微分方程及其應(yīng)用課件

微分方程及其應(yīng)用微分方程及其應(yīng)用微分方程及其應(yīng)用第一節(jié)微分方程的基本概念微分方程及其應(yīng)用微分方程及其應(yīng)用微分方程及其應(yīng)用第一節(jié)微分1一、引例二、微分方程的基本概念

第一節(jié)微分方程的基本概念一、引例二、微分方程的基本概念第一節(jié)微分方程的基本概念

例1

一曲線通過點(1,2)，且在該曲線上任一點M(x,y)處的切線的斜率為2x，求這曲線的方程．

解設(shè)所求曲線的方程為yy(x)．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知此外，未知函數(shù)yy(x)還應(yīng)滿足下列條件：

x1時，y2，一.引例例1一曲線通過點(1,2)，且在該曲線上把條件“x1時，y2”代入上式，得212C，由此定出C1．把C1代入上式，得所求曲線方程：

yx21．把(1)式兩端積分，得其中C是任意常數(shù)．把條件“x1時，y2”代入上式，得21

例2

列車在平直線路上以20m/s(相當于72km/h)的速度行駛；當制動時列車獲得加速成度0．4m/s2．問開始制動后多少時間列車才能停住，以及列車在這段時間行駛了多少路程?解設(shè)列車在開始制動后t秒時行駛了s米．根據(jù)題意此外，未知函數(shù)ss(t)還應(yīng)滿足下列條件：把(4)式兩端積分一次，得例2列車在平直線路上以20m/s(相當于72km/h)這里C1，C2都是任意常數(shù)．再積分一次，得把條件“t=0時，v20代入(6)得20C1；

把條件“t=0時，s0代入(7)得0C2．這里C1，C2都是任意常數(shù)．再積分一次，得把把C1，C2的值代入(6)及(7)式得v0．4t

20，(8)s0．2t220t．(9)在(8)式中令v0，得到列車從開始制動到完全停住所需的時間再把t50代入(9)，得到列車在制動階段行駛的路程s0．25022050500(m)．把C1，C2的值代入(6)及(7)式得v0．4t微分方程：

表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，叫微分方程．例如常微分方程與偏微分方程：未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，叫常微分方程．未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程，叫偏微分方程．x3yx2y4xy3x2，

y(4)4y10y12y5ysin2x，

y(n)10，3階微分方程4階微分方程n階微分方程

例1

例2

二.微分方程的概念微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，叫微分方程的階．微分方程的階：一般n階微分方程：F(x，y，y，···，y(n))0．y(n)f(x，y，y，···，y(n-1))．微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，叫微分

如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解．微分方程的通解：

例1

例2

設(shè)函數(shù)yj(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果在區(qū)間I上，F(xiàn)[x，j(x)，j(x)

，…，j(n)(x)]0，那么函數(shù)yj(x)就叫做微分方程F(x，y，y，…，y(n))0在區(qū)間I上的解．微分方程的解：如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的

確定了通解中的任意常數(shù)以后，就得到微分方程的特解．即不含任意常數(shù)的解稱為微分方程的特解．特解：

例1

例2

xx0時，yy0，yy0．一般寫成用于確定通解中任意常數(shù)的條件，稱為初始條件．如初始條件：確定了通解中的任意常數(shù)以后，就得到微分方程的求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題．初值問題：記為微分方程的解的圖形是一條曲線，叫做微分方程的積分曲線．積分曲線：求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題．初值問題：記為的解．解求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：例3

驗證：函數(shù)x=C1coskt+C2sinkt是微分方程的解．解求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：例3驗證：這表明所給函數(shù)滿足所給方程，因此所給函數(shù)是所給方程的解．k2(C1cosktC2sinkt)k2(C1cosktC2sinkt)0．這表明所給函數(shù)滿足所給方程，因此所給函數(shù)是所

例4

已知函數(shù)xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程的通解，求滿足初始條件x|t=0A，x|t=00的特解．例4已知函數(shù)xC1cosktC2

