2020年高考數(shù)學(xué)試題

2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(I卷)本試題卷共5頁(yè)，24題(含選考題)。全卷滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1）設(shè)集合（A），，則（B）（C）（D）【解析】：，．故．故選D．（2）設(shè)，其中是實(shí)數(shù)，則（A）（B）（C）（D）【解析】：由可知：，故，解得：．所以，．故選B．（3）已知等差數(shù)列（A）（B）前項(xiàng)的和為，，則（C）（D）【解析】：由等差數(shù)列性質(zhì)可知：因此公差，故，而，∴．故選C．（4）某公司的班車在，，發(fā)車，小明在至之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車丫的時(shí)候是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是（A）（B）（C）（D）【解析】：如圖所示，畫出時(shí)間軸：小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段或時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過(guò)10分鐘，根據(jù)幾何概型，所求概率．故選B．（5）已知方程表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為，則的取值范圍是（A）（B）（C）（D）【解析】：表示雙曲線，則，∴，其中是半焦距，∴焦距由雙曲線性質(zhì)知：解得，∴，故選A．（6）如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑．若該幾何體的體積是表面積是，則它的（A）（B）（C）（D）【解析】：原立體圖如圖所示：是一個(gè)球被切掉左上角的后的三視圖表面積是的球面面積和三個(gè)扇形面積之和故選A．（7）函數(shù)在的圖像大致為（A）（B）（C）（D）【解析】：時(shí)，，排除A；，排除B；，，當(dāng)時(shí)，因此在單調(diào)遞減，排除C；故選D．（8）若，，則（A）（B）（C）在上單調(diào)遞增，因此（D）【解析】：由于，∴函數(shù)，A錯(cuò)誤；由于，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，B錯(cuò)誤；要比較，和，只需比較和，只需比較，和，只需和構(gòu)造函數(shù)此，則在上單調(diào)遞增，因，又由∴得，，C正確；要比較故和，只需比較和，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，，又由得，∴，D錯(cuò)誤；故選C．（9）執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的，，，則輸出（A）（C）的值滿足（B）（D）【解析】：第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：第三次循環(huán)：；；輸出，，滿足；故選C．（10）以拋物線的頂點(diǎn)為圓心的圓交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)，已知,，則的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（A）2（B）4（C）6（D）8【解析】：以開口向右的拋物線為例來(lái)解答，其他開口同理設(shè)拋物線為，設(shè)圓的方程為，如圖：設(shè)，，點(diǎn)在圓在拋物線上，∴……①；點(diǎn)上，∴∴……②；點(diǎn)……③；聯(lián)立①②③解得：在圓上，，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（11）平面過(guò)正方體平面．故選B．的頂點(diǎn)，，則平面，，平面所成角的正弦值為（A）（B）（C）（D）【解析】：如圖所示：∵，∴若設(shè)平面∥平面平面，則又∵平面，結(jié)合平面平面∴，故，同理可得：故、的所成角的大小與、所成角的大小相等，即的大?。ň鶠槊鎸?duì)交線），因此，即．故選A．（12）已知函數(shù)，為的零點(diǎn)，為圖像的對(duì)稱軸，且在單調(diào)，則的最大值為（D）5（A）11（B）9（C）7【解析】：由題意知：則，其中，在單調(diào)，接下來(lái)用排除法：若，此時(shí)，在遞增，在遞減，不滿足在單調(diào)；若，此時(shí)，滿足在單調(diào)遞減。故選B．二、填空題：本大題共3小題，每小題5分。（13）設(shè)向量a，b，且abab，則．【解析】：由已知得：，∴，解得．（14）的展開式中，的系數(shù)是，．（用數(shù)字填寫答案）【解析】：設(shè)展開式的第項(xiàng)為，∴．當(dāng)時(shí)，，即滿足，故答案為10．（15）設(shè)等比數(shù)列，，則的最大值為．【解析】：由于是等比數(shù)列，設(shè)，其中是首項(xiàng)，是公比．∴，解得：．故，∴，當(dāng)或時(shí)，取到最小值，此時(shí)取到最大值．所以的最大值為64．（16）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個(gè)工時(shí)．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為元．【解析】：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品件，B產(chǎn)品件，根據(jù)所耗費(fèi)的材料要求、工時(shí)要求等其他限制條件，構(gòu)造線性規(guī)則約束為目標(biāo)函數(shù)；作出可行域?yàn)閳D中的四邊形，包括邊界，頂點(diǎn)為處取得最大值，，在三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．（17）（本小題滿分12分）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面積為，求的周長(zhǎng)．【解析】：，由正弦定理得：，∵，，∴∴，，∵，∴由余弦定理得：，，，∴，∴，∴周長(zhǎng)為（18）（本小題滿分12分）如圖，在以為頂點(diǎn)的五面體中，面為正方形，，且二面角與二面角都是．（Ⅰ）證明：平面（Ⅱ）求二面角平面；的余弦值．【解析】：∵為正方形，∴，∵，∴，∵∴面，面，∴平面平面由知，∵，平面，平面∴平面，平面∵面∴面，∴∴四邊形為等腰梯形以為原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)，，，，設(shè)面法向量為設(shè)面，，即，，法向量為，.