

x)、y

gx)與直

a

xb所圍成平面圖形面積(B)(B)ba|f(x)g(x)|b(A)a[f(x)g(bb(C)a[f(x)g(b

(D)

f(x)|

g(x) y

f(

yg(x)畫草圖兩曲線的交

ycosyyy

sincos

(4

),(5 22 22

42A

xcos

dx

4(cos

ysin 4422

x

x)dx

5(cos4

定定積分在幾何學(xué)上的例求心形線

a(1

所圍平面圖形的AA2[r()]2面積(a0).

ra(1cos解利用對稱性A2

1a2

cos)2d2a20

a2

3a2定積定積分在幾何學(xué)上的求曲y

x在區(qū)使得該切線與所圍成的面積最小

6

答

y4

x1

ln(ab

0)之間圖形面積答案ax2 y2 x2 y2求界于二橢圓a2

b2

a2

b之間圖形面積對稱 所求面積A為在第一象對稱由直線yxx軸及橢

x2 y2 b2 a2

2 y22所圍圖形面積的8倍

y

a2 將橢

x2y2b2 a2

1化為極坐標(biāo)方程 將xr

代入橢圓

y

a2 22y 22y

b2 a2 a2b2

12 a22

cos2

sin2

A8 222

(θ)dθ定積分應(yīng)用定積分應(yīng)用A8

a2b2r2a2cos2a2b2r2a2cos2b2sin2120 4a2b2 0

a2cos2

sin2θπ4b24

0cos2θ(12 2

btan2θ)a2b4ab01

btan2

tanθ)a2a224abarctan(ba例求擺

x

sint),

a(1

t的一與y=0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)體的體積 解x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體

0

(

變量代

a(

sint22 a

cost)2a(1

cost0a 0

t

2a3y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積分別y軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體的體積之差

擺線擺線ya(1costxa(tsintx

B(

xx2(y)A

1

y

x2(

0(O)

( a2(t

sint)2asintdt

2a20

sint)2a令令ut (t2sin0

2tsin2

t)

a3AA122)]利用對稱性

y6A4146

4

12cos10 632 33sba1y2sba1y2x例計算曲線y 0

sin

的弧長(0

xn y

1 sinnsinnsinn

xdx

1sin dx 1sin t2

t2

sin2cos2

nsintcostdt

0 2第五節(jié)定積分在物理學(xué)上的應(yīng)變力沿直線所作的功水壓力引力小結(jié)思考題作業(yè)一、變力沿直線所作的動了距離s,那么就說力對這一物體作了功,且所作

WF如果計算功時力或距離是變化的則需要在某一變量的小區(qū)間上求出功元素,然后求定設(shè)物體在變力F(x)作用下沿x

xa移動x

(a

b),力的方向與運動方向平求變力做的功在[a,b]上任取小區(qū)間x,功元

dx],在其上所作dW

F(x)dx

x b因此變力F(x)在區(qū)間[a,b]上所作的功bW F(x)dxa例在一個帶+q電荷所產(chǎn)生的電場作用下,一個單位正電荷沿直線從距離點電荷a處移動b(ab,求電場力所作的

庫侖定解當(dāng)單位正電荷距離原點

電場力為Fkr取r為積分變量 r[ab取任一小區(qū)間

rdr [r,

功元

dW

kqdr,rb

1b

1所求功W

dr2a2

r

.abab說a電場說a

r

處的電位

kqdrk r 例一長為28m,質(zhì)量為20kg的均勻鏈條被懸于筑物頂部(如圖),問需要作多大的功才能xxyxxyx鏈條

2028

5(kg7

m).

頂部

dx,功元dW功元

5g7

285gxdx

2744(J

J是焦耳 例3米,高為5存滿水,要把桶內(nèi)的水全部吸出,求所作的功解建立坐標(biāo)系

1000

x米3 xx5設(shè)想水分層x5任取小區(qū)間x,

dx],與之對x的水層

把它提到桶口所近似地等功元功元

(g32dx)x

g

5g0

x離桶邊1米處x

到桶口距o x法 x

dW xW 5x5

xoy法 dWxoy

(

x x x

二、水壓 當(dāng)壓強為常數(shù)時,壓力=壓強×面積,當(dāng)物體表面位于液體中時,不同深度所受的不同的,故往往需要用定積分計算液體對表的側(cè)壓力

因而采用“元素法”思想桶內(nèi)盛滿水例一個橫放著的圓柱形水桶,桶內(nèi)盛有半桶水設(shè)桶的底半徑為R,水的 解在端面建立坐標(biāo)系.如圖取x為積分變量x[0

,計算桶的一端取任一小區(qū)間[

xo小矩形片上各處的壓 近似相

p

xxRx小矩形片的面積為

R2

x2dx小矩形片的壓力元素為

x

R2

x2dx端面上所受的壓力

R20

x2dx3

R3例設(shè)某水渠的與水面垂直,水渠的橫截是等腰梯形.2米,6米,10米當(dāng)水灌 在水下兩米解建立坐標(biāo)系

C(0,3)

y5

x

xxdP

2x

x3dx

P210x1x3dx

1633( 三、引質(zhì)量分別為M二者間的

的質(zhì)點,相距大小

kM r方向沿兩質(zhì)點的連 M且各點對該點的引力方向也是變化的,故不采用“元素法”想用上述公式計算.則采用“元素法”想 有一長度為l,線密度為

的均勻細棒,在l2yoyyraM(mx2中垂線上距棒a單位處有一質(zhì)量為m的l2yoyyraM(mx2建立坐標(biāo)系取y為積分變量

y

l,l取任一小區(qū)間[

y

小段的質(zhì)量為dy,a2y2小段與質(zhì)點a2y2dFkdFka2y2

cosaa2cosaa2y2Fkr 水平方向的分力

(m l33

dFcos()

k ,1a2y21

(a2y2)2l 2

2

2(a2y22

a(4a2l2)2對稱引力在鉛直方向分力為對稱

FFkr例 桿一的 是否可建立其它坐標(biāo)系

該端距離為a.計算細桿對質(zhì)點的引

al

建立坐標(biāo)系

l[0l][x,

xdx],長為dx的細桿引力元可近似地看成質(zhì),其質(zhì)量dx它與引力元引力近似地等于

dF

m(alx)2F l

kml0(alx)2

a(al例為a.例為a.有桿一該端距離

x .mdF

m

xdx FkrFkrl kmlF 0(x