解由條件x|t=0A及xC1cosktC2sinkt，得C1A．再由條件x|t=00，及x

(t)k

C1sinktkC2coskt，得C20．把C1、C2的值代入xC1cosktC2sinkt中，得xAcoskt．解由條件x|t=0A及xC1小結(jié)與思考概括的說，只要含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程就是微分方程。對于微分方程及其基本概念我們今后經(jīng)常用到，大家要理解和熟悉它們。這些概念是微分方程的定義和微分方程的解，微分方程的通解和特解，尤其是搞清楚通解的定義，理解什么是“獨立的任意常數(shù)”。

小結(jié)與思考概括的說，只要含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方一可分離變量的微分方程齊次微分方程小結(jié)與思考第二節(jié)可分離變量的微分方程及齊次微分方程

一可分離變量的微分方程第二節(jié)可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程

——可分離變量的微分方程.解法為微分方程的（隱式）通解。若一階微分方程可寫成變量分離的形式分離變量法一、可分離變量的微分方程——可分離變量的微分方程.解例1

求解可分離變量為兩端積分通解,非全部解通解,全部解例1求解可分離變量為兩端積分通解,非全部解通解,全部積分，得例2解所求通解積分，得例2解所求通解建立微分方程的方法：1、直接法：直接由幾何條件或物理定律列出（因變量與自變量）的微分方程。2、間接法：借助中間變量間接地建立因變量與自變量的聯(lián)系，列出微分方程。建立微分方程的方法：1、直接法：解衰變規(guī)律直接法衰變速度根據(jù)題意,得解衰變規(guī)律直接法衰變速度根據(jù)題意,得二、齊次方程形如的方程叫做齊次方程.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分離變量:

二、齊次方程形如的方程叫做齊次方程.令代入原方程得兩邊積分例1

解微分方程解:代入原方程得分離變量兩邊積分得故原方程的通解為(當C=0時,y=0也是方程的解)(C為任意常數(shù))例1解微分方程解:代入原方程得分離變量兩邊積分得故原方程的例2

解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說明:

顯然

x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在求解過程中丟失了.

(C為任意常數(shù))例2解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說可得OMA=OAM=例3.在制造探照燈反射鏡面時,解:

設(shè)光源在坐標原點,則反射鏡面由曲線

繞

x軸旋轉(zhuǎn)而成.過曲線上任意點M(x,y)作切線MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x

軸平行于光線反射方向,從而

AO=OM要求點光源的光線反射出去有良好的方向性,試求反射鏡面的形狀.而AO

于是得微分方程:可得OMA=OAM=例3.利用曲線的對稱性,不妨設(shè)

y>0,積分得故有得

(拋物線)故反射鏡面為旋轉(zhuǎn)拋物面.于是方程化為(齊次方程)

利用曲線的對稱性,不妨設(shè)y>0,積分得故有得(拋頂?shù)降椎木嚯x為h,說明:則將這時旋轉(zhuǎn)曲面方程為若已知反射鏡面的底面直徑為d,代入通解表達式得頂?shù)降椎木嚯x為h,說明:則將這時旋轉(zhuǎn)曲面方程為若已知反射小結(jié)與思考可分離變量的微分方程和齊次微分方程是較簡單的微分方程?？煞蛛x變量的微分方程是一階線性微分方程的特殊形式，而齊次方程又可以轉(zhuǎn)化為可分離變量的微分方程來解。

小結(jié)與思考可分離變量的微分方程和齊次微分方程是較一一階線性微分方程的概念一階線性微分方程的解法

第三節(jié)一階線性微分方程

一一階線性微分方程的概念第三節(jié)一階線性微分方程一階線性微分方程的標準形式:上述方程稱為一階線性齊次方程上述方程稱為一階線性非齊次方程一、一階線性方程的概念例如線性的非線性的一階線性微分方程的標準形式:上述方程稱為一階線性齊次方程上述齊次方程的通解為1.線性齊次方程二一階線性微分方程的解法(使用分離變量法)齊次方程的通解為1.線性齊次方程二一階線性微分方程的解法微分方程及其應(yīng)用課件2.線性非齊次方程討論:

設(shè)y=f(x)是解,則積分非齊方程通解形式2.線性非齊次方程討論:設(shè)y=f(x)是解,則積分非齊常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.設(shè)解為積分得非齊方程通解常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.設(shè)解為一階線性非齊次微分方程的通解為:對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解對應(yīng)齊次方程通解與非齊次方程特解之和。一階線性非齊次微分方程的通解為:對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解:例2解:例2微分方程及其應(yīng)用課件例4如圖所示，平行與軸的動直線被曲線與截下的線段PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積,求曲線.兩邊求導(dǎo)得解:解此微分方程例4如圖所示，平行與軸的動直線被曲所求曲線為所求曲線為二階線性微分方程二階常系數(shù)線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法求二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解的步驟

第四節(jié)二階常系數(shù)線性齊次微分方程

二階線性微分方程第四節(jié)二階常系數(shù)線性齊次的方程，稱為二階線性微分方程.當時，方程(1)成為稱為二階線性齊次微分方程，當時，方程(1)稱為二階線性非齊次微分方程./形如一二階線性微分方程

的方程，稱為二階線性微分方程.稱為二階線性齊次微當系數(shù)P(x)、Q(x)分別為常數(shù)p、q時，則稱方程為二階常系數(shù)線性齊次微分方程，稱方程為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程.當系數(shù)P(x)、Q(x)分別為常數(shù)p、q時，則稱方程為二階常定理1

設(shè)y1(x)，y2(x)是二階常系數(shù)線性齊次微分方程(3)的兩個解，則也是方程(3)的解，其中C1,C2是任意常數(shù).二二階常系數(shù)線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)

證定理1設(shè)y1(x)，y2(x)是二階常系數(shù)線性齊次微分方程及其應(yīng)用課件這個定理表明，二階線性齊次微分方程任何兩個解y1(x)，y2(x)的線性組合仍是方程的解.那么，是不是方程(3)的通解呢？這個定理表明，二階線性齊次微分方程任何兩個解y1(x)例1

對于二階常系數(shù)線性齊次微分方程也是它的解.但這個解中只含有一個任意常數(shù)C，顯然它不是所給方程的通解.容易驗證：都是它的解.由定理1知例1對于二階常系數(shù)線性齊次微分方程也是它的解.但這個解中問題：方程(3)的兩個特解y1(x)，y2(x)滿足什么條件時，才是方程(3)的通解？由例1分析可知，如果方程(3)的兩個特解y1(x)，y2(x)之間不是常數(shù)倍的關(guān)系，那么它們線性組合得到的解就必定是方程(3)的通解.問題：方程(3)的兩個特解y1(x)，y2(x)滿足什么定義

設(shè)y1(x)與y2(x)是定義在某區(qū)間內(nèi)的兩個函數(shù)，如果存在不為零的常數(shù)k(或存在不全為零的常數(shù)k1,k2)，使得對于該區(qū)間內(nèi)的一切x，有成立，則稱函數(shù)y1(x)與y2(x)在該區(qū)間內(nèi)線性相關(guān)，否則稱y1(x)與y2(x)線性無關(guān).

例如，例1中是線性相關(guān)的，是線性無關(guān)的.定義設(shè)y1(x)與y2(x)是定義在某區(qū)間內(nèi)的兩個函定理2如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是二階常系數(shù)線性齊次微分方程(3)的兩個線性無關(guān)的特解，則就是方程(3)的通解.定理2如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是二階常系數(shù)線例2所給方程為二階常系數(shù)線性齊次微分方程解例2所給方程為二階常系數(shù)線性齊次微分方程解微分方程及其應(yīng)用課件三求二階常系數(shù)齊次線性微分方程(3)的通解步驟：1.寫出特征方程，并求出特征方程的兩個根；2.根據(jù)兩個特征根的不同情況，按照公式(6)、(7)或(8)寫出微分方程的通解.可使用下表:兩個不相等的實根特征方程:微分方程:兩個相等的實根一對共軛復(fù)根的兩個根r1,r2的通解三求二階常系數(shù)齊次線性微分方程(3)的通解步驟：1.寫出特例3

求微分方程

解:其特征方程為即(r+1)(r–3)=0,例3求微分方程解:其特征方程為即(r+例4解:例4解:微分方程及其應(yīng)用課件例5解:例5解:小結(jié)與思考通過這節(jié)課的學(xué)習，我們認識了二階常系數(shù)線性齊次微分方程，并且會求這類方程的通解和特解了。我們看到，求解二階常系數(shù)線性齊次方程不必積分，只要用代數(shù)方程求出特征方程的根就可以寫出微分方程的通解了。而只需要將初值條件代入方程，就可得到特解。