即，，設(shè)二面角的大小為.，二面角的余弦值為（19）（本小題滿分12分）某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù)．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求，確定的最小值；（Ⅲ）以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在每臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11與之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？【解析】：記事件為第一臺(tái)機(jī)器3年內(nèi)換掉個(gè)零件記事件由題知為第二臺(tái)機(jī)器3年內(nèi)換掉個(gè)零件，設(shè)2臺(tái)機(jī)器共需更換的易損零件數(shù)的隨機(jī)變量為，則的可能的取值為16，17，18，19，20，21，2216171819202122要令，，則的最小值為19；購(gòu)買零件所需費(fèi)用含兩部分，一部分為購(gòu)買機(jī)器時(shí)購(gòu)買零件的費(fèi)用，另一部分為備件不足時(shí)額外購(gòu)買的費(fèi)用當(dāng)時(shí)，費(fèi)用的期望為時(shí)，費(fèi)用的期望為當(dāng)所以應(yīng)選用（20）（本小題滿分12分）設(shè)圓的圓心為，直線過(guò)點(diǎn)于點(diǎn)．且與軸不重合，交圓于兩點(diǎn)，過(guò)作的平行線交（Ⅰ）證明為定值，并寫出點(diǎn)的軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線交于兩點(diǎn)，過(guò)且與垂直的直線與圓交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍．【解析】：⑴圓A整理為，A坐標(biāo)，如圖，，則則，由，，根據(jù)橢圓定義為一個(gè)橢圓，方程為，()；⑵；設(shè)，因?yàn)椋O(shè)，聯(lián)立：，則圓心到所以距離，，（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．【解析】：由已知得：①若②若，那么，只有唯一的零點(diǎn)，不合題意；，那么時(shí)，，所以當(dāng)即：，單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減;↓極小值↑故在上至多一個(gè)零點(diǎn)，在，，則上至多一個(gè)零點(diǎn)，由于根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．，而當(dāng)故時(shí)，，則當(dāng)?shù)膬筛?，，，因?yàn)?，故或時(shí)，因此，當(dāng)又且時(shí)，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在有且只有一個(gè)零點(diǎn)．此時(shí)，在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，滿足題意．③若當(dāng)，則時(shí)，，，，即，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞增．即：+↑0極大值-0極小值+↑↓而極大值故當(dāng)時(shí)，時(shí)，在處取到最大值，那么恒成立，即無(wú)解而當(dāng)此時(shí)單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)在上至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．④若當(dāng)，那么時(shí)，時(shí)，，，，即，，單調(diào)遞增單調(diào)遞增當(dāng)，即又在處有意義，故在上單調(diào)遞增，此時(shí)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．⑤若當(dāng)，則時(shí)，，，即，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，即單調(diào)遞增即：+↑0極大值-0極小值+↑↓故當(dāng)當(dāng)時(shí)，在處取到最大值，那么恒成立，即無(wú)解時(shí)，單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn),此時(shí)在上至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．．綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)由已知得：時(shí)符合題意，即的取值范圍為，不難發(fā)現(xiàn)，，故可整理得：,，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．設(shè)設(shè)，構(gòu)造代數(shù)式：，,則，故單調(diào)遞增，有，則必有．因此，對(duì)于任意的由，．可知、不可能在的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，不妨設(shè)令，則有而，，．在上單調(diào)遞增，因此：整理得：請(qǐng)考生在第（22）、（23）、（24）題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．（22）（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講圖，是等腰三角形，．以為圓心，為半徑作圓．（Ⅰ）證明：直線（Ⅱ）點(diǎn)在⊙上，且【解析】：⑴設(shè)圓的半徑為，作,∴與⊙相切；四點(diǎn)共圓，證明：于．∵∴與相切方法一：假設(shè)與不平行,與交于,∵四點(diǎn)共圓,∴∵,∴由①②可知矛盾,∴方法二：因?yàn)橥?，因?yàn)樗詾榈闹写咕€上，所以的中垂線，所以．（23）（本小題滿分10分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系點(diǎn)，中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，．．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線（Ⅰ）說(shuō)明是哪一種曲線，并將的方程化為極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線的極坐標(biāo)方程為，其中滿足，若曲線與的公共點(diǎn)都