小結(jié)與思考通過這節(jié)課的學(xué)習，我們認識了二階常系數(shù)線性一、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程解的性質(zhì)與通解的結(jié)構(gòu)二、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解

第五節(jié)二階常系數(shù)線性非齊次微分方程

一、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程第五節(jié)二階常系數(shù)線性二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見類型難點：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.自由項為一、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程

解的性質(zhì)與通解的結(jié)構(gòu)二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見類型難點：如設(shè)非齊方程特解為代入原方程1.型設(shè)非齊方程特解為代入原方程1.型綜上討論注意:上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.綜上討論注意:上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（特別地特別地例1解:特征方程特征根對應(yīng)齊次方程通解代入方程,得原方程通解為例1解:特征方程特征根對應(yīng)齊次方程通解代入方程,得原方程通求通解解:特征方程特征根齊次通解即代入（*）式非齊通解為例2

求通解解:特征方程特征根齊次通解即代入（*）式非齊通解為例2分別是的實部和虛部可設(shè)輔助方程分別是的實部和由分解定理分別是以

為自由項的非齊次線性微分方程的特解由分解定理分別是以注意:上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程例3解:對應(yīng)齊方通解作輔助方程代入上式所求非齊方程特解為（取虛部）原方程通解為這種方法稱為復(fù)數(shù)法注意:上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程例3解:對例4解:對應(yīng)次齊方程通解作輔助方程代入輔助方程例4解:對應(yīng)次齊方程通解作輔助方程代入輔助方程所求非齊方程特解為（取實部）原方程通解為注意:所求非齊方程特解為（取實部）原方程通解為注意:例5解:對應(yīng)齊方程通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解原方程通解為例5解:對應(yīng)齊方程通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解原方程通解為例6

求通解解:相應(yīng)齊次方程特征方程齊次方程通解先求

的特解設(shè)代入方程再求的特解例6求通解解:相應(yīng)齊次方程特征方程齊次方程通解先求考慮輔助方程可設(shè)代入方程得取實部得原方程的特解所求通解為考慮輔助方程可設(shè)代入方程得取實部得原方程的特解所求通解為例7設(shè)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)且滿足求u的表達式解:記

則例7設(shè)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)且滿足求u的表達式解:記同理這是一個二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解得同理這是一個二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解得一鏈條懸掛在一釘子上，起動時一端離釘子8米，另一端離釘子12米，若不計摩擦力，求此鏈條滑過釘子所需的時間下段重為解:設(shè)時刻t鏈條下落了x米另設(shè)鏈條單位長重為則上段重為由Newton第二定律例8

一鏈條懸掛在一釘子上，起動時一端離釘子8米，另一端離特征方程特征根齊次通解特解故代入初始條件解得特征方程特征根齊次通解特解故代入初始條件解得小結(jié)(待定系數(shù)法)只含上式一項解法：作輔助方程,求特解,取特解的實部或虛部,得原非齊次方程特解.小結(jié)(待定系數(shù)法)只含上式一項解法：作輔助方程,求特解,取小結(jié)與思考

這節(jié)課我們認識了二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，學(xué)習了這類方程的解的性質(zhì)和通解的結(jié)構(gòu)，并且討論了當自由項為多項式、多項式乘以指數(shù)函數(shù)或為三角函數(shù)時特解的解法。主要解題方法還是結(jié)合了特征方程和特征根的情形。大家要把握住方程的特解與自由項具有相同的結(jié)構(gòu)這一原則。

小結(jié)與思考這節(jié)課我們認識了二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，學(xué)一、用微分方程解決實際問題的一般步驟二、應(yīng)用實例

第六節(jié)微分方程的應(yīng)用

一、用微分方程解決實際問題的一般步驟第六節(jié)(1)分析問題，設(shè)所求未知函數(shù)，建立微分方程，確定初始條件；

(2)求出微分方程的通解；

(3)根據(jù)初始條件確定通解中的任意常數(shù)，求出微分方程相應(yīng)的特解．本節(jié)將通過一些實例說明微分方程的應(yīng)用．

一、用微分方程解決實際問題的一般步驟(1)分析問題，設(shè)所求未知函數(shù)，建立微分方程，確定初例1

設(shè)曲線上任一點的切線在第一象限內(nèi)的線段恰好被切點所平分，已知該曲線通過點(2,3)，求該曲線的方程．

解:

由題意，它是切線在第一象限內(nèi)部分的中點，設(shè)

M(x,y)是曲線上任意一點，

則切線與y軸的交點坐標是(0,2y)，

與x軸的交點是(2x,0)，若設(shè)曲線方程為則得微分方程例1設(shè)曲線上任一點的切線在第一象限分離變量，解得分離變量，解得曲線過點（2，3）

因此，所求曲線的方程為分離變量，解得分離變量，解得曲線過點（2，3）因此，例2

一質(zhì)量為m的物體，在傾斜角為的斜面上由靜止開始下滑。摩擦力為，其中為運動速度,物體對斜面的正壓力,為常數(shù)，求速度隨時間的變化規(guī)律。

解：

利用牛頓第二定律：設(shè)

則

沿斜面向下的力為：例2一質(zhì)量為m的物體，在傾斜角為的斜面上由靜止開始下滑。摩微分方程及其應(yīng)用課件例3在商品銷售預(yù)測中，時刻的銷售量為，若商品銷售的增長速度與銷售量和銷售接近飽和程度之積成正比，求銷售函數(shù)。

解：

由題意，例3在商品銷售預(yù)測中，時刻的銷售量為，若商解微分方程及其應(yīng)用課件小結(jié)與思考建立起實際問題的數(shù)學(xué)模型一般是比較困難的，因為這需要對于問題有關(guān)的自然規(guī)律有一個清晰的了解，同時也需要有一定的數(shù)學(xué)知識。為了要建立起實際問題的數(shù)學(xué)模型，同學(xué)們一定要學(xué)習有關(guān)的自然科學(xué)和工程技術(shù)的專業(yè)知識。微分方程往往可以看作是各種不同物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，我們在建立微分方程的時候，只能考慮影響這個物理現(xiàn)象的一些主要因素，而把其他一些次要因素忽略掉，如果的確考慮到了那些最主要的因素，那么，我們所得到的微分方程及它的解和所考慮的物理現(xiàn)象就是比較接近的，這時，我們得到的數(shù)學(xué)模型是有用的；否則，我們還應(yīng)該考慮其他的一些因素，以便建立起更為合理的數(shù)學(xué)模型。

小結(jié)與思考建立起實際問題的數(shù)學(xué)模型一般是比較困難的，因為這需謝謝觀賞謝謝觀賞90微分方程及其應(yīng)用微分方程及其應(yīng)用微分方程及其應(yīng)用第一節(jié)微分方程的基本概念微分方程及其應(yīng)用微分方程及其應(yīng)用微分方程及其應(yīng)用第一節(jié)微分91一、引例二、微分方程的基本概念

第一節(jié)微分方程的基本概念一、引例二、微分方程的基本概念第一節(jié)微分方程的基本概念

例1

一曲線通過點(1,2)，且在該曲線上任一點M(x,y)處的切線的斜率為2x，求這曲線的方程．

解設(shè)所求曲線的方程為yy(x)．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知此外，未知函數(shù)yy(x)還應(yīng)滿足下列條件：

x1時，y2，一.引例例1一曲線通過點(1,2)，且在該曲線上把條件“x1時，y2”代入上式，得212C，由此定出C1．把C1代入上式，得所求曲線方程：

yx21．把(1)式兩端積分，得其中C是任意常數(shù)．把條件“x1時，y2”代入上式，得21

例2

列車在平直線路上以20m/s(相當于72km/h)的速度行駛；當制動時列車獲得加速成度0．4m/s2．問開始制動后多少時間列車才能停住，以及列車在這段時間行駛了多少路程?解設(shè)列車在開始制動后t秒時行駛了s米．根據(jù)題意此外，未知函數(shù)ss(t)還應(yīng)滿足下列條件：把(4)式兩端積分一次，得例2列車在平直線路上以20m/s(相當于72km/h)這里C1，C2都是任意常數(shù)．再積分一次，得把條件“t=0時，v20代入(6)得20C1；

把條件“t=0時，s0代入(7)得0C2．這里C1，C2都是任意常數(shù)．再積分一次，得把把C1，C2的值代入(6)及(7)式得v0．4t

20，(8)s0．2t220t．(9)在(8)式中令v0，得到列車從開始制動到完全停住所需的時間再把t50代入(9)，得到列車在制動階段行駛的路程s0．25022050500(m)．把C1，C2的值代入(6)及(7)式得v0．4t微分方程：

表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，叫微分方程．例如常微分方程與偏微分方程：未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，叫常微分方程．未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程，叫偏微分方程．x3yx2y4xy3x2，

y(4)4y10y12y5ysin2x，

y(n)10，3階微分方程4階微分方程n階微分方程

例1

例2

二.微分方程的概念微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，叫微分方程的階．微分方程的階：一般n階微分方程：F(x，y，y，···，y(n))0．y(n)f(x，y，y，···，y(n-1))．微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，叫微分

如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解．微分方程的通解：

例1

例2

設(shè)函數(shù)yj(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果在區(qū)間I上，F(xiàn)[x，j(x)，j(x)

，…，j(n)(x)]0，那么函數(shù)yj(x)就叫做微分方程F(x，y，y，…，y(n))0在區(qū)間I上的解．微分方程的解：如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的

確定了通解中的任意常數(shù)以后，就得到微分方程的特解．即不含任意常數(shù)的解稱為微分方程的特解．特解：

例1

例2

xx0時，yy0，yy0．一般寫成用于確定通解中任意常數(shù)的條件，稱為初始條件．如初始條件：確定了通解中的任意常數(shù)以后，就得到微分方程的求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題．初值問題：記為微分方程的解的圖形是一條曲線，叫做微分方程的積分曲線．積分曲線：求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題．初值問題：記為的解．解求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：例3

驗證：函數(shù)x=C1coskt+C2sinkt是微分方程的解．解求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：例3驗證：這表明所給函數(shù)滿足所給方程，因此所給函數(shù)是所給方程的解．k2(C1cosktC2sinkt)k2(C1cosktC2sinkt)0．這表明所給函數(shù)滿足所給方程，因此所給函數(shù)是所

例4

已知函數(shù)xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程的通解，求滿足初始條件x|t=0A，x|t=00的特解．例4已知函數(shù)xC1cosktC2

解由條件x|t=0A及xC1cosktC2sinkt，得C1A．再由條件x|t=00，及x

(t)k

C1sinktkC2coskt，得C20．把C1、C2的值代入xC1cosktC2sinkt中，得xAcoskt．解由條件x|t=0A及xC1小結(jié)與思考概括的說，只要含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程就是微分方程。對于微分方程及其基本概念我們今后經(jīng)常用到，大家要理解和熟悉它們。這些概念是微分方程的定義和微分方程的解，微分方程的通解和特解，尤其是搞清楚通解的定義，理解什么是“獨立的任意常數(shù)”。

小結(jié)與思考概括的說，只要含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方一可分離變量的微分方程齊次微分方程小結(jié)與思考第二節(jié)可分離變量的微分方程及齊次微分方程

一可分離變量的微分方程第二節(jié)可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程

——可分離變量的微分方程.解法為微分方程的（隱式）通解。若一階微分方程可寫成變量分離的形式分離變量法一、可分離變量的微分方程——可分離變量的微分方程.解例1

求解可分離變量為兩端積分通解,非全部解通解,全部解例1求解可分離變量為兩端積分通解,非全部解通解,全部積分，得例2解所求通解積分，得例2解所求通解建立微分方程的方法：1、直接法：直接由幾何條件或物理定律列出（因變量與自變量）的微分方程。2、間接法：借助中間變量間接地建立因變量與自變量的聯(lián)系，列出微分方程。建立微分方程的方法：1、直接法：解衰變規(guī)律直接法衰變速度根據(jù)題意,得解衰變規(guī)律直接法衰變速度根據(jù)題意,得二、齊次方程形如的方程叫做齊次方程.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分離變量:

二、齊次方程形如的方程叫做齊次方程.令代入原方程得兩邊積分例1

解微分方程解:代入原方程得分離變量兩邊積分得故原方程的通解為(當C=0時,y=0也是方程的解)(C為任意常數(shù))例1解微分方程解:代入原方程得分離變量兩邊積分得故原方程的例2

解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說明:

顯然

x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在求解過程中丟失了.

(C為任意常數(shù))例2解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說可得OMA=OAM=例3.在制造探照燈反射鏡面時,解:

設(shè)光源在坐標原點,則反射鏡面由曲線

繞

x軸旋轉(zhuǎn)而成.過曲線上任意點M(x,y)作切線MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x

軸平行于光線反射方向,從而

AO=OM要求點光源的光線反射出去有良好的方向性,試求反射鏡面的形狀.而AO

于是得微分方程:可得OMA=OAM=例3.利用曲線的對稱性,不妨設(shè)

y>0,積分得故有得

(拋物線)故反射鏡面為旋轉(zhuǎn)拋物面.于是方程化為(齊次方程)

利用曲線的對稱性,不妨設(shè)y>0,積分得故有得(拋頂?shù)降椎木嚯x為h,說明:則將這時旋轉(zhuǎn)曲面方程為若已知反射鏡面的底面直徑為d,代入通解表達式得頂?shù)降椎木嚯x為h,說明:則將這時旋轉(zhuǎn)曲面方程為若已知反射小結(jié)與思考可分離變量的微分方程和齊次微分方程是較簡單的微分方程。可分離變量的微分方程是一階線性微分方程的特殊形式，而齊次方程又可以轉(zhuǎn)化為可分離變量的微分方程來解。

小結(jié)與思考可分離變量的微分方程和齊次微分方程是較一一階線性微分方程的概念一階線性微分方程的解法

第三節(jié)一階線性微分方程

一一階線性微分方程的概念第三節(jié)一階線性微分方程一階線性微分方程的標準形式:上述方程稱為一階線性齊次方程上述方程稱為一階線性非齊次方程一、一階線性方程的概念例如線性的非線性的一階線性微分方程的標準形式:上述方程稱為一階線性齊次方程上述齊次方程的通解為1.線性齊次方程二一階線性微分方程的解法(使用分離變量法)齊次方程的通解為1.線性齊次方程二一階線性微分方程的解法微分方程及其應(yīng)用課件2.線性非齊次方程討論:

設(shè)y=f(x)是解,則積分非齊方程通解形式2.線性非齊次方程討論:設(shè)y=f(x)是解,則積分非齊常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.設(shè)解為積分得非齊方程通解常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.設(shè)解為一階線性非齊次微分方程的通解為:對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解對應(yīng)齊次方程通解與非齊次方程特解之和。一階線性非齊次微分方程的通解為:對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解:例2解:例2微分方程及其應(yīng)用課件例4如圖所示，平行與軸的動直線被曲線與截下的線段PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積,求曲線.兩邊求導(dǎo)得解:解此微分方程例4如圖所示，平行與軸的動直線被曲所求曲線為所求曲線為二階線性微分方程二階常系數(shù)線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法求二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解的步驟

第四節(jié)二階常系數(shù)線性齊次微分方程

二階線性微分方程第四節(jié)二階常系數(shù)線性齊次的方程，稱為二階線性微分方程.當時，方程(1)成為稱為二階線性齊次微分方程，當時，方程(1)稱為二階線性非齊次微分方程./形如一二階線性微分方程

的方程，稱為二階線性微分方程.稱為二階線性齊次微當系數(shù)P(x)、Q(x)分別為常數(shù)p、q時，則稱方程為二階常系數(shù)線性齊次微分方程，稱方程為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程.當系數(shù)P(x)、Q(x)分別為常數(shù)p、q時，則稱方程為二階常定理1

設(shè)y1(x)，y2(x)是二階常系數(shù)線性齊次微分方程(3)的兩個解，則也是方程(3)的解，其中C1,C2是任意常數(shù).二二階常系數(shù)線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)

證定理1設(shè)y1(x)，y2(x)是二階常系數(shù)線性齊次微分方程及其應(yīng)用課件這個定理表明，二階線性齊次微分方程任何兩個解y1(x)，y2(x)的線性組合仍是方程的解.那么，是不是方程(3)的通解呢？這個定理表明，二階線性齊次微分方程任何兩個解y1(x)例1

對于二階常系數(shù)線性齊次微分方程也是它的解.但這個解中只含有一個任意常數(shù)C，顯然它不是所給方程的通解.容易驗證：都是它的解.由定理1知例1對于二階常系數(shù)線性齊次微分方程也是它的解.但這個解中問題：方程(3)的兩個特解y1(x)，y2(x)滿足什么條件時，才是方程(3)的通解？由例1分析可知，如果方程(3)的兩個特解y1(x)，y2(x)之間不是常數(shù)倍的關(guān)系，那么它們線性組合得到的解就必定是方程(3)的通解.問題：方程(3)的兩個特解y1(x)，y2(x)滿足什么定義

設(shè)y1(x)與y2(x)是定義在某區(qū)間內(nèi)的兩個函數(shù)，如果存在不為零的常數(shù)k(或存在不全為零的常數(shù)k1,k2)，使得對于該區(qū)間內(nèi)的一切x，有成立，則稱函數(shù)y1(x)與y2(x)在該區(qū)間內(nèi)線性相關(guān)，否則稱y1(x)與y2(x)線性無關(guān).

例如，例1中是線性相關(guān)的，是線性無關(guān)的.定義設(shè)y1(x)與y2(x)是定義在某區(qū)間內(nèi)的兩個函定理2如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是二階常系數(shù)線性齊次微分方程(3)的兩個線性無關(guān)的特解，則就是方程(3)的通解.定理2如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是二階常系數(shù)線例2所給方程為二階常系數(shù)線性齊次微分方程解例2所給方程為二階常系數(shù)線性齊次微分方程解微分方程及其應(yīng)用課件三求二階常系數(shù)齊次線性微分方程(3)的通解步驟：1.寫出特征方程，并求出特征方程的兩個根；2.根據(jù)兩個特征根的不同情況，按照公式(6)、(7)或(8)寫出微分方程的通解.可使用下表:兩個不相等的實根特征方程:微分方程:兩個相等的實根一對共軛復(fù)根的兩個根r1,r2的通解三求二階常系數(shù)齊次線性微分方程(3)的通解步驟：1.寫出特例3

求微分方程

解:其特征方程為即(r+1)(r–3)=0,例3求微分方程解:其特征方程為即(r+例4解:例4解:微分方程及其應(yīng)用課件例5解:例5解:小結(jié)與思考通過這節(jié)課的學(xué)習，我們認識了二階常系數(shù)線性齊次微分方程，并且會求這類方程的通解和特解了。我們看到，求解二階常系數(shù)線性齊次方程不必積分，只要用代數(shù)方程求出特征方程的根就可以寫出微分方程的通解了。而只需要將初值條件代入方程，就可得到特解。

小結(jié)與思考通過這節(jié)課的學(xué)習，我們認識了二階常系數(shù)線性一、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程解的性質(zhì)與通解的結(jié)構(gòu)二、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解

第五節(jié)二階常系數(shù)線性非齊次微分方程

一、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程第五節(jié)二階常系數(shù)線性二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見類型難點：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.自由項為一、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程

解的性質(zhì)與通解的結(jié)構(gòu)二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見類型難點：如設(shè)非齊方程特解為代入原方程1.型設(shè)非齊方程特解為代入原方程1.型綜上討論注意:上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.綜上討論注意:上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（特別地特別地例1解:特征方程特征根對應(yīng)齊次方程通解代入方程,得原方程通解為例1解:特征方程特征根對應(yīng)齊次方程通解代入方程,得原方程通求通解解:特征方程特征根齊次通解即代入（*）式非齊通解為例2

求通解解:特征方程特征根齊次通解即代入（*）式非齊通解為例2分別是的實部和虛部可設(shè)輔助方程分別是的實部和由分解定理分別是以

為自由項的非齊次線性微分方程的特解由分解定理分別是以注意:上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程例3解:對應(yīng)齊方通解作輔助方程代入上式所求非齊方程特解為（取虛部）原方程通解為這種方法稱為復(fù)數(shù)法注意:上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程例3解:對例4解:對應(yīng)次齊方程通解作輔助方程代入輔助方程例4解:對應(yīng)次齊方程通解作輔助方程代入輔助方程所求非齊方程特解為（取實部）原方程通解為注意:所求非齊方程特解為（取實部）原方程通解為注意:例5解:對應(yīng)齊方程通解用常數(shù)變易法